之前在stand up maths 上看到一个有趣的题目，考虑一个厚的公平硬币，问它的厚度与直径的比是多少的时候，随机抛出它落在地上时正面向上、反面向上、侧面向上的概率均是1/3. 结果他们用两种方法算出两种不同的答案，3D打印并试验之后发现两个都不对，答案应该在两者之间。原因和这里的例子类似，随机抛硬币其实是一个很模糊的定义。出手时硬币是否高速旋转，硬币在空中按照哪个轴旋转，落地以后与地面如何碰撞其实都会影响概率在哪一种意义上均匀分布。
这就是悖论产生的原因啊，你以为你对population distribution 做了一个假设再去求的probability，但是题目并没有提供任何population distribution的信息，所以你才做了假设，每一种“随机选择”方式的弦长度分布是不一样的，所以不同的选择方式就会算出来不同的概率。他讲的非常好，把悖论的本质已经说的很透彻了。
@@lugia2titan Copy A random number is a number chosen as if by chance from some specified distribution such that selection of a large set of these numbers reproduces the underlying distribution. Almost always, such numbers are also required to be independent, so that there are no correlations between successive numbers. Source: wolfram
很多時候你以為的「真正的隨機」只是某些層級上的資訊不透明。
說的真好!
如果资讯都透明了，量子不确定性也明确了
比如乐透，彩票公司内部腐败永远禁止不了。
Hidden variable, 哈哈哈几十年都没有被找到
所有旁观者都是条件概率，所有条件概率都以为是自己决定了随机事件，比如抽出大奖的人，总以为是自己确定了这件事
剛剛學完概率入門，媽咪叔這期節目真棒👍！
一個事件的概率本身就是一個待修訂更新的變量，這其實是不言自明的，概率計算作為測量工具本身就是面對和探測瞭解無形的未知。
之前在stand up maths 上看到一个有趣的题目，考虑一个厚的公平硬币，问它的厚度与直径的比是多少的时候，随机抛出它落在地上时正面向上、反面向上、侧面向上的概率均是1/3. 结果他们用两种方法算出两种不同的答案，3D打印并试验之后发现两个都不对，答案应该在两者之间。原因和这里的例子类似，随机抛硬币其实是一个很模糊的定义。出手时硬币是否高速旋转，硬币在空中按照哪个轴旋转，落地以后与地面如何碰撞其实都会影响概率在哪一种意义上均匀分布。
Numberphile那群人真的很厉害 又厉害又有趣 人看上去也蛮和善的 很喜欢他们的视频
以前高中教概率時老師先教我們中彩票的幾率怎樣算，然後反駁說彩票要不中要不不中那中彩票幾率是二分之一。目的就是教這原理
「無知的自以為是」正是描述了什麼事件都套用50%機率的人
@@Dennis_botchan 不是无知他老师应该是要教贝叶斯推断
凱因斯：所有的機率都是條件機率
所有旁观者都是条件概率，所有条件概率都以为是自己决定了这件事，比如抽出大奖的人
抽卡概率为6%问抽到的概率是多少？答：我管他概率多少，对我来说只有抽中和抽不中两种可能所以1/2
从开始认知的1/2 到6%变化过程，就叫做贝叶斯推断。
你误解了概率的概念，也不是贝叶斯推断。两个结果（抽中和不中）是没错，但两种结果的可能性是不一样的，不然要概率做什么。坐飞机就有掉下和不掉下两种可能，所以飞机安全性为50%，我就不坐。而且我们在估计风险成本时，是用风险发生概率乘以其发生后的损失，照你这么算，保险公司就不要开了。概率，在我们无法了解其规律时，只能是大量数据的统计。
@@zhaowen1901 你这是既没有说明什么是概率，又没谈清楚怎么通过数据计算。一堆废话……
100张卡片中有十五张正确的，其他都是错误的。可能抽到的卡片就只有两种，即正确和错误。但抽到正确的卡片的概率只有15/100，抽到错误的卡片的概率则有85/100。
懂了吗?
抽卡概率6%抽到的概率是多少？
遊戲公司會告訴你你還沒到保底
这期视频要批评一下：
1. 作为严肃认真的科普视频，从维基百科直接抓图，还是应该在视频中说明一下的。向大家普及的应不仅是知识本身，还应该展示出在使用非自己原创元素时的引用规范。
2. 这个悖论本来在技术层面(概率计算层面)就可以解释得很清楚：三种不同的作弦方法＋每种方法中都用“均匀分布”假设，实际上会导致三种迥然不同的弦在圆内的概率分布，那最后得出三个不同的概率结果就是很自然的事情了。这本是一个展示为什么数学表述必须“严谨”，必须完整，必须滴水不漏的好例子：“随机取圆上的弦”看似没毛病，但实际上缺失了弦在圆内概率分布的关键前提信息。说得更简单点，就好比问：从一堆红球和蓝球中随机抽取一个球是红色的概率是多少？不给红球蓝球比例的话当然不可能有（唯一的）答案，闭着眼说概率是1/2更是胡扯。遗憾的是视频对为什么出现不同结果的解释只有4:43一句“由于问题的描述不够清晰造成的”，然后4:50开始“往深刻了说”，反而完全跑偏了题。
我也同意你的說法。
三种不同的作弦方法的"均勻分布"是不同的阿。也就是"條件"是不同，答案本來就可能不同。
沒特別去上統計機率課程的，應該不會知道下"條件"，是很重要的事。三種不同做法，就三種不同條件。很明顯，這三個條件，都不是指"同一件事"。
另外我也想說，
最後解讀時，"A條件下，所以機率是XX"。請不要自以為是從後面往前面解讀成，所以機率是XX的，那就是A條件!!!
滿多人讀新聞上說，某某大學出研究報告，XXX情狀下，OOO機率較高。但就會有人解讀成，OOO是XXX引起的。這只能解讀是有關係。至於正關係，還是其實有其它影響造成看起來是有正關係，還要一直做試驗，作測驗去證明是正相關。至於後面對前面，那又要去做測驗，才可以另外證明。
我覺得學學統計機率，其實這可以訓練自己，是不是有思考盲點，哪裡定義錯了，邏輯錯了，尺度錯了等等。
是事情真的這樣，還是自己腦子故障，想錯了。
@@cipher3010 第一个对，后面两个不对
我覺得悖論可能講的不太好，原因是沒有講你在哪個區段做怎樣的抽樣，在弧上的均勻分配 ，轉換成半徑上抽樣不是均勻的。
看视频一直没想通，直到看到你的评论
这就是悖论产生的原因啊，你以为你对population distribution 做了一个假设再去求的probability，但是题目并没有提供任何population distribution的信息，所以你才做了假设，每一种“随机选择”方式的弦长度分布是不一样的，所以不同的选择方式就会算出来不同的概率。他讲的非常好，把悖论的本质已经说的很透彻了。
@@ksda6167 没有悖论，只有误解，基础元素出现的速率和方式不同，结果会大相径庭，这就是相对论啊
@@ksda6167 所有的数学悖论都是因为数学基础定义并未完善。如果我的解释你还不明白，就思考一下所谓的希尔伯特旅馆悖论，其实根本就不是悖论，是相对论。 二个大小圆，其实根本就没有大小之分。我们之所以盲目产生了大小区分，是因为忽略了我们自己已经从全局给它定义了一个相同尺度的基准全域坐标系，从基础元素上就已经给了他们一个统一的绝对。
@@weiryan5413 你可以去查一下什么是悖论，悖论本来就是axiomatic的，观察本身并没有悖论，必须有理论才有悖论。还有我不明白你第二段到底再说什么Hilbert's paradox 和两个圆？什么两个圆？
看影片的時候第一個想法是第一個方法dof是完整的2，但是第二個第三個方法在第一步的時候都會對隨機性產生影響，因此第二步必須要相對應的調整才能把兩個點的機率弄得足夠隨機。
以題目來說，我認為第一個才是正解，機率：1/3
弦的定義本來就是圓邊上"任兩點"相連。
後面兩個方法，都不符合圓邊上任兩點相連這個條件。
例如：
第二個方法前提是選中的點必須是弦的中點。
第三個方法也和第二個類似，選中的點也必然是弦的中點。
这个视频很有启迪性。很希望能把这个问题再联系到哲学层面，从思维方式上给大家再展开讲一讲
無意間發現 媽咪說以前的影片被規劃成兒童影片(?)並且建議適用RUclipsKids...沒想到在YT眼中那些高等數論是兒童級別的XD
這個世代的小孩各個都是精英沒有辦法
留言區還被關閉了..
再严谨一些：随机(random)≠均匀随机(uniformly random)
妈咪叔，我觉得这期视频中用弦长的例子来解释概率学中的悖论不合适。因为导致你每次得到不同概率的原因并不在于概率学，而在于欧几里得几何对维度描述的缺陷。在二维中选取一个一维的点存在不严谨性。我隐约感觉这种悖论可以用分形理论来解释，是一个有意思的问题，但我还没有时间阅读相关文献。期待您的回答
这是测度论回答的问题
其实问题也就出在这里，因为不同方法导致弦的中点在圆里的分布密度不一样了。
@@joycezheng1120 我有類似的經驗
大學寫程式的時候，本來是要在一個平面散布標記，結果用直角座標與極坐標隨機結果不同
極座標的整數角度會造成中心密集
原因是三种情况的概率密度不同
问题里“随机”这个词本来就是主观的，没有数学上的精确定义。
@@lugia2titan 随机有定义的吧
@@lugia2titan Copy
A random number is a number chosen as if by chance from some specified distribution such that selection of a large set of these numbers reproduces the underlying distribution. Almost always, such numbers are also required to be independent, so that there are no correlations between successive numbers.
Source: wolfram
@@menkiguo7805 随机数可以有明确定义。但这个问题中的随机没有明确定义呀。到底是弦的中点随机选取，还是弦的端点随机选取呢？
原因是对于长度分布的假设不同，密度不同并不是悖论产生的本质，密度不同是你再知道如何进行弦取样才得出的，而悖论的产生是针对未知分布所做的假设不同而产生的。
无差别原理，只有在确认了各种结果出现的可能性并没有明显不同时才能使用。 对于未知，只能作答“未知”，强行回答必然错误。
行星存在動物與存在植物的概率，兩者之間有一定的關係，因為我們對其不了解，直接將概率相乘計算，就會出現違反邏輯的結果...
在算法无限强的情况下投硬币的正面还是反面是可以百分百预知的，就不存在下一次的概率是1/2了
我在看视频了解这个悖论之前的几天前居然想过这个问题。神奇。
哈哈看到好多较真的评论真的大开眼界了，谢谢大家补充。
我想妈咪叔想表达的重点是 如排核废水这件事上，各方都不可能了解所有的信息以及事件发生的条件可能性；因此,在阐述问题的时候除了要把条件讲清楚，更重要的是保持足够谦卑之心。
@@柳建安-k7n 科学家是厉害的 但人是更厉害的。一件事情只要是人做的 就会和理想状态有偏差。事情有太多变因 你不能因为“科学家”说 废水没事 就心安理得。视频不是刚教了你思考要严谨吗。
那我问你个问题吧 排出的废水符合指标的概率是多少
讓我想到某個網路上的笑話：
醫生：我做這個手術，你的存活率是20%
病人：那你做五次
醫生：還不如你自己做，只有生跟死這兩種狀態，做一次手術50%會活，只要做兩次就好
我感觉很多人把真正的随机概率理解为条件概率，甚至有人认为发生和不发生理解为各占50%；实际上世界上太多的事情是随机而不以任何人意志为转移的，而且人类在概念之上平稳运行。比如地震概率、金融保险中的灾难概率，出行安全概率，癌症得病概率，国家发生战争概率（如果估计未来发生战争可能性太大，可能各国都军备了），都在指导人们的生活，更是现代社会制度的基石，不相信概率的人，实际上是会出问题的。
通俗讲就是有些方法很容易做出更长的弦，有些方法更不容易做出更长的弦
严谨来说，啰嗦是语义重复，较真则是表达更多更细密的信息。不严谨的人常常将这两者混淆，并在不自知中啰嗦，且粗略地通过表达的量认为较真的人啰嗦。
用以上不同策略在圆上画弦，画出的弦的总数会一致吗
或者说它们会是同一个集合吗
既然我们用证明无法实现，我们就用物理方式来统计，地上画一个园，随机抛下一根铁棍，铁棍随意旋转，duang，落在地上，实验100000次，看玄长概率关系到底是三分之一还是四分之一了。关键是这个随机抛下一根铁棍，这个随机怎么实现。数据中有个“蝴蝶效应”函数，即初始值一小点变动，极大的改变结果，把这个应用到物理实现也很容易的。 我经常利用随机函数程序来模拟计算一个概率问题。说起随机函数，有人也认为那也是提供计算的伪随机，其实现在计算机的随机函数采集了外界随机熵信息的，而外界的随机熵，是受量子随机事件的影响的。如此说，量子随机是目前为之最随机的了。
6:30 处结论有问题，没有先确定二者是否相互独立，实际上二者不应该独立，有动物基本上要以有植物为前提
這裡應該是假設你不知道動物和植物之間的關係，只知道這倆屬於生物，你可以想成生物A、生物B，而且你也完全不知道存在生物需要什麼條件。這樣才能看出無差別原則的不自洽性。
只要不是女朋友 永远支持较真的你
否则的话 自求多福吧！
不能用线段的的长度判断选取点的概率，因为再短的线段上也有无限个点，给了两个线段，无限/无限，结果是什么是不确定的
同样，也不能用面积大小计算选取点的概率
联想到了量子计算里的波函数概率，上帝掷骰子，是因为我们对事件概率所发生的条件不够了解。
因為無限是不能約分的吧 1倒8/3倒8，雖然我們可以知道"可能"小於1 ，但實際畫線卻還是可以真的出現無限條可能的線(不是趨近無限多，是真的無限多種)，導致機率無法計算或是出來的機率無意義。(非數學系，只是憑直覺回答而已，別鞭太大力)
如果圆的半径是1 内接等边三角的边长就是根3 弦的取值范围是0-2 概率不应该是 根3/2 吗
媽咪叔您好，我有一點疑惑想要請教
關於2:17左右所描述的第二種方法，為什麼選中弦比正三角形大的機率是小圓的面積比上大圓的面積，而不是小圓的面積比上小圓與大圓之間的面積呢??
同问
若選的點在小圓內表示弦長比較大，為所求事件。點落在大圓內表示弦長不限制，為全體事件。兩者相除即所求機率。就像你算骰子擲到數字3的機率不會用1除以5而是除以6一樣。
@@louisc398louis4 原來如此，謝謝解惑！！
所以最重要的是勿入了別人的局裹。
内圆的方法，內圆和外环面积之比是1：4，应该是通过內圆和外环的弦的数量的比例，而经过內圆和外环的点画的弦，这个点必须是弦的中点，显然这是额外的附加条件，不能等同面积之比1：4。
这么说的话，小圆和大圆的点都是无穷多，如果找到一一对应的点，那就是1：1哦
'六合彩， 一係中一係唔中，二分之一機會' - 浩南
😂😂😂这就是诠释不严谨导致的误会🤣
簡單說明：因為在圓內構成一弦的結果有無限多種，所以1/3、1/4、1/2其實不夠嚴謹，應視為1/∞
彩票又不同了，本來就是有限的組合，不能相提並論
一个是经典概型，一个是几何概型
伯特蘭悖論 Bertrand paradox
1888年提出
客观的存在怎么会因为人类无法确定导致它的概率是一半呢？唯物论早就讨论过
b站不更新了么？
新的柯南劇場版出現很多有趣科學相關討論
希望媽咪叔能做一些相關的內容～
對該事物訊息量不足導致
题图的源码有吗?
出現不同答案的原因是選弦的機率並不是均等
正如有生命和無生命的機會不是均等
所以答案會反覆橫跳
这里要跟你较真一下。5:15 硬币正面朝上的概率是1/2并不是我们不知道其正反面的力学参数。相反, 我们是在假设正反面的力学参数完全相同的前提下，才有 硬币正面朝上的概率是1/2。要是硬币的重心偏移的话，就不是1/2了。
他的意思應該是不知道拋出去的位置初速、地面情況等吧。
@@louisc398louis4 可能
挺有趣的。 对概率有新认知。
概率是蒙蒙的,手里才是准准的,常听人说前途是光明的道路是曲折的,但实际恰恰相反,前途是曲折的,道路是光明的,
为什么b站不更了
对面看到一女神，追到手的概率是多少呢？
本来嘛，如果人类只研究已经发生的确定事实就没这些问题了。就是事情还没发生，硬要去评估才搞出来的概率论。每个概率问题的scope都是有限的，预设的可能性也是真实世界之中的子集。人们很容易误以为自己定义的那个子集等效于大自然这个全集。
那究竟圆内画玄大于等边三角形的概率是多少？ 不可能同时存在三种答案吧
正確答案就是看哪個方法取的弦是所有弦
抛硬币概率其实类似是实验验证的，而且基于一系列的默认假设。譬如说硬币本身得近似对称，如果我在面贴上点什么东西，明显就变了。还是无知，但是也不是那么无知。
视频中的命题可以用集合论来解决，它不是悖论，而是对无限集合的误解。有个小学五年级的判断题，“偶数的个数比自然数的个数少”。这时教授出来说话了，无限集合的个数问题可不是一个小问题，让小学生来判断是不是脑子瓦特了。同样，这个玄长概率问题，也是也该是无限集合个数问题，只有把这个弄明白了，才能求出真正的概率。
算有關幾何形狀的機率問題不是算點的個數，而是算機率質量函數，也就是給定機率密度的分布才能算，這題的問題就在於沒有說清楚機率密度的分布是如何。
大一普物實驗可以拿來當教材的東西XD
談為什麼抽樣背後是一門機率的學問
非常实用的一期。概率往往是无知的另一面。
转子发动机那集为啥要关闭评论……
我很希望看到这种问题进入到奥数比赛里。
很深奧。
顶一下！！！这也是大部分人投资总是亏损的根本就原因哈哈。。。
当时高中数学成绩尚可，但做概率题就一直是云里雾里，上了大学老师也没讲明白，这才有一点点明白了。
但是用后两种方法选择的弧的每一个的分布不是平均的，还可以被称作随机么。
悖論發生的原因就在於題目沒有定義清楚"隨機"是什麼意思。
關鍵在於 隨機的定義
你用弧的平均程度來解釋第二 第三種方式 說不合理
那 換個角度來看 第一種方式 他在弦中點的分布也是不平均的 在切半徑垂直線的角度來看也是不平均的
結論是題目要定義清楚 這個"隨機"是被什麼參數取樣平均所得
通过半径的垂直线的方法，违背了“任意”的题目要求，弦被限定在了某条半径的垂直线上了。
不矛盾，可以旋转
以前上课的时候闲着转硬币，转一百次，落地有九十次左右总是一面。转了好几个一百次，都这样。。。
你應該好好運用這個硬幣
用來跟同學打賭之類的
@@懶先生 那不是还有十次左右不一样的嘛。同一类硬币都是差不多的几率，这说明我们不在意的没有那么起眼的东西，还是很重要的，特别是赌博工具。。。
我一定是膨胀了，居然点开这位up主的视频。
喔~我好像懂了~~
因為三種方法不一樣所造成的機率也會不一樣，也就是說不同方法取得的概率是不同的，嚴格來說這三題是不同的問題。
告白成功的概率: 答應/ 不答應 = 1/2
由於你不知道她已婚，所以是1/2
但我知道她已婚，所以概率是“零“。
@@lincedar 由於你不知道她的想法，所有是二分之一
@@高傳宗-k7k 你不知道我知道
唉奇怪了 為什麼我的概率都是2/0又或者tan90⁰呢？
如果已婚， 她会背叛丈夫的概率是 1/2
所以成功概率是:
1/2 (背叛体质) * 1/2(选你) = 1/4
🤔
求解释 贝叶斯推断和马尔可夫链蒙特卡洛方法
P( parameters | data) = P(data | parameters) * P(parameters)/ P(data).
事先定义P(parameters). 然后计算出根据数据计算出P(data | parameters)。这样分子部分就有了。
分母部分是必须确保这个分子部分的积分是1，所以这是一个常数。
1.有时算最大值就够了。这个等同于分子部分的最大值。求导分子部分就行。
2.求后验概率（弄出probability density function）。通常用到的方法叫MCMC。其中最具代表性的叫Metropolis hastings算法。这个有点难讲清楚，不过你需要先弄懂accept-reject sampling. 总体思路就是从后验概率取样，再用这些样本来估计population。
话说书包是啥牌子
加一个解法大家乐乐。手边一堆小于圆直径的棒子，长度均匀分布，随机抓一把，其中大于三角形边长的概率是1 - (3^0.5)/2。
你设置了均匀分布的前提。
@@jimmydong3198 是的，原来的三种解法其实也预设了分布
星球的例子，抛硬币的例子理解了。可是圆切线的例子还是不理解，什么是无知的，还是感觉概率应该不是好几个。
那开头那个问题正确的问法是什么才能没有歧义呢？想知道的点个赞坐等大佬回答
如果做实验结果会怎样？
比如在纸上扔木棍
亂數產生條件的問題
亂數因子不客觀造成的結果
圓上任兩點的數量不會切這麼漂亮
这个例子我觉得举得不好。其他行星有没有生物，怎么可能是“没有任何证据进行区分”的呢，明显就是知道不少的啊，小学生都知道哪怕是地球附近的这些行星就没有生命，根据这些行星举一反三这应该几乎是每个人都会做的事情。
三个方法概率密度函数不一样，得积分
结论： 1/4是硅基生命，不算动物也不算植物
不是概率在骗人，而是谈的就不是一个概率。
我们能否长生不老了？就是科学生物相关问题，概率1/2
好题目
啊呀，没有解释为啥3个答案都是对的呀......解释了吗？？？
所以 真正的"隨機"有解了ma?
第一种方法，是用两个随机数去确定弦长。第二种方法，用一个随机数确定弦长。第三种方法，也是用一个随机数，但是这个数的选取是受限的。三种计算方法取随机的办法不同，所以得出的概率不同。这不叫悖论，纯属计算方法有误。
所以一开始的问题 由什么产生那么多答案的？
取決於題幹中的"隨機取一條弦"的"隨機"到底是什麼意思。
這個題目沒有先表明哪些事件的機會相等，就不會有標準答案。
在各種解法當中，被視為"機會均等"的事件是不一樣的。
應該是「隨機取一條弦」是哪一部份隨機。如果是圓周長上的各點機率隨機，就是第一種情況。如果是圓內各取任一點機率隨機，就是第二種情況。如果是圓半徑上任一點機率隨機，那就是第三種情況。
取决于不同的随机条件，每个条件下得到的概率都不一样，结果的不同出在于问题本身。
没解释答案到底是多少啊。。。
三个答案都对，但是每个答案都是有条件成立的，具体说第一个答案是P(A|B),而不是大家以为的P(A)，条件概率的概念。A=在圆上画弦，弦长大于三角形边长，B=用在圆上固定一个顶点的画法画弦。
本來就是題目沒有說清楚，所以都對
贝特朗悖论 = 伯特兰悖论 = Bertrand paradox
柏特蘭悖論
之前取关 油管突然给我推个视频 感谢谷歌感谢妈咪说
差点到死都不知道为啥总输钱
用數學問題探討哲學問題
β贝塔分布 概率的概率
我怀疑是在暗指双标二极管人
不同的概率测度下，概率是不同的
possibility is different from probability.
别走，弦的问题还没说清楚
唉呀，不对呀，那问题的严谨答案是啥？二分一三分一四分一是为什么不一样，没说明呀？
說明就是 問題沒有定義清楚什麼叫"隨機取一條弦"，所以沒有標準答案。
不同取法各自意義上的"隨機"是不同的機率密度分布，所以所求的機率結果就不同。
选股票就是在验证这一悖论
中彩票的概率也是1/2
对，一半中不了，一半中奖却因为彩票公司内部腐败成为中不了。
第一个点选择是不一样的。故意含糊了。
所以才说必须要严谨啊
两种概率的分布不一样
朋友:罗里吧嗦的，听不懂！😂
第一种解法结果应该也是1/2。A弧+C弧的长度虽然是B弧的两倍，但是点的个数是一样多的，参见妈咪说讲得无限多比较的视频。哈哈，当一个悖论遇到另外一个悖论