Помню, как будучи школьником я вывел такую общую формулу: (u^v)' = (u^(v - 1)) * (u'v + uv'*ln u), где u = u(x), v = v(x) - две данные функции. Её можно даже запомнить, увидев, что она похожа одновременно и на формулу производной степенной функции и на формулу производной произведения. На мой взгляд, это лучше, чем в каждой конкретной задаче каждый раз заново её выводить (либо в каждой задаче выводить в общем виде и затем подставлять, и тогда она запомнится сама собой).
Точно так же, в общем виде, как это делается каждый раз в частном виде: u^v = e^ln(u^v) = e^(v*ln u) И далее воспользуемся формулами производной для сложной функции, экспоненты и произведения: (u^v)' = (e^(v*ln u))' = e^(v*ln u) * (v'*ln u + v * (1/u)*u') Первый множитель в силу равенства в первой строчке соберём обратно в u^v = u^v * (v'*ln u + v*u' / u) Далее умножим и разделим на u. При этом деление на u степени u^v равносильно вычитанию единицы из её показателя: = u^(v - 1) * (uv' ln u + u'v) Осталось лишь поменять порядок в сумме во втором множителе, чтобы она приняла вид, похожий на тот, что мы знаем.
С "неправильной" расстановкой скобок получил: [ (sin(x))^(cos(x)+1) ] ⋅ [ ctg²(x) - ln(sin(x)) ] Вот вам и попробуйте решить самостоятельно перед просмотром ... :)
Когда я впервые читал про неберущиеся интегралы, среди них был такой (интеграл Френеля): ∫sin(x²)dx. Как видно, аргумент у синуса здесь специально взяли в скобки именно во избежание запутывания.
@@Alexander-- Во избежании массовых писем в академию наук, с сообщениями об открытии. П.С.: Люблю скобки; товарищи ставьте скобки не морочьте голову не себе не людям.
О. Мне такой способ вычисления производной степенно-показательной функции понравился больше, чем с введением дополнительной переменной и логарифмированием двух частей функции. Покороче и полегче будет.
Смотря как рассматривать эту функцию... В равной степени возможно что эта запись означает и показательную и степенную функцию относительно синуса а также возможно что это показательная или степенная функция аргумента синуса... Хм..скобок то нет
Производная показательно-степенной функции (x и в основании, и в показателе) находится как сумма производной этой функции как степенной функции и производной этой функции как показательной функции. Первый курс университета, мат анализ, на лекциях рассказывали
Прикольно!) Последнее время Вы сами себе добавляете скобки, убираете их. Я конечно не Архимед, но степень относится к синусу, а Вы скобками отнесли её к иксу. И теперь не понятно. Правильный ответ или нет? (
@@МаксимАрхангелов найти производную - как 2+2, а найти первообразную - как из 4-ки выделить эти самые 2+2, но нужно еще учитывать разные ньюансы, так как четверку можно записать бесконечным числом способов, а нас устраивает только один из них)
в любой шаражке с курсом анализа студенты будут уметь брать подобные производные. прямой алгоритм + абсолютно классический трюк с логарифмическим тождеством
По определению показательной функции. Если записано a^x, значит очевидно, что речь идёт о возведении в действительную степень. Тогда нам просто необходимо ограничить a>=0; если этого не сделать возникнет неоднозначность, например, x=1/3=2/6 имеем (-9)^1/3 = -3, а (-9)^2/6 = 3 (если взять последовательно), тогда -3=3. С этим мериться нельзя поэтому вводят ограничения a>=0. А с учётом того что 0^0 - неопределённость (с чем "специалисты" любят поспорить), ограничение делают строгим a>0. Итого если мы имеем [f(x)]^g(x), то f(x) > 0 по определению.
Эти показательные функции очень хитрые. Как показал Виктор, при одном и том же показателе, только в другой записи, могут возникнуть противоречия. Математика - точная же наука и противоречий в ней нет, так что придумали комплексные числа и аналитические продолжения функций. Но, говоря именно про показательные функции считается, что основание строго больше нуля.
Этот момент нормально не объясняют. Если дана функция x^2, то x может быть любым числом. Но если показатель степени принимает не только целые значения, то основание должно быть положительным, иначе получился бы такой парадокс: с одной стороны (-1)^(1/3) = -1, с другой стороны (-1)^(2/6) = 1. А при иррациональных показателях вообще непонятно положительным или отрицательным будет ответ. Поэтому областью определения степенной функции является (0; +бесконечность).
@@mikaelhakobyan9363 для таких случаев нужно всегда уточнять, у нас или степенная функция или аналитическое продолжение степенной функции на комплексные числа. Обычно, если ничего не уточняется, то подразумевается, что степенная функция всегда больше нуля.
@@s1ng23m4n Боюсь, что этот интеграл не берется и в неэлементарных функциях. Я его пытался взять еще в 1974-м. Также не удалось доказать, что он не берется в элементарных. Ни в одном справочнике по матану и в учебниках его не нашел. Может какой перельман найдется, кто прояснит ситуацию с этим интегралом.
Можно, но для этого надо вывести всю нужную часть таблицы производных, а именно: производную синуса, косинуса, экспоненты и логарифма, а также производную произведения и сложной функции. Причём, для частного случая - конкретных функций. Ведь все эти формулы базируются, в конечном итоге, на определении производной.
На самом деле это очень легко, только писанины будет очень много))) Вы же, когда находите производную, пользуетесь уже правилами дифференцирования, которые помните, но их нужно выводить. Надо еще доказать как минимум первый замечательный предел. Если вы все это умеете, то просто пользуйтесь инструментом, который дает математический анализ)
@@s1ng23m4n "очень легко ... просто нужно по пути доказать первый замечательный предел, второй замечательный предел и так кое чего по мелочи типа производной сложной и показательной функции" - ну да легко, что тут скажешь :)
а график этой функции -- это просто психоделический вынос мозга....
Маленькая запись функции вырастает в огромную запись производной :)
Помню, как будучи школьником я вывел такую общую формулу: (u^v)' = (u^(v - 1)) * (u'v + uv'*ln u), где u = u(x), v = v(x) - две данные функции. Её можно даже запомнить, увидев, что она похожа одновременно и на формулу производной степенной функции и на формулу производной произведения. На мой взгляд, это лучше, чем в каждой конкретной задаче каждый раз заново её выводить (либо в каждой задаче выводить в общем виде и затем подставлять, и тогда она запомнится сама собой).
Вау формула неплох) а каким образом вывели ?
Точно так же, в общем виде, как это делается каждый раз в частном виде:
u^v = e^ln(u^v) = e^(v*ln u)
И далее воспользуемся формулами производной для сложной функции, экспоненты и произведения:
(u^v)' = (e^(v*ln u))' = e^(v*ln u) * (v'*ln u + v * (1/u)*u')
Первый множитель в силу равенства в первой строчке соберём обратно в u^v
= u^v * (v'*ln u + v*u' / u)
Далее умножим и разделим на u. При этом деление на u степени u^v равносильно вычитанию единицы из её показателя:
= u^(v - 1) * (uv' ln u + u'v)
Осталось лишь поменять порядок в сумме во втором множителе, чтобы она приняла вид, похожий на тот, что мы знаем.
Вы прям оптимизатор
@@vahegizhlaryan5052 Это есть в учебниках по матану.
y = u^v => ln(y) = v⋅ln(u)
( ln(y) )' = ( v⋅ln(u) )'
y, v, u - функции от x. Тогда
( ln(y) )' = (1/y)⋅y'
( v⋅ln(u) )' = v'⋅ln(u) + v⋅( ln(u) )' = v'⋅ln(u) + v⋅(1/u)⋅u'
(1/y)⋅y' = v'⋅ln(u) + v⋅(1/u)⋅u'
y' = y ⋅ (v'⋅ln(u) + v⋅(1/u)⋅u')
y' = (u^v) ⋅ [v'⋅ln(u) + v⋅(1/u)⋅u']
y' = (u^v)⋅v'⋅ln(u) + v⋅(u^v)⋅(1/u)⋅u'
y' = (u^v)⋅ln(u)⋅v' + v⋅(u^(v-1))⋅u'
Ну или в форме автора стартового сообщения:
y' = (u^(v-1))⋅[v'⋅ln(u)⋅u + v⋅u' ]
@@ВикторИванов-ю7ю ого спасибо) понятия не имел) всегда в ручную вывел)
С "неправильной" расстановкой скобок получил:
[ (sin(x))^(cos(x)+1) ] ⋅ [ ctg²(x) - ln(sin(x)) ]
Вот вам и попробуйте решить самостоятельно перед просмотром ... :)
Хах та же история)
Когда я впервые читал про неберущиеся интегралы, среди них был такой (интеграл Френеля): ∫sin(x²)dx. Как видно, аргумент у синуса здесь специально взяли в скобки именно во избежание запутывания.
@@Alexander-- Во избежании массовых писем в академию наук, с сообщениями об открытии.
П.С.: Люблю скобки; товарищи ставьте скобки не морочьте голову не себе не людям.
У тебя ошибочка, не cos(x+1) а cos(x)+1
@@mikaelhakobyan9363 Точно, сейчас исправлю.
Необычное сложное задание. Спасибо за подробное решение.
great solution sir thank u
Жуть какая-то:)
е в степени произведений двух функций можно сразу разложить на сумму: е в степени cosx и е в степени logx (7-ой класс). Быстрее и понятнее
Логарифмическое дифференцирование. Ахой :))
Вот это даааа..не простое задание. Спасибо большое. Мне очень понравилось ваше видео. Возьму на вооружение.я Вам очень благодарен.
Понятно. Спасибо
О. Мне такой способ вычисления производной степенно-показательной функции понравился больше, чем с введением дополнительной переменной и логарифмированием двух частей функции. Покороче и полегче будет.
Честно сказать, даже решать не стал, так как для меня тут алгоритм решения очевиден. Но школьникам это может быть интересно) Лайк поставить не забыл)
В ЕГЭ бывают такие задачи?
@@bobbynelson7793 да
@@bobbynelson7793 такой сложности нет
@@vintik1688 Я казах у нас есть ЕНТ (по типу ЕГЭ но 2 раза легче) думаю что если будут такие задачи то Я умру
Да вы просто специалист, по галосновным утверждениям.
Смотря как рассматривать эту функцию... В равной степени возможно что эта запись означает и показательную и степенную функцию относительно синуса а также возможно что это показательная или степенная функция аргумента синуса... Хм..скобок то нет
Нифига не понял но очень интересно
Производная показательно-степенной функции (x и в основании, и в показателе) находится как сумма производной этой функции как степенной функции и производной этой функции как показательной функции. Первый курс университета, мат анализ, на лекциях рассказывали
0:14
Я попался😅
Muy buen artificio...👌
Ответ-монстр.
Прикольно!)
Последнее время Вы сами себе добавляете скобки, убираете их.
Я конечно не Архимед, но степень относится к синусу, а Вы скобками отнесли её к иксу. И теперь не понятно. Правильный ответ или нет? (
Через способ "логарифмическое дифференцирование " можно было решить?
Нет наверно
У нас х в степени, а не синус.
Степенно-показательная функция проще просто продиффиренцировать как (a^x)'+(x^n)', лично я так решаю
первое слагаемое в скобках можно записать в виде дроби (cosx)/x
О, тёпленькая пошла!
А обратно? Первообразную найдём?
Заметим, что производная функции sin(x^cosx) равна нашей функции...
Было бы неплохо.
Valery Volkov, покажите, пожалуйста, как находить первообразную того выражения, которое мы получили в ответе.
Покорно благодарю.
@@ivansakovich7653 Найти производную сложной функции - тривиальная задача, а вот наоборот - уже нет. Нужен опыт.
почему нельзя найти первообразную от показательно-степенной?
подскажите пожалуйста?
@@МаксимАрхангелов найти производную - как 2+2, а найти первообразную - как из 4-ки выделить эти самые 2+2, но нужно еще учитывать разные ньюансы, так как четверку можно записать бесконечным числом способов, а нас устраивает только один из них)
скоро 1/4 🍋
Очень простой пример
Здраствуйте валерий можите обьяснить как решить построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки a, c и м где м середина ребра а1в1.
Здесь разобраны любые виды сечений: ruclips.net/video/yCmO9o_784U/видео.html
А можно всякие ребусы предлагать для видео?
в любой шаражке с курсом анализа студенты будут уметь брать подобные производные. прямой алгоритм + абсолютно классический трюк с логарифмическим тождеством
Задача хлор имеет 2 стабильных изотопа 35 37 рассчитать %того и иного изотопа если средняя масса 35,44
домашка?
35х+37(1-х)=35,44. Решайте. х - доля изотопа 35
@@hktundra y*n1%+xn2%=z*100%.А именно n1%=(max-sr) /(max-min) =(37-35,44)/(37-35)=0,78=78% изотопа 35, следовательно изотопа 37= 22%
Замена x на e^lnx правомерна только на положительных x, разве нет?
Для любых иксов можно делать замену x = e^Ln(x), где Ln(x) - комплексный логарифм.
Для начала надо разобраться что такое функция...
Для меня неочевидно, что x строго больше нуля.
По определению показательной функции.
Если записано a^x, значит очевидно, что речь идёт о возведении в действительную степень. Тогда нам просто необходимо ограничить a>=0; если этого не сделать возникнет неоднозначность, например, x=1/3=2/6 имеем (-9)^1/3 = -3, а (-9)^2/6 = 3 (если взять последовательно), тогда -3=3. С этим мериться нельзя поэтому вводят ограничения a>=0. А с учётом того что 0^0 - неопределённость (с чем "специалисты" любят поспорить), ограничение делают строгим a>0.
Итого если мы имеем [f(x)]^g(x), то f(x) > 0 по определению.
Эти показательные функции очень хитрые. Как показал Виктор, при одном и том же показателе, только в другой записи, могут возникнуть противоречия. Математика - точная же наука и противоречий в ней нет, так что придумали комплексные числа и аналитические продолжения функций. Но, говоря именно про показательные функции считается, что основание строго больше нуля.
@@ВикторИванов-ю7ю не так.
Или f(x) >0
Или f(x) =0, g(x)>0
Или f(x)
394//5.12.2020. Верно ли , что sin^(--1) X = arcsin X ?
Это обозначение для обратной функции используют на Западе, у нас, это просто показатель степени (-1), то есть (sinX)^(-1)=1/sinX.
Так они нас с толку сбивают , подлецы. Ибо мы , советские люди , считаем , что sin^ (-- 1 ) X это 1/ sin X . Дела-а-а...
Не понял, как основание степени стало сугубо положительным? хбольше нуля, потому что он в основании степени. Откуда такое допущение? 2:22
Этот момент нормально не объясняют. Если дана функция x^2, то x может быть любым числом. Но если показатель степени принимает не только целые значения, то основание должно быть положительным, иначе получился бы такой парадокс: с одной стороны (-1)^(1/3) = -1, с другой стороны (-1)^(2/6) = 1. А при иррациональных показателях вообще непонятно положительным или отрицательным будет ответ. Поэтому областью определения степенной функции является (0; +бесконечность).
@@mikaelhakobyan9363 для таких случаев нужно всегда уточнять, у нас или степенная функция или аналитическое продолжение степенной функции на комплексные числа. Обычно, если ничего не уточняется, то подразумевается, что степенная функция всегда больше нуля.
@@s1ng23m4n f(x) = x^2 подразумевает, что x > 0 ?
@@mikaelhakobyan9363 это показательная, а не степенная функция.
@@s1ng23m4n Показательная функция - f(x) = a^x
Степенная функция - f(x) = x^a
x^2 точно не показательная функция)
Лихо закрученный сюжет.
А слабо взять неопределенный интеграл от e в степени sinx?
Боюсь, что этот интеграл не берется в элементарных функциях. А вот е в степени arcsin(x) довольно легко.
@@s1ng23m4n Боюсь, что этот интеграл не берется и в неэлементарных функциях. Я его пытался взять еще в 1974-м. Также не удалось доказать, что он не берется в элементарных. Ни в одном справочнике по матану и в учебниках его не нашел. Может какой перельман найдется, кто прояснит ситуацию с этим интегралом.
Интересно, можно ли было найти производную этой функции по определению?
Даже пробовать не стоит)
Можно, но для этого надо вывести всю нужную часть таблицы производных, а именно: производную синуса, косинуса, экспоненты и логарифма, а также производную произведения и сложной функции. Причём, для частного случая - конкретных функций. Ведь все эти формулы базируются, в конечном итоге, на определении производной.
На самом деле это очень легко, только писанины будет очень много))) Вы же, когда находите производную, пользуетесь уже правилами дифференцирования, которые помните, но их нужно выводить. Надо еще доказать как минимум первый замечательный предел. Если вы все это умеете, то просто пользуйтесь инструментом, который дает математический анализ)
@@s1ng23m4n "очень легко ... просто нужно по пути доказать первый замечательный предел, второй замечательный предел и так кое чего по мелочи типа производной сложной и показательной функции" - ну да легко, что тут скажешь :)
@@ВикторИванов-ю7ю Именно) Ничего сложного)
a zachem eto????
Почему 0 в степени 0 равно 1?
а равно?)
На ютьюбе есть много роликов на тему "ноль в степени ноль". И, строго говоря, это значение не единица
0^0 не существует. Это lim [x->0] x^x = 1. Можете попробовать самостоятельно найти этот предел.
+++!