RÉSOUDRE 3ª − 3ᵇ = 234 - OLYMPIADES de mathématiques
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- Опубликовано: 19 июн 2024
- Nouvelle équation type Olympiade de mathématiques.
Résoudre 3ª − 3ᵇ = 234 avec a et b des nombres entiers.
Cette vidéo fait echo à celle-ci du même état d'esprit 👇
• OLYMPIADE DE MATHÉMATI...
Ce qui est formidable avec vous, c est qu'on ne cesse pas d 'apprendre.Mille mercis professeur.
ce mec est le seul a avoir fait des maths un divertissement
Un peu trop réel cque tu dit la 😨😨
Wow ta résolution est vraiment élégante et visuelle merci pour l’astuce j‘ai moi même ajouté 1 de chaque coté après avoir factorisé 234 et divisé à gauche et à droite par 9 pour utiliser les logarithmes comme log’1= 0 et log 27 = 3 log 3 je me suis retrouvé avec un système dans lequel a - b = 3 et l équation de départ
Je vous jure vous êtes le meilleur vous m’aidez beaucoup continuez !!!!
Merci 😍 Avec plaisir
Une nouvelle fois bon exercice. J'ai bien aimé la résolution et les explications. 👍
Très bonne explication rigoureuse. J'avais deux autres méthodes moins rigoureuses mais plus rapides. La première, j'ai décomposé 234, ce qui donnait effectivement 2x9x13, donc 3^2 était inclus, et il fallait regarder 26. Or 26 c'est évidemment 27-1, donc 234 devenait 3^2 x (3^3 - 1) ce qui en développant donne exactement. 3^5 - 3^2. La deuxième, dans ce genre d'exercice, 3^a sera obligatoirement la puissance de 3 juste au-dessus du résultat (234). En dessous, le résultat devient négatif et au-dessus, l'écart devient trop grand entre 3^a et 3^a-1. Ici, bien entendu, il s'agit de 243 ou 3^5. Puis il restait 9 soit 3^2. Mais mathématiquement parlant, il vaut mieux démontrer le résultat.
Tu étais bien parti mais tu n'as pas vu l'idée qui permettait de conclure rigoureusement. Voici ma solution :
D'abord, on remarque que 234 est multiple de 9 donc on divise tout par 9 pour se ramener à l'équation :
3^(a-2)-3^(b-2)=26.
On va juste poser c=a-2 et d=b-2 et résoudre la nouvelle équation : 3^c-3^d=26.
Puisque la différence est positive ça veut dire que c>d.
Si on suppose que d est au moins égal à 1, alors c aussi, et donc 3^c et 3^d seraient tous les deux divisibles par 3 et donc le premier membre aussi.
Mais ce n'est pas possible car le second membre n'est pas divisible par 3.
Cela montre que la seule possibilité est que d=0, et on se retrouve alors à devoir résoudre : 3^c=27 soit c=3.
Donc en revenant aux inconnues d'origine on a la solution : a=5 et b=2.
@@italixgaming915 Oui bien entendu, maintenant, s'il s'agit d'une olympiade, en général, il est aussi demandé aux participants de trouver la solution assez rapidement, donc lorsqu'on arrive à deviner la solution, cela peut permettre de répondre à toutes les questions, car les oltmpiades se passent dans un temps limité.
@@bernardbrinette5388 Ben justement, c'était évident de diviser par 9... J'ai pas eu à réfléchir pour ça...
Personnellement j'ai rapidement vu que
234 = 243 - 9
= 3⁵ - 3²
Mais je ne pouvais pas être sûr que ce soit l'unique solution
J'ai fait pareil que toi. C'est plus simple et rapide
Grand merci à vous 💯💯🙏🙏🙏🙏
Merci beaucoup pour votre travail !
Bravo encore 1 fois professeur
Superbe démonstration !!
Bonjour,
Ces différents 'problèmes' m'amuser beaucoup et maintiennent mon 'cerveau' en éveil (je suis à la retraite).
Pour celui-ci mes réflexes m'ont amenés à retrouver les racines de 234, soit 3x3x2x13.
Donc 3puissance b ne pouvait qu'être 3x3 (pair + pair égale pair et 3 puissance entier impair d'où le moins 1)
Ensuite 26+1 = 27 donc 3x3x3.
Qq minutes
Bonne journée à tous
tu es un chef !!
Magnifique résolution !
Très bonne explication
Excellent exercice !
Bonjour,
Très bonne analyse des données au départ, mais ensuite il manque un élément de raisonnement pour éliminer b=1 qui est de constater que 78+1=79 n'est pas divisible par 3
encore une fois de plus trop top
Oui comme d'hab, c'est un classique 😅😁🇩🇿🇵🇸
Alors en fait étant loin d’une utilisation régulière et rigoureuse des maths dans ma vie quotidienne, sur ce genre d’équation je passe par la determination par essai successif de la puissance la plus proche du résultat, soit 3^5=243 pour trouver le premier terme, puis le second par différence 9, soit 3^2.
Ça sert à rien mais c’est génial ! J’adore… merci !
C'est exceptionnel ! Une question "hors maths": Avec quel matériel enregistres-tu le son et l'image. Le son est particulièrement bon. Quel éclairage? Merci d'avance et on ne se lasse pas :) :) :)
Pour ce genre d'exercice, on peut passer en base 3, car 3^n devient trivial à écrire (un 1 puis n 0).
234 s'écrit 22 200 en base 3, c'est 100 000 - 100, soit 3^5 - 3^2.
Si ça avait été un signe + dans l'équation je serais moi aussi passé en base 3 mais là il y a un - et ça met la démo par terre. Car il y a un truc que tu n'as plus : tu ne peux plus invoquer l'argument de l'unicité de l'écriture d'un nombre en base 3 pour dire que la solution est unique.
A la place, j'ai tout divisé par 9 et je me suis retrouvé à résoudre 3^c-3^d=26. Et là j'ai utilisé le fait que le deuxième membre n'était pas divisible par 3 pour en déduire que d=0.
oui mais on est pas sur ce genre de considération le gars, là on tente de sauver des élèves en rupture avec les maths
Excellent !
The boss !
3^a − 3^b = 234
3^b (3^(a−b) − 1) = 3^2 × 26
b=2 et 3^(a−b) − 1 = 26
b=2 et 3^(a−2) − 1 = 27 − 1
b=2 et 3^(a−2) − 1 = 3^3 − 1
b=2 et 3^(a−2) = 3^3
b=2 et a−2 = 3
b=2 et a=5
Chapeau! Limpide
Très intéressant, mais pourquoi ne proposez-vous jamais une décomposition classique en facteurs premiers ? C'est peut-être plus scolaire, mais ça rend bien des services. Dans ce cas-si, on trouve très rapidement que 234 ne peut être un multiple que de 3^2, et d'aucune autre puissance de 3.
Pour ma part, j'ai employé une propriété qu'on oublie trop souvent quand on fait des exposant c'est que x^0+x^1+x^2+....+x^n est stricte inférieur à x^(n+1). Du coup, pas de prise de tête, je calcul les exposants de 3 jusqu’à avoir la première valeur strictement plus grande de 234. Du coup :
3^1=3 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=243 et là je suis plus grand que 234. Du coup, 243-234=9 et 9/3=3 donc 3^5-3*3=3^5-3^2=234.
En soit, multiplier par 3, c'est pas compliqué. x*3 c'est x*2+x. Par contre, on aurait mis 7^a-7^b=4941258, j'aurais utilisé la méthode de la vidéo (si jamais c'est 7^8-7^7).
D'ailleurs, chose marante avec les addition des exposants c'est que pour les 2^n, on sait que la somme de 2^0 à 2^n sera égale à 2^(n+1)-1.
Avec 3^n, la somme de 3^0 à 3^n est égale à [3^(n+1)-1]/2
Avec 4^n, la somme de 4^0 à 4^n est égale à [4^(n+1)-1]/3
Idem avec 5^n, [5^(n+1)-1]/4
Je n'ai pas cherché a prouver la formule mais si quelqu'un l'a, je suis preneur. En tout cas, il me semble bien que la somme de x^0 à x^n est égale à [x^(n+1)-1]/[x-1]
Save this man at all costs
il est possible d'effectuer une resolution instantanée , on cherche la puissance de 3 immédiatement superieure à 234 , ici 3^5 =243 convient , par difference avec 234 on trouve 9 qui est 3 au carré et voila
3^a = 234 + 3^b
a = log3(234 + 3^b)
On test les valeur de b car a>b
a = log3(234+3^1) = log3(237) = log3(3*79) = pas entier
a = log3(234+3^2) = log3(243) = log3(3^5) = 5, avec b=2
tu vois bien qu'on discute pas à ce niveau, du coup ton commentaire comment dire? ...
@@michelrigaud9552 "Olympiades Mathématiques"
J'ai fait le même raisonnement
Allez on est presque le million d'abonnés, il manque juste environ 42 mille arrondis au chiffre des unités 😅😂😁🇩🇿🇵🇸
c'est lourd , mettez 234 = 3^5 - 3^2
Waooo ❤❤❤❤❤❤
Bonsoir !
Quand j'ai vu la vignette, je me suis dit "Mince, y'a pas de règle avec les soustractions". Du coup, je suis parti de 234 qui est divisible par 9.
Petit calcul au brouillon : division euclidienne, je trouve 234/9 = 26.
Du coup :
234 = 9 X 26
234 = 3^2 X (27 - 1)
234 = 3^2 X (3^3 - 1)
234 = (3^2 X 3^3) - (3^2 X 1)
234 = 3^5 - 3^2
Conclusion : a=5 et b=2
Mais c'est peut-être moins rigoureux que de partir du membre de gauche.
Trouvé en donnant à chaque coté de la soutraction un nombre divisible par 3, afin de trouver la bonne puissance, je vais voir la vidéo
Je me suis demandé si on pouvait résoudre ça en travaillant en base 3, et en fait, oui. C'est la même logique que le calcul binaire (il ne faut pas oublier le complément à 1 pour le nombre négatif). Je ne sais pas si c'est plus simple, mais c'était rigolo.
Je sais que ce n'est pas une solution, mais pour être rigoureux il n'aurait pas fallu tester b=1 avec 234=3X78 ? Cela aurait ramené à une contradiction avec 3^a=3X79 avec à entier, mais rien ne le dit avant
3^t - 1 n'etant pas un multiple de 3 alors 78, qui lui est multiple de 3, ne peut être considéré.
Belle approche aussi, je ne l'avais pas vue celle là :) Je me disais simplement que ça valait le coup d'être traité d'une façon ou d'une autre (j'ai peut être loupé dans la vidéo)
j'aurais fais quasi pareil, sauf que je serais pas passé d'une équation à 2 inconnue à une autre équation à 2 inconnues:
passage de a & b à b & t...
Merci beaucoup pour vos efforts
Je suis marocain, je n'arrive pas à comprendre une personne qui parle le français très très rapidement, je dois ralentir le son de 25%😅😊
J'ai galéré avec la fonction logarithme pour tenter de faire descendre a et b, et je me suis perdu dans les calculs. 😮💨
Faut vraiment que je révise cette fonction je dois mal l'utiliser.
La mention du théorème de Gauss ne me semblait pas superfétatoire dans cet exercice, à la place des incantation du style "c'est pas possible que" !
Par croissance des puissances de 3, on a nécessairement a>b. Si a est plus grand que 5, alors b vaut au plus 5 et 3^a-3^b>=3^6-3^b>=3^6-3^5=486>234. Donc a vaut au plus 5.
Si a est plus petit que 5, alors 3^a-3^b
Notons quand même au passage que 3^t-1 peut être aussi multiple de 3 ; il suffit de prendre t=0 dans l'exo ce n'est pas le cas parce que t>0 mais c'est mieux de le préciser.
Je n'ai pas fait comme ça mais j'ai trouvé le bon résultat en moins de 5 minutes alors je me dis que ça va... 😄
Super interessant
Mais par contre, on a le droit de transformer l'exposant comme ca.
Je comprends pour faciliter mais je ne saisi pas ce raisonnement pour facilter la tache
De manière un peu différente, pour avoir toutes les solutions dans R, on peut résoudre comme ça :
3^a - 3^b = 234 3^a = 234 + 3^b
ln(3^a) = ln(234 + 3^b)
a*ln(3) = ln(234 + 3^b)
a = ln(234 + 3^b) / ln(3)
a = ln(26*(3^2) + 3^b) / ln(3)
a = ln(3^2(26 + 3^(b-2))) / ln(3)
a = (ln( 3^2 ) + ln(26 + 3^(b-2))) / ln(3)
a = (2*ln( 3 ) + ln(26 + 3^(b-2))) / ln(3)
a = (2*ln(3))/ln(3) + ln(26 + 3^(b-2))/ln(3)
a = 2 + ln(26 + 3^(b-2))/ln(3)
Ainsi, avec cet dernière formule, on peut constater que a tend vers 2 + ln(26)/ln(3) lorsque b tend vers -∞.
On peut aussi facilement remarquer la solution entière en modifiant légèrement la formule :
a = 2 + ln(3^3 -1 + 3^(b-2))/ln(3)
Or ln(3^3)/ln(3)=3*ln(3)/ln(3)=3
Ainsi il faut trouver b, tel que 3^(b-2) = 1, soit b=2. On a alors a=2+3=5.
Pour moi le plus simple est de tester dans un premier temps a la main les puissance de 3, en commençant par trouver la première puissance plus grande que 234 : 3x3=9,9x3=27,27x3=81,81x3=243. On a de la chance, ici ca marche tout de suite, on voit que 243 = 234 + 3x3, donc a=5 et b=2.
On peut aussi trouver des solutions non-entières a ce genre de problèmes en les ramenant a des polynômes, c'est un classique.
Ne t'embête pas, divise tout par 9 dans l'équation d'origine. Tu te retrouves avec une équation du type 3^c-3^d=26. Tu remarques que pour que le premier membre ne soit pas multiple de 3 il faut que d=0 et là tu as fini. Beaucoup plus rapide que la technique de galérien du monsieur.
Joli, et c'est un approche plus large, mais je suis un flemmard donc:
9^2=81 (un par cœur de base)
3*81=243
cool on est bien proche, et la différence avec 234 est de 9.
3*9^2 -3^2=234
donc 3^5-3^2=234
a=5 b=2
=234 tu veux dire.
@@gueratom :D Oh la grosse coquille!
C'est corrigé, merci de l'avoir relevée.
wsh 8 min se sont deja écoulées?
3^(a) - 3^(b) = 234 → on sait que : a > b
3^(a + b - b) - 3^(b) = 234 → on factorise le plus petit : 3^(b)
3^(b) * [3^(a - b) - 1] = 2 * 3 * 3 * 13
3^(b) * [3^(a - b) - 1] = 3^(2) * 26 → on en déduit que : b = 2 et que :
3^(a - b) - 1 = 26
3^(a - b) = 27
3^(a - b) = 3^(3)
a - b = 3
a = 3 + b → et comme : b = 2
a = 5
3^a - 3^b = 234
=> a > b (car a et b entiers)
=> a = b + t
=> 3^(b+t) - 3^b = 3*78
=> 3^b*3^t - 3^b = 3*3*26
=> 3^b(3^t - 1) = 3²*26
=> b=2 et 3^t - 1 = 26
=> 3^t = 27
=> t = 3
=> a = 5
Donc 3^5 - 3^2 = 234
Vérifions :
3^5 - 3^2
= 3*3*3*3*3 - 9
= 9*9*3 - 9
= 81*3 - 9
= 243 - 9
= 234
Trouvé par tâtonnement. Est-ce qu'il faut démontrer sa réponse aux olympiades?
Peu importe la démo, tant qu'elle fonctionne vous pouvez l'utiliser. Aux Olympiades il faut aller vite, donc le choix est vite fait
Une autre méthode: Quelle est la puissance de 3 supérieure à 234 ? 5 car 3^5 = 243; 243-234 = 9 d'où b= 2 et a = 5
3^6 aussi est > à 234 . dans ce cas, comment vous éliminez 6 comme solution pour a ?
Effectivement, j’avais fait comme ça aussi mais de fait, impossible de savoir s’il n’y avait pas d’autres solutions.
J’ai toujours du mal à comprendre pourquoi on n’enseigne plus la décomposition en facteurs premiers. Ici, on trouve aisément: 234=2*3*3*13 et la solution arrive toute seule : b=2, t=3 donc a=5. Pour moi cette décomposition est une des bases de l’arithmétique (nombres premiers, PGCD, PPCM, opérations sur les fractions)
La décomposition en produits de facteurs premiers est enseignée au cours eu cycle 4 (5ème, 4ème et 3ème).
C'est dommage de dire des choses sans vérifier avant... Ça propage de fausses informations...
@@filty4042 Alors pourquoi ne pas l'appliquer plus systématiquement et précisément dans ce cas, au lieu de commencer avec une division par 3. Si on l'enseigne c'est pour l'appliquer et ici c'était le bon cas
@@denisrenaldo3506 Dans la vidéo il fait sa décomposition de manière intelligente. On veut faire apparaître un 3 alors on commence par 3... Il n'y a aucun soucis avec sa décomposition. Je ne comprends pas ce qui vous dérange...
@@filty4042 si c’est ce que vous appelez une décomposition en facteurs premiers… non, il faut commencer par le plus petit 2 (autant que nécessaire), puis 3, 5,…
Cela met en application les critères de divisibilité et la suite des facteurs premiers, la base de l’arithmétique, quoi. Maintenant, une touche de calculatrice suffit… mais c’est une autre histoire.
Ca m'a fort plus, mais c'est une des vidéos les plus tordues ! :) Pas évident ! C'est probablement là qu'on sent qu'on a vieilli ! :)
😅 merci pour le retour
Solve x^a+x^b=N, find all real possible values of x in terms of a, b & N
En calculant rapidement les puissances de 3, le résultat arrive très vite.
On comprend que 3^a doit de toute façon être supérieur à 234.
3, 9, 27, 81, 243
Ha bah tiens 243-9 = 234, nickel
Le raisonnement est incomplet puisque rien ne dit qu’il n’y a pas d’autres puissances de 3 dont la différence donne 234.
Factorisations 3*b
J'ai résolu cette équation par recurrence
Moi j'ai vu que 81x3=243 (puisque 8x3=24), donc j'ai trouvé rapidement que a=5 (car 81=9²=3^4) et b=2 (car 243-234=9=3²)
Si seulement il y avait eu RUclips quand j'étais à l'école (jadis).
Et on exclut la possibilité de b=1 ?
Possibilité que l'on peut exclure par une démonstration par l'absurde en testant b>2 puis b=1 puis b=0.
Ou sinon on peut faire plus élégamment:
On montre que 3^(a-b) - 1 est premier avec 3², du coup théorème de Gauss 13x2 divise 3^(a-b) - 1
De plus 13x2 est premier avec 3^b donc théorème de Gausse encore 3^(a-b) - 1 divise 13x2
l'un divise l'autre du coup 13x2 = 3^(a-b) - 1
Du coup tu as 3^b x13x2 = 3² x13x2
Tu simplifie et tu as alors 3^b = 3² d'où b=2
234=26x9=26*3^2
26=27-1=3^3-3^0
234=(3^3-3^0)*3^2
234=3^5-3^2= 243-9
par tatonement on a une décompostion de 234 = 243 - 9 = 3^a-3^2 donc on isole le a et on trouve 5.
3^a-3^b=3^b*(3^(a-b) -1)
factorisation first:
234=3^2*(2*13)=3^2*26=3^2*(27-1)-3^2(3^3-1)=3^5-3^2
Comment (racine de 5) x (3 racine de 5) = 15 ???
√5 × √5 = 5 😉
@@hedacademy Oh putain !!! Quel bourrin je fais.
Je ne savais pas trop comment compter : pouvais-je dissocier le "3" de "racine de 5" ???
Bein oui, c'est une multiplication.
Moi je prenais ce "3xracine de 5" pour un terme d'un seul bloc, qu'on on ne pouvait pas séparer.
Des fois, je me mettrai des baffes.
On aurait pu directement remarquer que 234 = 243 - 9 = 3^5 - 3^2 donc a=5 et b=2
Une résolution d’équation peut mener à plusieurs solutions. Ce n’est pas parce qu’on en a trouvé une qu’on les a toutes trouvées. Il faut montrer qu’il n’y a pas des puissances de 3 d’exposants plus grands qui ne donnent pas de nouveau 234.
Y a un problème que j'ai pas compris :
4 + 2 =12
6 + 3 = 27
9 + 6 = ?
Perso j'ai besoin qu'on m'eclaircice sur le pourquoi du comment.
Je dirais 90
4+2 = 6 ton problème est faux
La musique de fin 😢
3⁰=1
3¹=3
3²=9
3³=27
3⁴=81
3⁵=243
3⁶=729
a est au maximum 5
243 − 9 = 243
3⁵ − 3² = 243
a=5, b=2
maintenant je regarde la vidéo pour avoir la vraie méthode
C'est simple. 2 fois et demie la moitié d'autant 😂😂😂😂
Pourquoi b=2
On peut démontrer que 3^(a-b) - 1 est premier avec 3²
Du coup théorème de Gauss 13x2 divise 3^(a-b) - 1
De plus 13x2 est premier avec 3^b donc théorème de Gausse encore 3^(a-b) - 1 divise 13x2
l'un divise l'autre du coup 13x2 = 3^(a-b) - 1
Du coup tu as 3^b x13x2 = 3² x13x2
Tu simplifie et tu as alors 3^b = 3² d'où b=2
Il suffit de calculer les premières puissances et on trouve en 1 minute...!
On trouve une solution, mais rien ne dit qu’il n’y en a pas d’autres !
@@girianshiido oui il faut démontrer que c'est la seule mais ça se fait aussi en 10 secondes. Dès la puissance 6, l'écart entre 2 puissances successives est supérieur à 234 donc c'est terminé 🙂
En une seconde sans calcul a=5, b=2.
et du coup vous êtes sur que c'est l'unique solution sans démonstration ?
@@Gryffoon Effectivement, car la fonction 3^x est croissante et ceci est largement suffisant pour prouver l'unicité de la solution proposée. Pour plus de détails : 3^a est plus croissante que 3^b si b < a. Ainsi dans ces conditions la fonction 3^a - 3^b est croissante. Finalement s'il y a une solution à l'égalité demandée cette égalité ne peut être qu'unique. Alors la solution proposée (a, b) = (5, 2) est unique !
@@Khaled.Abdelhafiz 'plus croissante que' n'est pas mathématique de plus 3^a-3^b est une fonction a deux variable on ne peut plus parler de croissance.
Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on torche cette pauvre petite chose insignifiante...
D'abord, on remarque que 234 est multiple de 9 donc on divise tout par 9 pour se ramener à l'équation :
3^(a-2)-3^(b-2)=26.
On va juste poser c=a-2 et d=b-2 et résoudre la nouvelle équation : 3^c-3^d=26.
Puisque la différence est positive ça veut dire que c>d.
Si on suppose que d est au moins égal à 1, alors c aussi, et donc 3^c et 3^d seraient tous les deux divisibles par 3 et donc le premier membre aussi.
Mais ce n'est pas possible car le second membre n'est pas divisible par 3.
Cela montre que la seule possibilité est que d=0, et on se retrouve alors à devoir résoudre : 3^c=27 soit c=3.
Donc en revenant aux inconnues d'origine on a la solution : a=5 et b=2.
Voilà on a fini et le monsieur rame encore.
Je m’excuse c’est plutôt nunuche de savoir que 243 moins 9 fait 234. Qu’est-ce que ça fiche aux olympiades ?
?
@@south5913 ma question est pourquoi ce genre de question est aux Olympiades. Tu ne vas pas me dire que 3 exposant 5 moins 3 exposant 2 était dur à trouver, car ce sont des entiers et forcément des multiples de 3. Tu cherches le multiple de 3 (réduit au fait que c’est pas 3 + 3 mais 3 x 3) et tu dois dépasser 234 puisque c’est une soustraction. 3 x 3, 9 puis x 3, 27 puis 81 puis 243….)
@@eliechaya9690 Mais pour des collégiens qui n'ont jamais eu un seul cours d'arithmétique, ça nécéssite de l'intuition
3^a - 3^b = 234 = 26 (3^2)
3^(a - 2) - 3^(b - 2) = 26
3^(a - 2) = 3^(b - 2) + 26
a = 5, b = 2