0.999...는 소수점 아래의 9가 무한히 나열된 수이며 이것은 변화하는 상태가 아니라 정적 상태이다. ‘자연수’를 세는 인간의 본능 상 이러한 설명을 듣고 1과 완전히 동일하다는 생각에 도달할 수 없음을 헤아립시다. 처음에 이것들을 서로 다른 수라고 인식한다고 하여도, 다음의 설명 상에서 같게 동작한다는 것을 이해할 수 있습니다. 1. 분수적 접근 1/3 = 0.333... 1/3 x 3 = 1 0.333... x 3 = 0.999... 위의 계산과정에서 1/3과 0.333... 그리고 1과 0.999...는 서로 동일한 수 입니다. 2. 실수의 정의 상 접근 영상에서 나온 것입니다. 무한소수는 실수에 포함되며, 실수가 조밀성이라는 성질에 의해서 정의된다는 적용을 같이 받습니다. 따라서 서로 다른 두 실수 a,b (a
@@asdfpoiu915 0.999...라는 수는 의미하는 바 자체가 소수점 아래에 무한의 9가 이미 나열된 상태입니다. 현실에 존재하지 않기 때문에 와닿는 설명은 아니겠지만 그러한 수입니다. 그래서 0.999...와 1 사이에는 그 어떠한 틈새가 없으며, 또한 연상 상에서 둘은 같은 수입니다.
무엇인가를 하기 위해 가장 중요한 것은 정의(없던 개념을 부르기 쉽게 하는 사회적 약속)와 정리(있던 개념 중에서 새롭게 찾아 낸 사회적 발견)를 알아야 합니다. 이러한 사실을 모르고 어떤 현상을 맞닥뜨리게 되면 이해를 하려고 시간을 엄청나게 소비하다가 이해를 두배 반이나 더하게 되고 오해가 시작됩니다.
선생님께서 하신 이 증명은 앱실론-델타 증명을 간단하게 설명한 방법이며 이를 더 깊게 설명하자면 다음과 같습니다. 이해하기 위해서 알아야할 개념이 많고 까다로울 수 있지만 한 번 이해할 수 있다면 더 이상 헷갈릴 일은 없을 겁니다. 우선 '무한소수'라는 개념을 다시 살펴봅시다. 만약 알고 싶은 무한소수가 0.999...라고 칠 때 a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999 .... 이렇게 정의해볼 수 있겠습니다. 무한소수는 이러한 수열들의 가장 마지막 지점, 즉 극한이라 할 수 있습니다. 여기서 a_n의 극한이 a라 하는 것은 특정 양수 ɛ(앱실론)에 대해서 ( a - a_n )의 값이 ɛ보다 반드시 작도록 하는 n이 존재함을 의미합니다. 예를 들어서 ɛ = 0.000001이라 치면 a = 0.999999999..., a_7 = 0.9999999로 a - a_7 = 0.000000099...., 즉 ɛ보다 작네요 이런 식입니다. 이것은 무한히 접근한다라는 표현을 수학적으로 설명한 부분입니다. 그럼 이제 다음의 두 가지 문제를 해결하면 됩니다 1. 수열 a_n의 극한값이 존재하는가? 2. 만약 존재한다면 a_n의 극한값은 무엇인가? 먼저 첫 번째 문제에 대한 답을 풀려면 모든 수열 a_n의 집합, 즉 A = { a_n | n € R}이 상계를 가진다는 것을 알아야합니다. 상계라는 개념은 어렵지 않습니다. 그냥 단순히 숫자 10이 0.999...보다 크므로 10은 A의 상계라 할 수 있습니다. 이러한 상계가 존재한다면 상한 또한 존재합니다. 여기서 상한이란 '모든 자연수 n에 대해 a_n 보다 크거나 같은 수들 중에서 가장 작은 수'를 의미합니다. A의 상계 중 하나인 10도 모든 a_n보다 크므로 상한은 10보다 작거나 같은 값을 가지게 됩니다. 이제 이 상한이 a_n의 극한값임을 증명해야합니다. 우선 a_n은 단조증가수열로 절대 감소하지 않는 수열입니다. a_1 = 0.9, a_2 = 0.99 ... 1에 가까워지듯이 계속해서 증가하죠. 한 번이라도 감소하면 그것은 단조가 아닙니다. (1 0 1 0 1 ...은 단조가 아님) 또한 a_n은 유계입니다. 기본적으로 모든 a_n은 소수이기 때문에 0보다 크고 1보다 작습니다. 이러한 제한을 갖는 수열을 유계라고 합니다. (1 2 3 4 ....은 유계가 아님) 이러한 유계이면서 단조인 실수 수열들은 모두 수렴한다는 것이 '단조 수렴 정리'이며 이 때 극한값은 상한입니다. 이를 증명하기 위해 우선 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라고 가정해보겠습니다. 이 때 상한이 c라고 한다면 n을 아무리 키워도 ( c - a_n )의 값이 ɛ보다 크게 됩니다. 즉 반드시 c - a_n > ɛ (->) a_n < c - ɛ가 됩니다. 여기서 a_n은 단조증가수열이기 때문에 n보다 작은 수인 모든 m에 대하여 a_m < a_n < c - ɛ가 되며 이는 모든 n에 대해서 a_n < c - ɛ로 정의할 수 있습니다. 그러나 이러한 정의 자체가 모순인 것이 모든 a_n이 c - 0.5ɛ보다 작으므로 c - 0.5ɛ또한 상계가 됩니다만 이것은 기존에 정한 상한값인 c보다 작아 '상계 중에서 제일 작은 값'이라는 정의에 모순됩니다. 즉 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라는 가정은 틀렸다는 것을 증명했으며 이는 '상한값은 극한값이다'의 증명으로 이어집니다. 이렇게 첫 번째의 답은 '상한값으로 존재한다'로 증명했습니다. 그럼 이제 두번째 문제입니다. 극한값은 존재한다가 증명되었으니 이제 그 값을 구하면 됩니다. a_n = 1 - ( 1/10 )^n 으로 표현할 수 있으며 이 때 상한값은 1입니다. 그래서 극한값은 1이 되며 즉 0.999... = 1이 됩니다. 더 궁금하신 점 있으시면 얼마든지 물어보세요
반대로 이렇게 생각해봐도 되요. 0.999~ 를 우리가 받아들이는 개념은 0.999~ 가 정지되어있다기 보단 아무리 0.999를 많이 적어도 그 끝엔 항상 9가 끊임없이 존재하는 뭔가... 살아움직이면서 증가하는 개념이에요. 마치 수가 살아서 움직인다 해야하나.. 그러면 어짜피 계속 살아 움직이는 친구고 그 끝을 칼로 자르듯이 딱 정리할수 없다면, 이 친구가 움직이는 규칙성은 발견할 수 있죠. 얘는 1로 무한이 다가가는 중입니다. 0.999~와 1 사이엔 어떤 실수도 올 수 없습니다. 그렇다면 이 친구는 1이 아니지만 1로 무한히 다가는중 아닐까? 이 친구는 그럼 1로 무한이 다가가는 중이라 하자. 라고해서 0.999가 무한하게 다가가는 숫자는 = 1 1) 0.999~ = 1 이 아니라 2) 0.999~가 다가가는 중인 숫자는 = 1 이런 개념인거죠. 1)는 대학 수학 미분적분학에서 증명하고 2) 는 고등학교 교육과정입니다.
@@user-oy3sl1fn5n 웅 아니야~ 니가 그렇게 말하니 더 혼돈 가지는거다.. 그냥 9.999.. 가 1이야 1대1 대응되니까.. 999999가 연속 되고 있는 진행형은 정확히 말하면 아니고 ..그냥 그런 수야 니가 100만번재 찾으려고하면 9가 발생되는게아니고..원래 존자하는 수라고..
저걸 배우는 이유는, 특히 중학교 때 배우는 이유는 '무한소수도 수다' 라는걸 알려주기 위해서임. 그니까 0.999...가 1에 다가가는 '상태' 의 개념이 아니라 진짜 그냥 '수'라고. 저걸 배우기 전에는 학생들의 개념속에 무한히 나열돼있는 수는 수직선 상에 점을 찍을수가 없음. 생각해보면 '0.9보다 크고 0.99보다 크고 ... 근데 1보단 작은 어떤 수' 라고 하면 0.999.. 를 '숫자' 로 이해할 수 없음. 또한 같은 맥락으로 우리 주변의 무수히 많은 '무리수' 들을 '숫자'로 표현할 수도 없게 됨. 이런 생각을 바꾸고 "무리수와 무한소수도 숫자고 수직선 상의 한 점으로 정확히! 찍을 수 있다" 라는걸 이해시키기 위해 이런 개념을 배우는 것임
당신이 중학교 2학년 이상의 학력을 갖고있다면 분수(유리수)를 소수(유한소수 또는 무한순환소수)로 바꿀 수 있어야하고 그 반대로도 할 수 있어야 합니다. 0.99999.....가 1인걸 납득을 못한다는건 당신이 아직 중2수학을 안배웠거나, 배웠지만 새까맣게 까먹었다는 뜻입니다.
0.9999•••에 0.0000•••01만큼 더하면 1이 되버리기 때문에 결국 0.999•••의 다음 수는 이것보다 크고 1보다 작은 수로 존재해 있을 수 없다는 겁니다 따라서 0.9999•••는 수직선에 나타내었을때 1과 같은수가 된다는 거죠 같은 이유로 9.999•••가 10과 같아지는거죠 이게 이해가 안된다면 그냥 반올림해서 1이 된다고 생각하면 됩니다... +중딩이라 이 글에 대한 설명에 부족함과 허점이 좀 많을거 같다고 생각합니다 반박시 님들말이 다 맞습니다 죄송합니다
@user-dn9cd6kl6o 어떤 공간을 조밀하게 채우는 부분 집합을 말합니다. 유리수와 무리수, 실수는 조밀성이 있고 정수는 조밀성이 없습니다. 쉽게 말해 유리수와 유리수 사이에는 무한히 많은 유리수가 존재하죠? 이런 걸 조밀성이라고 합니다. 0.1과 0.2 사이에는 0.11, 0.12....가 있고, 0.11과 0.12사이에는 0.111, 0.112..가 있고.. 그러나 정수와 정수 사이에는 유한한 개수의 정수만이 존재합니다. '다음 수' 라는 개념이 성립하죠. 유리수는 0.1과 0.2 사이의 수가 있지만, 정수는 1과 2 사이의 정수가 있나요? 그렇지 않죠. 그렇다면 조밀성이 없습니다. 실수는 애초에 그 부분집합인 유리수와 무리수가 조밀성이 있고, 수직선이 무한히 많은 점의 집합인 만큼 조밀성이 존재합니다. 그러나 이에 따르면 0.9999..와 1사이에도 다른 실수가 무수히 존재해야 하는데 0.9999...보다 크면서 1보다 작은 실수는 없어요. 모든 자릿수가 9이니 하나를 더 늘리면 1.0000..9999....와 같은 식이 될 테니까요. 1보다 작으려면 어느 것 하나도 늘릴 수 없죠. 그러므로 0.9999..와 1은 같은 수라고 할 수 있습니다. 두 수가 다르면 사이에 뭐가 있어야 하는데 아무것도 없으니 두 수는 다르지 않았던, 즉 같았던 것이죠. A
수학을 전공한 사람 입장에서 말씀을 올려봅니다. 수학이라는 학문은 추상화 과정을 통해 개념을 만들고 큰 틀인 정의하에 정리들을 만들며 우주의 현상을 설명하려 합니다. 그 정의 하에 페아노 공리로서 자연수를, 군, 환, 체론을 이용하여 다양한 수 체계를 형성합니다. 예로부터 인류는 눈에 보이는 것을 헤아리기 위해 자연수라는 체계를 만들고 필요에 의해 수 개념의 확장을 이루어낸 것이고, 이러한 확장을 통해 점점 더 다양한 우주현상을 이해하고 설명해 가고 있습니다. 누군가는 원을 궁금해 했을 것입니다. 실을 원모양으로 만들면 원을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 눈으로 보입니다. 하지만 반지름이 변할 때 원의 둘레가 어떤 방식으로 변하는지 궁금했을 수 있습니다. 그래서 수학자들은 반지름에 대한 원의 길이를 수없이 근사시켜 나갔습니다. 수학자들은 값이 하나로 정해지지 않는다는 걸 곧 깨달았고 이와 같은 현상은 삼각형에서도 나타났겠죠. 밑변과 높이가 각각 1인 직각이등변 삼각형의 빗변을 구하지 못했습니다. 이것이 훗날 수학 개념의 발전으로 추상화해낸 무리수 파이와 루트2의 개념인 것이죠. 이것을 인류가 이해하지 못한 궤변을 만들어 냈다고 하는 게 옳은 생각일지, 아니면 이해하기 위해 최대한 수단을 강구하여 정의한 것인지에 대해 생각해 볼 필요가 있습니다. 엡실론 델타도 마찬가지입니다. 극한의 개념은 매우 추상적입니다. 하지만 되돌아보면 1이라는 숫자하나도 추상적이지 않습니까? 단지 페아노 공리에 의해 정해진 숫자 1은 추상적이지 않나요? 1이라는 숫자는 궤변이 아닌가요? 이러한 정의들로 우주를 이해하려 노력하는 수학자들의 말이 궤변이라고 말한다면 어찌 자동차를 만들고, 우주를 여행 할 수 있겠습니까. 그저 우린 그들이 노력하여 만든 정의와 정리들을 끊임없이 이해하고 사용해보며, 궤변이라는 말보다는 그 정의하에 생기는 모순을 비판하고 새로운 것을 만들어 나가야 한다고 생각합니다.
본 영상은 0.9999... = 1이다의 엄밀한 증명은 아닙니다. 증명과정을 꼼꼼히 따져보면 애초에 실수가 수직선에 대응된다는 가정을 증명하지도, 그 가정을 사용하지도 않습니다. 영상에서는 0.999...가 일단 어떤 '수'라고 가정한 뒤, 이 수는 1보다 작을 수도 클 수도 없으니 1과 같다라고 증명합니다. 즉, 실수의 순서 공리만을 사용한 것이죠. 엄밀한 증명은 다음과 같은 과정을 거쳐야 합니다. 1. 0.999...라는 '표현'의 수학적 정의 -> 0.9 + 0.09 + 0.009 ...라는 수열의 수렴값이다. 2. 앞서 말한 수렴값의 존재성 증명 -> 수열이 sumpremum이 존재하는 증가수열임을 증명 3. 존재성이 증명된 수렴값이 1임을 증명. -> 앞서 두 개를 했다면 얘는 쉽습니다. 물론 이 모든 과정은 실수 체계에서는 입실론-델타 논법으로 대체 가능합니다.
@@user-ie8tk5xx3e 안 엄밀하다는 게 정확히 그 뜻인데요. 너무 당연한 건 맥락상 생략할 수 있겠죠. 수학교수님들 사이에서 학부 1학년 수준의 내용을 빠뜨렸다고 안 엄밀하다고는 안 합니다. 적어도 제가 보기엔 이 영상의 수준에선 실수의 성질은 빠뜨리면 안 돼요. 그리고 애초에, 왜 0.999..보다 크고 1보다 작은 실수는 없죠? 0.xxx...의 x 자리에 아무리 숫자를 잘 넣으려고 해봐도 안 되니까? 이런 식으로 증명하면 대학수학에서는 무조건 0점입니다.
@@user-ie8tk5xx3e 직관적으로는 그럴듯해 보이지만 엄밀하게 따져보면 틀렸거나 증명하기 매우 어려운 명제들은 수도없이 많습니다. 또한, 참이라 하더라도 직관적이고 쉽게 증명할 수 있을 것 같아도 정작 엄밀한 증명을 시도하면 잘 안 되는 명제도 많습니다. 아르키메데스의 원리가 좋은 예시라 생각합니다. 임의의 두 양수 x, y에 대해, nx > y가 를 만족시키는 자연수 y가 존재한다. 겉으로 보기에는 존나 쉬워 보입니다. 그냥 n을 무진장 키워버리면 nx는 끝도 없이 키울 수 있으니까요. 근데 이걸 '수식적으로' 증명하려 하면 불가능합니다. 아르키메데스의 원리는 실수의 완비성 공리와 동치인 명제로, 적어도 제가 아는 선에선 완비성 공리를 언급하지 않으면 증명할 수 없습니다. '수식적으로 0.xxx...의 모든 자릿수가 9일 수밖에 없다'라고 언급하셨는데, 이건 0.99..보다 크고 1보다 작은 실수가 존재할 수 없다는 것의 증명이 아닙니다. 어떤 수가 존재하지 않는다는 것을 증명하려면 대부분 귀류법을 사용합니다. 이 문제에서는 수학적 표현과 실제 수 체계의 일대일대응이 증명된 가정하에 construction이 불가능하다는 것을 사용하려 한 것이죠. 그런데 우리가 '상식적으로' 사용하는 10진법은 실수 체계와의 일대일 대응이 성립하지 않기 때문에 construction이 안 되는데요? 라고 증명하면 엄밀하지 않은 수준이 아니라 아예 틀린 증명이라는 겁니다. 마지막에 '엄밀한 증명의 한 부류로 받아들였으면 합니다.'라고 하셨는데, 무슨 말씀하고 싶으신지는 알겠습니다. 다만 저는 동의할 수 없습니다. 애초에 '엄밀하다'라는 단어는 일상생활에서 거의 사용되지 않습니다. 대부분 수학계에서 사용되죠. 언어의 사회성에 따라, '엄밀하다'라는 단어는 수학계에서 사용하는 의미를 따라주셨으면 합니다. 대신 '맞는 증명'이라는 표현은, 청자가 수학 비전공자라면 충분히 사용할 의사가 있습니다. 영상에서 하는 말이 실제로 엄밀하게는 구멍이 있지만 틀린 말은 아니며, '맞다'라는 표현은 일상생활에서도 많이 쓰므로 그 표현의 해석이 굉장히 다양할 수 있기 때문입니다.
근데 0.999... 같은걸 공부할때 빼고 실용에서 접할일이 없기도 함. 그래서 원래부터 충분한 수학적 지식이 있었던게 아니면 0.999... 라는 걸 딱봤을때 엄밀히 따져들어서 궁금해하고 수학을 보는 관점을 쌓기보단, 내가 그동안 내가 맞다고 생각했던걸 그대로 믿고 새롭게 접한 사실을 부정하는게 차라리 맘편하기도 할거같음
"0.99999"가 아니라 "0.9999999..." 즉 무한(순환)소수 일때 적용되는 개념입니다. x = 0.99999999.... 일때 10x = 9.99999999999......가 됩니다. 이때 방정식을 사용해보면 10x - x = 9.9999.... - 0.99999.... 9x = 9 x = 1 이 됩니다.
@@ajuga9392 맞아요 결국 저 증명방식도 정해진 규칙들에 의해서 구현된거죠. 소수에 10을 곱하면 소숫점자리수가 바뀐다던가, 무한소수에서는 빼기연산이 자리수별로 진행된다는점...등등 뭐가 어쨋든 이 증명은 현재로써는 유효한 증명입니다. 보통은 이렇게설명했던것같아요 "0.9999....는 무한히 9의 개수를 늘려가면서 정수(1)과 계속 가까워지고있으며 그 끝은 결국 1과 같다" 또는 "0.999999999.....와 1 사이에는 어떠한 수도 위치할수없다" .. 근데 규칙을 처음듣거나 마치 마술쇼를 보면서 트릭을 알아내려고 하는사람들을 위해 여러 증명방법들이 나왔을뿐
음..‘0.9999...’은 정확히 1바로 옆자리아닌가요..? 우리가 수직선상에 무한대로 앉아있다칩시다 무한대의 인간들에게 각 이름을 부여해요 철수 영희 상철 ...머 등등 아무리 많고 무한하다한들 상철이는 상철이지 상철이는 영희가 아닙니다 ...0.9999는 0.9999고 1은 1입니다
등비수열 관점: 등비수열은 3,9,27,81.. 와 같이 어떤 항에 일정한 수를 곱한것이 다음 항이 되는 수열. 이때 0.999...을 0.9+0.09+0.009+...으로 생각하고 더하는 각 항을 수열의 항으로 보면 이 수열의 일반항 an은 0.9×(0.1)^(n-1)임 우리가 구하고자 하는 0.999...는 등비급수로 생각할 수 있음. 이때 등비급수의 공식에 의해 0.999.. = 0.9/(1-0.1) = 1
@@user-je4gn9qh7e ㄴㄴ 못가르쳐서 온전히 이해하기 쉽지 않은거랑, 고집이 쎄서 혹은 바보라서 이해를 못하기에 온전히 이해되긴 쉽지 않은거랑 같은거라고 할 수 없댱 잘 가르쳐도 가르침 받는 입장에서 고집부리고 막무가내로 수긍 안하려고 필사적이라면 아무리 애를 써도 가르칠 수 없댱
수학교육과 전공자가 설명드릴께요. 우리는 보통 수를 자연수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수 이런 것을 수라고 합니다. 초등학생때 소수를 배우지만 소수는 수학에서 얘기하는 수는 아닙니다. 그런데 소수를 분수로 나타낼수있는 것은 유리수라고 합니다. 그러면 소수는 무엇일까요? 소수는 우리가 직관적으로 수의 크기를 파악하기 쉽게 분수를 소수점아래수로 표현한것입니다. 즉, 분수(유리수)를 다른 방식으로 표현한것입니다. 따라서 교과서에 나온 증명처럼 x를 0.999….라고 하고, 10x-x=9이므로 9x=9가 되서 x=1이 됩니다. 무한소수의 생김새에 속으면 안됩니다! ㅎㅎㅎ 1의 다른 표현이 0.9999…..이다라고 생각하면되요. 그리고 참고로 주의할 점은 무한소수는 유한소수와 특징이 다르다는 점입니다. 직관으로 생각했을때 틀릴수있답니다.
0.999...=x 로두고 10x-x를 하려면 애초에 9의 개수가 같냐의 문제가 먼저 생깁니다. 그리고 두 수를 뺀다는건 애초에 수렴해야 가능하기때문에 단조수렴정리로 수렴함을 보여야합니다. 애초에 무한을 안배우는 중학생한테 들이밀 증명이 아닌데 그냥 직관적으로 받아들여라는 의미의 증명이죠. 그냥 이렇게 보여주고 고등학교가서 다시 증명할거야 하는게 맞죠.
그리고 10x와 x는 9의 갯수도 완벽하게 일치합니다. 직선을 평행이동 시킨다 해서 다른 직선이 되지는 않는 것 처럼이요. 아마 극한을 생각하시면서 속도개념이나 상태개념을 생각하시는 것 같은데 0.999•••는 수렴하는 상태나 9가 무한히 늘어나고 있는 상태가 아닌 더이상 9가 추가되지 못할 정도로 무한히 늘어져 있는 정적인 '숫자' 인겁니다. 흔히들 극한이랑 착각들 하시는데 극한과는 엄연히 달라요. 수가 연속성을 가져서 헷갈리시는 겁니다.
0.99...랑 1이랑 다르다 하시는 분은 함수의 극한을 배울때 극한값과 함수값이 다르다라고 배워서인것 같아요. 이것은 함수를 통틀어서 말할때의 얘기고 좀더 세분화하면 비연속 함수는 다르고 연속함수는 같습니다. f(x)=x lim[x->1-]f(x) : 좌극한 (0.999...) lim[x->1+]f(x) : 우극한 (1.000...) 좌극한과 우극한은 모두 1로 수렴하므로 f(x) 는 연속함수이다 따라서 좌극한과 우극한은 함수값에 무한이 가까워지는 값이 아니라 그냥 함수값과 같습니다. 그러므로 0.999... = 1 = 1.000...
무슨 말을 하시고 싶은지는 알겠지만 그건 충분한 설명이 아닙니다. 좌극한과 우극한이 같다고 해당 함수가 연속인 것은 아니기 때문입니다. 따라서 엡실론-델타 논법을 이용하여 x가 해당 구간에서 연속임을 먼저 보인 뒤 보여주신 논증을 사용하시면 훌륭한 증명이 될 듯 합니다. (참고로 해당 함수의 좌극한이 왜 0.999..인지도 추가로 증명해야 합니다.)
0.9를 정수로 표현하면 1이다 라는 것과 같은 착각입니다. 무한소수를 유한소수로 표현을 할려다 보니, 0.999..가 1이 되는 것일 뿐. 반올림 하는 것과 전혀 다를 바가 없습니다. 무한의 개념에서는 1과 2 사이에 또 다른 정수가 존재하는 것이므로, 0.9999 와 1 사이에는 정의를 하지 않았을 뿐, 관념의 숫자는 명백하게 존재하죠.
@@user-ho7cf8nq5x 동의하는 바입니다. 0.9999.. 와 1 사이에는 무한한 실수가 존재하는거 같은데요. 결국 아무리 가까워지더라도 끝에 도달할 수 없어야 할 것 같은데, 그냥 극한으로 보낸다는 것 자체가 가정인데. 0.999… 를 1로 보자고 합의한것이지 1은 아니지 않을까 싶습니다
지나가던 수학과입니다. (현재 저 분이랑 같은 대학교 학부 재학 중입니다.)이 영상을 보고 0.999...=1이라는 사실을 납득하지 못하시는 초~중학생 분들이 많습니다. 하지만 저는 지극히 당연한 일이라고 말해드리고 싶어요. 제가 7살 때, 이 문제에 대해서 친구와 대화를 한 적이 있어요. 그때 제가 이렇게 설명했습니다. a=0.999...라 하자. 10a=9.999...지 않냐? 따라서 둘을 빼면 9a=9고 따라서 a=1이다. 비록 이게 수학적으로 좋은 증명은 아니지만, 아직 무한에 대한 개념이 익숙하지 않으신 여러분들께 0.999..=1이라는, 거부할 수 없는 증거로 다가가기엔 충분할 것입니다. 당시 제 친구도 이 설명을 듣고 납득을 했었고요. 제가 드리고 싶은 말은, '1=0.999..가 참인 것은 알겠지만 받아들일 수 없다'거나 '난 아직도 거짓인 것 같다'라고 생각하는 분들이 있으시면, 오히려 훌륭하다고 말씀드리고 싶습니다. 그 나이대에, '무한'이라는 잘 모르는 개념에 대한 시행착오와 생각을 하는 것은 앞으로 방대한 양의 수학을 공부하게 될 여러분에게 좋은 자양분이 될 것입니다. 무한이 와닿지 않는다면, 한번 자세히 생각해 보세요. 그리고 틀려도 좋으니까 본인의 생각. 즉 왜 0.999..=1인지, 혹은 아닌지에 대한 이유를 본인 나름대로 떠올려 보세요. 그러한 논리적인 생각이, 이후에 여러분들이 배우게 될 수학, 더 나아가 인생을 살아가는 데도 중요한 사고력을 키우는 데 많은 도움이 될 것입니다.
@@gardenyes8785 제가 현직 대1 입니다 안배웁니다 이제 1학기 끝나가는데 시발 테일러급수 까지 나갔는데 뭔개소린지 모르겠고 저딴건 배우지도 않았습니다 교수님도 고딩때 선생마냥 뭔가 짜치는데 강의력도 창렬인게 지잡대라 수준이 이런가 봅니다 참고로 저건 도저히 강의 못듣겠어서 혼자 인터넷으로 공부하다 알게된겁니다 좋은 대학은 미적할때 저거 가르쳐주나 보네요 시발 빨리 딴 대학으로 탈출할 이유가 또 늘었습니다 감사합니다
수학에서의 무한에 대한 개념은 보통 사람들이 생각하는 무한과 좀 달라요. 가무한 : 무한히 뻗어나가는 어떠한 상태 내지 과정 그 자체로써 무한을 바라보는 시각. 굉장히 예전부터 있어왔고, 제논의 역설같은 무한급수 역설을 해결할 수 없었음. 실무한 : 무한을 이미 다 끝난 하나의 수학적 대상으로 보는 것. 예를 들어, 자연수 전체의 무한집합은 이미 모든 무한개의 원소를 포함하는 것이 끝난 수학적인 대상. 실무한을 통해 다양한 역설과 무한대를 다루는 논리적인 기반을 마련할 수 있게 됐습니다. 중학교때 무한집합 이라는 말을 들어보셨다면 이미 실무한을 보신겁니다.
0.999... 와 1이 다르다면, 0.9999.. 와 1 사이에 간격이 존재해야 합니다. 근데 아무리 좁은 간격을 잡아도, 반드시 그보다 더 가까운 수가 0.999..9 형태로 존재합니다. 그리고 0.999... 는 0.9999..9 의 형태를 가진 모든 유한소수보다 1에 가깝고요. 그래서 0.999.. 와 1 사이에 간격이 있다고 가정하면 모순이 생깁니다. 즉 간격이 없고, 둘은 애초부터 같은 수인 것이죠.
@@SKYENGLISH 원래 수학은 근본부터가 추상적이니까요. 꼭 현실에 맞게 수학을 고칠 필요는 없습니다. 수학은 무모순성과 완전성에 기대는 학문입니다. 그걸 가지고 자연계를 설명하는건 수학을 가져다 쓰는 물리에서 하는 일이죠. 몇가지 수학적인 구조들이 자연계에서 나타날 뿐. 수학의 가치는 자연을 설명하는 것이 아니라 구조 그 자체의 아름다움에 있습니다. 실상과 달라도 되고, 같아도 상관 없답니다
최신순 댓글목록은 흡사 지구평평설, 타진요, 아폴로 달 착륙 음모론 커뮤니티를 보는 듯하다. 정말 콩알만한 지식을 자랑스러운 듯이 드러내놓고 전 인간 역사를 거쳐 쌓여온 수천 수만의 수학자들의 논의 결과를 온몸으로 거부하며 더 이상 반대 측의 증거를 거들떠보려는 시도조차 하지 않는,
뭔가 약간 설명이 부족하네요. 수직선상에 표현할땐 0.9, 0.99, 0.999,0.9999 이런식으로 표현해주고 소수점 아래의 수가 무수히 많아질 때 결국 1에 가까워진다라는 고등과정에 배우게 될 수렴의 개념까지 이해할 수 있도록 유도해는게 좋아요. 이런게 아이들이 이해하기 더 쉽기도 하고요.
빵이 한개있어. 한개의 빵은 숫자로 몇이야? 1이야. 정확히 1이지? 이 빵을 3명의 친구가 똑같은 크기로 나눴어. 얼만큼씩 받은거야? 각각 1/3이지? 1/3은 0.333333333...맞지? 0.33333333... 세개 더 하면 몇이야? 0.99999999... 맞지? 나눠줬던 빵을 다시 합치면 0.999999999... =1 맞지? 제발 유튭에선 이렇게 설명하라고
![[#유퀴즈온더블럭] "헐, 대박, 좋아!" 평소에 자주 쓴다면 주목! 서울대 교수님이 알려주는 어휘력이 중요한 이유💥](http://i.ytimg.com/vi/MApHC5KHx-k/mqdefault.jpg)
해당 영상의 각종 댓글읽기 영상도 있습니다
배댓에 우리나라의 수학이 미래가 밝다는 것을 느꼈고
최근 댓글을 보니 너무 밝아서 아무것도 보이지 않는다는 걸 느꼈다
우리나라 수학의 미래가 밝은게 아니라 우리나라 사람들 머리가 맑았던거임 ㅋㅋ
@@antec9075너 맑고 투명해서 별에 별게 다보임 ㅋㅋ
에휴 개벌레같은소리하네
1-0.999999... 라는 숫자가 들어가자나 대가리에 똥이차서 이딴말을하네 그냥 숫자가 너무 작아지니깐 1이라고 쳐주자라고 약속한거자나
으윽 눈이...
뭔 유튜브에서 우리나라 수학의 미래를 찾고 있냐? 그냥 노벨상 필즈상만 봐도 되는걸
0.9999..는 무한히 1에 가까워지는 상태의 수가 아니라 특정 상수값을 의미합니다. 즉 고정된 값이고 이를 표현하는 한계 때문에 1과 모습이 다른 것일 뿐 1과 같은 수의 다른 표현이라고 하네요.
고2때 배우는 lim_1 = 1 이다랑 같은거죠
또한 수직선은 연속인 x축 이기때문에 lim_x가 1로가면 연속이기에 x=1입니다
따라서 lim_1은 0.99999999…입니다
그러면 좌극한과 우극한이 같기때문에 lim_(1+)도 0.99999….이 됩니다.
그럼 닌 답 적을때 0.99999999……적어라
병아 그러면 객관식에 저런 답 없을텐데 그럼 답 없음 이렇게 하고 내삼 ㅌㅋㅋ
정작 카이스트에서 수리과학 전공하고 석사까지 따신 강사님은 0.99999는 비둘기가 아니에요 이러고 있네ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
비둘기야 먹자~ 가 나왔어야...
걍 웃김 ㅋㅋㅋㅋㅋ
문이과 겸용 인재네요
안가람인가ㅋㅋ
0.99999~와 1의 사이에는
0.99999~+1/2 가있는거아닌가요?
설명은명쾌하지않네요
0.999...는 소수점 아래의 9가 무한히 나열된 수이며 이것은 변화하는 상태가 아니라 정적 상태이다. ‘자연수’를 세는 인간의 본능 상 이러한 설명을 듣고 1과 완전히 동일하다는 생각에 도달할 수 없음을 헤아립시다.
처음에 이것들을 서로 다른 수라고 인식한다고 하여도, 다음의 설명 상에서 같게 동작한다는 것을 이해할 수 있습니다.
1. 분수적 접근
1/3 = 0.333...
1/3 x 3 = 1
0.333... x 3 = 0.999...
위의 계산과정에서 1/3과 0.333... 그리고 1과 0.999...는 서로 동일한 수 입니다.
2. 실수의 정의 상 접근
영상에서 나온 것입니다. 무한소수는 실수에 포함되며, 실수가 조밀성이라는 성질에 의해서 정의된다는 적용을 같이 받습니다.
따라서 서로 다른 두 실수 a,b (a
이 댓글보고 이해함.. 멋지십니다!
분수적 접근법 보니까 그...런가....? 싶은 것이 확 이해됐어요 감사해요
나도 분수로 이해했었지. 예전에 만화에 나오던 내용임
0.99999…랑 1사이에 0.00000……1이라는 수가 있는거 아닌가요? ㄹㅇ 궁금함
@@asdfpoiu915 0.999...라는 수는 의미하는 바 자체가 소수점 아래에 무한의 9가 이미 나열된 상태입니다. 현실에 존재하지 않기 때문에 와닿는 설명은 아니겠지만 그러한 수입니다. 그래서 0.999...와 1 사이에는 그 어떠한 틈새가 없으며, 또한 연상 상에서 둘은 같은 수입니다.
간단하게 1을 3으로 나누면 0.3333333…. 인데, 다시 3을 곱하면 0.99999999… 그러니 0.999999…. 랑 1은 같음
오 이해 못하는 사람한테 가장 적절한 설명이 될거 같습니다
와 이해가 확 되네
오 천재다
오 대박 쏙쏙
@@TacticalExpedition헐.. 이왜진?
솔직히말해서 유도과정은 이해되는데 1이랑 같다는거에 이질감 느껴짐
?? : 손님 여기 돼지고기 0.9999... kg입니다.
손님 : 왜 1Kg이 아니고..
?? : 0.9999...kg과 1kg은 같은 수입니다..저 수학 강사에게 물어 보세요. 전 틀리지 않았습니다.
손님 : 이런 개..
이런 느낌?
진짜 뇌로는 몇가지 증명을 이해했는데 감정이 이해를 잘 못함
이걸 연립방정식으로 증명하면 이해가 금방 되실거에요!
x=0.99999...
그럼 0.899999999999999 도 0.9 인가요@@user-pv1fz5rl9y
10진법 표현이라 그렇습니다 하필 9999인건요 이진법이었으면 0.111111... 입니다 이러면 조금이라도 더 이해가 잘 갈수도 그니까 소수로 표현할 수 있는 0과 1 중 가장 큰 수라 1과 같은거
무엇인가를 하기 위해 가장 중요한 것은 정의(없던 개념을 부르기 쉽게 하는 사회적 약속)와
정리(있던 개념 중에서 새롭게 찾아 낸 사회적 발견)를 알아야 합니다.
이러한 사실을 모르고 어떤 현상을 맞닥뜨리게 되면
이해를 하려고 시간을 엄청나게 소비하다가 이해를 두배 반이나 더하게 되고
오해가 시작됩니다.
맞닥뜨리다
@@usizm 넵 감사합니다.
선생님께서 하신 이 증명은 앱실론-델타 증명을 간단하게 설명한 방법이며 이를 더 깊게 설명하자면 다음과 같습니다. 이해하기 위해서 알아야할 개념이 많고 까다로울 수 있지만 한 번 이해할 수 있다면 더 이상 헷갈릴 일은 없을 겁니다.
우선 '무한소수'라는 개념을 다시 살펴봅시다. 만약 알고 싶은 무한소수가 0.999...라고 칠 때
a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999 ....
이렇게 정의해볼 수 있겠습니다. 무한소수는 이러한 수열들의 가장 마지막 지점, 즉 극한이라 할 수 있습니다.
여기서 a_n의 극한이 a라 하는 것은 특정 양수 ɛ(앱실론)에 대해서 ( a - a_n )의 값이 ɛ보다 반드시 작도록 하는 n이 존재함을 의미합니다.
예를 들어서 ɛ = 0.000001이라 치면 a = 0.999999999..., a_7 = 0.9999999로 a - a_7 = 0.000000099...., 즉 ɛ보다 작네요 이런 식입니다. 이것은 무한히 접근한다라는 표현을 수학적으로 설명한 부분입니다.
그럼 이제 다음의 두 가지 문제를 해결하면 됩니다
1. 수열 a_n의 극한값이 존재하는가?
2. 만약 존재한다면 a_n의 극한값은 무엇인가?
먼저 첫 번째 문제에 대한 답을 풀려면 모든 수열 a_n의 집합, 즉 A = { a_n | n € R}이 상계를 가진다는 것을 알아야합니다. 상계라는 개념은 어렵지 않습니다. 그냥 단순히 숫자 10이 0.999...보다 크므로 10은 A의 상계라 할 수 있습니다.
이러한 상계가 존재한다면 상한 또한 존재합니다. 여기서 상한이란 '모든 자연수 n에 대해 a_n 보다 크거나 같은 수들 중에서 가장 작은 수'를 의미합니다. A의 상계 중 하나인 10도 모든 a_n보다 크므로 상한은 10보다 작거나 같은 값을 가지게 됩니다.
이제 이 상한이 a_n의 극한값임을 증명해야합니다. 우선 a_n은 단조증가수열로 절대 감소하지 않는 수열입니다. a_1 = 0.9, a_2 = 0.99 ... 1에 가까워지듯이 계속해서 증가하죠. 한 번이라도 감소하면 그것은 단조가 아닙니다. (1 0 1 0 1 ...은 단조가 아님)
또한 a_n은 유계입니다. 기본적으로 모든 a_n은 소수이기 때문에 0보다 크고 1보다 작습니다. 이러한 제한을 갖는 수열을 유계라고 합니다. (1 2 3 4 ....은 유계가 아님)
이러한 유계이면서 단조인 실수 수열들은 모두 수렴한다는 것이 '단조 수렴 정리'이며 이 때 극한값은 상한입니다.
이를 증명하기 위해 우선 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라고 가정해보겠습니다. 이 때 상한이 c라고 한다면 n을 아무리 키워도 ( c - a_n )의 값이 ɛ보다 크게 됩니다. 즉 반드시 c - a_n > ɛ (->) a_n < c - ɛ가 됩니다. 여기서 a_n은 단조증가수열이기 때문에 n보다 작은 수인 모든 m에 대하여 a_m < a_n < c - ɛ가 되며 이는 모든 n에 대해서 a_n < c - ɛ로 정의할 수 있습니다.
그러나 이러한 정의 자체가 모순인 것이 모든 a_n이 c - 0.5ɛ보다 작으므로 c - 0.5ɛ또한 상계가 됩니다만 이것은 기존에 정한 상한값인 c보다 작아 '상계 중에서 제일 작은 값'이라는 정의에 모순됩니다. 즉 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라는 가정은 틀렸다는 것을 증명했으며 이는 '상한값은 극한값이다'의 증명으로 이어집니다.
이렇게 첫 번째의 답은 '상한값으로 존재한다'로 증명했습니다. 그럼 이제 두번째 문제입니다. 극한값은 존재한다가 증명되었으니 이제 그 값을 구하면 됩니다. a_n = 1 - ( 1/10 )^n 으로 표현할 수 있으며 이 때 상한값은 1입니다. 그래서 극한값은 1이 되며 즉 0.999... = 1이 됩니다.
더 궁금하신 점 있으시면 얼마든지 물어보세요
전공자시군요 ㅎㅎㅎ
@@hyoungucho 전공자는 아니고 그냥 수학에 관심이 많은 대학생입니다 ㅎㅎ
다 읽고 이해하는데 좀 걸렸습니다.. 입시판을 뜬지 얼마 되지 않았음에도 이해하는데 어려움을 겪었네요.. 수학은 참 파도 파도 끝이 없는 학문인 것 같습니다 ㅋㅋ
최고입니다 제가 원하던 설명
뜨어...😮
목의 각도에서 부터 느껴지는 천재의 아우라
스터딩 바디
ㅋㅋㅋㅋ
@@user-mp9ig7no3c 😂 게이밍 바디 비빌듯
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ이거 레알ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이런 댓 너무 좋아 ㅋㅋ
그런데 이것은 틀렸습니다
음성지원 ㅋㅋㅋㅋㅋ
0.☆☆☆☆
저희가 정의하지못한 숫자라고해서 같다라고 말하는게 틀렸습니다.
목소리가 들렸음 ㅋㅋㅋ
진짜로 틀리긴 했죠.
최신댓글은 마치 우범지대를 보는듯 하다.
잔학무도한 수학 범죄자들과 그들을 검거하러 배회하는 수학 순찰대간의 팽팽한 대결이 일품이다.
하지만 대부분을 검거해도, 교화되는 사람은 없었다..
이과의 황야를 배회하는 문과의 향취가 느껴지는 글이군요
보통 쉽게 설명할때
1/3 = 0.33333
1/3 * 3 = 0.33333 * 3 = 1로 설명하는데
또 다르게
0.99999를 x로 둘때
10x = 9.99999
10x - x = 9x = 9
즉 x = 1로 봐도 직관적으로 이해가 됨
근데 진짜 이해하려고 해도
0.9999999999999••• = 1
이질감에서 벗어날 수가 없다 ..
반대로 이렇게 생각해봐도 되요.
0.999~ 를 우리가 받아들이는 개념은
0.999~ 가 정지되어있다기 보단
아무리 0.999를 많이 적어도 그 끝엔 항상 9가 끊임없이 존재하는 뭔가... 살아움직이면서 증가하는 개념이에요.
마치 수가 살아서 움직인다 해야하나..
그러면 어짜피 계속 살아 움직이는 친구고 그 끝을 칼로 자르듯이 딱 정리할수 없다면, 이 친구가 움직이는 규칙성은 발견할 수 있죠.
얘는 1로 무한이 다가가는 중입니다. 0.999~와 1 사이엔 어떤 실수도 올 수 없습니다. 그렇다면 이 친구는 1이 아니지만 1로 무한히 다가는중 아닐까?
이 친구는 그럼 1로 무한이 다가가는 중이라 하자. 라고해서
0.999가 무한하게 다가가는 숫자는 = 1
1) 0.999~ = 1 이 아니라
2) 0.999~가 다가가는 중인 숫자는 = 1
이런 개념인거죠.
1)는 대학 수학 미분적분학에서 증명하고
2) 는 고등학교 교육과정입니다.
@@user-oy3sl1fn5n 웅 아니야~ 니가 그렇게 말하니 더 혼돈 가지는거다..
그냥 9.999.. 가 1이야 1대1 대응되니까..
999999가 연속 되고 있는 진행형은 정확히 말하면 아니고 ..그냥 그런 수야
니가 100만번재 찾으려고하면 9가 발생되는게아니고..원래 존자하는 수라고..
@@KKKim-ej5rw애초에 그런 가정을 한 것이니 틀리다 맞다를 지적할 필요도 없고 이해를 돕기 위해 한 합리적인 가정인 것 같은데요... 그리고 9.9999가 어떻게 1입니까....
3/3=1
3나누기 3하면 0.999…=1
됐지요?
@@user-bk6rw5se5p 이쉑히...팩폭에 정신 가출 했네~ ㅋㅋㅋㅋ말해줘도 이해못할테니 그냥 평생 하던데로 하라고~ 신경은 마누라한테나 신경쓰고~
앗..미안..모쏠 독고한테...
요건 몰랏으니~ 나도 너 모쏠인건 안궁금해 할께~ 요런느낌~🤣
저걸 배우는 이유는, 특히 중학교 때 배우는 이유는 '무한소수도 수다' 라는걸 알려주기 위해서임. 그니까 0.999...가 1에 다가가는 '상태' 의 개념이 아니라 진짜 그냥 '수'라고. 저걸 배우기 전에는 학생들의 개념속에 무한히 나열돼있는 수는 수직선 상에 점을 찍을수가 없음. 생각해보면 '0.9보다 크고 0.99보다 크고 ... 근데 1보단 작은 어떤 수' 라고 하면 0.999.. 를 '숫자' 로 이해할 수 없음. 또한 같은 맥락으로 우리 주변의 무수히 많은 '무리수' 들을 '숫자'로 표현할 수도 없게 됨. 이런 생각을 바꾸고 "무리수와 무한소수도 숫자고 수직선 상의 한 점으로 정확히! 찍을 수 있다" 라는걸 이해시키기 위해 이런 개념을 배우는 것임
아닙니다 당신이 말한건 무리수 루트 나오는 중3과정에서나 해당되는 얘기고 중2서 배우는이유는 당신이 말한 단순 모든 무한소수를 얘기하는게 아니라 오직 순환소수 (순환하는 무한 소수일 경우)는 유리수 이다는걸 증명하기 위함이에요 ㅡ.ㅡ
@@user-tf4cd9zp4h 치료받으셈
@@user-tf4cd9zp4h 이건 뭔소리야... 표기도 이상하고 그냥 개념 자체가 다 무너진건가
@@zeenee 중2 순환소수에서 배웁니다
당신이 중학교 2학년 이상의 학력을 갖고있다면
분수(유리수)를 소수(유한소수 또는 무한순환소수)로 바꿀 수 있어야하고
그 반대로도 할 수 있어야 합니다.
0.99999.....가 1인걸 납득을 못한다는건 당신이 아직 중2수학을 안배웠거나, 배웠지만 새까맣게 까먹었다는 뜻입니다.
둘은 다른 표현이지만 서로 아무런 차이가 없는 같은 값이라는걸 이해하신다면 당신은 자연계열 학문에 뛰어난 재능을 갖춘 인재라는 뜻입니다. 얼른 대학원으로 오세요❤
이미 다른 죄를 지어서 공과계열 대학원에 하옥되어버렸습니다...
입시 준비중인데 응원이되네요 감사합니다
대가리에 0.000...0001밖에 생각안나면 개추ㅋㅋㅋ
0.9999•••에 0.0000•••01만큼 더하면
1이 되버리기 때문에
결국 0.999•••의 다음 수는 이것보다 크고 1보다 작은 수로 존재해 있을 수 없다는 겁니다
따라서 0.9999•••는 수직선에 나타내었을때 1과 같은수가 된다는 거죠
같은 이유로 9.999•••가 10과 같아지는거죠
이게 이해가 안된다면 그냥 반올림해서 1이 된다고 생각하면 됩니다...
+중딩이라 이 글에 대한 설명에 부족함과 허점이 좀 많을거 같다고 생각합니다 반박시 님들말이 다 맞습니다 죄송합니다
무한에 끝이 있다고 가정하면 어캄;;
병신임?
@@슈잉누가가져갔냐 그럼
모든 a,b,c가 실수인 가정하에 a
@@슈잉누가가져갔냐
0.999...에 0.000...1을 더하면
1.000...0999... = 1.000...1000...입니다
1.000... 은 1.000...1000...은 다른 수죠
끝자리를 정의할 수 있는 수는 더이상 무한소수가 아닙니다
영상 내용은 대충 이런 뜻임.
실수는 조밀성(a
조밀성이 뮈죠
@user-dn9cd6kl6o 어떤 공간을 조밀하게 채우는 부분 집합을 말합니다. 유리수와 무리수, 실수는 조밀성이 있고 정수는 조밀성이 없습니다.
쉽게 말해 유리수와 유리수 사이에는 무한히 많은 유리수가 존재하죠? 이런 걸 조밀성이라고 합니다. 0.1과 0.2 사이에는 0.11, 0.12....가 있고, 0.11과 0.12사이에는 0.111, 0.112..가 있고..
그러나 정수와 정수 사이에는 유한한 개수의 정수만이 존재합니다. '다음 수' 라는 개념이 성립하죠. 유리수는 0.1과 0.2 사이의 수가 있지만, 정수는 1과 2 사이의 정수가 있나요? 그렇지 않죠. 그렇다면 조밀성이 없습니다.
실수는 애초에 그 부분집합인 유리수와 무리수가 조밀성이 있고, 수직선이 무한히 많은 점의 집합인 만큼 조밀성이 존재합니다. 그러나 이에 따르면 0.9999..와 1사이에도 다른 실수가 무수히 존재해야 하는데 0.9999...보다 크면서 1보다 작은 실수는 없어요. 모든 자릿수가 9이니 하나를 더 늘리면 1.0000..9999....와 같은 식이 될 테니까요. 1보다 작으려면 어느 것 하나도 늘릴 수 없죠. 그러므로 0.9999..와 1은 같은 수라고 할 수 있습니다. 두 수가 다르면 사이에 뭐가 있어야 하는데 아무것도 없으니 두 수는 다르지 않았던, 즉 같았던 것이죠. A
@@달뜬낮 자세한 설명 감사합니다.
덕분에 잘 이해됐어요
@@달뜬낮 배운 명쾌한 해설 감사합니다
그말대로라면
0.99999와 어딘지 모를 끝부분의 0.9999998 같은게 있을때 그것 또한 같다라면은 결국은 모든 숫자가 같다는 논리가 성립되는건가요?
자막을 잘못 달아놔서 사람들이 헷갈려 한다
최신 댓글 보니까 우리나라 수준이 한참 뒤떨어져보인다 어떡하지
와 저도 장난으로 봤는데 진짜 놀랬어요.. 허
수학을 전공한 사람 입장에서 말씀을 올려봅니다. 수학이라는 학문은 추상화 과정을 통해 개념을 만들고 큰 틀인 정의하에 정리들을 만들며 우주의 현상을 설명하려 합니다. 그 정의 하에 페아노 공리로서 자연수를, 군, 환, 체론을 이용하여 다양한 수 체계를 형성합니다. 예로부터 인류는 눈에 보이는 것을 헤아리기 위해 자연수라는 체계를 만들고 필요에 의해 수 개념의 확장을 이루어낸 것이고, 이러한 확장을 통해 점점 더 다양한 우주현상을 이해하고 설명해 가고 있습니다.
누군가는 원을 궁금해 했을 것입니다. 실을 원모양으로 만들면 원을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 눈으로 보입니다. 하지만 반지름이 변할 때 원의 둘레가 어떤 방식으로 변하는지 궁금했을 수 있습니다. 그래서 수학자들은 반지름에 대한 원의 길이를 수없이 근사시켜 나갔습니다. 수학자들은 값이 하나로 정해지지 않는다는 걸 곧 깨달았고 이와 같은 현상은 삼각형에서도 나타났겠죠. 밑변과 높이가 각각 1인 직각이등변 삼각형의 빗변을 구하지 못했습니다. 이것이 훗날 수학 개념의 발전으로 추상화해낸 무리수 파이와 루트2의 개념인 것이죠. 이것을 인류가 이해하지 못한 궤변을 만들어 냈다고 하는 게 옳은 생각일지, 아니면 이해하기 위해 최대한 수단을 강구하여 정의한 것인지에 대해 생각해 볼 필요가 있습니다.
엡실론 델타도 마찬가지입니다. 극한의 개념은 매우 추상적입니다. 하지만 되돌아보면 1이라는 숫자하나도 추상적이지 않습니까? 단지 페아노 공리에 의해 정해진 숫자 1은 추상적이지 않나요? 1이라는 숫자는 궤변이 아닌가요?
이러한 정의들로 우주를 이해하려 노력하는 수학자들의 말이 궤변이라고 말한다면 어찌 자동차를 만들고, 우주를 여행 할 수 있겠습니까. 그저 우린 그들이 노력하여 만든 정의와 정리들을 끊임없이 이해하고 사용해보며, 궤변이라는 말보다는 그 정의하에 생기는 모순을 비판하고 새로운 것을 만들어 나가야 한다고 생각합니다.
ㅇㅈ 뭔가 처음부터 만들어진 공식들도 숫자기준이 달라지면 다 바뀔꺼같고 그럼 새로운 이론도 만들엇을꺼같기도함
이 글이 글인가요? 그림인가요?
멋져용
수학의 원론을 설명해주셨네 감사요
그럼 수학시험 폐지하는것은 어떤가요?
그니까 강사잘못은 영상아래 0.99999=1을 0.99999...=1로 고쳐야하는거네
있잖아 칠판에 눈없나?
영상에선 0.99999•••를 순환소수로 말하니 알잘딱하게 들어야지... 근데 유튜브 영상 제목으론 잘못 표기한 게 맞음
@@user-nk4fl7ex3o없잖아 제목에 눈없냐?
@@제뉴ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@user-nk4fl7ex3o칠판에 눈이 어디있어.. 눈은 면상에 달렸지...
간단한 식으로도 정리됨
x = 0.9999...
10x-x = 9.9999...-0.9999... = 9 = 9x
따라서 x = 0.999.... = 1
무한 +무한이니 이 식은 잘못된 식입니다
@@wyoni 왜 안되나요
@@wyoni그 무한이 아니잖아요 1에 무한으로 다가간다는것이 어떻게 무한이라고 할수있죠? 님이 말한다는건 x가 무한대로 발산할경우를 말하는겁니다
최신댓글 이 사람들은 그냥 무한소수를 모름 ㅋㅋ 그러니까 갈통 댓글을 써재끼는거
무한소수 모르는건 흔하고 심지어 어떤 댓글은 덧셈뺄셈도 못함 ㅋㅋㅋ
뭔 소린지 모르겠고 낼 구구콘이나 사먹어야겠다...
헤헤 구구콘 맛나겠다
의무교육 안받음?
저도요ㅋㅋ
구구크러스터도 맛있음 스트레스받을때 퍼먹으세요
아는척하는 저능아들보다 훨씬 멋있으십니다
본 영상은 0.9999... = 1이다의 엄밀한 증명은 아닙니다. 증명과정을 꼼꼼히 따져보면 애초에 실수가 수직선에 대응된다는 가정을 증명하지도, 그 가정을 사용하지도 않습니다. 영상에서는 0.999...가 일단 어떤 '수'라고 가정한 뒤, 이 수는 1보다 작을 수도 클 수도 없으니 1과 같다라고 증명합니다. 즉, 실수의 순서 공리만을 사용한 것이죠.
엄밀한 증명은 다음과 같은 과정을 거쳐야 합니다.
1. 0.999...라는 '표현'의 수학적 정의 -> 0.9 + 0.09 + 0.009 ...라는 수열의 수렴값이다.
2. 앞서 말한 수렴값의 존재성 증명 -> 수열이 sumpremum이 존재하는 증가수열임을 증명
3. 존재성이 증명된 수렴값이 1임을 증명. -> 앞서 두 개를 했다면 얘는 쉽습니다.
물론 이 모든 과정은 실수 체계에서는 입실론-델타 논법으로 대체 가능합니다.
감사합니다. 저 강사님 말을 듣고 실수가 수직선에 대응된다는 가정이 틀리면 어떻게 하죠? 라는 의문이 생겼는데, 바로 풀어주셨네요.
@@user-ie8tk5xx3e 안 엄밀하다는 게 정확히 그 뜻인데요.
너무 당연한 건 맥락상 생략할 수 있겠죠. 수학교수님들 사이에서 학부 1학년 수준의 내용을 빠뜨렸다고 안 엄밀하다고는 안 합니다. 적어도 제가 보기엔 이 영상의 수준에선 실수의 성질은 빠뜨리면 안 돼요.
그리고 애초에, 왜 0.999..보다 크고 1보다 작은 실수는 없죠? 0.xxx...의 x 자리에 아무리 숫자를 잘 넣으려고 해봐도 안 되니까? 이런 식으로 증명하면 대학수학에서는 무조건 0점입니다.
@@user-ie8tk5xx3e 직관적으로는 그럴듯해 보이지만 엄밀하게 따져보면 틀렸거나 증명하기 매우 어려운 명제들은 수도없이 많습니다. 또한, 참이라 하더라도 직관적이고 쉽게 증명할 수 있을 것 같아도 정작 엄밀한 증명을 시도하면 잘 안 되는 명제도 많습니다.
아르키메데스의 원리가 좋은 예시라 생각합니다. 임의의 두 양수 x, y에 대해, nx > y가 를 만족시키는 자연수 y가 존재한다. 겉으로 보기에는 존나 쉬워 보입니다. 그냥 n을 무진장 키워버리면 nx는 끝도 없이 키울 수 있으니까요. 근데 이걸 '수식적으로' 증명하려 하면 불가능합니다. 아르키메데스의 원리는 실수의 완비성 공리와 동치인 명제로, 적어도 제가 아는 선에선 완비성 공리를 언급하지 않으면 증명할 수 없습니다.
'수식적으로 0.xxx...의 모든 자릿수가 9일 수밖에 없다'라고 언급하셨는데, 이건 0.99..보다 크고 1보다 작은 실수가 존재할 수 없다는 것의 증명이 아닙니다. 어떤 수가 존재하지 않는다는 것을 증명하려면 대부분 귀류법을 사용합니다. 이 문제에서는 수학적 표현과 실제 수 체계의 일대일대응이 증명된 가정하에 construction이 불가능하다는 것을 사용하려 한 것이죠. 그런데 우리가 '상식적으로' 사용하는 10진법은 실수 체계와의 일대일 대응이 성립하지 않기 때문에 construction이 안 되는데요? 라고 증명하면 엄밀하지 않은 수준이 아니라 아예 틀린 증명이라는 겁니다.
마지막에 '엄밀한 증명의 한 부류로 받아들였으면 합니다.'라고 하셨는데, 무슨 말씀하고 싶으신지는 알겠습니다. 다만 저는 동의할 수 없습니다. 애초에 '엄밀하다'라는 단어는 일상생활에서 거의 사용되지 않습니다. 대부분 수학계에서 사용되죠. 언어의 사회성에 따라, '엄밀하다'라는 단어는 수학계에서 사용하는 의미를 따라주셨으면 합니다.
대신 '맞는 증명'이라는 표현은, 청자가 수학 비전공자라면 충분히 사용할 의사가 있습니다. 영상에서 하는 말이 실제로 엄밀하게는 구멍이 있지만 틀린 말은 아니며, '맞다'라는 표현은 일상생활에서도 많이 쓰므로 그 표현의 해석이 굉장히 다양할 수 있기 때문입니다.
@@user-ie8tk5xx3e 엄밀하다는 단어 뜻을 모르시나보네 ㅋㅋ 어지럽네 이런건 한국말은 좀 제대로 배웁시다
답글에서 증명과정에 대한 설명을 부연하자면 증명의 결과를 제시하지 못했네요. 1번 가정에 의하면 0.999...를 0.9+0.09+... 수열로 표현할 수 있다면 해당 연산식을 계산하여 1이 된다면 0.999... = 1라는 명제가 참이 되는 거죠?
최신순은 진짜 국밥이다ㄹㅇ
ㄹㅇ 끊을수가 없음 또 어떤 수학 범죄가 벌어졌을지 매일매일이 기대됨
@@user-kq8cd2oo6t ㄹㅇㅋㅋ
@@user-kq8cd2oo6t수학범죄 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 0.999... 같은걸 공부할때 빼고 실용에서 접할일이 없기도 함. 그래서 원래부터 충분한 수학적 지식이 있었던게 아니면 0.999... 라는 걸 딱봤을때 엄밀히 따져들어서 궁금해하고 수학을 보는 관점을 쌓기보단, 내가 그동안 내가 맞다고 생각했던걸 그대로 믿고 새롭게 접한 사실을 부정하는게 차라리 맘편하기도 할거같음
"0.99999"가 아니라 "0.9999999..." 즉 무한(순환)소수 일때 적용되는 개념입니다.
x = 0.99999999.... 일때
10x = 9.99999999999......가 됩니다.
이때 방정식을 사용해보면
10x - x = 9.9999.... - 0.99999....
9x = 9
x = 1 이 됩니다.
@@Sixeightsixsix4741 이 개념 말고도 증명할수있는게 몇개 더 있는거로 알고있는데 이게 아마 이해하기 쉬웠던것같아요
수학에 있어야할 통일성에서 자리수가 맞지 않는 개념입니다. 메이저 약속이 그렇다라고 하는 편이 옳습니다.
@@ajuga9392 무슨 뜻인지는 잘 모르겠지만, 무한소수의 자릿수 한개를 앞쪽으로 땡겨왔으므로, 다른 수이다. 라는 뜻이라면....
무한은 수가 아닙니다. 엄밀히 말하자면 상태값이에요.
즉, 무한에 무슨 수를 빼든, 더하든, 같은 무한입니다.
@@ajuga9392 맞아요 결국 저 증명방식도 정해진 규칙들에 의해서 구현된거죠. 소수에 10을 곱하면 소숫점자리수가 바뀐다던가, 무한소수에서는 빼기연산이 자리수별로 진행된다는점...등등 뭐가 어쨋든 이 증명은 현재로써는 유효한 증명입니다.
보통은 이렇게설명했던것같아요 "0.9999....는 무한히 9의 개수를 늘려가면서 정수(1)과 계속 가까워지고있으며 그 끝은 결국 1과 같다" 또는
"0.999999999.....와 1 사이에는 어떠한 수도 위치할수없다" .. 근데 규칙을 처음듣거나 마치 마술쇼를 보면서 트릭을 알아내려고 하는사람들을 위해 여러 증명방법들이 나왔을뿐
x 가 수렴하는 수임을 가정했기때문에 엄밀한 증명은 아닙니다
입실론델타논법에서 쓰이는 개념입니다:)
멋있네요!!
대학수학1
극한의 엄밀한 정의, 대학교 1학년 때 배우죠..
미분적분학 1에서 배웠던거같아요~
고딩 때도 배움
이거 맞음. 와. 이렇게 쉽게 설명할 수 있다니. 역시 천재 수학강사네
이거 자막에 0.99999=1 이라고 잘못 써놔서 100명이 바보같은 댓글달 거 1000명이 달고 있네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이건 편집자 잘못도 크다
아니 애황님 롤에 이어서 수학까지 잘하시면 ㅠㅠ
수학적으로 해당 문제를 가장 잘 설명하는 방법은 다음과 같습니다.
우선 엡실론-델타 논법을 알아야 합니다. 엡실론-델타 논법이란, 어떤 수열 a_n이 a로 수렴한다는 것의 정의를 '임의의 ε(epsilon)를 잡더라도, n>N인 모든 n에 대해 |a_n- a|
와 이걸 다 적으시네 대단하십니다. 전 귀찮아서 다른 댓글들에서 다 생략했는데
뭣
이 영상 내용도 모르는 사람들이 입실론-델타 논법과 단조수렴정리를 과연 알까요?
다들 많이 사용하는 10x-x=9, x=1 이 증명법도 단조수렴정리를 만족하는 x라는 가정이 필요하다는것도 모르는데
영상이랑 같은 얘기지않나? 더 어렵게ㅜ설명하시는거같른데
음..‘0.9999...’은 정확히 1바로 옆자리아닌가요..?
우리가 수직선상에 무한대로 앉아있다칩시다
무한대의 인간들에게 각 이름을 부여해요
철수 영희 상철 ...머 등등
아무리 많고 무한하다한들
상철이는 상철이지 상철이는 영희가 아닙니다
...0.9999는 0.9999고 1은 1입니다
최신순은 왜 국어도 어딘가가 고장난 것 같지
ㅋㅋㅋ
그냥 중2때 배운 순환소수를 분수로 바꾸는 것만 알아도 1인걸 알수있는데 0.999... = 9/9 = 1
그건 조립제법처럼 원리는 배제한 채 사용하는 공식일 뿐이고, 이건 그 이유를 설명해 주는 영상입니다. 뭐 댓글 상태를 보니 그것조차 모르는 사람도 많은 것 같네요 ㅋㅋ;
@@user-ho5wf8nv3c 아 이영상이 이유를 설명해주는 영상이였군요 제가 주제를 잘못 파악했네요
등비수열 관점:
등비수열은 3,9,27,81.. 와 같이 어떤 항에 일정한 수를 곱한것이 다음 항이 되는 수열.
이때 0.999...을 0.9+0.09+0.009+...으로 생각하고 더하는 각 항을 수열의 항으로 보면 이 수열의 일반항 an은 0.9×(0.1)^(n-1)임
우리가 구하고자 하는 0.999...는 등비급수로 생각할 수 있음.
이때 등비급수의 공식에 의해 0.999.. = 0.9/(1-0.1) = 1
순환소수는 중2때 처음 나오는 개념이니 학생들에게는 교과서에서 나오는 방법으로 설명해주는게 좋다고 생각합니다.
수직선=실수 개념은 중3 과정이라 실수를 배우지 않은 학생들에게는 오히려 혼란을 줍니다.
대상이 중학생은 아닌 것 같은데요? 그리고 저도 순환소수 배우면서 저 개념 교과서로 배울 때 아니 그래서 왜 1이랑 같다는 건지 이해 못했음. 결국 고등학교 입학하기 직전에 생각해보다가 혼자 수식 세워서 이해했고...
왜 교과서 설명으로만 가르쳐야하노 수학이 사고력의 학문인데
님같이 공부하니까 수학 못하는 애들이 생기는 거임
실수의 정의는 중3이 맞지만 이 영상은 실수라는 원시적인 개념만 써도 되기 때문에 이 설명이 더 직관적인듯. 수능 4등급이었던 저도 이정도는 초6때 혼자 머리 굴리다가 생각해냈어요
교육과정에 맞는 설명도 필요하긴 하지
수학에서 말하는 두 수가 같다의 정의를 제대로 이해하고 있다면 모를리가 없는 내용이지만 그걸 제대로 배우지 않은 중고등학생들에게는 이런 쇼츠 하나로 온전히 이해되긴 쉽지 않겠죠. 하지만 자기가 이해안된다고 마냥 틀렸다고 외친다면 우물 안 개구리 소리밖에 못 듣습니다.
근데 강사로서는 못가르친다 할수 있는거 아닌가..온전히 이해하기 쉽지 않다면
@@user-je4gn9qh7e 이정도를 이해못하면 아이큐 검사를 한번 받아보는게 나은정도 아닌가요
@@user-ed2cn6ti6k 아니 원댓에 온전히 이해되긴 쉽지않겠다는데 ㅋㅋㅋㅋ 맥락을 못읽는거임?
@@user-je4gn9qh7e ㄴㄴ 못가르쳐서 온전히 이해하기 쉽지 않은거랑, 고집이 쎄서 혹은 바보라서 이해를 못하기에 온전히 이해되긴 쉽지 않은거랑 같은거라고 할 수 없댱
잘 가르쳐도 가르침 받는 입장에서 고집부리고 막무가내로 수긍 안하려고 필사적이라면 아무리 애를 써도 가르칠 수 없댱
중요한 내용을 빠트리고 두 수가 같다고만 쇼츠로 내보내면 누구나 반감 가지겠죠. 수학적으로 지식을 갖춘 사람이라면 이 쇼츠에 반발해야하지 않을까요? 다수가 모르는 내용인데 그걸 이해시키려는 설명을 해야지. 이런 영상은 해만 됨.
순환소수로만 생각하는거보다 좌표랑 실수의 성질로 설명하시니까 더 논리적인거같아서 좋네요
수학교육과 전공자가 설명드릴께요.
우리는 보통 수를 자연수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수 이런 것을 수라고 합니다.
초등학생때 소수를 배우지만 소수는 수학에서 얘기하는 수는 아닙니다.
그런데 소수를 분수로 나타낼수있는 것은 유리수라고 합니다.
그러면 소수는 무엇일까요?
소수는 우리가 직관적으로 수의 크기를 파악하기 쉽게 분수를 소수점아래수로 표현한것입니다. 즉, 분수(유리수)를 다른 방식으로 표현한것입니다.
따라서 교과서에 나온 증명처럼
x를 0.999….라고 하고,
10x-x=9이므로 9x=9가 되서 x=1이 됩니다.
무한소수의 생김새에 속으면 안됩니다! ㅎㅎㅎ
1의 다른 표현이 0.9999…..이다라고 생각하면되요.
그리고 참고로 주의할 점은 무한소수는 유한소수와 특징이 다르다는 점입니다. 직관으로 생각했을때 틀릴수있답니다.
궁금한게 1=0.9999~면 0=0.0000~가 성립해야되는데 0으로는 나눌 수없지만 0.0000~으로는 나눌 수 있으니까 귀류법에 의해서 부정되지않나요?
@@user-ey2ub9qc8h
1-0.9999....를 굳이 소수로 쓰면 0.0000....일테고 이건 0과 같습니다.
0으로는 못나눠요
0.999...=x 로두고 10x-x를 하려면 애초에 9의 개수가 같냐의 문제가 먼저 생깁니다. 그리고 두 수를 뺀다는건 애초에 수렴해야 가능하기때문에 단조수렴정리로 수렴함을 보여야합니다. 애초에 무한을 안배우는 중학생한테 들이밀 증명이 아닌데 그냥 직관적으로 받아들여라는 의미의 증명이죠. 그냥 이렇게 보여주고 고등학교가서 다시 증명할거야 하는게 맞죠.
@@idolconcert.아뇨 님이 말씀하시는 그런 극한, 수렴의 문제가 아니라 그냥 0.999•••인 순환소수는 1이다. 라는 명제에 대해 배우고 개념을 습득하는 단계인겁니다. 수렴, 극한이랑 상관 없이요
그리고 10x와 x는 9의 갯수도 완벽하게 일치합니다. 직선을 평행이동 시킨다 해서 다른 직선이 되지는 않는 것 처럼이요. 아마 극한을 생각하시면서 속도개념이나 상태개념을 생각하시는 것 같은데 0.999•••는 수렴하는 상태나 9가 무한히 늘어나고 있는 상태가 아닌 더이상 9가 추가되지 못할 정도로 무한히 늘어져 있는 정적인 '숫자' 인겁니다. 흔히들 극한이랑 착각들 하시는데 극한과는 엄연히 달라요. 수가 연속성을 가져서 헷갈리시는 겁니다.
0.99...랑 1이랑 다르다 하시는 분은 함수의 극한을 배울때 극한값과 함수값이 다르다라고 배워서인것 같아요.
이것은 함수를 통틀어서 말할때의 얘기고 좀더 세분화하면 비연속 함수는 다르고 연속함수는 같습니다.
f(x)=x
lim[x->1-]f(x) : 좌극한 (0.999...) lim[x->1+]f(x) : 우극한 (1.000...)
좌극한과 우극한은 모두 1로 수렴하므로
f(x) 는 연속함수이다
따라서 좌극한과 우극한은 함수값에 무한이 가까워지는 값이 아니라 그냥 함수값과 같습니다.
그러므로 0.999... = 1 = 1.000...
무슨 말을 하시고 싶은지는 알겠지만 그건 충분한 설명이 아닙니다. 좌극한과 우극한이 같다고 해당 함수가 연속인 것은 아니기 때문입니다.
따라서 엡실론-델타 논법을 이용하여 x가 해당 구간에서 연속임을 먼저 보인 뒤 보여주신 논증을 사용하시면 훌륭한 증명이 될 듯 합니다.
(참고로 해당 함수의 좌극한이 왜 0.999..인지도 추가로 증명해야 합니다.)
@@user-ut9tc2hw3g 맞습니다. 엄밀한 정의는 그게 맞지요. 하지만 대화나 설득에서는 맞는 설명이 항상 옳은 설명인건 아닙니다. 극한의 개념조차 모르는 사람들한테 입실론 델타 논법을 말해봐야 벽에 대고 소리치는거니까요.
0.9를 정수로 표현하면 1이다 라는 것과 같은 착각입니다. 무한소수를 유한소수로 표현을 할려다 보니, 0.999..가 1이 되는 것일 뿐. 반올림 하는 것과 전혀 다를 바가 없습니다. 무한의 개념에서는 1과 2 사이에 또 다른 정수가 존재하는 것이므로, 0.9999 와 1 사이에는 정의를 하지 않았을 뿐, 관념의 숫자는 명백하게 존재하죠.
@@user-ho7cf8nq5x
동의하는 바입니다.
0.9999.. 와 1 사이에는 무한한 실수가 존재하는거 같은데요.
결국 아무리 가까워지더라도 끝에 도달할 수 없어야 할 것 같은데, 그냥 극한으로 보낸다는 것 자체가 가정인데. 0.999… 를 1로 보자고 합의한것이지 1은 아니지 않을까 싶습니다
저도 대화에 껴주세요 ㅠㅠ뭔말인지 1도 모르겠음
지나가던 수학과입니다. (현재 저 분이랑 같은 대학교 학부 재학 중입니다.)이 영상을 보고 0.999...=1이라는 사실을 납득하지 못하시는 초~중학생 분들이 많습니다. 하지만 저는 지극히 당연한 일이라고 말해드리고 싶어요.
제가 7살 때, 이 문제에 대해서 친구와 대화를 한 적이 있어요. 그때 제가 이렇게 설명했습니다.
a=0.999...라 하자.
10a=9.999...지 않냐?
따라서 둘을 빼면 9a=9고 따라서 a=1이다.
비록 이게 수학적으로 좋은 증명은 아니지만, 아직 무한에 대한 개념이 익숙하지 않으신 여러분들께 0.999..=1이라는, 거부할 수 없는 증거로 다가가기엔 충분할 것입니다. 당시 제 친구도 이 설명을 듣고 납득을 했었고요.
제가 드리고 싶은 말은, '1=0.999..가 참인 것은 알겠지만 받아들일 수 없다'거나 '난 아직도 거짓인 것 같다'라고 생각하는 분들이 있으시면, 오히려 훌륭하다고 말씀드리고 싶습니다. 그 나이대에, '무한'이라는 잘 모르는 개념에 대한 시행착오와 생각을 하는 것은 앞으로 방대한 양의 수학을 공부하게 될 여러분에게 좋은 자양분이 될 것입니다.
무한이 와닿지 않는다면, 한번 자세히 생각해 보세요. 그리고 틀려도 좋으니까 본인의 생각. 즉 왜 0.999..=1인지, 혹은 아닌지에 대한 이유를 본인 나름대로 떠올려 보세요.
그러한 논리적인 생각이, 이후에 여러분들이 배우게 될 수학, 더 나아가 인생을 살아가는 데도 중요한 사고력을 키우는 데 많은 도움이 될 것입니다.
선생님 제가 이 영상을 보다가 또 궁금한것이 생겼는데 0.7999999••••는 0.8과 같다고 생각해도 되는건가요? 실수 성질이 두수 사이에 수가 있어야 한다고 했으니까요
@@Gombocandoanything네가능
@@Gombocandoanything ㅇㅇ 같음
여기서 못받아들이고 이상한 소리하는 분들 이미 고등교육 오래전에 받았던 분들이에요..😂😂
17살이 아니고 7살때 이 주제로 친구와 이야기했다구요?
다시 고딩으로 돌아가면 개빡공부 해서 서울대 갈 자신있다는 개같은 마음을 고쳐먹었습니다. 감사합니다.
우와 이 쇼츠 하나 보고 구독 박음
이게 수학이지 공식을 단순암기하고 문제풀이 귀신이 되는게 아니고
논리를 배우고 사고를 일깨우고 발상의 전환을 경험하는 것... 이게 진짜다
고등학교에서 샌드위치인가 슬라이싱인가를 설명해주셔서
1) 0.999... 가 1보다 크지 않음을 증명.
2) 0.999... 가 1보다 작지 않음을 증명.
이 세상 모든 실수는 크거나 작거나 같으므로 0.999... 는 1과 같다고 결론내렸던 기억이 나네요
스퀴즈 정리 말하는 것 같네요
샌드위치 정리
조임 정리
스퀴즈 정리 다 맞음
그 증명 자체가 0.000...1=0이라는 똑같은 전제 하에 펼쳐진거라 걍 쓸모없는 궤변이에욬 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@user-gs7gg9wt7c엄밀히 그건 아니죠 ㅋㅋ
@@user-gs7gg9wt7c 제발 반박하고싶으면 어줍잖은 지식말고 제대로 공부하고오세요...
진짜 어디서 주워들은 지식가지고 전공자들, 전문가들 사이에서
쓸모없는 궤변인뎁~~ 이러고있네.
저 등호는 유한확정값으로의 등호다 -강기원
대기원
@@user-we7qx1tn7l허수는 너고 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
대 기 원
너 손흥민 팬이지?😊
오타 남
기원 -> 민철
방정식이 아닌 실수의 개념으로 설명해준 선생님은 한 분도 없었는데 명쾌합니다
삼겹삽 9kg 를 9명이 나눠먹으면 1인당 1kg
1kg을 9명이 나누면 0.1111111...kg
삼겹살 1kg을 9명이 나눈값이 0.11111...kg이니까,
삼겹살 9kg을 9명이 나눈 값은 0.999999...kg
고로 삼겹살 9kg을 9명이 나눈 값은
1kg = 0.9999999...kg
오~~
그냥 영상내용을 한 문장으로 정리하면
'a=b 일 필요충분조건은 e>0 인 모든 양수 e에 대해, |a-b|
개소리
1학년때 미분적분에서 대부분 배우죠..
그니까 |a-b|≤0 이라는건가요? 와 짱신기해
나는 커서 수학과로 가야지
@@user-ms2sq5dq7l고졸
@@gardenyes8785 제가 현직 대1 입니다 안배웁니다 이제 1학기 끝나가는데 시발 테일러급수 까지 나갔는데 뭔개소린지 모르겠고 저딴건 배우지도 않았습니다
교수님도 고딩때 선생마냥 뭔가 짜치는데 강의력도 창렬인게 지잡대라 수준이 이런가 봅니다
참고로 저건 도저히 강의 못듣겠어서 혼자 인터넷으로 공부하다 알게된겁니다
좋은 대학은 미적할때 저거 가르쳐주나 보네요 시발 빨리 딴 대학으로 탈출할 이유가 또 늘었습니다 감사합니다
애들한테 설명할때는 간단한게 최고일듯 1/9를 하면 0.1111111..이 나오는데 9를 곱하면 0.999999.. 그래서 최종적으로 1과 같다
9로 나누고 9를 곱했으니까 원위치다?
원래 순환소수가 분수를 소수로 표현하다가 나온 거니까 0.11111....은 9분의1이고 9분의1이 아홉개면 결국 1이다 그냥 모양만 다른거다 라고 설명하면 됩니다
1/9는 정확히 0.111...이 아니죠ㅋㅋㅋㅋㅋ
순환소수를 설명하는데 순환소수 전제 하에 풀어나가는건 제대로 된 증명이 아닙니다.
@@user-gs7gg9wt7c 1/9 정확히 0.111... 맞지 않나요?
나누어 떨어지지 않으니 정확한 0.111...이라고 보기 힘듭니다.
여기서 0.999...랑 1 다르다 하는 애들
제논의 역설 보면 인지부조화 엄청 씨게 올 거임 ㅋㅋㅋㅋㅋ 한 번 찾아들 보셔
수라는 개념의 표기방법에 한계가 있고 그로 인해 같은 것이 둘로 표현되는 불합리한 현상이 일어난다고 봄.
무한이라는 개념정리가 안됐기에 생기는 법칙
같은 느낌인걸까요..? 영상 설명만 들으면 뭔가
A는 알 수 없으니 B로 하자 같은 느낌인데
다른 분들이 더 깊고 어려운 설명으로 이해시켜
주시려 하니 맞는 이유가 있을 거란 생각이
드네요.. 설명은 쉽지만 뭔가 어렵네요
수학에서의 무한에 대한 개념은 보통 사람들이 생각하는 무한과 좀 달라요.
가무한 : 무한히 뻗어나가는 어떠한 상태 내지 과정 그 자체로써 무한을 바라보는 시각.
굉장히 예전부터 있어왔고, 제논의 역설같은 무한급수 역설을 해결할 수 없었음.
실무한 : 무한을 이미 다 끝난 하나의 수학적 대상으로 보는 것.
예를 들어, 자연수 전체의 무한집합은 이미 모든 무한개의 원소를 포함하는 것이 끝난 수학적인 대상.
실무한을 통해 다양한 역설과 무한대를 다루는 논리적인 기반을 마련할 수 있게 됐습니다.
중학교때 무한집합 이라는 말을 들어보셨다면 이미 실무한을 보신겁니다.
원래 수학을 배우다보면 직관과의 괴리가 생기기 시작하는 부분이 무한의 도입입니다. 한 예시가 이번 영상의 주제인, 유한소수와 무한소수의 차이이죠.
ㅇㅈ
이 방식으로만 설명한다면,
자연수의 조건에서 1과 2 사이 숫자 사이에 다른 자연수가 없으니, 1과 2는 같다 설명하는 느낌 같아서 문과따리들에겐 설명이 허술해보임
온갖 쌉소리 댓글 달려서 머리 아픈 주인장은 개추
댓 보니깐 우리나라는 출산율 때문만은 아닌 것 같음...
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ ㅇㅈ
댓글을 보고 밝음과 어둠을 느꼈다는 댓글은 이과와 문과적인 철학의 차이를 몰라서 인거 같네요^^
철학을 무슨 헛소리하는 문돌이들 학문 취급하는건가? 원래 철학자들이 수학도 했었는데
간단하게 생각해보면 1/3=0.333... 이고 양 변에 3을 곱하면 1= 0.99999.... 가 됩니다
이 설명이 더 좋다 ㅋㅋ
이게 가장 흔하고 직관적인 설명임 ㅋㅋㅋ
오호
사실 이건 증명 방식이 틀렸음
그냥 순환논리인데 뭐가 명쾌한 설명임..?
빠른년생이 없어져야하는 이유
이드립을 똑같이 풀어놨다가 생각없는 모지리들이 탈탈 털고있어요ㅋㅋㅋㅋㅋ암튼 길게 풀어두면 생각을 포기하고 답만 주면 좋다고 발광하는 모지리 습성민족이라ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
인문학적 접근 😂😂
거시세계에서는 같아 보이지만 미시세계에서는 원자와 전자만큼의 거리가 벌어질 수도 있죠. 0.99999. . . < 각종 무리수 < 1 일 것 같은데
0.999... 와 1이 다르다면, 0.9999.. 와 1 사이에 간격이 존재해야 합니다.
근데 아무리 좁은 간격을 잡아도, 반드시 그보다 더 가까운 수가 0.999..9 형태로 존재합니다. 그리고 0.999... 는 0.9999..9 의 형태를 가진 모든 유한소수보다 1에 가깝고요.
그래서 0.999.. 와 1 사이에 간격이 있다고 가정하면 모순이 생깁니다. 즉 간격이 없고, 둘은 애초부터 같은 수인 것이죠.
각종 무리수는 일단 없는것이, 실수를 정의하는 규칙 중 하나로 완비성이 있습니다.
그래서 실수는 모든 구간에서 연속성을 띄며, 빈칸 또는 구멍이 없이 모든 구간을 꽉 채웁니다.
무리수도 예외는 아니고요
@@user-kq8cd2oo6t 수학에서는 그렇게 정의했군요. 실상과는 다른 이론이니. 실제는 1+1=2인 예가 자연계에서 발견되지 않는다하죠.
@@SKYENGLISH 원래 수학은 근본부터가 추상적이니까요. 꼭 현실에 맞게 수학을 고칠 필요는 없습니다.
수학은 무모순성과 완전성에 기대는 학문입니다. 그걸 가지고 자연계를 설명하는건 수학을 가져다 쓰는 물리에서 하는 일이죠.
몇가지 수학적인 구조들이 자연계에서 나타날 뿐. 수학의 가치는 자연을 설명하는 것이 아니라 구조 그 자체의 아름다움에 있습니다.
실상과 달라도 되고, 같아도 상관 없답니다
@@SKYENGLISH 수학 얘기하는데서 현실 얘기를 하고있네....
극한의 성질을 이해할때의 포커스를 맞추는 부분에서 대중성을 고려하기보단 주관적인 견해로 설명하려다 보니까 어렵게 느껴질수있다고 생각하네요
1 = 1÷3×3 = 0.33333...×3 = 0.99999...
쒜엣 왓 더 유얼 지니어스 뎀
1÷3×3 = 1÷9 = 0.11111111
이거 너무 어거지 아님? ㅋㅋㅋㅋ 그렇게 하면 다른 숫자 넣어서도 할수 있겠네
@@allodoeng-for.you. ㅇㅇ 됨
1=7/7 = 0.142857142857142857.... × 7 = 0.999999.....
6분의 6해도 되고 9분의 9로 해도 되고 11분의 11로 해도 되고 13분의 13으로 해도 되고
이게 사실은 저 0.33333... 이라고 하는게 수렴한다는 얘기가 있어야 함
최신순 댓글목록은 흡사 지구평평설, 타진요, 아폴로 달 착륙 음모론 커뮤니티를 보는 듯하다. 정말 콩알만한 지식을 자랑스러운 듯이 드러내놓고 전 인간 역사를 거쳐 쌓여온 수천 수만의 수학자들의 논의 결과를 온몸으로 거부하며 더 이상 반대 측의 증거를 거들떠보려는 시도조차 하지 않는,
수학은 추상화로 시작된 정의후 확장의 결과이고 이 논쟁은 지구 평평설과 같은 비과학적 논쟁거리와는 매우 많은 거리가 있음.
병신임?
댓글들 보면서 머리가 띵한 글 하나봤음.
우리가 1/3하면 0.333...이 나옴. 이건 알거임.
3/3 이면 0.999...임. 그러니까 1이란거.
엄밀한 증명이라고 할 수 없지만, 극한이나 대학수학 배우기 전까진 대충 그렇게 퉁쳐도 상관없긴 함
얼마나 오랜 시간동안 숫자를 되풀이 했을까
그리고 꿈속에서 깨달았지
아무리 많은 9자를 쓴다고 해도
0.999...는 영원히 1이 될 수 없다는 사실을...
뭐 소설쓰냐
문과평균 ㅋㅋㅋㅋㅋ
이건 문과도 아니고 예체능 아니냐 ㄷ
인기 댓글순을 보고 최신댓글을 보니 왜 그렇게 글썼는지 이해가 된다ㅋㅋㅋ 대한민국의 미래가 맑네ㅋㅋㅋㅋ
제목이 잘못됐네요
0.99999는 1하고 다르죠
0.99999....가 1이죠
20년 전에 수학 선생님이 설명해주시는걸
유툽에서 또 듣게 될 줄이야
승글징글에 징글이형이 여기서는 수학을 하고계시네
최신순 보다가 토나올거같아서 다음영상으로 넘어간다 ㅅㅂ
구부정한 어깨와 목이 그의 실력을 가늠케한다..
0.99999=x 라 놓고 양변에 10을 곱하면 9.9999=10× 그럼 9.9999= 9+x 이므로 9+x=10x 즉 x= 1 단 x는 실수 라는 전제 임
1에서 0.9999....를 빼봅시다.
0.0000.. 0이외의 숫자는 영원히 나오지 않습니다
일부댓글들 처참하다 ㄹㅇ로..자기가 이해안된다고 수학=종교 이러고있네ㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋ 무슨 수학자들끼리 약속한거네, 3차원에서만 통하는 불완전한 진리네 이러고 있어요 ㅠㅠ
@@hyoungtakhyoungtakcha8364그댓글봤음 ㅋㅋㅋㅋㅋ
갑자기 진리타령 ㅋㅋ
종교랑 크게 다를건 없음. 논리적으로 사람들이 납득할 수 있는 종교. 지금 맞다고 여겨지는 개념이 갑자기 달라질 수도 있는거임
근데 진짜로 수학 법칙이나 과학이나 그런거 거의 종교 비스무리한 건 맞아 옛날엔 무리수라는 존재는 아예 없다고 극성으로 주장하던 시절도 있었음
@@user-ez7ne1yp3m혹시....당신의 친구가 당신의 친구였던 이유가 지금 당신의 친구라고 믿어지기 때문인건가요?
그건 언제나 달라질수 있구요?
최신순으로 댓글 보니 어질어질 하네... 우리나라 공교육 망했나요?
망한거 맞는듯....
망한 거 맞습니다. 초월함수 미적분도 안배우고 공대가는게 가능한 게 지금의 공교육입니다.
아니야 그애들 전부 10살 이하임 그러지 않고선 말이안됨
거기다 강사도 설명을 오지게 못해서 그럼
@@frowty28이게 팩트임
천재 수학강사 ㅇㅈㄹ ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
다른일하기도 바쁜데 무한소수, 수직선, 실수 이런 개념을 모른다고 찾아보겠어요... 물론 본인이 모르는 걸 알아보려고 하지도 않고 거짓말이네 멍청하네 하는건 한심해보이고 무책임해보이긴해요
납득이 안간다면 당신이 무한을 잘못 이해하고 있는 것
X=0.99999•••
10X=9.99999•••
10X - X= 9
X=1
이렇게 유도하는걸 본적 있네요.
최신댓 난리난 거 그냥 개웃기네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
뭔 말인지는 알겠는데. 수학적으로 깔끔하게 설명한건 아님.
아하.... 그렇네. 기본 개념으로 더이상 장난으로도 빈박 못하게 설명하시네요..❤
천재라서 평민의 눈높이를 못 맞춘듯한 설명....
베뎃보고 최신순 보러 와쪄염??
뭔가 약간 설명이 부족하네요.
수직선상에 표현할땐 0.9, 0.99, 0.999,0.9999
이런식으로 표현해주고 소수점 아래의 수가 무수히 많아질 때 결국 1에 가까워진다라는
고등과정에 배우게 될 수렴의 개념까지 이해할 수 있도록 유도해는게 좋아요.
이런게 아이들이 이해하기 더 쉽기도 하고요.
1에 가까워지는게 아니라 1입니다.
@@ZeroChoTV 1에 무한히 가까워지면 1이 됩니다.
@@jong-hyuk_oh 아니요 님이 말씀하시는 극한과는 엄연히 다른 개념이라서 저렇게 설명하시는게 훨씬 명확합니다. 님이 설명하신 걸로 극한의 개념을 가져오게 되면 오히려 님처럼 잘못된 개념이 잡혀서 헷갈리게 돼요.
@@hjk7276 학생의 수준을 고려해서 가르쳐야죠~ㅎㅎ 헷갈리게 가르치면 안됩니다.
0.99 0.99999 정해진숫자는 1이 될수없지만 숫자뒤에 … 이 있으면 예를들어 0.99… 0.999999… 이라면 1이다 라는 얘기입니다.
1. x = 0.9999…
2. 10x = 9.9999…
3. 10x - x = 9.99… - 0.99…
4. 9x = 9
5. x = 1
학창시절 이렇게 증명했던 기억이 있는데 오랜만이네요
와 방금까지 님의 설명이 깔끔한 정리라생각했는데.
논리를 넣으니 머리아파지네
0.999...는 무한에 가까운수 이기에
정의할수없으면 알수없는수이다 고로
(9.99...)가 (0.99...×10)와
같은지는 알수없으며
(9.99...)와 (9.99...)끼리도 두수의
끝을 알수없수없기에 같은수인지는
알수없다.
단지 인간은 모든것을 정위하고싶어하는
동물로서 모른다는 결론보단
안다는것으로도 정위내릴수있기에
0.999...=1과 같다고 약속했다.
이렇게 생각하는게 맞는지모르지만
재밋잖아~ 한잔해~
@@user-ou1fp1is6q무한에 가깝지 않습니다. 1이라는 고정된 값이죠.
감사합니다.
@@user-eg8hv1lf9u 그런 법칙도 없을 뿐더러 저건 제가 만든게 아니라 0.999…가 1과 동일하다는 증명 중 하나입니다. 대수적 접근이라고 합니다.
@@user-eg8hv1lf9u1에 10을 못곱하는 법칙이 있나요?
나는 1 - 0.9999... = 0.0000... 이고 0이 무한으로 있으니까 끝에 1이 있을 수는 없다고 생각하면서 납득했었음
수학적인 사고는 아니네요
역시 이 세상 모든것은 불완전함으로서 완전하다
최근 댓글들은 교육이 불법인거임?
일제시대때 야학에서 몰래몰래 수학 배워도 댓글맨들보다 똑똑해질듯
문과왈: "인생은 99프로의 노력과 1프로의 영감으로 채워진다"
예체능과왈:저 말은 99프로의 노력이 중요하다는 말이 아니라 모두가 노력은 하지만 난 그들이 가지지 않은 1프로의 영감이 있다 이다.
그냥 거기서부터 문과 수준 나오는거임 ㅋㅋ
근데 진짜 문제는 아무도 그런말을 하지 않았다는거고
영감이라는 추상적인 개념을 수로 나타낼 수 없다. 설령 그것이 가능하다고 가정해도 0 이상 100 이하의 실수 범위 만큼의 무한한 반례가 존재한다. 따라서 이 명제는 거짓이다.
문과 : 응~ 시적허용 ^^
이쉑은 ...을 빼가지고 여러사람 고생시키네
엄마들이 시간을 앞당겨 말하는 이유
거북목과 저 시선처리 말투.. 천재 자격에 부합
빵이 한개있어. 한개의 빵은 숫자로 몇이야? 1이야. 정확히 1이지? 이 빵을 3명의 친구가 똑같은 크기로 나눴어. 얼만큼씩 받은거야? 각각 1/3이지?
1/3은 0.333333333...맞지?
0.33333333... 세개 더 하면 몇이야?
0.99999999... 맞지? 나눠줬던 빵을 다시 합치면 0.999999999... =1 맞지?
제발 유튭에선 이렇게 설명하라고
@@idrtdfftf54 genius!!!
@@idrtdfftf54 그렇게 자를 실질적인 기술이 있나요? 그리고 그 0.33333... 은 정수로 어떻게 표현되나요?
@@MegaCKY 그 것은 '분수'라 '정수'로 표현 불가함.
@@idrtdfftf54 빵을 자른 칼에 0.000...1이 묻었다고 하네요
같은 논리로 원의 한 부분을 무한 확대 했을때 계속 곡선일까?이다.
점이 돼죠.
@@user-sd2yy2kv5g왜 1차원이 되노 직선이겠지
같은 걸로 치자이지 같은 건 아니라고 생각함.
99년생이라 그런지 이런 알고리즘이 뜨네요
1÷3=0.3333•••
0.3333•••×3=0.9999•••
0.9999•••=1
최신 댓글을 보고 우리나라 수학의 미래는 심연에 한 발짝 들어섰다고 느꼈다
다르다고 하는 사람은 초졸이하임 ㅇㅇ
어디서 본거 같은데
x=0.999999.....
10x=9.99999......
10x-x=9.99999...-0.999999....
9x=9
x=1
그래서 0.999999.....=1임
중고등학교 수준에서 이해하기 편하니 자주 떠돌긴 하는데 그건 해석적으로 엄밀히 따지면 틀린 증명이긴합니다..ㅎ. 차라리 1 /3으로 결과만보거나 입실론델타증명이 쉬워요. 무한소수에 값을 곱해서 자릿수 더하고 빼는건 반례도 많아서.. 양수끼리 더하는데 음수도 갑자기 튀어나오고 ..