Ah la la. À chaque fois que j'entends parler de l'axiome du choix je me souviens de mon prof de spé grondant "On utilise le lemme de Zooooorrrrn", à la façon "C'est le noooorrddd" de Galabru. Superbe vidéo !
+Oscar Gk Bah du point de vue mathématique, l'ensemble des points entre 0 et 1 à la même taille que celui des points entre 0 et l'infini... Encore mieux, tu peux transformer de manière croissante (donc tu conserves l'ordre des machins) et continue (donc tu conserves les voisinages et trucs dans le genre, les localités si tu veux) les éléments du premier en ceux du deuxième ! Et ça c'est "gratuit" : garanti sans axiome du choix ^^
TheMaxtimax encore une fois, cela dépend de la signification donnée au mot «taille»; mais en effet oui, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal)! 😊
Bon, c'est de la vulgarisation, mais il faut au moins un bon niveau de taupe pour comprendre. J'ai cette chance et merci beaucoup, j'avais entendu parler du paradoxe de Banach-Tarski mais enfin aujourd'hui je comprends de quoi il s'agit (enfin j'ai compris en gros, il faudrait que je passe un peu de temps pour les détails). Superbe boulot en tout cas. Les dessins en particulier sont top.
Bravo pour cette explication claire et détaillée. Même si tu passes plus des deux minutes annoncées à l'expliquer, ça vaut le coup. Cela dit, il est probable que Banach et Tarsky auraient sans doute démontré qu'à partir de deux minutes on pouvait confectionner un autre ensemble de deux minutes et que Hilbert nous invitant dans son hôtel aurait facilement étendu tes deux minutes à une infinité....Conclusion, tu as réussi la prouesse inverse de réduire l'infini à 20 minutes....et ça , c'est pas rien!
J'ai une question sur les paradoxes en générale ? que devient le paradoxe de Langevin appliqué au déficit de la france ? Est-ce que si on envoie les banques dans l'espace et qu'elles reviennent on a des taux défiant toute concurrence ?
Ce moment ou tu apprends que El Jj est prof de maths en lycée .-. PLEASE, TEACH ME ! Tu fait vraiment de bonnes vidéos c'est génial, si seulement pouvais y'en avoir encore plus c:
On se sent presque intelligent, et on se prend même à croire qu'on a tout compris en regardant les VDO d'El Jj (enfin, à condition de regarder les VDO dans l'ordre). C'est vraiment ça l'art de la vulgarisation scientifique. Bravo, et merci :-)
Magnifique explication. A mentionner toute fois que sans l'axiome de choix les maths modernes (en particulier l'analyse) ne vaudrait pratiquement rien. Sans l'axiome de choix, on a pas le fameux théorème de Hahn-Banach, qui est le fondement même de l'analyse fonctionnelle "Banachique": Theorème de Krein-Milman, la topologie faible, l'existence de Bases Hilbertienne dans des espaces de Hilbert non séparables...etc. Par conséquent, l'applications des ces notions aux EDP serait remise en question. On aurait pas non plus le théorème de Tychonov sur le produit des compacts ce qui nous ramènerait à l'Age de pierre. Et là je parle pas des théorèmes classiques tels que le théorème de Cantor-Bernstein (sa preuve utilise l'axiome de choix), l'existence d'ensembles et de fonctions mesurables (remarquablement expliqué dans la vidéo), l'existence de supplémentaires d'un sous-espace vectoriel...
Superbement expliqué ! Faut toujours faire pause assez souvent, mais moins que d'habitude. Vos vidéos sont comme le gâteau de Jupiter : on n'en mange que rarement, mais on apprécie toujours !
En fait, je t'encourage à faire des vidéos de 20 minutes et même plus. Mon niveau en maths (L2) fait que j'y passe une heure avec plaisir en faisant pause de temps en temps et j'y reviens plusieurs fois. Merci pour tout
Personnellement, je trouve cette vidéo bien plus claire que la vidéo de VSauce que plusieurs d'entre vous disent avoir appréciée. Ici au moins les difficultés sont moins éludées. Bravo pour ce super travail. Question au passage: quel logiciel utilises-tu pour tes anims?
"Pour cela, on va faire un petit tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert!!!" El Jj 2016, dit le grand manie-tout!!! nah je rigole super vidéo même si j'ai décrocher sur 2 ou 3 détails.
J'avais beaucoup aimé la vidéo de Vsauce sur le sujet, mais j'ai apprécié d'avoir ici droit à une explication plus claire du théorème. Après c'est très sympa parce que je trouve vos deux vidéos très complémentaires. Merci pour tout ce travail !
superbe video je te remercie du fond de mon coeur, je n'avais jamais osé touché a ce théorème mais grace a vous je connais le principe, grand merci encore !!!
Vsauce a quand même passé beaucoup de temps sur la théorie des ensembles de base, ce qui est un désavantage. Jj a déjà traité de ces sujets dans l'autres vidéos (comme l'hôtel de Hilbert)
J'allais dire justement la même chose et je le pense sincèrement. En toute objectivité, VSauce a zappé l'axiome du choix qui est à mon sens central dans ce théorème. Je n'aurai imaginé que cet axiome puisse avoir de telles conséquences.
Excellente vidéo! Peut être même une de tes meilleures! Technique mais compréhensible, bravo ;) Surtout gros pouce bleu pour avoir réussi à condenser tout ça en 20 min
Super. J'ai enfin compris la problématique de l'axiome du choix. En fait cette vidéo m’intéresse plus pour comprendre pourquoi l'axiome du choix pose problème que pour le sujet lui même.
Remarquablement expliqué (comme d'hab !), comme ça va vite il est sage de revoir la vidéo en s'arrêtant de temps en temps ! (comme pour Conway ou pour la triangulation des polygones)
Il y a pas mal d'implications philosophiques dans cet axiome du choix. J'aime bien. Explorer Kurt Goedel et son incomplétude me semble de mise après cela ^^
Passionnant, bravo, vraiment. J'ai peut-être même compris :-p Et j'aime bien le ton plus libre (bonbons, choix déterminant de la couleur de la sphère, côté obscur, partir en vrille). Pas de problème pour le -léger- débordement au-delà des deux minutes. Vitesse de la voix OK aussi pour moi, mais pause nécessaire pour lire les textes détaillés. C'est très bien comme ça. Merci pour ce boulot ; parce que dire sur un ton léger "j'ai deux minutes pour en parler" ne cache pas l'énorme travail de conception et de réalisation. Donc, merci !
Ce n'est pas vraiment un axiome qui "divise" les mathématiciens, cette discussion se limite aux logiciens car les autres l'utilisent. C'est juste qu'on préfère pouvoir exhiber l'objet mais on se contentera largement de l'existence dans les autres cas.
J'adore ce que tu fais c'est juste magnifique !! J'avais jamais compris ce théorème bien que maintenant ceil y ait toujours quelques petites zones d'ombre ça va beaucoup mieux :)
Simplement parfait (pour autant que je sache: je ne connais pas la démonstration mathématique du théorème: oui j'ai pas fait d'étude de math après la spé en prépa intégré)
Un vieux numéro de "pour la science" (Avril 1991??) s'appuyait sur ce paradoxe en déclarant que des scientifiques avaient réussi à découper une vraie boule et de gagner de la matière, qu'ils l'avaient appliqué sur une boule en or et que ça marchait très bien, d'ailleurs le cours de l'or baissait régulièrement à l'époque pour cette raison ;-) . l'article était très bien fait, expliquait très bien le paradoxe et alternait sérieux et canular assez subtilement :)
Alors déjà super vidéo, c'est toujours un plaisir de t'écouter :) (tu félicitera aussi ta copine, sa vidéo est complémentaire et très bonne aussi :p) Pour ce qui est du fait que le découpage soit contre intuitif, si on rappelle que la réalité est composé d'atome (et non pas d'espace plein), on voit bien que ce théorème s'applique uniquement a des objets théoriques, non ?
Merci, superbe vidéo. Il me semble qu’en 14:27 il y a une petite erreur. Un point « NN » (et d’autres séquences de NNN…) apparaît dans la liste en 3e position de l’ensemble « 1+S », ce qui n’est pas possible. Ce n’est que cosmétique…
Je comprends enfin mieux pourquoi je ne comprenais pas ce théorème. Merci pour cette explication. Après perso si ça me permet dans la vraie vie d'avoir d'avoir 2 boules de glace à partir d'une seule, je me dis que c'est la que se limite les maths.
J'ai liké parce que comme d'habitude c'est vraiment super bien fait et j'attends toujours la prochaine avec avidité mais cette fois-ci j'ai pas entravé grand chose :p
bon beh c'est parti alors: recrute une infinité de personnes motivées à sacrifier leur vies et celles de leur déscendant pour faire un gateau rond, le couper avec une aiguille et maintenir les physicien loin du gateau, merci d'avance pour vos réponses.
+MrMopi5000 non, pas une une infinité, juste une poignée suffit sur un temps infini... ou sinon, tu peux demander à un nombre infini de personnes de le faire et ça se passera instantanément, à condition que tout le monde puisse y accéder en même temps (bon, aussi que t'arrive à diviser la matière un nombre de fois infini)
Pour que tout ça paraisse un peu moins paradoxal on a qu'à se dire que ça marche pour des objets mathématiques ''continues'' qui ne possèdent pas réellement de briques élémentaires puisque les points n'ont pas de mesure. Ceci est donc par essence différent de notre monde physique à partir duquel nous forgeons notre intuition et, qui, jusqu'à preuve du contraire est construit à partir de particules élémentaires et non pas de points mathématiques...
4'23" : l'axiome du choix est non évident dès qu'il y a une infinité de tiroirs, on a pas besoin que les tiroirs contiennent eux même une infinité de tiroirs
L'axiome du choix est souvent utilisé en analyse fonctionnelle qui traite d'espaces de Banach ou de Hilbert de dimension infinie, serait-il possible de faire quelque chose dans ce domaine là sans cet axiome ? Par exemple de démontrer le théorème de l'hyperplan sans l'aide du choix ? C'est surtout contre-intuitif parce que l'intervalle mathématique est découpable à l'infini, ce qui n'est pas le cas de l'espace physique ... Quand on a admis ça, ça semble moins aberrant (quoique).
Je n'en parle pas dans la vidéo, mais on retrouve l'axiome du choix pour prouver que tout espace vectoriel admet bien une base. Autrement dit, l'analyse fonctionelle repose en très grande partie sur cet axiome ! Je ne connais pas bien le théorème de Hahn-Banach (théorème de l'hyperplan), donc je ne saurais dire à quel point on peut sans passer (Wikipédia à l'air de dire que le lemme des ultrafiltres est suffisant, mais je n'en sais pas plus)
je pense qu'il existe une preuve directe du théorème de Hahn-Banach géométrique dans le cas des espaces normée sans utiliser l'axiom du choix en particulier le théorème d'hyperplan et vrai sans ZFC, mais pour le cas analytique (le théorème de prolongement) le plus important au fait pour l'analyse fonctionnelle il n'existe pas, mais je sais bien qu'ils ont bien voulu démontrer qu'il ne peut être démontrer sans le lemme de zorn , mais ca reste ouvert.
L'axiome du choix permet aussi de justifier certains trucs intuitifs. Du genre l'existence d'un sur corps clos, ce qui simplifie la vie de tout le monde.
Ce n'est pas complètement vrai de dire que l'axiome du choix implique toujours des théorèmes non intuitifs : si il a finalement été accepté par la communauté mathématique, c'est que c'est lui (et lui seul) qui permet de démontrer le théorème d'existence de base dans un espace vectoriel.
Pas besoin de l'axiome du choix pour démontrer le théorème de la base incomplète en dimension finie. L'axiome du choix n'est nécessaire que pour les ev de dimensions infinie, et ça me semble un peu rapide de dire que la base d'un ev de dimension infinie est quelque chose d'intuitif.
Pour moi, ce que démontre vraiment ce théorème, c'est que les objets non mesurables ne sont pas un prolongement continu des objets mesurables. Et qu'il est donc nécessaire de trouver des conditions de continuité pour pouvoir utiliser des objets non mesurables dans une démonstration sur la mesure. Comme c'est le cas avec les séries qui doivent converger pour être utilisées dans des calculs sur les nombres finis.
On ne peut pas simplement voir le paradoxe de l'axiome du choix comme la limitation de notre intuition (et des objets matériels) aux ensembles discrets ?
Bonjour, merci pour cette vidéo d’une qualité sans pareil, le contenu est tout simplement excellent. Cependant, j’aurais une question par rapport à l’utilisation de l’axiome du choix sur des ensembles indénombrables : Comment dresser une « liste » (9:12) de représentants d’un ensemble indénombrable puisqu’une liste est par nature dénombrable ?
En fait, le problème de l'axiome du choix impliqué à des ensembles infinis vint surtout du fait que les ensembles infinis n'existent pas dans le monde concret. Il n'y a pas une infinité de particules fondamentales qui forment une sphère. Alors qu'il existe une infinité de coordonnées dans la théorie.
celestus69 Pour moi,le seul problème est qu'un point n'a pas une longueur de 0 mais de 1/infini. Évidemment qu'on arrive à un résultat aberrant. Et quoi qu'il en soit, retirer une infinité de point, dans ce cas, reviens à diminuer la longueur,tout comme ajouter une infinité de point augmente la longueur. Pourquoi ça ne marcherait que pour ajouter et pas pour enlever c'est grotesque.
@@Alsh0ck 1/infini n'a pas de solution car l'infini n'est pas un nombre. Il faut donc passer aux limites et et là on dit que ca tend vers 0. La seule division qui fasse un zéro pure est 0/b avec b non nul.
De plus la série 1 +1/2 +1/4 +1/5 +1/6 + ... +1/n (n allant à l'infini) tend vers l'infini. C'est bien que, a jouter "1/infini" n'est pas équivalent à ajouter "0" (sinon elle serait constante).
@@terresoleil67 Non, ça n'a strictement aucun rapport. Pour l'écriture 1/infini ça ne peut effectivement pas s'écrire tel quel dans R, mais c'est l'expression de la personne a qui je répondais pour représenter la longueur d'un point comme "1/nb de points dans un segment de longueur 1". Et c'est justement là qu'il est très important de faire la distinction entre manipuler un ensemble infini, et manipuler la limite d'un calcul qui tend vers l'infini. Ton deuxième commentaire illustre bien ce problème puisque tu sembles considérer que si 1/infini = 0 (c'est le cas) alors la somme des 1/k pour k de 1 à l'infini devrait "s'y conformer". Je ne sais pas exactement ce qui te fait penser ça, donc je préfère ne pas présumer et attendre ton explication. Mais ta conclusion est fausse.
Bonjour, est ce que vous pouvez mettre l'ensemble des théorèmes sur lesquelles vous vous appuyez en description (ou sur votre blog) pour faire vos explications ? Cordialement. PS: Très bonne chaine !
A 0:37, vous dites que "la décomposition ne fait intervenir que des isométries, c'est-à-dire des déplacements et des rotations". Mais une rotation est un déplacement.
Merci beaucoup pour ces explications précieuses. Un point que je ne suis pas sûr de comprendre, le point fixe, évoqué : 17:25. Pouvez-vous expliquer géométriquement que la rotation N suivie de la rotation O ramène au point A car je n'arrive pas à m'en convaincre ? En effet voici ce que j'obtiens en calculant la position finale en coordonnées cartésiennes après ces déplacements sur la sphère : On considère un point de coordonnées cartésiennes initiales (x0, y0, z0) Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques se fait par: x = cos(φ)cos(θ) y = cos(φ)sin(θ) z = sin(φ) Après le déplacement α vers l'ouest, les nouvelles coordonnées sphériques sont (θ1, φ1) avec : θ1 = θ0 - α φ1 = φ0 D'où les nouvelles coordonnées cartésiennes (x1, y1, z1): x1 = cos(φ1)cos(θ1) = cos(φ0)cos(θ0 - α) y1 = cos(φ1)sin(θ1) = cos(φ0)sin(θ0 - α) z1 = sin(φ1) = sin(φ0) Puis après le déplacement α vers le nord, les coordonnées sphériques finales sont (θ2, φ2) avec: θ2 = θ1 φ2 = φ1 + α Les coordonnées cartésiennes finales (x2, y2, z2) sont donc: x2 = cos(φ2)cos(θ2) = cos(φ0 + α)cos(θ0 - α) y2 = cos(φ2)sin(θ2) = cos(φ0 + α)sin(θ0 - α) z2 = sin(φ2) = sin(φ0 + α) On retrouve bien que (x2, y2, z2) ≠ (x0, y0, z0), le point n'est pas revenu à sa position initiale. Où est mon erreur ?
Merci pour la vidéo ! Par contre attention : le rejet de la démonstration par l'absurde c'est le tiers exclu, tandis que "toute proposition est soit vraie soit fausse" est la bivalence.
J'avais eu une idée qui ne marche pas finalement. Si la boule s'appelle B, on dit que B1 est l'ensemble des points de B tel que les 3 coordonnées sont irrationnelles, et que B2=B\B1. Mais dans mon exemple B2 n'est pas mesurable bien que très dense. Sinon, questions : 1) A la fin les deux boules sont de volume équivalent à la première boule ? 2) Peut-on réitérer le processus su les 2 boules obtenues pour les dupliquer encore ? Combien de fois ? Un nombre infini de fois ? Indénombrable de fois ? 3) Disons que la réponse à la question 1 est oui, ne peut-on pas faire quelque chose pour rendre compte de cette perte d'éléments ? Par exemple la masse, êtes-vous d'accord que la masse de la boule = la somme des masses des 2 boules. Non ? Ou sinon quelle autre type de "mesure" peut rendre compte de cette division ?
Merci beaucoup. Je ne peux m'empêcher de compléter cet exposé par un fait que j'ai appris récemment à ce sujet et qui m'a bouleversé. La théorie des lieux (traduction d'Olivier Leroy pour l'anglais "locales") permet de rendre plus harmonieuse la théorie des espaces topologiques, en ajoutant pas mal de protagonistes qu'on ne voit pas à première vue. C'est comme quand on se demande si tout polynôme de degré 4 admet exactement 4 racines. Qu'en est-il de (X²+1)², par exemple ? Dans les réels, il y a 0 racine. Dans les complexes, il y en a 2. Et dans les complexes avec multiplicité, on voit enfin les 4 racines. Eh bien, dans un travail intitulé "Théorie de la mesure sur les lieux réguliers ou Les intersections cachées dans le paradoxe de Banach-Tarski", Olivier Leroy a montré qu'on pouvait mesurer toutes les parties (et même tous les sous-lieux) de l'espace euclidien de façon satisfaisante. Mais... pourquoi cela ne contredit-il pas le paradoxe de Banach-Tarski ? La réponse est que la théorie des lieux introduit notamment des ensembles qui, quoique non-vides, ne contiennent aucun point. Il s'avère que quand on se donne des morceaux de la décomposition paradoxale, l'intersection de deux morceaux sera typiquement de ce type : aucun point dans l'intersection, mais pas mal de "matière cachée" néanmoins. Et tellement de telle matière qu'il faut lui assigner une masse non-nulle ! Une fois cette masse prise en compte, tout rentre dans l'ordre et l'existence du volume pour des parties arbitraires démontrée par Leroy ne contredit en rien le paradoxe de Banach-Tarski. :-)
@@DanielBWilliams Non-non, on travaille bien dans ZFC ! C'est juste qu'on n'y formalise pas R^n en termes d'espaces topologiques mais en d'autres termes (en termes de "lieux", ou "locales"). En gros, il s'agit de considérer que la notion d'ouvert est plus primitive que celle de point... Voir : hal.archives-ouvertes.fr/hal-00741126/document Notamment, les pages 4, 6 et la Définition 1 de la page 28 (pages données dans la numérotation pdf ; la page 4 est donc "Introduction"). Il s'agit d'une forme de théorie algébrique de la mesure. L'auteur, Olivier Leroy, est un ancien élève de Grothendieck. Pour se familiariser avec le concept d'ensemble non-vide mais sans point, voir : clicprof.free.fr/IMG/pdf/topos_shadoks.pdf Pour une évocation de la notion de topos, voir : www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/grothendieck-un-heritage-mathematique-fertile-9237.php Les topoï (pluriel de topos) sont selon Grothendieck la notion la plus importante qu'il ait introduite (avec les motifs), ainsi que la plus vaste. Elle permet par exemple d'unifier théorie des groupes et topologie ; géométrie continue et géométrie arithmétique ; géométrie et logique... La théorie des lieux est un échantillon des mathématiques de Grothendieck qui ne rôde pas infiniment loin de ce concept. Enfin, je signale une autre façon de dissoudre Banach-Tarski, qui n'a rien à voir avec celle de Grothendieck. Si on complète ZF non pas avec l'axiome du choix mais avec l'axiome de détermination, on peut démontrer non seulement que l'axiome du choix mais aussi que toute partie de R^n est Lebesgue-mesurable au sens usuel. (Noter que, sauf erreur de ma part, dans ZF sans axiome supplémentaire, et donc en particulier dans toute théorie contenant ZF, on peut démontrer par récurrence transfinie que l'ensemble des boréliens de R est en bijection avec R.) Les paradoxes de Vitali et de Banach-Tarski sont faux dans ZF+Détermination. Ce qui est beau dans la solution interne à ZFC, c'est que les décompositions paradoxales, quoique vraies, n'empêchent pas de définir une théorie harmonieuse du volume néanmoins, en adoptant un point de vue plus algébrique sur la topologie.
@@DanielBWilliams Profitez bien :-D En vérité, les passages que je cite de Leroy ne sont pas tout à fait suffisants pour se faire une idée. Pour comprendre comment on définit la mesure sur tous les sous-lieux (ce qui est fait juste après la définition de mesure), encore faut-il comprendre ce qu'est un sous-lieu, et comment cette notion interagit avec celle de voisinage. Un très bon exercice une fois lue la définition de lieu, c'est de chercher à donner un sens à ce que serait un lieu vide, à ce qu'est un point, et enfin à construire un prototype simple de lieu non-vide mais sans point...
Super vidéo (comme toujours) mais je me demandais si ce théorème (ou un autre équivalent) permettrait de faire la même chose avec n'importe quelle figure (cube, tore, pyramide quelconque, ...) ou si la symétrie qu'offre la sphère (et qui est bien pratique lorsqu'on parle de rotation) rend ce tour de mathématiques propre à la sphère ?
Avec la sphère, 5 morceaux suffisent. Mais le théorème a des variantes qui s'appliquent à n'importe quel solide. Il existe ainsi une façon de découper un petit pois de façon à ce que, une fois les pièces recomposées, on obtiennent quelque chose de la taille du Soleil ! Par contre, cela ne s'applique qu'aux figure 3D (et dimensions supplémentaires), il a été démontré que le paradoxe de Banach-Tarski n'arrive jamais aux figures planes.
Mais du coup, pour être sûr de bien comprendre, il existe un théorème qui permet de dupliquer, à la manière de nos vieux compère Banach-Tarski et Hutch, des cubes, des hyper-tores, ou n'importe quel polyèdre de dimension supérieure à trois (et même plus que des polyèdre puisque la boule n'en est pas un) ?
El Jj, je viens de découvrir ta chaîne, que je trouve très intéressante, merci !!! J'aurais une question sur la dénombrabilité des décimaux entre 0 et 1 à la minute 7:23 : où place-t-on le nombre 0,01 par exemple dans la séquence donnée ?
Il viendra juste après 0.99, et avant 0.02, 0.03, ... (A noter que j'ai mis pour simplifier seulement les décimaux positifs, on peut intégrer les négatifs en faisant la même liste en alternant positifs et négatifs : 0, 0.1, -0.1, 0.2, -0.2, etc.)
@@ElJj Ah merci ! Et donc pour la suite, après 0,09 (à ce moment-là tous les nombres avec 2 chiffres après la virgule auront été listés) il suffirait de reprendre les éléments déjà listés et rajouter 1, 2, ... , 9, 0 dans l'ordre pour obtenir les nombres avec 3 chiffres après la virgule, c'est bien ça ?
![GEEK TIMË [OFFICIAL AUDIO]](http://i.ytimg.com/vi/ry-6RvkH880/mqdefault.jpg)
Devinette : vous connaissez une bonne anagramme de Banach-Tarski ?
Réponse : Banach-Tarski Banach-Tarski.
Pas mal XD
T'as fait ma journée ! 😂😂
Devinette : Que veut dire le B de Benoît B. Mandelbrot ?
Réponse : Benoît B. Mandelbrot.
Pas maaal les gars !!
(Instant chiant : on dit "un" anagramme ;))
@@ahcensoufi9923ben non, c'est bien féminin (je viens de vérifier, parce que ça me choquait aussi).
Ah la la. À chaque fois que j'entends parler de l'axiome du choix je me souviens de mon prof de spé grondant "On utilise le lemme de Zooooorrrrn", à la façon "C'est le noooorrddd" de Galabru.
Superbe vidéo !
À quand la prochaine vidéo Mickaël ? 😊
+Oscar Gk Tout dépend de ce que tu désignes par le mot «loin». ;)
+Oscar Gk Bah du point de vue mathématique, l'ensemble des points entre 0 et 1 à la même taille que celui des points entre 0 et l'infini... Encore mieux, tu peux transformer de manière croissante (donc tu conserves l'ordre des machins) et continue (donc tu conserves les voisinages et trucs dans le genre, les localités si tu veux) les éléments du premier en ceux du deuxième ! Et ça c'est "gratuit" : garanti sans axiome du choix ^^
Moi c'est plus mon prof de sup qui nous dit "On va faire une Zornette" qui m'a marqué
TheMaxtimax encore une fois, cela dépend de la signification donnée au mot «taille»; mais en effet oui, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal)! 😊
quel est l'anagramme de Banach-Tarski?
c'est Banach-Tarski Banach-Tarski!
lol ...
XD
Elle est bonne, je la conaissais pas ^^
J’ai pas compris ...
Frank Danielou regarde la video.
Bon, c'est de la vulgarisation, mais il faut au moins un bon niveau de taupe pour comprendre. J'ai cette chance et merci beaucoup, j'avais entendu parler du paradoxe de Banach-Tarski mais enfin aujourd'hui je comprends de quoi il s'agit (enfin j'ai compris en gros, il faudrait que je passe un peu de temps pour les détails). Superbe boulot en tout cas. Les dessins en particulier sont top.
@@csanad28 mdr
Ça dépend
J'éprouve toujours la même satisfaction en re-regardant tes vidéos.
Bravo pour cette explication claire et détaillée. Même si tu passes plus des deux minutes annoncées à l'expliquer, ça vaut le coup. Cela dit, il est probable que Banach et Tarsky auraient sans doute démontré qu'à partir de deux minutes on pouvait confectionner un autre ensemble de deux minutes et que Hilbert nous invitant dans son hôtel aurait facilement étendu tes deux minutes à une infinité....Conclusion, tu as réussi la prouesse inverse de réduire l'infini à 20 minutes....et ça , c'est pas rien!
Très bon commentaire
J'ai une question sur les paradoxes en générale ? que devient le paradoxe de Langevin appliqué au déficit de la france ? Est-ce que si on envoie les banques dans l'espace et qu'elles reviennent on a des taux défiant toute concurrence ?
Marrant j'avais fait le même commentaire ^^
Ce moment ou tu apprends que El Jj est prof de maths en lycée .-. PLEASE, TEACH ME ! Tu fait vraiment de bonnes vidéos c'est génial, si seulement pouvais y'en avoir encore plus c:
Je vais directement commander une glace à 2 boules, ce sera plus simple !!
(sinon super video :) )
Ha super j’hésitais à le faire celui la, ba maintenant je n’hésite plus c'est déjà très bien fait ici :p
On se sent presque intelligent, et on se prend même à croire qu'on a tout compris en regardant les VDO d'El Jj (enfin, à condition de regarder les VDO dans l'ordre). C'est vraiment ça l'art de la vulgarisation scientifique. Bravo, et merci :-)
Les vrais se souviennent quand les vidéos faisaient vraiment 2 minutes
ca doit faire vraiment longtemps alors xD
Pas pour moi j'etais oblige de faire pause toutes les 2s et la juste pour les definitions xD
La !
Quelque chose de compliqué expliqué simplement. Géniale comme toujours :)
L'inverse est toujours possible....
Magnifique explication. A mentionner toute fois que sans l'axiome de choix les maths modernes (en particulier l'analyse) ne vaudrait pratiquement rien. Sans l'axiome de choix, on a pas le fameux théorème de Hahn-Banach, qui est le fondement même de l'analyse fonctionnelle "Banachique": Theorème de Krein-Milman, la topologie faible, l'existence de Bases Hilbertienne dans des espaces de Hilbert non séparables...etc. Par conséquent, l'applications des ces notions aux EDP serait remise en question. On aurait pas non plus le théorème de Tychonov sur le produit des compacts ce qui nous ramènerait à l'Age de pierre. Et là je parle pas des théorèmes classiques tels que le théorème de Cantor-Bernstein (sa preuve utilise l'axiome de choix), l'existence d'ensembles et de fonctions mesurables (remarquablement expliqué dans la vidéo), l'existence de supplémentaires d'un sous-espace vectoriel...
Superbement expliqué ! Faut toujours faire pause assez souvent, mais moins que d'habitude.
Vos vidéos sont comme le gâteau de Jupiter : on n'en mange que rarement, mais on apprécie toujours !
En fait, je t'encourage à faire des vidéos de 20 minutes et même plus. Mon niveau en maths (L2) fait que j'y passe une heure avec plaisir en faisant pause de temps en temps et j'y reviens plusieurs fois.
Merci pour tout
J'adore tellement tes vidéos, à chaque fois j'ai envie de mettre un énorme cœur plutôt qu'un pouce !
Ils sont formidables ces matheux quand même 😊
Personnellement, je trouve cette vidéo bien plus claire que la vidéo de VSauce que plusieurs d'entre vous disent avoir appréciée. Ici au moins les difficultés sont moins éludées. Bravo pour ce super travail.
Question au passage: quel logiciel utilises-tu pour tes anims?
Je suis vraiment épaté par vos qualités pédagogiques !
Merci 😊
"Pour cela, on va faire un petit tour de passe-passe façon hôtel de Hilbert!!!" El Jj 2016, dit le grand manie-tout!!! nah je rigole super vidéo même si j'ai décrocher sur 2 ou 3 détails.
J'avais beaucoup aimé la vidéo de Vsauce sur le sujet, mais j'ai apprécié d'avoir ici droit à une explication plus claire du théorème. Après c'est très sympa parce que je trouve vos deux vidéos très complémentaires. Merci pour tout ce travail !
Excellent travail, les 20 minutes sont passés à une vitesse phénoménale et j'ai adoré cette vidéo ! Vivement la prochaine !
C'est toujours avec plaisir que je retrouve tes vidéos fascinantes qui me donnent envie de retourner en prépa. :D Continue comme ça !!!
superbe video je te remercie du fond de mon coeur, je n'avais jamais osé touché a ce théorème mais grace a vous je connais le principe, grand merci encore !!!
Super ! Tu es vachement plus convaincant que VSauce :)
Vsauce a quand même passé beaucoup de temps sur la théorie des ensembles de base, ce qui est un désavantage. Jj a déjà traité de ces sujets dans l'autres vidéos (comme l'hôtel de Hilbert)
J'ai du mal à imaginer comment on peut être meilleur que Vsauce, mais je prend ça comme un énorme compliment ! :)
+El Jj J'allais justement te le dire !
J'allais dire justement la même chose et je le pense sincèrement.
En toute objectivité, VSauce a zappé l'axiome du choix qui est à mon sens central dans ce théorème.
Je n'aurai imaginé que cet axiome puisse avoir de telles conséquences.
+El Jj à cause de tes 42 (j"ai perdu) j"ai perdu plein de fois et toi aussi
Excellent ! heureux de toujours découvrir de nouvelles choses avec cette chaîne !
Excellente vidéo! Peut être même une de tes meilleures! Technique mais compréhensible, bravo ;) Surtout gros pouce bleu pour avoir réussi à condenser tout ça en 20 min
Enfin un nouvel épisode! :)
Super boulot. La présentation est plus formelle que d'habitude, continue comme ça
Enooooooooooooorme ! C'est rapide, entraînant, détaillé et très compréhensible ! Un orgasme pour tout matheux boulimique comme moi
Super. J'ai enfin compris la problématique de l'axiome du choix. En fait cette vidéo m’intéresse plus pour comprendre pourquoi l'axiome du choix pose problème que pour le sujet lui même.
Remarquablement expliqué (comme d'hab !), comme ça va vite il est sage de revoir la vidéo en s'arrêtant de temps en temps ! (comme pour Conway ou pour la triangulation des polygones)
deux minute deux minute, la vache, j'ai du regarder la vidéo 2-3 fois pour "comprendre", en tout cas c'est super intéressant. continue comme ça !
Et merci pour la FAQ sur le blog.
(en particulier le dernier point !)
Chapeau ! vous avez été clair, vos explications sont claires comme l'eau de roche.
Mon problème le jour de l'agrèg...j'avais rien pipé!
Merci El Jj pour cet excellent exposé!
tjrs un vrai plaisir d'avoir une nouvelle vidéo de toi. le chemin est un peu compliqué mais la balade est belle ^^
Il y a pas mal d'implications philosophiques dans cet axiome du choix.
J'aime bien.
Explorer Kurt Goedel et son incomplétude me semble de mise après cela ^^
Passionnant, bravo, vraiment.
J'ai peut-être même compris :-p
Et j'aime bien le ton plus libre (bonbons, choix déterminant de la couleur de la sphère, côté obscur, partir en vrille).
Pas de problème pour le -léger- débordement au-delà des deux minutes.
Vitesse de la voix OK aussi pour moi, mais pause nécessaire pour lire les textes détaillés. C'est très bien comme ça.
Merci pour ce boulot ; parce que dire sur un ton léger "j'ai deux minutes pour en parler" ne cache pas l'énorme travail de conception et de réalisation.
Donc, merci !
Waw je trouve ça passionnant de t'écouter parler de mathématiques, continue comme ça !
Ce n'est pas vraiment un axiome qui "divise" les mathématiciens, cette discussion se limite aux logiciens car les autres l'utilisent. C'est juste qu'on préfère pouvoir exhiber l'objet mais on se contentera largement de l'existence dans les autres cas.
Ohhh j’adore les paradoxes ! Merci pour cette passionnante et excellente vidéo !
Merci pour cette explication !
J'avais entendu parler de ce théorème en sup, mais je ne m'y étais jamais penché.
J'adore ce que tu fais c'est juste magnifique !! J'avais jamais compris ce théorème bien que maintenant ceil y ait toujours quelques petites zones d'ombre ça va beaucoup mieux :)
le jambon c'est très bon! ardu l'épisode, mais toujours bien expliqué comme toujours.
Très bien foutue cette vidéo, car le sujet est vachement difficile à vulgariser. Bravo!
merci pour cette vidéo
il faut quand même avoir une imagination hors norme pour mettre au point un tel protocole
Simplement parfait (pour autant que je sache: je ne connais pas la démonstration mathématique du théorème: oui j'ai pas fait d'étude de math après la spé en prépa intégré)
Tiens à 10:41, voilà qu'apparait un bonbon RATTATA.
Est-ce un hasard?
Je ne crois pas...
J'adore ta manière de présenter l'action de groupe paradoxale
Un vieux numéro de "pour la science" (Avril 1991??) s'appuyait sur ce paradoxe en déclarant que des scientifiques avaient réussi à découper une vraie boule et de gagner de la matière, qu'ils l'avaient appliqué sur une boule en or et que ça marchait très bien, d'ailleurs le cours de l'or baissait régulièrement à l'époque pour cette raison ;-) . l'article était très bien fait, expliquait très bien le paradoxe et alternait sérieux et canular assez subtilement :)
vraiment cool, ce théorème
Regarder la vidéo au Lycée ne pas comprendre, revenir 4 ans plus tard et comprendre, quel bonheur !
Oh super ! Moi qui avait du regarder la vidéo de VSauce 3 fois pour comprendre cette histoire ...
Super vidéo, comme d'habitude !
Super vidéo. Ces mecs ont inventés le troll mathématique :). Petit typo à 9:18 -> Parmi de qu'il reste. A bientôt !
Merci !
j'comprends enfin ( un peu ) l'axiome du choix !
Alors déjà super vidéo, c'est toujours un plaisir de t'écouter :) (tu félicitera aussi ta copine, sa vidéo est complémentaire et très bonne aussi :p)
Pour ce qui est du fait que le découpage soit contre intuitif, si on rappelle que la réalité est composé d'atome (et non pas d'espace plein), on voit bien que ce théorème s'applique uniquement a des objets théoriques, non ?
Merci, superbe vidéo. Il me semble qu’en 14:27 il y a une petite erreur. Un point « NN » (et d’autres séquences de NNN…) apparaît dans la liste en 3e position de l’ensemble « 1+S », ce qui n’est pas possible. Ce n’est que cosmétique…
Merci pour cette vidéo qui est remarquable !
Trop bien ! Ça me rappelle la fac, quand je faisais des VRAIES maths...
Je comprends enfin mieux pourquoi je ne comprenais pas ce théorème.
Merci pour cette explication.
Après perso si ça me permet dans la vraie vie d'avoir d'avoir 2 boules de glace à partir d'une seule, je me dis que c'est la que se limite les maths.
J'ai liké parce que comme d'habitude c'est vraiment super bien fait et j'attends toujours la prochaine avec avidité mais cette fois-ci j'ai pas entravé grand chose :p
si j'ai bien compris, on peut pas dupliquer le gateau sauf si on le coupe avec une aiguille et beaucoup de temps, c'est bien ca ?
C'est bien ça, mais le temps en question doit être infini !
Et qu'il n'y ait pas de physicien un peu aigris dans les parages pour te brûler en place publique au nom du sacro saint sens physique.
bon beh c'est parti alors: recrute une infinité de personnes motivées à sacrifier leur vies et celles de leur déscendant pour faire un gateau rond, le couper avec une aiguille et maintenir les physicien loin du gateau, merci d'avance pour vos réponses.
+MrMopi5000 non, pas une une infinité, juste une poignée suffit sur un temps infini... ou sinon, tu peux demander à un nombre infini de personnes de le faire et ça se passera instantanément, à condition que tout le monde puisse y accéder en même temps (bon, aussi que t'arrive à diviser la matière un nombre de fois infini)
Après dans un gâteau il n’y a qu’un nombre fini d’atomes du coup...
Pour que tout ça paraisse un peu moins paradoxal on a qu'à se dire que ça marche pour des objets mathématiques ''continues'' qui ne possèdent pas réellement de briques élémentaires puisque les points n'ont pas de mesure. Ceci est donc par essence différent de notre monde physique à partir duquel nous forgeons notre intuition et, qui, jusqu'à preuve du contraire est construit à partir de particules élémentaires et non pas de points mathématiques...
Merci :)
Du super boulot comme d'habitude
Superbe video, merci à toi j'espère te voir ici pour longtemps :p
4'23" : l'axiome du choix est non évident dès qu'il y a une infinité de tiroirs, on a pas besoin que les tiroirs contiennent eux même une infinité de tiroirs
"ça tombe bien j'ai 20 minutes pour en parler"
Super vidéo comme d'habitude 😉 j'aimerais bien savoir quelles études tu as fait 😁
Pet--tu devenir mon prof de maths, c'est fou comment t peux expliquer clairement!
Ne serait-il pas plus sage, alors, de limiter l’usage de l’axiome du choix, par exemple, aux ensembles dénombrables ?
Très bien expliqué ! Beau boulot :)
Super épisode ! chapeau !
3:44 un théorème vraiment cool
Là ca deviens un chouia trop complexe pour mon cerveau
L'axiome du choix est souvent utilisé en analyse fonctionnelle qui traite d'espaces de Banach ou de Hilbert de dimension infinie, serait-il possible de faire quelque chose dans ce domaine là sans cet axiome ? Par exemple de démontrer le théorème de l'hyperplan sans l'aide du choix ?
C'est surtout contre-intuitif parce que l'intervalle mathématique est découpable à l'infini, ce qui n'est pas le cas de l'espace physique ... Quand on a admis ça, ça semble moins aberrant (quoique).
Je n'en parle pas dans la vidéo, mais on retrouve l'axiome du choix pour prouver que tout espace vectoriel admet bien une base. Autrement dit, l'analyse fonctionelle repose en très grande partie sur cet axiome ! Je ne connais pas bien le théorème de Hahn-Banach (théorème de l'hyperplan), donc je ne saurais dire à quel point on peut sans passer (Wikipédia à l'air de dire que le lemme des ultrafiltres est suffisant, mais je n'en sais pas plus)
Oh, je vais me renseigner sur ces ultrafiltres, merci bien !
je pense qu'il existe une preuve directe du théorème de Hahn-Banach géométrique dans le cas des espaces normée sans utiliser l'axiom du choix en particulier le théorème d'hyperplan et vrai sans ZFC, mais pour le cas analytique (le théorème de prolongement) le plus important au fait pour l'analyse fonctionnelle il n'existe pas, mais je sais bien qu'ils ont bien voulu démontrer qu'il ne peut être démontrer sans le lemme de zorn , mais ca reste ouvert.
Et pour montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie admet une base il faut aussi l'axiome du choix ?
non la preuve est direct dans ce cas
Haha pile quand le dernier xkcd (le n°1724) parle de l'axiome du choix ! :D
j'adore tes vidéos, puis-je te demander quelles études as-tu faites ?
Quel est l'anagramme de Banach Tarski ? Banach Tarski Banach Tarski.
Sinon peut-être l'une de tes meilleures vidéos !
Trop intéressant merci beaucoup !
L'axiome du choix permet aussi de justifier certains trucs intuitifs. Du genre l'existence d'un sur corps clos, ce qui simplifie la vie de tout le monde.
Ce n'est pas complètement vrai de dire que l'axiome du choix implique toujours des théorèmes non intuitifs : si il a finalement été accepté par la communauté mathématique, c'est que c'est lui (et lui seul) qui permet de démontrer le théorème d'existence de base dans un espace vectoriel.
Pas besoin de l'axiome du choix pour démontrer le théorème de la base incomplète en dimension finie. L'axiome du choix n'est nécessaire que pour les ev de dimensions infinie, et ça me semble un peu rapide de dire que la base d'un ev de dimension infinie est quelque chose d'intuitif.
Pour moi, ce que démontre vraiment ce théorème, c'est que les objets non mesurables ne sont pas un prolongement continu des objets mesurables. Et qu'il est donc nécessaire de trouver des conditions de continuité pour pouvoir utiliser des objets non mesurables dans une démonstration sur la mesure. Comme c'est le cas avec les séries qui doivent converger pour être utilisées dans des calculs sur les nombres finis.
On ne peut pas simplement voir le paradoxe de l'axiome du choix comme la limitation de notre intuition (et des objets matériels) aux ensembles discrets ?
Bonjour, merci pour cette vidéo d’une qualité sans pareil, le contenu est tout simplement excellent.
Cependant, j’aurais une question par rapport à l’utilisation de l’axiome du choix sur des ensembles indénombrables :
Comment dresser une « liste » (9:12) de représentants d’un ensemble indénombrable puisqu’une liste est par nature dénombrable ?
En fait, le problème de l'axiome du choix impliqué à des ensembles infinis vint surtout du fait que les ensembles infinis n'existent pas dans le monde concret.
Il n'y a pas une infinité de particules fondamentales qui forment une sphère.
Alors qu'il existe une infinité de coordonnées dans la théorie.
celestus69 Pour moi,le seul problème est qu'un point n'a pas une longueur de 0 mais de 1/infini. Évidemment qu'on arrive à un résultat aberrant.
Et quoi qu'il en soit, retirer une infinité de point, dans ce cas, reviens à diminuer la longueur,tout comme ajouter une infinité de point augmente la longueur. Pourquoi ça ne marcherait que pour ajouter et pas pour enlever c'est grotesque.
@@phileas2283 1/infini = 0
Pas un tout petit quelque chose. Zéro.
@@Alsh0ck 1/infini n'a pas de solution car l'infini n'est pas un nombre. Il faut donc passer aux limites et et là on dit que ca tend vers 0. La seule division qui fasse un zéro pure est 0/b avec b non nul.
De plus la série 1 +1/2 +1/4 +1/5 +1/6 + ... +1/n (n allant à l'infini) tend vers l'infini. C'est bien que, a jouter "1/infini" n'est pas équivalent à ajouter "0" (sinon elle serait constante).
@@terresoleil67 Non, ça n'a strictement aucun rapport.
Pour l'écriture 1/infini ça ne peut effectivement pas s'écrire tel quel dans R, mais c'est l'expression de la personne a qui je répondais pour représenter la longueur d'un point comme "1/nb de points dans un segment de longueur 1". Et c'est justement là qu'il est très important de faire la distinction entre manipuler un ensemble infini, et manipuler la limite d'un calcul qui tend vers l'infini.
Ton deuxième commentaire illustre bien ce problème puisque tu sembles considérer que si 1/infini = 0 (c'est le cas) alors la somme des 1/k pour k de 1 à l'infini devrait "s'y conformer". Je ne sais pas exactement ce qui te fait penser ça, donc je préfère ne pas présumer et attendre ton explication. Mais ta conclusion est fausse.
Très bonne vidéo, merci.
Bonjour, est ce que vous pouvez mettre l'ensemble des théorèmes sur lesquelles vous vous appuyez en description (ou sur votre blog) pour faire vos explications ? Cordialement. PS: Très bonne chaine !
A 0:37, vous dites que "la décomposition ne fait intervenir que des isométries, c'est-à-dire des déplacements et des rotations". Mais une rotation est un déplacement.
non, un déplacement est en fait ici une translation
Super vidéo ! Plus formel que Vsauce, c'est plutôt bien, bravo !!
Merci beaucoup pour ces explications précieuses. Un point que je ne suis pas sûr de comprendre, le point fixe, évoqué : 17:25. Pouvez-vous expliquer géométriquement que la rotation N suivie de la rotation O ramène au point A car je n'arrive pas à m'en convaincre ?
En effet voici ce que j'obtiens en calculant la position finale en coordonnées cartésiennes après ces déplacements sur la sphère :
On considère un point de coordonnées cartésiennes initiales (x0, y0, z0)
Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques se fait par:
x = cos(φ)cos(θ)
y = cos(φ)sin(θ)
z = sin(φ)
Après le déplacement α vers l'ouest, les nouvelles coordonnées sphériques sont (θ1, φ1) avec :
θ1 = θ0 - α
φ1 = φ0
D'où les nouvelles coordonnées cartésiennes (x1, y1, z1):
x1 = cos(φ1)cos(θ1) = cos(φ0)cos(θ0 - α)
y1 = cos(φ1)sin(θ1) = cos(φ0)sin(θ0 - α)
z1 = sin(φ1) = sin(φ0)
Puis après le déplacement α vers le nord, les coordonnées sphériques finales sont (θ2, φ2) avec:
θ2 = θ1
φ2 = φ1 + α
Les coordonnées cartésiennes finales (x2, y2, z2) sont donc:
x2 = cos(φ2)cos(θ2) = cos(φ0 + α)cos(θ0 - α)
y2 = cos(φ2)sin(θ2) = cos(φ0 + α)sin(θ0 - α)
z2 = sin(φ2) = sin(φ0 + α)
On retrouve bien que (x2, y2, z2) ≠ (x0, y0, z0), le point n'est pas revenu à sa position initiale.
Où est mon erreur ?
Merci pour la vidéo ! Par contre attention : le rejet de la démonstration par l'absurde c'est le tiers exclu, tandis que "toute proposition est soit vraie soit fausse" est la bivalence.
Les deux sont équivalents
J'avais eu une idée qui ne marche pas finalement.
Si la boule s'appelle B, on dit que B1 est l'ensemble des points de B tel que les 3 coordonnées sont irrationnelles, et que B2=B\B1. Mais dans mon exemple B2 n'est pas mesurable bien que très dense.
Sinon, questions :
1) A la fin les deux boules sont de volume équivalent à la première boule ?
2) Peut-on réitérer le processus su les 2 boules obtenues pour les dupliquer encore ? Combien de fois ? Un nombre infini de fois ? Indénombrable de fois ?
3) Disons que la réponse à la question 1 est oui, ne peut-on pas faire quelque chose pour rendre compte de cette perte d'éléments ? Par exemple la masse, êtes-vous d'accord que la masse de la boule = la somme des masses des 2 boules. Non ? Ou sinon quelle autre type de "mesure" peut rendre compte de cette division ?
En mathématiques la masse n'a pas de sens.
Merci beaucoup.
Je ne peux m'empêcher de compléter cet exposé par un fait que j'ai appris récemment à ce sujet et qui m'a bouleversé.
La théorie des lieux (traduction d'Olivier Leroy pour l'anglais "locales") permet de rendre plus harmonieuse la théorie des espaces topologiques, en ajoutant pas mal de protagonistes qu'on ne voit pas à première vue. C'est comme quand on se demande si tout polynôme de degré 4 admet exactement 4 racines. Qu'en est-il de (X²+1)², par exemple ? Dans les réels, il y a 0 racine. Dans les complexes, il y en a 2. Et dans les complexes avec multiplicité, on voit enfin les 4 racines.
Eh bien, dans un travail intitulé "Théorie de la mesure sur les lieux réguliers ou Les intersections cachées dans le paradoxe de Banach-Tarski", Olivier Leroy a montré qu'on pouvait mesurer toutes les parties (et même tous les sous-lieux) de l'espace euclidien de façon satisfaisante. Mais... pourquoi cela ne contredit-il pas le paradoxe de Banach-Tarski ?
La réponse est que la théorie des lieux introduit notamment des ensembles qui, quoique non-vides, ne contiennent aucun point. Il s'avère que quand on se donne des morceaux de la décomposition paradoxale, l'intersection de deux morceaux sera typiquement de ce type : aucun point dans l'intersection, mais pas mal de "matière cachée" néanmoins. Et tellement de telle matière qu'il faut lui assigner une masse non-nulle ! Une fois cette masse prise en compte, tout rentre dans l'ordre et l'existence du volume pour des parties arbitraires démontrée par Leroy ne contredit en rien le paradoxe de Banach-Tarski. :-)
Oh c'est intéressant ! On se place dans un cadre différent de ZFC j'imagine ?
@@DanielBWilliams Non-non, on travaille bien dans ZFC ! C'est juste qu'on n'y formalise pas R^n en termes d'espaces topologiques mais en d'autres termes (en termes de "lieux", ou "locales"). En gros, il s'agit de considérer que la notion d'ouvert est plus primitive que celle de point... Voir :
hal.archives-ouvertes.fr/hal-00741126/document
Notamment, les pages 4, 6 et la Définition 1 de la page 28 (pages données dans la numérotation pdf ; la page 4 est donc "Introduction"). Il s'agit d'une forme de théorie algébrique de la mesure. L'auteur, Olivier Leroy, est un ancien élève de Grothendieck.
Pour se familiariser avec le concept d'ensemble non-vide mais sans point, voir :
clicprof.free.fr/IMG/pdf/topos_shadoks.pdf
Pour une évocation de la notion de topos, voir :
www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/grothendieck-un-heritage-mathematique-fertile-9237.php
Les topoï (pluriel de topos) sont selon Grothendieck la notion la plus importante qu'il ait introduite (avec les motifs), ainsi que la plus vaste. Elle permet par exemple d'unifier théorie des groupes et topologie ; géométrie continue et géométrie arithmétique ; géométrie et logique... La théorie des lieux est un échantillon des mathématiques de Grothendieck qui ne rôde pas infiniment loin de ce concept.
Enfin, je signale une autre façon de dissoudre Banach-Tarski, qui n'a rien à voir avec celle de Grothendieck. Si on complète ZF non pas avec l'axiome du choix mais avec l'axiome de détermination, on peut démontrer non seulement que l'axiome du choix mais aussi que toute partie de R^n est Lebesgue-mesurable au sens usuel. (Noter que, sauf erreur de ma part, dans ZF sans axiome supplémentaire, et donc en particulier dans toute théorie contenant ZF, on peut démontrer par récurrence transfinie que l'ensemble des boréliens de R est en bijection avec R.) Les paradoxes de Vitali et de Banach-Tarski sont faux dans ZF+Détermination. Ce qui est beau dans la solution interne à ZFC, c'est que les décompositions paradoxales, quoique vraies, n'empêchent pas de définir une théorie harmonieuse du volume néanmoins, en adoptant un point de vue plus algébrique sur la topologie.
@@sebastienmartineau462 Ha top ! Merci beaucoup, j'adore ce genre de théories ! Je vais lire avec grand plaisir !
@@DanielBWilliams Profitez bien :-D
En vérité, les passages que je cite de Leroy ne sont pas tout à fait suffisants pour se faire une idée. Pour comprendre comment on définit la mesure sur tous les sous-lieux (ce qui est fait juste après la définition de mesure), encore faut-il comprendre ce qu'est un sous-lieu, et comment cette notion interagit avec celle de voisinage.
Un très bon exercice une fois lue la définition de lieu, c'est de chercher à donner un sens à ce que serait un lieu vide, à ce qu'est un point, et enfin à construire un prototype simple de lieu non-vide mais sans point...
Super intéressant, à quand une vidéo sur l'epsilon de Hilbert ?
Mais j ai une question avec ces 2 boules est-ce qu’on peut faire deux autres boules etc...
J'ai lu cette video en 1,5x jusqu'au bout.
C'est terrifiant, moi qui fais licence géographie
Super vidéo (comme toujours) mais je me demandais si ce théorème (ou un autre équivalent) permettrait de faire la même chose avec n'importe quelle figure (cube, tore, pyramide quelconque, ...) ou si la symétrie qu'offre la sphère (et qui est bien pratique lorsqu'on parle de rotation) rend ce tour de mathématiques propre à la sphère ?
Avec la sphère, 5 morceaux suffisent. Mais le théorème a des variantes qui s'appliquent à n'importe quel solide. Il existe ainsi une façon de découper un petit pois de façon à ce que, une fois les pièces recomposées, on obtiennent quelque chose de la taille du Soleil !
Par contre, cela ne s'applique qu'aux figure 3D (et dimensions supplémentaires), il a été démontré que le paradoxe de Banach-Tarski n'arrive jamais aux figures planes.
Mais du coup, pour être sûr de bien comprendre, il existe un théorème qui permet de dupliquer, à la manière de nos vieux compère Banach-Tarski et Hutch, des cubes, des hyper-tores, ou n'importe quel polyèdre de dimension supérieure à trois (et même plus que des polyèdre puisque la boule n'en est pas un) ?
Mehdi MABED C'est exactement ça !
Fantastique merci et hâte de voir la prochaine vidéo
El Jj, je viens de découvrir ta chaîne, que je trouve très intéressante, merci !!!
J'aurais une question sur la dénombrabilité des décimaux entre 0 et 1 à la minute 7:23 : où place-t-on le nombre 0,01 par exemple dans la séquence donnée ?
Il viendra juste après 0.99, et avant 0.02, 0.03, ...
(A noter que j'ai mis pour simplifier seulement les décimaux positifs, on peut intégrer les négatifs en faisant la même liste en alternant positifs et négatifs : 0, 0.1, -0.1, 0.2, -0.2, etc.)
@@ElJj Ah merci ! Et donc pour la suite, après 0,09 (à ce moment-là tous les nombres avec 2 chiffres après la virgule auront été listés) il suffirait de reprendre les éléments déjà listés et rajouter 1, 2, ... , 9, 0 dans l'ordre pour obtenir les nombres avec 3 chiffres après la virgule, c'est bien ça ?
@@ElJj (dans ton exemple, tu parles des nombres entre 0 et 1 compris, donc pas besoin des négatifs ici il me semble)
t'es pas sympa avec les daltoniens....
Xavier Bacqué mdr
Super vidéo!