수직선보단 수열의 관점에서 증명하는게 가장 확실한 방법이죠. a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999... 이렇게 수열을 나타내고 그럼 an은 1-(1/(10^n))이 됩니다. 따라서 0.999...은 무한수열이므로, 이 수열에 극한값을 취하게 되면 1이 나오게 되는거죠.
@user-dn9cd6kl6o 어떤 공간을 조밀하게 채우는 부분 집합을 말합니다. 유리수와 무리수, 실수는 조밀성이 있고 정수는 조밀성이 없습니다. 쉽게 말해 유리수와 유리수 사이에는 무한히 많은 유리수가 존재하죠? 이런 걸 조밀성이라고 합니다. 0.1과 0.2 사이에는 0.11, 0.12....가 있고, 0.11과 0.12사이에는 0.111, 0.112..가 있고.. 그러나 정수와 정수 사이에는 유한한 개수의 정수만이 존재합니다. '다음 수' 라는 개념이 성립하죠. 유리수는 0.1과 0.2 사이의 수가 있지만, 정수는 1과 2 사이의 정수가 있나요? 그렇지 않죠. 그렇다면 조밀성이 없습니다. 실수는 애초에 그 부분집합인 유리수와 무리수가 조밀성이 있고, 수직선이 무한히 많은 점의 집합인 만큼 조밀성이 존재합니다. 그러나 이에 따르면 0.9999..와 1사이에도 다른 실수가 무수히 존재해야 하는데 0.9999...보다 크면서 1보다 작은 실수는 없어요. 모든 자릿수가 9이니 하나를 더 늘리면 1.0000..9999....와 같은 식이 될 테니까요. 1보다 작으려면 어느 것 하나도 늘릴 수 없죠. 그러므로 0.9999..와 1은 같은 수라고 할 수 있습니다. 두 수가 다르면 사이에 뭐가 있어야 하는데 아무것도 없으니 두 수는 다르지 않았던, 즉 같았던 것이죠. A
반대로 이렇게 생각해봐도 되요. 0.999~ 를 우리가 받아들이는 개념은 0.999~ 가 정지되어있다기 보단 아무리 0.999를 많이 적어도 그 끝엔 항상 9가 끊임없이 존재하는 뭔가... 살아움직이면서 증가하는 개념이에요. 마치 수가 살아서 움직인다 해야하나.. 그러면 어짜피 계속 살아 움직이는 친구고 그 끝을 칼로 자르듯이 딱 정리할수 없다면, 이 친구가 움직이는 규칙성은 발견할 수 있죠. 얘는 1로 무한이 다가가는 중입니다. 0.999~와 1 사이엔 어떤 실수도 올 수 없습니다. 그렇다면 이 친구는 1이 아니지만 1로 무한히 다가는중 아닐까? 이 친구는 그럼 1로 무한이 다가가는 중이라 하자. 라고해서 0.999가 무한하게 다가가는 숫자는 = 1 1) 0.999~ = 1 이 아니라 2) 0.999~가 다가가는 중인 숫자는 = 1 이런 개념인거죠. 1)는 대학 수학 미분적분학에서 증명하고 2) 는 고등학교 교육과정입니다.
@@김현수-c6q8q 웅 아니야~ 니가 그렇게 말하니 더 혼돈 가지는거다.. 그냥 9.999.. 가 1이야 1대1 대응되니까.. 999999가 연속 되고 있는 진행형은 정확히 말하면 아니고 ..그냥 그런 수야 니가 100만번재 찾으려고하면 9가 발생되는게아니고..원래 존자하는 수라고..
저걸 배우는 이유는, 특히 중학교 때 배우는 이유는 '무한소수도 수다' 라는걸 알려주기 위해서임. 그니까 0.999...가 1에 다가가는 '상태' 의 개념이 아니라 진짜 그냥 '수'라고. 저걸 배우기 전에는 학생들의 개념속에 무한히 나열돼있는 수는 수직선 상에 점을 찍을수가 없음. 생각해보면 '0.9보다 크고 0.99보다 크고 ... 근데 1보단 작은 어떤 수' 라고 하면 0.999.. 를 '숫자' 로 이해할 수 없음. 또한 같은 맥락으로 우리 주변의 무수히 많은 '무리수' 들을 '숫자'로 표현할 수도 없게 됨. 이런 생각을 바꾸고 "무리수와 무한소수도 숫자고 수직선 상의 한 점으로 정확히! 찍을 수 있다" 라는걸 이해시키기 위해 이런 개념을 배우는 것임
음..‘0.9999...’은 정확히 1바로 옆자리아닌가요..? 우리가 수직선상에 무한대로 앉아있다칩시다 무한대의 인간들에게 각 이름을 부여해요 철수 영희 상철 ...머 등등 아무리 많고 무한하다한들 상철이는 상철이지 상철이는 영희가 아닙니다 ...0.9999는 0.9999고 1은 1입니다
0.999...는 소수점 아래의 9가 무한히 나열된 수이며 이것은 변화하는 상태가 아니라 정적 상태이다. ‘자연수’를 세는 인간의 본능 상 이러한 설명을 듣고 1과 완전히 동일하다는 생각에 도달할 수 없음을 헤아립시다. 처음에 이것들을 서로 다른 수라고 인식한다고 하여도, 다음의 설명 상에서 같게 동작한다는 것을 이해할 수 있습니다. 1. 분수적 접근 1/3 = 0.333... 1/3 x 3 = 1 0.333... x 3 = 0.999... 위의 계산과정에서 1/3과 0.333... 그리고 1과 0.999...는 서로 동일한 수 입니다. 2. 실수의 정의 상 접근 영상에서 나온 것입니다. 무한소수는 실수에 포함되며, 실수가 조밀성이라는 성질에 의해서 정의된다는 적용을 같이 받습니다. 따라서 서로 다른 두 실수 a,b (a
@@asdfpoiu915 0.999...라는 수는 의미하는 바 자체가 소수점 아래에 무한의 9가 이미 나열된 상태입니다. 현실에 존재하지 않기 때문에 와닿는 설명은 아니겠지만 그러한 수입니다. 그래서 0.999...와 1 사이에는 그 어떠한 틈새가 없으며, 또한 연상 상에서 둘은 같은 수입니다.
선생님께서 하신 이 증명은 앱실론-델타 증명을 간단하게 설명한 방법이며 이를 더 깊게 설명하자면 다음과 같습니다. 이해하기 위해서 알아야할 개념이 많고 까다로울 수 있지만 한 번 이해할 수 있다면 더 이상 헷갈릴 일은 없을 겁니다. 우선 '무한소수'라는 개념을 다시 살펴봅시다. 만약 알고 싶은 무한소수가 0.999...라고 칠 때 a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999 .... 이렇게 정의해볼 수 있겠습니다. 무한소수는 이러한 수열들의 가장 마지막 지점, 즉 극한이라 할 수 있습니다. 여기서 a_n의 극한이 a라 하는 것은 특정 양수 ɛ(앱실론)에 대해서 ( a - a_n )의 값이 ɛ보다 반드시 작도록 하는 n이 존재함을 의미합니다. 예를 들어서 ɛ = 0.000001이라 치면 a = 0.999999999..., a_7 = 0.9999999로 a - a_7 = 0.000000099...., 즉 ɛ보다 작네요 이런 식입니다. 이것은 무한히 접근한다라는 표현을 수학적으로 설명한 부분입니다. 그럼 이제 다음의 두 가지 문제를 해결하면 됩니다 1. 수열 a_n의 극한값이 존재하는가? 2. 만약 존재한다면 a_n의 극한값은 무엇인가? 먼저 첫 번째 문제에 대한 답을 풀려면 모든 수열 a_n의 집합, 즉 A = { a_n | n € R}이 상계를 가진다는 것을 알아야합니다. 상계라는 개념은 어렵지 않습니다. 그냥 단순히 숫자 10이 0.999...보다 크므로 10은 A의 상계라 할 수 있습니다. 이러한 상계가 존재한다면 상한 또한 존재합니다. 여기서 상한이란 '모든 자연수 n에 대해 a_n 보다 크거나 같은 수들 중에서 가장 작은 수'를 의미합니다. A의 상계 중 하나인 10도 모든 a_n보다 크므로 상한은 10보다 작거나 같은 값을 가지게 됩니다. 이제 이 상한이 a_n의 극한값임을 증명해야합니다. 우선 a_n은 단조증가수열로 절대 감소하지 않는 수열입니다. a_1 = 0.9, a_2 = 0.99 ... 1에 가까워지듯이 계속해서 증가하죠. 한 번이라도 감소하면 그것은 단조가 아닙니다. (1 0 1 0 1 ...은 단조가 아님) 또한 a_n은 유계입니다. 기본적으로 모든 a_n은 소수이기 때문에 0보다 크고 1보다 작습니다. 이러한 제한을 갖는 수열을 유계라고 합니다. (1 2 3 4 ....은 유계가 아님) 이러한 유계이면서 단조인 실수 수열들은 모두 수렴한다는 것이 '단조 수렴 정리'이며 이 때 극한값은 상한입니다. 이를 증명하기 위해 우선 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라고 가정해보겠습니다. 이 때 상한이 c라고 한다면 n을 아무리 키워도 ( c - a_n )의 값이 ɛ보다 크게 됩니다. 즉 반드시 c - a_n > ɛ (->) a_n < c - ɛ가 됩니다. 여기서 a_n은 단조증가수열이기 때문에 n보다 작은 수인 모든 m에 대하여 a_m < a_n < c - ɛ가 되며 이는 모든 n에 대해서 a_n < c - ɛ로 정의할 수 있습니다. 그러나 이러한 정의 자체가 모순인 것이 모든 a_n이 c - 0.5ɛ보다 작으므로 c - 0.5ɛ또한 상계가 됩니다만 이것은 기존에 정한 상한값인 c보다 작아 '상계 중에서 제일 작은 값'이라는 정의에 모순됩니다. 즉 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라는 가정은 틀렸다는 것을 증명했으며 이는 '상한값은 극한값이다'의 증명으로 이어집니다. 이렇게 첫 번째의 답은 '상한값으로 존재한다'로 증명했습니다. 그럼 이제 두번째 문제입니다. 극한값은 존재한다가 증명되었으니 이제 그 값을 구하면 됩니다. a_n = 1 - ( 1/10 )^n 으로 표현할 수 있으며 이 때 상한값은 1입니다. 그래서 극한값은 1이 되며 즉 0.999... = 1이 됩니다. 더 궁금하신 점 있으시면 얼마든지 물어보세요
그렇다면 사실상 우리가 수학적으로 표현하는 1이라는 숫자가 1이 아닐수도 있다는건가요. 1은 우리가 0.999... 라는 문자를 인식하기 위해 편의상 1로 통일시킨 개념인가요. 그렇다면 1 = 0.9999 가 될 수도 있다는건가요. 그럼 1.00000001.... 이라는 숫자도 결국 편의를 위해 1 이라는 숫자로 표기 할 수 있는건가요 그렇다면 1과 2사이의 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 들도 우리가 수직선상의 공간 개념을 인식하기 위한 숫자일뿐 소수점이라는 개념이 없다면 이 세상에는 1과 2 밖에 없겠네요
수학을 전공한 사람 입장에서 말씀을 올려봅니다. 수학이라는 학문은 추상화 과정을 통해 개념을 만들고 큰 틀인 정의하에 정리들을 만들며 우주의 현상을 설명하려 합니다. 그 정의 하에 페아노 공리로서 자연수를, 군, 환, 체론을 이용하여 다양한 수 체계를 형성합니다. 예로부터 인류는 눈에 보이는 것을 헤아리기 위해 자연수라는 체계를 만들고 필요에 의해 수 개념의 확장을 이루어낸 것이고, 이러한 확장을 통해 점점 더 다양한 우주현상을 이해하고 설명해 가고 있습니다. 누군가는 원을 궁금해 했을 것입니다. 실을 원모양으로 만들면 원을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 눈으로 보입니다. 하지만 반지름이 변할 때 원의 둘레가 어떤 방식으로 변하는지 궁금했을 수 있습니다. 그래서 수학자들은 반지름에 대한 원의 길이를 수없이 근사시켜 나갔습니다. 수학자들은 값이 하나로 정해지지 않는다는 걸 곧 깨달았고 이와 같은 현상은 삼각형에서도 나타났겠죠. 밑변과 높이가 각각 1인 직각이등변 삼각형의 빗변을 구하지 못했습니다. 이것이 훗날 수학 개념의 발전으로 추상화해낸 무리수 파이와 루트2의 개념인 것이죠. 이것을 인류가 이해하지 못한 궤변을 만들어 냈다고 하는 게 옳은 생각일지, 아니면 이해하기 위해 최대한 수단을 강구하여 정의한 것인지에 대해 생각해 볼 필요가 있습니다. 엡실론 델타도 마찬가지입니다. 극한의 개념은 매우 추상적입니다. 하지만 되돌아보면 1이라는 숫자하나도 추상적이지 않습니까? 단지 페아노 공리에 의해 정해진 숫자 1은 추상적이지 않나요? 1이라는 숫자는 궤변이 아닌가요? 이러한 정의들로 우주를 이해하려 노력하는 수학자들의 말이 궤변이라고 말한다면 어찌 자동차를 만들고, 우주를 여행 할 수 있겠습니까. 그저 우린 그들이 노력하여 만든 정의와 정리들을 끊임없이 이해하고 사용해보며, 궤변이라는 말보다는 그 정의하에 생기는 모순을 비판하고 새로운 것을 만들어 나가야 한다고 생각합니다.
0.9999•••에 0.0000•••01만큼 더하면 1이 되버리기 때문에 결국 0.999•••의 다음 수는 이것보다 크고 1보다 작은 수로 존재해 있을 수 없다는 겁니다 따라서 0.9999•••는 수직선에 나타내었을때 1과 같은수가 된다는 거죠 같은 이유로 9.999•••가 10과 같아지는거죠 이게 이해가 안된다면 그냥 반올림해서 1이 된다고 생각하면 됩니다... +중딩이라 이 글에 대한 설명에 부족함과 허점이 좀 많을거 같다고 생각합니다 반박시 님들말이 다 맞습니다 죄송합니다
본 영상은 0.9999... = 1이다의 엄밀한 증명은 아닙니다. 증명과정을 꼼꼼히 따져보면 애초에 실수가 수직선에 대응된다는 가정을 증명하지도, 그 가정을 사용하지도 않습니다. 영상에서는 0.999...가 일단 어떤 '수'라고 가정한 뒤, 이 수는 1보다 작을 수도 클 수도 없으니 1과 같다라고 증명합니다. 즉, 실수의 순서 공리만을 사용한 것이죠. 엄밀한 증명은 다음과 같은 과정을 거쳐야 합니다. 1. 0.999...라는 '표현'의 수학적 정의 -> 0.9 + 0.09 + 0.009 ...라는 수열의 수렴값이다. 2. 앞서 말한 수렴값의 존재성 증명 -> 수열이 sumpremum이 존재하는 증가수열임을 증명 3. 존재성이 증명된 수렴값이 1임을 증명. -> 앞서 두 개를 했다면 얘는 쉽습니다. 물론 이 모든 과정은 실수 체계에서는 입실론-델타 논법으로 대체 가능합니다.
@@36악장 안 엄밀하다는 게 정확히 그 뜻인데요. 너무 당연한 건 맥락상 생략할 수 있겠죠. 수학교수님들 사이에서 학부 1학년 수준의 내용을 빠뜨렸다고 안 엄밀하다고는 안 합니다. 적어도 제가 보기엔 이 영상의 수준에선 실수의 성질은 빠뜨리면 안 돼요. 그리고 애초에, 왜 0.999..보다 크고 1보다 작은 실수는 없죠? 0.xxx...의 x 자리에 아무리 숫자를 잘 넣으려고 해봐도 안 되니까? 이런 식으로 증명하면 대학수학에서는 무조건 0점입니다.
@@36악장 직관적으로는 그럴듯해 보이지만 엄밀하게 따져보면 틀렸거나 증명하기 매우 어려운 명제들은 수도없이 많습니다. 또한, 참이라 하더라도 직관적이고 쉽게 증명할 수 있을 것 같아도 정작 엄밀한 증명을 시도하면 잘 안 되는 명제도 많습니다. 아르키메데스의 원리가 좋은 예시라 생각합니다. 임의의 두 양수 x, y에 대해, nx > y가 를 만족시키는 자연수 y가 존재한다. 겉으로 보기에는 존나 쉬워 보입니다. 그냥 n을 무진장 키워버리면 nx는 끝도 없이 키울 수 있으니까요. 근데 이걸 '수식적으로' 증명하려 하면 불가능합니다. 아르키메데스의 원리는 실수의 완비성 공리와 동치인 명제로, 적어도 제가 아는 선에선 완비성 공리를 언급하지 않으면 증명할 수 없습니다. '수식적으로 0.xxx...의 모든 자릿수가 9일 수밖에 없다'라고 언급하셨는데, 이건 0.99..보다 크고 1보다 작은 실수가 존재할 수 없다는 것의 증명이 아닙니다. 어떤 수가 존재하지 않는다는 것을 증명하려면 대부분 귀류법을 사용합니다. 이 문제에서는 수학적 표현과 실제 수 체계의 일대일대응이 증명된 가정하에 construction이 불가능하다는 것을 사용하려 한 것이죠. 그런데 우리가 '상식적으로' 사용하는 10진법은 실수 체계와의 일대일 대응이 성립하지 않기 때문에 construction이 안 되는데요? 라고 증명하면 엄밀하지 않은 수준이 아니라 아예 틀린 증명이라는 겁니다. 마지막에 '엄밀한 증명의 한 부류로 받아들였으면 합니다.'라고 하셨는데, 무슨 말씀하고 싶으신지는 알겠습니다. 다만 저는 동의할 수 없습니다. 애초에 '엄밀하다'라는 단어는 일상생활에서 거의 사용되지 않습니다. 대부분 수학계에서 사용되죠. 언어의 사회성에 따라, '엄밀하다'라는 단어는 수학계에서 사용하는 의미를 따라주셨으면 합니다. 대신 '맞는 증명'이라는 표현은, 청자가 수학 비전공자라면 충분히 사용할 의사가 있습니다. 영상에서 하는 말이 실제로 엄밀하게는 구멍이 있지만 틀린 말은 아니며, '맞다'라는 표현은 일상생활에서도 많이 쓰므로 그 표현의 해석이 굉장히 다양할 수 있기 때문입니다.
반박이 아니고 의문을 제기하는거지. 학문에 자꾸 권위를 집어넣어서 정답을 이야기하지마라. 저 사람들은 수학점수는 낮아도 수학적사고를 하고있는 사람들이고 너는 수학점수는 높아도 전혀 수학적사고가 안 되는 인간이니까. 그렇게 무비판적으로 외우기나 하는데도 점수가 잘 나온다는게 한국교육의 한계인거지
"0.99999"가 아니라 "0.9999999..." 즉 무한(순환)소수 일때 적용되는 개념입니다. x = 0.99999999.... 일때 10x = 9.99999999999......가 됩니다. 이때 방정식을 사용해보면 10x - x = 9.9999.... - 0.99999.... 9x = 9 x = 1 이 됩니다.
@@ajuga9392 맞아요 결국 저 증명방식도 정해진 규칙들에 의해서 구현된거죠. 소수에 10을 곱하면 소숫점자리수가 바뀐다던가, 무한소수에서는 빼기연산이 자리수별로 진행된다는점...등등 뭐가 어쨋든 이 증명은 현재로써는 유효한 증명입니다. 보통은 이렇게설명했던것같아요 "0.9999....는 무한히 9의 개수를 늘려가면서 정수(1)과 계속 가까워지고있으며 그 끝은 결국 1과 같다" 또는 "0.999999999.....와 1 사이에는 어떠한 수도 위치할수없다" .. 근데 규칙을 처음듣거나 마치 마술쇼를 보면서 트릭을 알아내려고 하는사람들을 위해 여러 증명방법들이 나왔을뿐
0.99...랑 1이랑 다르다 하시는 분은 함수의 극한을 배울때 극한값과 함수값이 다르다라고 배워서인것 같아요. 이것은 함수를 통틀어서 말할때의 얘기고 좀더 세분화하면 비연속 함수는 다르고 연속함수는 같습니다. f(x)=x lim[x->1-]f(x) : 좌극한 (0.999...) lim[x->1+]f(x) : 우극한 (1.000...) 좌극한과 우극한은 모두 1로 수렴하므로 f(x) 는 연속함수이다 따라서 좌극한과 우극한은 함수값에 무한이 가까워지는 값이 아니라 그냥 함수값과 같습니다. 그러므로 0.999... = 1 = 1.000...
무슨 말을 하시고 싶은지는 알겠지만 그건 충분한 설명이 아닙니다. 좌극한과 우극한이 같다고 해당 함수가 연속인 것은 아니기 때문입니다. 따라서 엡실론-델타 논법을 이용하여 x가 해당 구간에서 연속임을 먼저 보인 뒤 보여주신 논증을 사용하시면 훌륭한 증명이 될 듯 합니다. (참고로 해당 함수의 좌극한이 왜 0.999..인지도 추가로 증명해야 합니다.)
0.9를 정수로 표현하면 1이다 라는 것과 같은 착각입니다. 무한소수를 유한소수로 표현을 할려다 보니, 0.999..가 1이 되는 것일 뿐. 반올림 하는 것과 전혀 다를 바가 없습니다. 무한의 개념에서는 1과 2 사이에 또 다른 정수가 존재하는 것이므로, 0.9999 와 1 사이에는 정의를 하지 않았을 뿐, 관념의 숫자는 명백하게 존재하죠.
@@기적의논리왕-e9w 동의하는 바입니다. 0.9999.. 와 1 사이에는 무한한 실수가 존재하는거 같은데요. 결국 아무리 가까워지더라도 끝에 도달할 수 없어야 할 것 같은데, 그냥 극한으로 보낸다는 것 자체가 가정인데. 0.999… 를 1로 보자고 합의한것이지 1은 아니지 않을까 싶습니다
무엇인가를 하기 위해 가장 중요한 것은 정의(없던 개념을 부르기 쉽게 하는 사회적 약속)와 정리(있던 개념 중에서 새롭게 찾아 낸 사회적 발견)를 알아야 합니다. 이러한 사실을 모르고 어떤 현상을 맞닥뜨리게 되면 이해를 하려고 시간을 엄청나게 소비하다가 이해를 두배 반이나 더하게 되고 오해가 시작됩니다.
@@Nya-g4n ㄴㄴ 못가르쳐서 온전히 이해하기 쉽지 않은거랑, 고집이 쎄서 혹은 바보라서 이해를 못하기에 온전히 이해되긴 쉽지 않은거랑 같은거라고 할 수 없댱 잘 가르쳐도 가르침 받는 입장에서 고집부리고 막무가내로 수긍 안하려고 필사적이라면 아무리 애를 써도 가르칠 수 없댱
수학자체가 약속이라 전제가 중요한느낌임 제곱해서 -가 되는수가 없으니 허수라는걸 만드는것처럼 무한이라는 개념이 정의되지않으면 여전히 0.9999...는 1보다 작다라고 느껴지는건 어쩔수 없음.실제로 초등수학은 수 크기를 설명할때 1이 0.9999..보다 크다고 배우는데 (앞자리수를 비교해서 크기비교) 갑자기 무한이 나오면서 1이라고 해버리면 혼란이생김. 물론 단계별로 기본정의라고 하지만 기본정의가 단계가 올라간다고해서 앞의 정의를 부정하면안되는데 수학은 점점 앞에 배운 내용들이 점점 모순되어가면서 점점 혼린스럽고 수포자가 생기는거임 제곱해서 1이되는 수가 없다라고 배워놓고 갑자기 허수가 생기고 무한소수가 갑자기 1이 되어버리고 그걸 증명하는게 x에 10의 제곱수를 곱해서 빼는건데 그자체로도 애들이 느끼기에는 저걸 증명하기위해 억지로 끼워맞추는 느낌이 들수도 있는거임. 즉 단순암기처럼 수학을 접근하게 되어버림 기본교육 어쩌고 하는건 수학을 조금 배운 사람이고 일반 사람이나 학생들은 저개념자체를 이해하기 어려워함 사이에 수가 없으면 1바로앞이 0.999...아니야? 하는건 수학을 깊게 생각안하는 사람은 당연것일수도 있음. 실제로 수학은 약속이라는 느낌도 분명 있음. 그냥 그런거야 하고 받아들여야하는 강압적인 학문도 수학이긴함. 부피가 없는 수를 점으로 수직선을 만든다는 개념도 사실은 약속임. 수를 점으로 찍기에는 점자체의부피도 무시할수가 없지만 그렇다고 하자라는게 수학이라 저 자체만으로 이해안가는 사람도 분명 많을거임. 차라리 극한이라는 말처럼 무한대로 그수에 한없이 가까워지면 그 수랑 차이가 비교할 가치가 없을만큼 거의 없기때문에 그 수라고 '약속'한다라고 말하면 아 그렇구나 하고 반이상은 넘어갈듯 3÷2(2+3) 같은 경우도 실제로 기호가 생략된 숫자부터 계산하는걸로 약속한다라고 해야 잡음이 안생김. 저런 문제자체를 내는게 오류라고 해버리면 단순히 수학기호로만 표현한 문제자체도 못풀어버리는 웃긴상황이 생겨버림. 실제로 고등학교1학년때 일대일대응일때만 역함수가 존재한다고 했는데 지수함수에서는 분명 그래프자체가 고1때 배운 일대일대응이 아닌 일대일함수인데 갑자기 일대일대응이 되어버려서 역함수로 로그함수가 나와버림. 이때도 애들 이해시킬려면 지수함수의 정의에 밑을 음수로 쓰지않고 그래서 공역이 양수밖에 없기때문이라고 설명하면 애들은 그래도 의문을 찝찝해함. 근데 그냥 지수함수는 그런 조건때문에 일대일대응으로 약속으로 했다라고 하면 애들은 그냥 이해하고 넘어감. 매년마다 수학배우면서 찾게되는 모순이나 이해안가는 부분은 대학가서 수학을 더 깊게 배우게되면 풀리겠지만 해당과목을 배우는 학과가 아니면 사실 잊어버리고 살다가 이런 쇼츠보고 리플을 보는순간 찝찝하고 이해안가는 부분에 질문하는건 당연할수도있으니 이게 이해가 안된다고 무시하는 사람들은 똑똑할수는 있으나 학생이나 남을 설득하거나 이해시키는 능력은 좀 없어보이기도 하니까 그냥 이해안간다 싶으면 약속이라고 하셈. 어차피 저거 몰라도 지금 사는 개인의 인생에는 큰 문제없음. 수학잘하는 사람들이 어차피 잘 쓸모있게 저런 개념들을 실생활에 접목시켜줄것이고 나머지는 각자 자리에서 돈많이 벌어서 잘살면됨.
@@gardenyes8785 제가 현직 대1 입니다 안배웁니다 이제 1학기 끝나가는데 시발 테일러급수 까지 나갔는데 뭔개소린지 모르겠고 저딴건 배우지도 않았습니다 교수님도 고딩때 선생마냥 뭔가 짜치는데 강의력도 창렬인게 지잡대라 수준이 이런가 봅니다 참고로 저건 도저히 강의 못듣겠어서 혼자 인터넷으로 공부하다 알게된겁니다 좋은 대학은 미적할때 저거 가르쳐주나 보네요 시발 빨리 딴 대학으로 탈출할 이유가 또 늘었습니다 감사합니다
등비수열 관점: 등비수열은 3,9,27,81.. 와 같이 어떤 항에 일정한 수를 곱한것이 다음 항이 되는 수열. 이때 0.999...을 0.9+0.09+0.009+...으로 생각하고 더하는 각 항을 수열의 항으로 보면 이 수열의 일반항 an은 0.9×(0.1)^(n-1)임 우리가 구하고자 하는 0.999...는 등비급수로 생각할 수 있음. 이때 등비급수의 공식에 의해 0.999.. = 0.9/(1-0.1) = 1
과학고 학생이에요. 알기 쉽게 적어봤으니 이해가 어렵다면 한 번 읽어보세요. ‘0.0~01을 더해야 1 아닌가요?’ '0.99.. + 0.99..는 1.9998이잖아?'의 답변 ---------------------------------- 무한소수 중에서도 순환 소수인 9.99..는 정말 소수점 이래로 9가 무한하게 늘어서 있어요. 앞선 논리대로라면 이에 상응하는 0.0~01이 무한소수여야, 합이 1이 되겠죠? 근데 무한소수는 소수점 아래에 0이 오면 안되요. 그렇기에 정의 자체에서 0.0~01은 무한소수가 아니에요. 그러다 보니 0.00~01 자체가 정값이자 유한소수 중 하나일 뿐인거죠. 0.00000000……가다가 1을 둬서 0.00~01의 상태로 메김하는 순간 유한소수가 되는거죠. 0.99..가 끝이 없기 때문에 무한소수인데 끝을 가져야만 유의미한 값을 가지는 0.0~01이 대등한 영향력을 가질 수가 없죠. 반복설명) 1. 무한소수는 소수점 아래에 0이 있어선 안된다. 2. 0.00~01에서 0이 무한-1번이고 무한번째에 1이 오는 수는 없다. 3. 0.99..와 1이 다른 수라면 그 사이를 구분짓는 무한의 성질을 띤 수가 존재해야 한다. 4. 그 구분짓는 값이 0이 무한-1개며 0.00~01 인 수일텐데, 그런 수가 없구나 = 0.99..와 1을 구분지을 수 없다. 상자를 두 공간으로 나누려면 칸막이가 있어야 하는데 칸막이가 없네? = 두 공간으로 나눌 수 없는 하나구나. 또 헷갈릴 수 있는 0.99.. + 0.99.. 도 볼게요. 1.999998은 0.999999를 1로 볼 때 보다 2와 더 멀어져 보이죠. 실제로 유한한 상태에서는 더 먼게 맞죠. 먼저 위의 합을 1.9999~98로 혼동하는 이유역시 유한 소수의 관점에서 봤기 때문이에요. 1.99~98이 되는건 유한 소수의 덧셈에서에요. 둘을 더해서 1.99998이 되려면 마지막 자리라는 개념이 있어야 해요. 무한소수는 무한번 수가 반복되고 있기 때문에 마지막 자리 숫자라는 개념이 없어요. 무한의 끝에, 결국 8이 오잖아가 아니고, 끝이 없기 때문에 무한인거죠. 결국 1.999~98같은 값은 끝을 가지는 유한소수이고, 유한소수의 관점에서의 값이기 때문에 나타나는 값이에요. 즉 0.99.. + 0.99.. 를 1.9~98로 보는 것 자체가 불가능한거죠. 혹시 9.99.. + 0.1^(무한) 이면 되는거 아닌가 생각할 수도 있겠지만 이 역시, 0.1을 공비로 가지며 수렴하는 실수일 뿐, 0.0~01인 무한한 수라고 볼 수가 없어요. 엡실론 델타로도 설명 가능하고 사실 엡실론 델타를 알아야 비로소 미적분의 근간을 이해할 수 있긴 해요.
값은 분명 1인데요? 0.999... 와 1사이에 어떤 수가 있을수가 있나요? 우선 0.999가 1과 0사이에 있는 수라고 합시다. 그리고 0.99..=1-x라는 식을 세워봅시다. 식을 이항하면 x=1-0.99... 에요 단순 계산하면 x=0.00...이죠? 그럼 아주 무한히 0.000...으로 되는거니까 x=lim n->∞ 1/n으로 표현이 가능해요 그럼 1/∞=0이니까 x=0이에요 그럼 0.999=1-0인데 이는 앞에 가정의 모순이죠? 약속이라는 표현이 어느정도는 맞지만 0.999...는 무한의 개념이 있기때문에 생기는 현상이에요 수학에서는 절대로 애매한 개념이 있을수는 없죠 실생활에서 쓸모없기때문에 다룰 필요가 없다는건 진짜 절대 해선 안될말입니다. 자연이 쓸모있기때문에 과학을 하는게 아니라 아름답기 때문에 연구를 하는거라는 말이 있는데....
@@하유-q7v 어찌되었건, 저걸 고민하고 풀어야 하는 것은 일반 학생들이나 평범한 사람들이 아닌 그 이상의 영역에서 해결 해야 될 문제라고 생각됩니다. 0.999가 이미 1보다 작을 수 없다는 전제를 달고 설명하고 있으니, 아무리 고민해도 제자리 걸음일 뿐이죠. 만약 오랜옛날 0이라는 숫자나 1이라는 숫자를 만들지 안았다면, 설명이 다르게 해석 될 수 도 있는 문제죠. 현재는 이미 만들어진 숫자에 국한해서 해결하려고 하니 답이 없어 보일분이죠. 누군가 수학에 관심이 있다면 많은 시간을 들여 생각하면 언제가 필즈상도 받을 수 있겠죠
솔직히 수포자 맞고, 이런 거 평생 납득을 못하고 있던 건데 지금 댓글 보면서 깨달은 게... 무한의 개념을 이해 못 한 문제가 아니고 애초에 실수의 성질부터 제대로 모르고 있었어서 납득이 안되던 거 같음. 실수라는 것 자체가 한 선 위에 나열될 수 있어야 하는 거라는 개념 자체가 머리에 안 박혀있던 거 같음 중학생 때는 그냥 선생님이 판서 해주니까 달달 외웠는데 그게 뭔 말인지 이해를 못 해서 이렇게 된 거 같네... 마 지금도 그냥 이해된 것 같은 느낌만 드는 거겠지만... 나는 실수가 뭔지 몰랐네
저도 대학 와서 이해했어요! 0.9, 0.99, 0.999, ... 등으로 진행되는 수열이 수렴하는 값이 실제로 실수 안에 존재한다는 건 실수의 가장 중요한 성질인데 대학 와서야 '완비성 공리'라는 말로 제대로 배우는 거고 직관만으론 쉽지 않죠 수포자라고 말씀하시는 것치곤 잘 보셨는데요
당신이 중학교 2학년 이상의 학력을 갖고있다면 분수(유리수)를 소수(유한소수 또는 무한순환소수)로 바꿀 수 있어야하고 그 반대로도 할 수 있어야 합니다. 0.99999.....가 1인걸 납득을 못한다는건 당신이 아직 중2수학을 안배웠거나, 배웠지만 새까맣게 까먹었다는 뜻입니다.
대충 문과적으로 쉽게 말하자면 실수는 수직선상에서 점으로 표현할 수 있는데 만약 두 수가 다르다면 점과 점 사이에 간격이 있다는 뜻이고 점은 간격을 차지하지 않기 때문에 그 간격에 무한한 점이 존재함 즉 만약 두수가 다르다면 그 두 수 사이에 있는 수의 개수는 무한하다는거
최신순 댓글목록은 흡사 지구평평설, 타진요, 아폴로 달 착륙 음모론 커뮤니티를 보는 듯하다. 정말 콩알만한 지식을 자랑스러운 듯이 드러내놓고 전 인간 역사를 거쳐 쌓여온 수천 수만의 수학자들의 논의 결과를 온몸으로 거부하며 더 이상 반대 측의 증거를 거들떠보려는 시도조차 하지 않는,
@@sududuyemzmzmzmzm그냥 제가 보기엔 9.999999...가 그냥 10으로 보이고 0.999999...가 그냥 1로 보여서요... 각 수열이 수렴하니 뭐 덧셈이 가능한건 맞는데요 해당 수열이 무한에서 1과 같다 (수렴한다) 를 설명하는 것으로는 무리가 있다는 이야기 같습니다 수렴을 설명하는데 덧셈해서 설명하는게... 무한을 설명하는 좋은 예시는 아닙니다
무한소수 0.999...와 1사이에 들어갈수 있는 수가 0.000...1 이다 이지랄 하시는 분들 0.000...1은 유한소수 이므로 결국 끝이 있습니다 따라서 무한소수 0.999...와 1사이에 들어갈수 없어요 아무리 유한소수 0.000...1에서 0의 수가 많아도 그 수를 0.999...에 더하는 순간 정확히 1이 아닌 1보다 큰 유한소수가 되버리기 때문입니다
![[티비냥] 최소 몇 번의 칼질이 필요할까? (※단, 사람한테는 안됩니다ㅋㅋㅋ) 공간지각력 자신 있으면 풀어보세요! | #문제적남자](http://i.ytimg.com/vi/N55uJSWg3_0/mqdefault.jpg)
0.999...=1이 아니다! 영상은 제목 아래 클릭!
혹시 이 설명대로라면 0.0000…1 = 0 인가요?
수직선보단 수열의 관점에서 증명하는게 가장 확실한 방법이죠. a1=0.9,a2=0.99,a3=0.999... 이렇게 수열을 나타내고 그럼 an은 1-(1/(10^n))이 됩니다. 따라서 0.999...은 무한수열이므로, 이 수열에 극한값을 취하게 되면 1이 나오게 되는거죠.
혹시 0.999...=1이면
양변에 2를 곱하면
1.999...8=2가 되고
둘 사이에 1.999...가 존재 하는거 아닌가라는 생각이드는데 1.999...8은 존재하지 않는건가요?
2.9999····은 3이랑 같은 건가요?
님들아 순환소수는 몇자리수를 가정할 수 없는데 끝자리를 가정해놓고 정수냐고 물으면 애초에 그 수는 순환소수가 아니죠 소수점 백째자리든 1억째자리든 끝이 존재해버리면 순환하는게 아니니까요
배댓에 우리나라의 수학이 미래가 밝다는 것을 느꼈고
최근 댓글을 보니 너무 밝아서 아무것도 보이지 않는다는 걸 느꼈다
우리나라 수학의 미래가 밝은게 아니라 우리나라 사람들 머리가 맑았던거임 ㅋㅋ
@@antec9075너 맑고 투명해서 별에 별게 다보임 ㅋㅋ
에휴 개벌레같은소리하네
1-0.999999... 라는 숫자가 들어가자나 대가리에 똥이차서 이딴말을하네 그냥 숫자가 너무 작아지니깐 1이라고 쳐주자라고 약속한거자나
으윽 눈이...
뭔 유튜브에서 우리나라 수학의 미래를 찾고 있냐? 그냥 노벨상 필즈상만 봐도 되는걸
간단하게 1을 3으로 나누면 0.3333333…. 인데, 다시 3을 곱하면 0.99999999… 그러니 0.999999…. 랑 1은 같음
오 이해 못하는 사람한테 가장 적절한 설명이 될거 같습니다
와 이해가 확 되네
오 대박 쏙쏙
@@TacticalExpedition헐.. 이왜진?
먼 씹소리냐@@utuv7879
0.9999..는 무한히 1에 가까워지는 상태의 수가 아니라 특정 상수값을 의미합니다. 즉 고정된 값이고 이를 표현하는 한계 때문에 1과 모습이 다른 것일 뿐 1과 같은 수의 다른 표현이라고 하네요.
고2때 배우는 lim_1 = 1 이다랑 같은거죠
또한 수직선은 연속인 x축 이기때문에 lim_x가 1로가면 연속이기에 x=1입니다
따라서 lim_1은 0.99999999…입니다
그러면 좌극한과 우극한이 같기때문에 lim_(1+)도 0.99999….이 됩니다.
@@stricts7272답 없음이 아니죠 두 수가 같은건데
아니 손님 그래서 만원을 못 내시겠다구요?
음식 가격이 9999.9…원이면 거스름돈을 얼마줘야되는데?😂
야이씨 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
아니 구천구백구십원이랑 같다니까????
@@Tarkovshit 구천구백구십 구원~!!
아니 사장님 그래서 일원 안 거슬러주신다구요?
솔직히말해서 유도과정은 이해되는데 1이랑 같다는거에 이질감 느껴짐
?? : 손님 여기 돼지고기 0.9999... kg입니다.
손님 : 왜 1Kg이 아니고..
?? : 0.9999...kg과 1kg은 같은 수입니다..저 수학 강사에게 물어 보세요. 전 틀리지 않았습니다.
손님 : 이런 개..
이런 느낌?
진짜 뇌로는 몇가지 증명을 이해했는데 감정이 이해를 잘 못함
그럼 0.899999999999999 도 0.9 인가요@@고건욱-s8i
10진법 표현이라 그렇습니다 하필 9999인건요 이진법이었으면 0.111111... 입니다 이러면 조금이라도 더 이해가 잘 갈수도 그니까 소수로 표현할 수 있는 0과 1 중 가장 큰 수라 1과 같은거
@@고건욱-s8i연잎밥이요?
정작 카이스트에서 수리과학 전공하고 석사까지 따신 강사님은 0.99999는 비둘기가 아니에요 이러고 있네ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
비둘기야 먹자~ 가 나왔어야...
걍 웃김 ㅋㅋㅋㅋㅋ
문이과 겸용 인재네요
안가람인가ㅋㅋ
0.99999~와 1의 사이에는
0.99999~+1/2 가있는거아닌가요?
설명은명쾌하지않네요
영상 내용은 대충 이런 뜻임.
실수는 조밀성(a
조밀성이 뮈죠
@user-dn9cd6kl6o 어떤 공간을 조밀하게 채우는 부분 집합을 말합니다. 유리수와 무리수, 실수는 조밀성이 있고 정수는 조밀성이 없습니다.
쉽게 말해 유리수와 유리수 사이에는 무한히 많은 유리수가 존재하죠? 이런 걸 조밀성이라고 합니다. 0.1과 0.2 사이에는 0.11, 0.12....가 있고, 0.11과 0.12사이에는 0.111, 0.112..가 있고..
그러나 정수와 정수 사이에는 유한한 개수의 정수만이 존재합니다. '다음 수' 라는 개념이 성립하죠. 유리수는 0.1과 0.2 사이의 수가 있지만, 정수는 1과 2 사이의 정수가 있나요? 그렇지 않죠. 그렇다면 조밀성이 없습니다.
실수는 애초에 그 부분집합인 유리수와 무리수가 조밀성이 있고, 수직선이 무한히 많은 점의 집합인 만큼 조밀성이 존재합니다. 그러나 이에 따르면 0.9999..와 1사이에도 다른 실수가 무수히 존재해야 하는데 0.9999...보다 크면서 1보다 작은 실수는 없어요. 모든 자릿수가 9이니 하나를 더 늘리면 1.0000..9999....와 같은 식이 될 테니까요. 1보다 작으려면 어느 것 하나도 늘릴 수 없죠. 그러므로 0.9999..와 1은 같은 수라고 할 수 있습니다. 두 수가 다르면 사이에 뭐가 있어야 하는데 아무것도 없으니 두 수는 다르지 않았던, 즉 같았던 것이죠. A
@@Lunatday 자세한 설명 감사합니다.
덕분에 잘 이해됐어요
@@Lunatday 배운 명쾌한 해설 감사합니다
그말대로라면
0.99999와 어딘지 모를 끝부분의 0.9999998 같은게 있을때 그것 또한 같다라면은 결국은 모든 숫자가 같다는 논리가 성립되는건가요?
최신 댓글들 보니까 수학 이론을 어지럽히려는 괴인들과 그 괴인들을 잡으러 가는 수학 히어로를 보는 것 같아서 개웃김
미친 우범지대
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
목의 각도에서 부터 느껴지는 천재의 아우라
스터딩 바디
ㅋㅋㅋㅋ
@@yuvinnnvvin 😂 게이밍 바디 비빌듯
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ이거 레알ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이런 댓 너무 좋아 ㅋㅋ
근데 진짜 이해하려고 해도
0.9999999999999••• = 1
이질감에서 벗어날 수가 없다 ..
반대로 이렇게 생각해봐도 되요.
0.999~ 를 우리가 받아들이는 개념은
0.999~ 가 정지되어있다기 보단
아무리 0.999를 많이 적어도 그 끝엔 항상 9가 끊임없이 존재하는 뭔가... 살아움직이면서 증가하는 개념이에요.
마치 수가 살아서 움직인다 해야하나..
그러면 어짜피 계속 살아 움직이는 친구고 그 끝을 칼로 자르듯이 딱 정리할수 없다면, 이 친구가 움직이는 규칙성은 발견할 수 있죠.
얘는 1로 무한이 다가가는 중입니다. 0.999~와 1 사이엔 어떤 실수도 올 수 없습니다. 그렇다면 이 친구는 1이 아니지만 1로 무한히 다가는중 아닐까?
이 친구는 그럼 1로 무한이 다가가는 중이라 하자. 라고해서
0.999가 무한하게 다가가는 숫자는 = 1
1) 0.999~ = 1 이 아니라
2) 0.999~가 다가가는 중인 숫자는 = 1
이런 개념인거죠.
1)는 대학 수학 미분적분학에서 증명하고
2) 는 고등학교 교육과정입니다.
@@김현수-c6q8q 웅 아니야~ 니가 그렇게 말하니 더 혼돈 가지는거다..
그냥 9.999.. 가 1이야 1대1 대응되니까..
999999가 연속 되고 있는 진행형은 정확히 말하면 아니고 ..그냥 그런 수야
니가 100만번재 찾으려고하면 9가 발생되는게아니고..원래 존자하는 수라고..
@@KKKim-ej5rw애초에 그런 가정을 한 것이니 틀리다 맞다를 지적할 필요도 없고 이해를 돕기 위해 한 합리적인 가정인 것 같은데요... 그리고 9.9999가 어떻게 1입니까....
3/3=1
3나누기 3하면 0.999…=1
됐지요?
@@흥미로우면짖는개-r8o 이쉑히...팩폭에 정신 가출 했네~ ㅋㅋㅋㅋ말해줘도 이해못할테니 그냥 평생 하던데로 하라고~ 신경은 마누라한테나 신경쓰고~
앗..미안..모쏠 독고한테...
요건 몰랏으니~ 나도 너 모쏠인건 안궁금해 할께~ 요런느낌~🤣
저걸 배우는 이유는, 특히 중학교 때 배우는 이유는 '무한소수도 수다' 라는걸 알려주기 위해서임. 그니까 0.999...가 1에 다가가는 '상태' 의 개념이 아니라 진짜 그냥 '수'라고. 저걸 배우기 전에는 학생들의 개념속에 무한히 나열돼있는 수는 수직선 상에 점을 찍을수가 없음. 생각해보면 '0.9보다 크고 0.99보다 크고 ... 근데 1보단 작은 어떤 수' 라고 하면 0.999.. 를 '숫자' 로 이해할 수 없음. 또한 같은 맥락으로 우리 주변의 무수히 많은 '무리수' 들을 '숫자'로 표현할 수도 없게 됨. 이런 생각을 바꾸고 "무리수와 무한소수도 숫자고 수직선 상의 한 점으로 정확히! 찍을 수 있다" 라는걸 이해시키기 위해 이런 개념을 배우는 것임
아닙니다 당신이 말한건 무리수 루트 나오는 중3과정에서나 해당되는 얘기고 중2서 배우는이유는 당신이 말한 단순 모든 무한소수를 얘기하는게 아니라 오직 순환소수 (순환하는 무한 소수일 경우)는 유리수 이다는걸 증명하기 위함이에요 ㅡ.ㅡ
@@힐링라이프-q3i 치료받으셈
@@힐링라이프-q3i 이건 뭔소리야... 표기도 이상하고 그냥 개념 자체가 다 무너진건가
@@zeenee 중2 순환소수에서 배웁니다
@@때똘이교육과정에서 진작 빠지지 않았나? 학교에선 안가르쳐주고 시험에도 안나오지만 여전히 학원에선 가르치는 ㅋㅋ
저게 이해 못하는이유가 0.999...를 0.99999...9랑 같다고 생각해서 그럼
수학적으로 해당 문제를 가장 잘 설명하는 방법은 다음과 같습니다.
우선 엡실론-델타 논법을 알아야 합니다. 엡실론-델타 논법이란, 어떤 수열 a_n이 a로 수렴한다는 것의 정의를 '임의의 ε(epsilon)를 잡더라도, n>N인 모든 n에 대해 |a_n- a|
와 이걸 다 적으시네 대단하십니다. 전 귀찮아서 다른 댓글들에서 다 생략했는데
뭣
이 영상 내용도 모르는 사람들이 입실론-델타 논법과 단조수렴정리를 과연 알까요?
다들 많이 사용하는 10x-x=9, x=1 이 증명법도 단조수렴정리를 만족하는 x라는 가정이 필요하다는것도 모르는데
영상이랑 같은 얘기지않나? 더 어렵게ㅜ설명하시는거같른데
음..‘0.9999...’은 정확히 1바로 옆자리아닌가요..?
우리가 수직선상에 무한대로 앉아있다칩시다
무한대의 인간들에게 각 이름을 부여해요
철수 영희 상철 ...머 등등
아무리 많고 무한하다한들
상철이는 상철이지 상철이는 영희가 아닙니다
...0.9999는 0.9999고 1은 1입니다
0.999...는 소수점 아래의 9가 무한히 나열된 수이며 이것은 변화하는 상태가 아니라 정적 상태이다. ‘자연수’를 세는 인간의 본능 상 이러한 설명을 듣고 1과 완전히 동일하다는 생각에 도달할 수 없음을 헤아립시다.
처음에 이것들을 서로 다른 수라고 인식한다고 하여도, 다음의 설명 상에서 같게 동작한다는 것을 이해할 수 있습니다.
1. 분수적 접근
1/3 = 0.333...
1/3 x 3 = 1
0.333... x 3 = 0.999...
위의 계산과정에서 1/3과 0.333... 그리고 1과 0.999...는 서로 동일한 수 입니다.
2. 실수의 정의 상 접근
영상에서 나온 것입니다. 무한소수는 실수에 포함되며, 실수가 조밀성이라는 성질에 의해서 정의된다는 적용을 같이 받습니다.
따라서 서로 다른 두 실수 a,b (a
이 댓글보고 이해함.. 멋지십니다!
분수적 접근법 보니까 그...런가....? 싶은 것이 확 이해됐어요 감사해요
나도 분수로 이해했었지. 예전에 만화에 나오던 내용임
0.99999…랑 1사이에 0.00000……1이라는 수가 있는거 아닌가요? ㄹㅇ 궁금함
@@asdfpoiu915 0.999...라는 수는 의미하는 바 자체가 소수점 아래에 무한의 9가 이미 나열된 상태입니다. 현실에 존재하지 않기 때문에 와닿는 설명은 아니겠지만 그러한 수입니다. 그래서 0.999...와 1 사이에는 그 어떠한 틈새가 없으며, 또한 연상 상에서 둘은 같은 수입니다.
선생님께서 하신 이 증명은 앱실론-델타 증명을 간단하게 설명한 방법이며 이를 더 깊게 설명하자면 다음과 같습니다. 이해하기 위해서 알아야할 개념이 많고 까다로울 수 있지만 한 번 이해할 수 있다면 더 이상 헷갈릴 일은 없을 겁니다.
우선 '무한소수'라는 개념을 다시 살펴봅시다. 만약 알고 싶은 무한소수가 0.999...라고 칠 때
a_1 = 0.9, a_2 = 0.99, a_3 = 0.999 ....
이렇게 정의해볼 수 있겠습니다. 무한소수는 이러한 수열들의 가장 마지막 지점, 즉 극한이라 할 수 있습니다.
여기서 a_n의 극한이 a라 하는 것은 특정 양수 ɛ(앱실론)에 대해서 ( a - a_n )의 값이 ɛ보다 반드시 작도록 하는 n이 존재함을 의미합니다.
예를 들어서 ɛ = 0.000001이라 치면 a = 0.999999999..., a_7 = 0.9999999로 a - a_7 = 0.000000099...., 즉 ɛ보다 작네요 이런 식입니다. 이것은 무한히 접근한다라는 표현을 수학적으로 설명한 부분입니다.
그럼 이제 다음의 두 가지 문제를 해결하면 됩니다
1. 수열 a_n의 극한값이 존재하는가?
2. 만약 존재한다면 a_n의 극한값은 무엇인가?
먼저 첫 번째 문제에 대한 답을 풀려면 모든 수열 a_n의 집합, 즉 A = { a_n | n € R}이 상계를 가진다는 것을 알아야합니다. 상계라는 개념은 어렵지 않습니다. 그냥 단순히 숫자 10이 0.999...보다 크므로 10은 A의 상계라 할 수 있습니다.
이러한 상계가 존재한다면 상한 또한 존재합니다. 여기서 상한이란 '모든 자연수 n에 대해 a_n 보다 크거나 같은 수들 중에서 가장 작은 수'를 의미합니다. A의 상계 중 하나인 10도 모든 a_n보다 크므로 상한은 10보다 작거나 같은 값을 가지게 됩니다.
이제 이 상한이 a_n의 극한값임을 증명해야합니다. 우선 a_n은 단조증가수열로 절대 감소하지 않는 수열입니다. a_1 = 0.9, a_2 = 0.99 ... 1에 가까워지듯이 계속해서 증가하죠. 한 번이라도 감소하면 그것은 단조가 아닙니다. (1 0 1 0 1 ...은 단조가 아님)
또한 a_n은 유계입니다. 기본적으로 모든 a_n은 소수이기 때문에 0보다 크고 1보다 작습니다. 이러한 제한을 갖는 수열을 유계라고 합니다. (1 2 3 4 ....은 유계가 아님)
이러한 유계이면서 단조인 실수 수열들은 모두 수렴한다는 것이 '단조 수렴 정리'이며 이 때 극한값은 상한입니다.
이를 증명하기 위해 우선 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라고 가정해보겠습니다. 이 때 상한이 c라고 한다면 n을 아무리 키워도 ( c - a_n )의 값이 ɛ보다 크게 됩니다. 즉 반드시 c - a_n > ɛ (->) a_n < c - ɛ가 됩니다. 여기서 a_n은 단조증가수열이기 때문에 n보다 작은 수인 모든 m에 대하여 a_m < a_n < c - ɛ가 되며 이는 모든 n에 대해서 a_n < c - ɛ로 정의할 수 있습니다.
그러나 이러한 정의 자체가 모순인 것이 모든 a_n이 c - 0.5ɛ보다 작으므로 c - 0.5ɛ또한 상계가 됩니다만 이것은 기존에 정한 상한값인 c보다 작아 '상계 중에서 제일 작은 값'이라는 정의에 모순됩니다. 즉 '유계이면서 단조인 수열의 상한값은 극한값이 아니다'라는 가정은 틀렸다는 것을 증명했으며 이는 '상한값은 극한값이다'의 증명으로 이어집니다.
이렇게 첫 번째의 답은 '상한값으로 존재한다'로 증명했습니다. 그럼 이제 두번째 문제입니다. 극한값은 존재한다가 증명되었으니 이제 그 값을 구하면 됩니다. a_n = 1 - ( 1/10 )^n 으로 표현할 수 있으며 이 때 상한값은 1입니다. 그래서 극한값은 1이 되며 즉 0.999... = 1이 됩니다.
더 궁금하신 점 있으시면 얼마든지 물어보세요
전공자시군요 ㅎㅎㅎ
@@hyoungucho 전공자는 아니고 그냥 수학에 관심이 많은 대학생입니다 ㅎㅎ
최고입니다 제가 원하던 설명
뜨어...😮
그렇다면 사실상 우리가 수학적으로 표현하는 1이라는 숫자가 1이 아닐수도 있다는건가요.
1은 우리가 0.999... 라는 문자를 인식하기 위해 편의상 1로 통일시킨 개념인가요.
그렇다면 1 = 0.9999 가 될 수도 있다는건가요.
그럼 1.00000001.... 이라는 숫자도 결국 편의를 위해 1 이라는 숫자로 표기 할 수 있는건가요
그렇다면 1과 2사이의 1.1, 1.2, 1.3, 1.4
들도 우리가 수직선상의 공간 개념을 인식하기 위한 숫자일뿐
소수점이라는 개념이 없다면 이 세상에는 1과 2 밖에 없겠네요
지나가는 문과입니다. 계속지나가겠습니다.
수학을 전공한 사람 입장에서 말씀을 올려봅니다. 수학이라는 학문은 추상화 과정을 통해 개념을 만들고 큰 틀인 정의하에 정리들을 만들며 우주의 현상을 설명하려 합니다. 그 정의 하에 페아노 공리로서 자연수를, 군, 환, 체론을 이용하여 다양한 수 체계를 형성합니다. 예로부터 인류는 눈에 보이는 것을 헤아리기 위해 자연수라는 체계를 만들고 필요에 의해 수 개념의 확장을 이루어낸 것이고, 이러한 확장을 통해 점점 더 다양한 우주현상을 이해하고 설명해 가고 있습니다.
누군가는 원을 궁금해 했을 것입니다. 실을 원모양으로 만들면 원을 둘러싸고 있는 둘레의 길이는 눈으로 보입니다. 하지만 반지름이 변할 때 원의 둘레가 어떤 방식으로 변하는지 궁금했을 수 있습니다. 그래서 수학자들은 반지름에 대한 원의 길이를 수없이 근사시켜 나갔습니다. 수학자들은 값이 하나로 정해지지 않는다는 걸 곧 깨달았고 이와 같은 현상은 삼각형에서도 나타났겠죠. 밑변과 높이가 각각 1인 직각이등변 삼각형의 빗변을 구하지 못했습니다. 이것이 훗날 수학 개념의 발전으로 추상화해낸 무리수 파이와 루트2의 개념인 것이죠. 이것을 인류가 이해하지 못한 궤변을 만들어 냈다고 하는 게 옳은 생각일지, 아니면 이해하기 위해 최대한 수단을 강구하여 정의한 것인지에 대해 생각해 볼 필요가 있습니다.
엡실론 델타도 마찬가지입니다. 극한의 개념은 매우 추상적입니다. 하지만 되돌아보면 1이라는 숫자하나도 추상적이지 않습니까? 단지 페아노 공리에 의해 정해진 숫자 1은 추상적이지 않나요? 1이라는 숫자는 궤변이 아닌가요?
이러한 정의들로 우주를 이해하려 노력하는 수학자들의 말이 궤변이라고 말한다면 어찌 자동차를 만들고, 우주를 여행 할 수 있겠습니까. 그저 우린 그들이 노력하여 만든 정의와 정리들을 끊임없이 이해하고 사용해보며, 궤변이라는 말보다는 그 정의하에 생기는 모순을 비판하고 새로운 것을 만들어 나가야 한다고 생각합니다.
ㅇㅈ 뭔가 처음부터 만들어진 공식들도 숫자기준이 달라지면 다 바뀔꺼같고 그럼 새로운 이론도 만들엇을꺼같기도함
이 글이 글인가요? 그림인가요?
멋져용
수학의 원론을 설명해주셨네 감사요
그럼 수학시험 폐지하는것은 어떤가요?
그런데 이것은 틀렸습니다
음성지원 ㅋㅋㅋㅋㅋ
0.☆☆☆☆
저희가 정의하지못한 숫자라고해서 같다라고 말하는게 틀렸습니다.
목소리가 들렸음 ㅋㅋㅋ
진짜로 틀리긴 했죠.
그니까 강사잘못은 영상아래 0.99999=1을 0.99999...=1로 고쳐야하는거네
있잖아 칠판에 눈없나?
영상에선 0.99999•••를 순환소수로 말하니 알잘딱하게 들어야지... 근데 유튜브 영상 제목으론 잘못 표기한 게 맞음
@@차아차아차차없잖아 제목에 눈없냐?
@@제뉴ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@차아차아차차칠판에 눈이 어디있어.. 눈은 면상에 달렸지...
이쯤 되면 '기둥 뒤에 공간 있어요'밈처럼 잼민이들도 다 아는데 일부러 사람들 킹받으라고 이 악물고 모르는 척하는 게 아닐까ㅋㅋ
온갖 쌉소리 댓글 달려서 머리 아픈 주인장은 개추
대가리에 0.000...0001밖에 생각안나면 개추ㅋㅋㅋ
0.9999•••에 0.0000•••01만큼 더하면
1이 되버리기 때문에
결국 0.999•••의 다음 수는 이것보다 크고 1보다 작은 수로 존재해 있을 수 없다는 겁니다
따라서 0.9999•••는 수직선에 나타내었을때 1과 같은수가 된다는 거죠
같은 이유로 9.999•••가 10과 같아지는거죠
이게 이해가 안된다면 그냥 반올림해서 1이 된다고 생각하면 됩니다...
+중딩이라 이 글에 대한 설명에 부족함과 허점이 좀 많을거 같다고 생각합니다 반박시 님들말이 다 맞습니다 죄송합니다
무한에 끝이 있다고 가정하면 어캄;;
병신임?
@@슈잉누가가져갔냐 그럼
모든 a,b,c가 실수인 가정하에 a
@@슈잉누가가져갔냐
0.999...에 0.000...1을 더하면
1.000...0999... = 1.000...1000...입니다
1.000... 은 1.000...1000...은 다른 수죠
끝자리를 정의할 수 있는 수는 더이상 무한소수가 아닙니다
본 영상은 0.9999... = 1이다의 엄밀한 증명은 아닙니다. 증명과정을 꼼꼼히 따져보면 애초에 실수가 수직선에 대응된다는 가정을 증명하지도, 그 가정을 사용하지도 않습니다. 영상에서는 0.999...가 일단 어떤 '수'라고 가정한 뒤, 이 수는 1보다 작을 수도 클 수도 없으니 1과 같다라고 증명합니다. 즉, 실수의 순서 공리만을 사용한 것이죠.
엄밀한 증명은 다음과 같은 과정을 거쳐야 합니다.
1. 0.999...라는 '표현'의 수학적 정의 -> 0.9 + 0.09 + 0.009 ...라는 수열의 수렴값이다.
2. 앞서 말한 수렴값의 존재성 증명 -> 수열이 sumpremum이 존재하는 증가수열임을 증명
3. 존재성이 증명된 수렴값이 1임을 증명. -> 앞서 두 개를 했다면 얘는 쉽습니다.
물론 이 모든 과정은 실수 체계에서는 입실론-델타 논법으로 대체 가능합니다.
감사합니다. 저 강사님 말을 듣고 실수가 수직선에 대응된다는 가정이 틀리면 어떻게 하죠? 라는 의문이 생겼는데, 바로 풀어주셨네요.
@@36악장 안 엄밀하다는 게 정확히 그 뜻인데요.
너무 당연한 건 맥락상 생략할 수 있겠죠. 수학교수님들 사이에서 학부 1학년 수준의 내용을 빠뜨렸다고 안 엄밀하다고는 안 합니다. 적어도 제가 보기엔 이 영상의 수준에선 실수의 성질은 빠뜨리면 안 돼요.
그리고 애초에, 왜 0.999..보다 크고 1보다 작은 실수는 없죠? 0.xxx...의 x 자리에 아무리 숫자를 잘 넣으려고 해봐도 안 되니까? 이런 식으로 증명하면 대학수학에서는 무조건 0점입니다.
@@36악장 직관적으로는 그럴듯해 보이지만 엄밀하게 따져보면 틀렸거나 증명하기 매우 어려운 명제들은 수도없이 많습니다. 또한, 참이라 하더라도 직관적이고 쉽게 증명할 수 있을 것 같아도 정작 엄밀한 증명을 시도하면 잘 안 되는 명제도 많습니다.
아르키메데스의 원리가 좋은 예시라 생각합니다. 임의의 두 양수 x, y에 대해, nx > y가 를 만족시키는 자연수 y가 존재한다. 겉으로 보기에는 존나 쉬워 보입니다. 그냥 n을 무진장 키워버리면 nx는 끝도 없이 키울 수 있으니까요. 근데 이걸 '수식적으로' 증명하려 하면 불가능합니다. 아르키메데스의 원리는 실수의 완비성 공리와 동치인 명제로, 적어도 제가 아는 선에선 완비성 공리를 언급하지 않으면 증명할 수 없습니다.
'수식적으로 0.xxx...의 모든 자릿수가 9일 수밖에 없다'라고 언급하셨는데, 이건 0.99..보다 크고 1보다 작은 실수가 존재할 수 없다는 것의 증명이 아닙니다. 어떤 수가 존재하지 않는다는 것을 증명하려면 대부분 귀류법을 사용합니다. 이 문제에서는 수학적 표현과 실제 수 체계의 일대일대응이 증명된 가정하에 construction이 불가능하다는 것을 사용하려 한 것이죠. 그런데 우리가 '상식적으로' 사용하는 10진법은 실수 체계와의 일대일 대응이 성립하지 않기 때문에 construction이 안 되는데요? 라고 증명하면 엄밀하지 않은 수준이 아니라 아예 틀린 증명이라는 겁니다.
마지막에 '엄밀한 증명의 한 부류로 받아들였으면 합니다.'라고 하셨는데, 무슨 말씀하고 싶으신지는 알겠습니다. 다만 저는 동의할 수 없습니다. 애초에 '엄밀하다'라는 단어는 일상생활에서 거의 사용되지 않습니다. 대부분 수학계에서 사용되죠. 언어의 사회성에 따라, '엄밀하다'라는 단어는 수학계에서 사용하는 의미를 따라주셨으면 합니다.
대신 '맞는 증명'이라는 표현은, 청자가 수학 비전공자라면 충분히 사용할 의사가 있습니다. 영상에서 하는 말이 실제로 엄밀하게는 구멍이 있지만 틀린 말은 아니며, '맞다'라는 표현은 일상생활에서도 많이 쓰므로 그 표현의 해석이 굉장히 다양할 수 있기 때문입니다.
@@36악장 엄밀하다는 단어 뜻을 모르시나보네 ㅋㅋ 어지럽네 이런건 한국말은 좀 제대로 배웁시다
답글에서 증명과정에 대한 설명을 부연하자면 증명의 결과를 제시하지 못했네요. 1번 가정에 의하면 0.999...를 0.9+0.09+... 수열로 표현할 수 있다면 해당 연산식을 계산하여 1이 된다면 0.999... = 1라는 명제가 참이 되는 거죠?
애초에 수학자들이 증명한 내용하고 똑같은데 수학과도 안나온 사람들이 반박을 하는 신기한 댓글상태...
@@열럽 이 증명은 1770년경에 스위스의 수학자인 레온하르트 오일러가 집필한 《대수학 원론》(실제로는 9.999… = 10이라고 증명했음)에서 나타난다.
오일러는 수학자로 안쳐주는구나 이젠
@@열럽 ㅇㄴ 엡실론 델타 논법 아시긴 함?
반박이 아니고 의문을 제기하는거지. 학문에 자꾸 권위를 집어넣어서 정답을 이야기하지마라.
저 사람들은 수학점수는 낮아도 수학적사고를 하고있는 사람들이고 너는 수학점수는 높아도 전혀 수학적사고가 안 되는 인간이니까.
그렇게 무비판적으로 외우기나 하는데도 점수가 잘 나온다는게 한국교육의 한계인거지
@@hokifoki엄... 님이 4주전에 댓글 상태를 봤으면 저 선생님의 말을 어떻게든 까내리려고 부들대는 사람들을 볼 수 있었을겁니다. 당시 사람들이 의문을 제기한다고 하기에는 평정심을 잃은 모습들이 많이 보였죠.
@@hokifoki실제로 저 선생님을 까는 사람들 중 대다수가 0.9999....의 마지막 자릿수를 갑자기 정의를 해버렸죠. 정녕 이게 수학적 사고를 가졌다고 볼 수 있을까요?
"0.99999"가 아니라 "0.9999999..." 즉 무한(순환)소수 일때 적용되는 개념입니다.
x = 0.99999999.... 일때
10x = 9.99999999999......가 됩니다.
이때 방정식을 사용해보면
10x - x = 9.9999.... - 0.99999....
9x = 9
x = 1 이 됩니다.
@@Sixeightsixsix 이 개념 말고도 증명할수있는게 몇개 더 있는거로 알고있는데 이게 아마 이해하기 쉬웠던것같아요
수학에 있어야할 통일성에서 자리수가 맞지 않는 개념입니다. 메이저 약속이 그렇다라고 하는 편이 옳습니다.
@@ajuga9392 무슨 뜻인지는 잘 모르겠지만, 무한소수의 자릿수 한개를 앞쪽으로 땡겨왔으므로, 다른 수이다. 라는 뜻이라면....
무한은 수가 아닙니다. 엄밀히 말하자면 상태값이에요.
즉, 무한에 무슨 수를 빼든, 더하든, 같은 무한입니다.
@@ajuga9392 맞아요 결국 저 증명방식도 정해진 규칙들에 의해서 구현된거죠. 소수에 10을 곱하면 소숫점자리수가 바뀐다던가, 무한소수에서는 빼기연산이 자리수별로 진행된다는점...등등 뭐가 어쨋든 이 증명은 현재로써는 유효한 증명입니다.
보통은 이렇게설명했던것같아요 "0.9999....는 무한히 9의 개수를 늘려가면서 정수(1)과 계속 가까워지고있으며 그 끝은 결국 1과 같다" 또는
"0.999999999.....와 1 사이에는 어떠한 수도 위치할수없다" .. 근데 규칙을 처음듣거나 마치 마술쇼를 보면서 트릭을 알아내려고 하는사람들을 위해 여러 증명방법들이 나왔을뿐
x 가 수렴하는 수임을 가정했기때문에 엄밀한 증명은 아닙니다
0.99...랑 1이랑 다르다 하시는 분은 함수의 극한을 배울때 극한값과 함수값이 다르다라고 배워서인것 같아요.
이것은 함수를 통틀어서 말할때의 얘기고 좀더 세분화하면 비연속 함수는 다르고 연속함수는 같습니다.
f(x)=x
lim[x->1-]f(x) : 좌극한 (0.999...) lim[x->1+]f(x) : 우극한 (1.000...)
좌극한과 우극한은 모두 1로 수렴하므로
f(x) 는 연속함수이다
따라서 좌극한과 우극한은 함수값에 무한이 가까워지는 값이 아니라 그냥 함수값과 같습니다.
그러므로 0.999... = 1 = 1.000...
무슨 말을 하시고 싶은지는 알겠지만 그건 충분한 설명이 아닙니다. 좌극한과 우극한이 같다고 해당 함수가 연속인 것은 아니기 때문입니다.
따라서 엡실론-델타 논법을 이용하여 x가 해당 구간에서 연속임을 먼저 보인 뒤 보여주신 논증을 사용하시면 훌륭한 증명이 될 듯 합니다.
(참고로 해당 함수의 좌극한이 왜 0.999..인지도 추가로 증명해야 합니다.)
@@김주형-d3x 맞습니다. 엄밀한 정의는 그게 맞지요. 하지만 대화나 설득에서는 맞는 설명이 항상 옳은 설명인건 아닙니다. 극한의 개념조차 모르는 사람들한테 입실론 델타 논법을 말해봐야 벽에 대고 소리치는거니까요.
0.9를 정수로 표현하면 1이다 라는 것과 같은 착각입니다. 무한소수를 유한소수로 표현을 할려다 보니, 0.999..가 1이 되는 것일 뿐. 반올림 하는 것과 전혀 다를 바가 없습니다. 무한의 개념에서는 1과 2 사이에 또 다른 정수가 존재하는 것이므로, 0.9999 와 1 사이에는 정의를 하지 않았을 뿐, 관념의 숫자는 명백하게 존재하죠.
@@기적의논리왕-e9w
동의하는 바입니다.
0.9999.. 와 1 사이에는 무한한 실수가 존재하는거 같은데요.
결국 아무리 가까워지더라도 끝에 도달할 수 없어야 할 것 같은데, 그냥 극한으로 보낸다는 것 자체가 가정인데. 0.999… 를 1로 보자고 합의한것이지 1은 아니지 않을까 싶습니다
저도 대화에 껴주세요 ㅠㅠ뭔말인지 1도 모르겠음
무엇인가를 하기 위해 가장 중요한 것은 정의(없던 개념을 부르기 쉽게 하는 사회적 약속)와
정리(있던 개념 중에서 새롭게 찾아 낸 사회적 발견)를 알아야 합니다.
이러한 사실을 모르고 어떤 현상을 맞닥뜨리게 되면
이해를 하려고 시간을 엄청나게 소비하다가 이해를 두배 반이나 더하게 되고
오해가 시작됩니다.
맞닥뜨리다
@@usizm 넵 감사합니다.
댓글보니 무지성을 넘어서 반지성도 많네..
고3때 미적분 배우면 다 아는 내용인데
댓글들 고등학교도 안 나온 거임???
최신댓글은 마치 우범지대를 보는듯 하다.
잔학무도한 수학 범죄자들과 그들을 검거하러 배회하는 수학 순찰대간의 팽팽한 대결이 일품이다.
하지만 대부분을 검거해도, 교화되는 사람은 없었다..
이과의 황야를 배회하는 문과의 향취가 느껴지는 글이군요
댓글 대댓 모두 완벽한 댓글
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅅㅂ----ㅋㅋㅋ
알고보니 글쓴이는 예체능 ㅋㅋ
입실론델타논법에서 쓰이는 개념입니다:)
멋있네요!!
대학수학1
극한의 엄밀한 정의, 대학교 1학년 때 배우죠..
미분적분학 1에서 배웠던거같아요~
고딩 때도 배움
이거 맞음. 와. 이렇게 쉽게 설명할 수 있다니. 역시 천재 수학강사네
뭔 소린지 모르겠고 낼 구구콘이나 사먹어야겠다...
헤헤 구구콘 맛나겠다
의무교육 안받음?
저도요ㅋㅋ
구구크러스터도 맛있음 스트레스받을때 퍼먹으세요
아는척하는 저능아들보다 훨씬 멋있으십니다
최신순 진짜 왜 이따구임ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ안 배웠거나 오래전에 배워서 까먹은건 이해할 수 있는데 설명해주고 가르쳐줘도 이해 못하고 빽빽 우기는 사람들이 왜 이렇게 많은지..ㅋㅋㅋ
거짓을 아무리 배운들 진실이 되지않는법이니까
@@srusneie8584 얼마나 자기가 옳다고 철썩같이 믿으면 팩트왕이라는 사진을 달고다닐까
@@srusneie8584 이게 자아성찰일줄 누가알았누
@@이지석-n2r ㅇㅈㅋㅋㅋ자아성찰이였던거임
수학에서 말하는 두 수가 같다의 정의를 제대로 이해하고 있다면 모를리가 없는 내용이지만 그걸 제대로 배우지 않은 중고등학생들에게는 이런 쇼츠 하나로 온전히 이해되긴 쉽지 않겠죠. 하지만 자기가 이해안된다고 마냥 틀렸다고 외친다면 우물 안 개구리 소리밖에 못 듣습니다.
근데 강사로서는 못가르친다 할수 있는거 아닌가..온전히 이해하기 쉽지 않다면
@@Nya-g4n 이정도를 이해못하면 아이큐 검사를 한번 받아보는게 나은정도 아닌가요
@@goog-y6t 아니 원댓에 온전히 이해되긴 쉽지않겠다는데 ㅋㅋㅋㅋ 맥락을 못읽는거임?
@@Nya-g4n ㄴㄴ 못가르쳐서 온전히 이해하기 쉽지 않은거랑, 고집이 쎄서 혹은 바보라서 이해를 못하기에 온전히 이해되긴 쉽지 않은거랑 같은거라고 할 수 없댱
잘 가르쳐도 가르침 받는 입장에서 고집부리고 막무가내로 수긍 안하려고 필사적이라면 아무리 애를 써도 가르칠 수 없댱
중요한 내용을 빠트리고 두 수가 같다고만 쇼츠로 내보내면 누구나 반감 가지겠죠. 수학적으로 지식을 갖춘 사람이라면 이 쇼츠에 반발해야하지 않을까요? 다수가 모르는 내용인데 그걸 이해시키려는 설명을 해야지. 이런 영상은 해만 됨.
최신순은 진짜 국밥이다ㄹㅇ
ㄹㅇ 끊을수가 없음 또 어떤 수학 범죄가 벌어졌을지 매일매일이 기대됨
@@이지석-n2r ㄹㅇㅋㅋ
@@이지석-n2r수학범죄 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
냠냠
@@이지석-n2r그래서 매일 확인하러 오니?
애들한테 설명할때는 간단한게 최고일듯 1/9를 하면 0.1111111..이 나오는데 9를 곱하면 0.999999.. 그래서 최종적으로 1과 같다
9로 나누고 9를 곱했으니까 원위치다?
원래 순환소수가 분수를 소수로 표현하다가 나온 거니까 0.11111....은 9분의1이고 9분의1이 아홉개면 결국 1이다 그냥 모양만 다른거다 라고 설명하면 됩니다
1/9는 정확히 0.111...이 아니죠ㅋㅋㅋㅋㅋ
순환소수를 설명하는데 순환소수 전제 하에 풀어나가는건 제대로 된 증명이 아닙니다.
@@admin-h7g 1/9 정확히 0.111... 맞지 않나요?
나누어 떨어지지 않으니 정확한 0.111...이라고 보기 힘듭니다.
수학자체가 약속이라 전제가 중요한느낌임
제곱해서 -가 되는수가 없으니 허수라는걸 만드는것처럼 무한이라는 개념이 정의되지않으면 여전히 0.9999...는 1보다 작다라고 느껴지는건 어쩔수 없음.실제로 초등수학은 수 크기를 설명할때 1이 0.9999..보다 크다고 배우는데 (앞자리수를 비교해서 크기비교) 갑자기 무한이 나오면서 1이라고 해버리면 혼란이생김. 물론 단계별로 기본정의라고 하지만 기본정의가 단계가 올라간다고해서 앞의 정의를 부정하면안되는데 수학은 점점 앞에 배운 내용들이 점점 모순되어가면서 점점 혼린스럽고 수포자가 생기는거임
제곱해서 1이되는 수가 없다라고 배워놓고 갑자기 허수가 생기고 무한소수가 갑자기 1이 되어버리고 그걸 증명하는게 x에 10의 제곱수를 곱해서 빼는건데 그자체로도 애들이 느끼기에는 저걸 증명하기위해 억지로 끼워맞추는 느낌이 들수도 있는거임. 즉 단순암기처럼 수학을 접근하게 되어버림
기본교육 어쩌고 하는건 수학을 조금 배운 사람이고 일반 사람이나 학생들은 저개념자체를 이해하기 어려워함
사이에 수가 없으면 1바로앞이 0.999...아니야? 하는건 수학을 깊게 생각안하는 사람은 당연것일수도 있음.
실제로 수학은 약속이라는 느낌도 분명 있음. 그냥 그런거야 하고 받아들여야하는 강압적인 학문도 수학이긴함. 부피가 없는 수를 점으로 수직선을 만든다는 개념도 사실은 약속임. 수를 점으로 찍기에는 점자체의부피도 무시할수가 없지만 그렇다고 하자라는게 수학이라 저 자체만으로 이해안가는 사람도 분명 많을거임.
차라리 극한이라는 말처럼 무한대로 그수에 한없이 가까워지면 그 수랑 차이가 비교할 가치가 없을만큼 거의 없기때문에 그 수라고 '약속'한다라고 말하면 아 그렇구나 하고 반이상은 넘어갈듯
3÷2(2+3) 같은 경우도 실제로 기호가 생략된 숫자부터 계산하는걸로 약속한다라고 해야 잡음이 안생김. 저런 문제자체를 내는게 오류라고 해버리면 단순히 수학기호로만 표현한 문제자체도 못풀어버리는 웃긴상황이 생겨버림. 실제로 고등학교1학년때 일대일대응일때만 역함수가 존재한다고 했는데 지수함수에서는 분명 그래프자체가 고1때 배운 일대일대응이 아닌 일대일함수인데 갑자기 일대일대응이 되어버려서 역함수로 로그함수가 나와버림. 이때도 애들 이해시킬려면 지수함수의 정의에 밑을 음수로 쓰지않고 그래서 공역이 양수밖에 없기때문이라고 설명하면 애들은 그래도 의문을 찝찝해함. 근데 그냥 지수함수는 그런 조건때문에 일대일대응으로 약속으로 했다라고 하면 애들은 그냥 이해하고 넘어감.
매년마다 수학배우면서 찾게되는 모순이나 이해안가는 부분은 대학가서 수학을 더 깊게 배우게되면 풀리겠지만 해당과목을 배우는 학과가 아니면 사실 잊어버리고 살다가 이런 쇼츠보고 리플을 보는순간 찝찝하고 이해안가는 부분에 질문하는건 당연할수도있으니 이게 이해가 안된다고 무시하는 사람들은 똑똑할수는 있으나 학생이나 남을 설득하거나 이해시키는 능력은 좀 없어보이기도 하니까 그냥 이해안간다 싶으면 약속이라고 하셈. 어차피 저거 몰라도 지금 사는 개인의 인생에는 큰 문제없음. 수학잘하는 사람들이 어차피 잘 쓸모있게 저런 개념들을 실생활에 접목시켜줄것이고 나머지는 각자 자리에서 돈많이 벌어서 잘살면됨.
respect
저 등호는 유한확정값으로의 등호다 -강기원
대기원
@@1234_jm허수는 너고 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
대 기 원
너 손흥민 팬이지?😊
오타 남
기원 -> 민철
둘은 다른 표현이지만 서로 아무런 차이가 없는 같은 값이라는걸 이해하신다면 당신은 자연계열 학문에 뛰어난 재능을 갖춘 인재라는 뜻입니다. 얼른 대학원으로 오세요❤
이미 다른 죄를 지어서 공과계열 대학원에 하옥되어버렸습니다...
안돼 가지마
이거 이해 안되는 사람 = 중3수준도 이해 못함 = 초졸수준
문과왈: "인생은 99프로의 노력과 1프로의 영감으로 채워진다"
예체능과왈:저 말은 99프로의 노력이 중요하다는 말이 아니라 모두가 노력은 하지만 난 그들이 가지지 않은 1프로의 영감이 있다 이다.
그냥 거기서부터 문과 수준 나오는거임 ㅋㅋ
근데 진짜 문제는 아무도 그런말을 하지 않았다는거고
영감이라는 추상적인 개념을 수로 나타낼 수 없다. 설령 그것이 가능하다고 가정해도 0 이상 100 이하의 실수 범위 만큼의 무한한 반례가 존재한다. 따라서 이 명제는 거짓이다.
문과 : 응~ 시적허용 ^^
그냥 영상내용을 한 문장으로 정리하면
'a=b 일 필요충분조건은 e>0 인 모든 양수 e에 대해, |a-b|
개소리
1학년때 미분적분에서 대부분 배우죠..
그니까 |a-b|≤0 이라는건가요? 와 짱신기해
나는 커서 수학과로 가야지
@@기면서-w7s고졸
@@gardenyes8785 제가 현직 대1 입니다 안배웁니다 이제 1학기 끝나가는데 시발 테일러급수 까지 나갔는데 뭔개소린지 모르겠고 저딴건 배우지도 않았습니다
교수님도 고딩때 선생마냥 뭔가 짜치는데 강의력도 창렬인게 지잡대라 수준이 이런가 봅니다
참고로 저건 도저히 강의 못듣겠어서 혼자 인터넷으로 공부하다 알게된겁니다
좋은 대학은 미적할때 저거 가르쳐주나 보네요 시발 빨리 딴 대학으로 탈출할 이유가 또 늘었습니다 감사합니다
자막을 잘못 달아놔서 사람들이 헷갈려 한다
직관을 믿어서는 안된다는 말을 한 번 더 깨닫게 해주네요.
순환소수는 중2때 처음 나오는 개념이니 학생들에게는 교과서에서 나오는 방법으로 설명해주는게 좋다고 생각합니다.
수직선=실수 개념은 중3 과정이라 실수를 배우지 않은 학생들에게는 오히려 혼란을 줍니다.
대상이 중학생은 아닌 것 같은데요? 그리고 저도 순환소수 배우면서 저 개념 교과서로 배울 때 아니 그래서 왜 1이랑 같다는 건지 이해 못했음. 결국 고등학교 입학하기 직전에 생각해보다가 혼자 수식 세워서 이해했고...
왜 교과서 설명으로만 가르쳐야하노 수학이 사고력의 학문인데
님같이 공부하니까 수학 못하는 애들이 생기는 거임
실수의 정의는 중3이 맞지만 이 영상은 실수라는 원시적인 개념만 써도 되기 때문에 이 설명이 더 직관적인듯. 수능 4등급이었던 저도 이정도는 초6때 혼자 머리 굴리다가 생각해냈어요
교육과정에 맞는 설명도 필요하긴 하지
빠른년생이 없어져야하는 이유
이드립을 똑같이 풀어놨다가 생각없는 모지리들이 탈탈 털고있어요ㅋㅋㅋㅋㅋ암튼 길게 풀어두면 생각을 포기하고 답만 주면 좋다고 발광하는 모지리 습성민족이라ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
인문학적 접근 😂😂
와 최신 댓글들은 죄다 의무 교육 과정 독학했노
근데 3차원 안에서 모든걸 담으려다보니까 0.9999랑 1이 같다는 결론이 나오는거고 극한이나 수직선이나 우리의 약속이기에 그런거지 사실 진리는 0.9999랑 1은 엄연히 다른게 맞긴함 그걸 직관적으로 알 뿐 3차원 이상을 알 수가 없으니 이해할 수가 없는거임
저새끼들을 중학생 이상으로 보지마셈 알고리즘 잘뜨니까 잼민이들이 꼬인거임
@@아그맷
엄연히 같습니다.
주장만 펼치지 말고 증명을 하세요.
@@아그맷경계선지능인가
@@아그맷 의무교육 독학한 놈.....
저혈압 치료법 "최신순"
댓글다는애들 닉네임 옆에 나이 달아야된다고 본다
초딩들 이해시키려고 진땀빼지마셈
이해못하면 초딩이라는건 너무 비약 ㅋㅋ
@@Heist55 만약 초딩이상이면... 엄...
난 이미 달았다
진짜 무뇌들 심각하다.. 이거 중딩때 배우는건데 도대체 어떤 삶을 살아온거냐..
등비수열 관점:
등비수열은 3,9,27,81.. 와 같이 어떤 항에 일정한 수를 곱한것이 다음 항이 되는 수열.
이때 0.999...을 0.9+0.09+0.009+...으로 생각하고 더하는 각 항을 수열의 항으로 보면 이 수열의 일반항 an은 0.9×(0.1)^(n-1)임
우리가 구하고자 하는 0.999...는 등비급수로 생각할 수 있음.
이때 등비급수의 공식에 의해 0.999.. = 0.9/(1-0.1) = 1
와 딱 이거 배울때 수학에 정 다 떨어졌었는데. 결국 수는 완전한게 아니라 인간이 만든 불안전한 가정이구나 해서.. 새삼 오랜만에 보니까 신기하네..
고등학교에서 샌드위치인가 슬라이싱인가를 설명해주셔서
1) 0.999... 가 1보다 크지 않음을 증명.
2) 0.999... 가 1보다 작지 않음을 증명.
이 세상 모든 실수는 크거나 작거나 같으므로 0.999... 는 1과 같다고 결론내렸던 기억이 나네요
스퀴즈 정리 말하는 것 같네요
샌드위치 정리
조임 정리
스퀴즈 정리 다 맞음
그 증명 자체가 0.000...1=0이라는 똑같은 전제 하에 펼쳐진거라 걍 쓸모없는 궤변이에욬 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
@@admin-h7g엄밀히 그건 아니죠 ㅋㅋ
@@admin-h7g 제발 반박하고싶으면 어줍잖은 지식말고 제대로 공부하고오세요...
진짜 어디서 주워들은 지식가지고 전공자들, 전문가들 사이에서
쓸모없는 궤변인뎁~~ 이러고있네.
1. x = 0.9999…
2. 10x = 9.9999…
3. 10x - x = 9.99… - 0.99…
4. 9x = 9
5. x = 1
학창시절 이렇게 증명했던 기억이 있는데 오랜만이네요
와 방금까지 님의 설명이 깔끔한 정리라생각했는데.
논리를 넣으니 머리아파지네
0.999...는 무한에 가까운수 이기에
정의할수없으면 알수없는수이다 고로
(9.99...)가 (0.99...×10)와
같은지는 알수없으며
(9.99...)와 (9.99...)끼리도 두수의
끝을 알수없수없기에 같은수인지는
알수없다.
단지 인간은 모든것을 정위하고싶어하는
동물로서 모른다는 결론보단
안다는것으로도 정위내릴수있기에
0.999...=1과 같다고 약속했다.
이렇게 생각하는게 맞는지모르지만
재밋잖아~ 한잔해~
@@김태식-h3f무한에 가깝지 않습니다. 1이라는 고정된 값이죠.
감사합니다.
@@애옹-k4x6m 그런 법칙도 없을 뿐더러 저건 제가 만든게 아니라 0.999…가 1과 동일하다는 증명 중 하나입니다. 대수적 접근이라고 합니다.
@@애옹-k4x6m1에 10을 못곱하는 법칙이 있나요?
나는 1 - 0.9999... = 0.0000... 이고 0이 무한으로 있으니까 끝에 1이 있을 수는 없다고 생각하면서 납득했었음
수학적인 사고는 아니네요
자 이제 천제를 보여주세요
1에서 0.9999....를 빼봅시다.
0.0000.. 0이외의 숫자는 영원히 나오지 않습니다
이 해석이 제일 똑똑한 해석인듯
@@smath650 0.00000..........~~~~~~~1
무한히 가다보면 언젠가는 존재하는 숫자 아님?
그 과정이 무한이기에 계산의 영역이 아니라서 그 뒤에있던 1을 배제하는 게 아닌가...
@@00olion 그 언젠가라는것이 존재하지 않습니다.
@@00olion말 그대로 무한히 0이 늘어지는데 끝이 어딨음...존재할수 없는 숫자임
제목이 잘못됐네요
0.99999는 1하고 다르죠
0.99999....가 1이죠
대체 얘네는 교육을 어떻게 받으면 중학교 들어가자마자 배우는 걸 이해도 못하고 아니라고 우기면서 싸우고 있지?
그야 무한소수란걸 이해하지 못한 초등학생들이니까....
그거 아는 니보다 다들 돈 잘벌껄?
@@너거매아아라 예......
그냥 1의 다른 표현이라니까
우리는 저런 수를 1이라고 부르기로 약속한 거임
이과에 공대출신인데 댓글들 보니 머리아프네요
과학고 학생이에요. 알기 쉽게 적어봤으니 이해가 어렵다면 한 번 읽어보세요.
‘0.0~01을 더해야 1 아닌가요?’
'0.99.. + 0.99..는 1.9998이잖아?'의 답변 ----------------------------------
무한소수 중에서도 순환 소수인 9.99..는 정말
소수점 이래로 9가 무한하게 늘어서 있어요.
앞선 논리대로라면 이에 상응하는 0.0~01이 무한소수여야, 합이 1이 되겠죠? 근데 무한소수는 소수점 아래에 0이 오면 안되요. 그렇기에 정의 자체에서 0.0~01은 무한소수가 아니에요. 그러다 보니 0.00~01 자체가 정값이자 유한소수 중 하나일 뿐인거죠. 0.00000000……가다가 1을 둬서 0.00~01의 상태로 메김하는 순간 유한소수가 되는거죠. 0.99..가 끝이 없기 때문에 무한소수인데 끝을 가져야만 유의미한 값을 가지는 0.0~01이 대등한 영향력을 가질 수가 없죠.
반복설명)
1. 무한소수는 소수점 아래에 0이 있어선 안된다.
2. 0.00~01에서 0이 무한-1번이고 무한번째에 1이 오는 수는 없다.
3. 0.99..와 1이 다른 수라면 그 사이를 구분짓는 무한의 성질을 띤 수가 존재해야 한다.
4. 그 구분짓는 값이 0이 무한-1개며 0.00~01
인 수일텐데, 그런 수가 없구나 = 0.99..와 1을 구분지을 수 없다.
상자를 두 공간으로 나누려면 칸막이가 있어야 하는데 칸막이가 없네? = 두 공간으로 나눌 수 없는 하나구나.
또 헷갈릴 수 있는 0.99.. + 0.99.. 도 볼게요. 1.999998은 0.999999를 1로 볼 때 보다 2와 더 멀어져 보이죠. 실제로 유한한 상태에서는 더 먼게 맞죠. 먼저 위의 합을 1.9999~98로 혼동하는 이유역시 유한 소수의 관점에서 봤기 때문이에요. 1.99~98이 되는건 유한 소수의 덧셈에서에요. 둘을 더해서 1.99998이 되려면 마지막 자리라는 개념이 있어야 해요. 무한소수는 무한번 수가 반복되고 있기 때문에 마지막 자리 숫자라는 개념이 없어요. 무한의 끝에, 결국 8이 오잖아가 아니고, 끝이 없기 때문에 무한인거죠. 결국 1.999~98같은 값은 끝을 가지는 유한소수이고, 유한소수의 관점에서의 값이기 때문에 나타나는 값이에요. 즉 0.99.. + 0.99.. 를 1.9~98로 보는 것 자체가 불가능한거죠.
혹시 9.99.. + 0.1^(무한) 이면 되는거 아닌가
생각할 수도 있겠지만 이 역시, 0.1을 공비로 가지며
수렴하는 실수일 뿐, 0.0~01인 무한한 수라고 볼 수가 없어요.
엡실론 델타로도 설명 가능하고 사실 엡실론 델타를 알아야 비로소 미적분의 근간을 이해할 수 있긴 해요.
오탈자 띄어쓰기는 그냥 흐린 눈 해주세요 😂 다 고치기 힘드네요
이게 쉬운 설명이야?
0.999・・・ = X
10x = 9.999・・・
10x - x = 9.999・・・ - 0.999・・・
9x=9
x = 1 = 0.999・・・
더 설명할게 있음?
@@감자진석 너나 쉽지.......
0.999...9가 아니고 0.9999... 인것만 이해해도 딴지걸 생각이 안날텐데 신기하네
😂내 말이~
니들 약속 늦어서 갈때 이미 약속장소에서 기다리는 친구들 보이면 도착한척하면서 인사하잖아 저것도 똑같음
주황색 젤리먹으면 그 수를 찾을 수 있음.
원소리야,,,0.999가 1이라는 뜻은 그렇게 하기로 약속은 한거잖아,,,,,,,,그리고 0.999 와 1 사이에 어떤 수가 있을 수 있지만, 아직까지 그걸 어떻게 하지고 정의를 하지 않은 것이고, 그리고 일상생활에서 굳이 필요한 게 아니니까
이게 맞지. 정의와 약속의 문제를 말도 안되는 말로 이해를 시키려하니까 학생들이 이해를 못하지...
값은 분명 1인데요? 0.999... 와 1사이에 어떤 수가 있을수가 있나요? 우선 0.999가 1과 0사이에 있는 수라고 합시다. 그리고 0.99..=1-x라는 식을 세워봅시다. 식을 이항하면 x=1-0.99... 에요 단순 계산하면 x=0.00...이죠? 그럼 아주 무한히 0.000...으로 되는거니까 x=lim n->∞ 1/n으로 표현이 가능해요 그럼 1/∞=0이니까 x=0이에요 그럼 0.999=1-0인데 이는 앞에 가정의 모순이죠? 약속이라는 표현이 어느정도는 맞지만 0.999...는 무한의 개념이 있기때문에 생기는 현상이에요 수학에서는 절대로 애매한 개념이 있을수는 없죠 실생활에서 쓸모없기때문에 다룰 필요가 없다는건 진짜 절대 해선 안될말입니다. 자연이 쓸모있기때문에 과학을 하는게 아니라 아름답기 때문에 연구를 하는거라는 말이 있는데....
@@Geunrix가 0으로 수렴하는 거랑 x=0인건 다른거아님? 만약 같다면 limx->oo 0/x은 부정형이여야하지만 계산결과는 0임
미취학 아동
@@하유-q7v 어찌되었건, 저걸 고민하고 풀어야 하는 것은 일반 학생들이나 평범한 사람들이 아닌 그 이상의 영역에서 해결 해야 될 문제라고 생각됩니다. 0.999가 이미 1보다 작을 수 없다는 전제를 달고 설명하고 있으니, 아무리 고민해도 제자리 걸음일 뿐이죠. 만약 오랜옛날 0이라는 숫자나 1이라는 숫자를 만들지 안았다면, 설명이 다르게 해석 될 수 도 있는 문제죠. 현재는 이미 만들어진 숫자에 국한해서 해결하려고 하니 답이 없어 보일분이죠. 누군가 수학에 관심이 있다면 많은 시간을 들여 생각하면 언제가 필즈상도 받을 수 있겠죠
구부정한 어깨와 목이 그의 실력을 가늠케한다..
솔직히 수포자 맞고, 이런 거 평생 납득을 못하고 있던 건데 지금 댓글 보면서 깨달은 게... 무한의 개념을 이해 못 한 문제가 아니고 애초에 실수의 성질부터 제대로 모르고 있었어서 납득이 안되던 거 같음.
실수라는 것 자체가 한 선 위에 나열될 수 있어야 하는 거라는 개념 자체가 머리에 안 박혀있던 거 같음 중학생 때는 그냥 선생님이 판서 해주니까 달달 외웠는데 그게 뭔 말인지 이해를 못 해서 이렇게 된 거 같네... 마 지금도 그냥 이해된 것 같은 느낌만 드는 거겠지만... 나는 실수가 뭔지 몰랐네
저도 대학 와서 이해했어요! 0.9, 0.99, 0.999, ... 등으로 진행되는 수열이 수렴하는 값이 실제로 실수 안에 존재한다는 건 실수의 가장 중요한 성질인데 대학 와서야 '완비성 공리'라는 말로 제대로 배우는 거고 직관만으론 쉽지 않죠 수포자라고 말씀하시는 것치곤 잘 보셨는데요
최신순은 왜 국어도 어딘가가 고장난 것 같지
ㅋㅋㅋ
지나가는 초딩6인데 전 이렇게 생각했음
0.999999999...=3/3, 3/3=1 그래서 0.999999999...=1 라고 생각했음
일부댓글들 처참하다 ㄹㅇ로..자기가 이해안된다고 수학=종교 이러고있네ㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋ 무슨 수학자들끼리 약속한거네, 3차원에서만 통하는 불완전한 진리네 이러고 있어요 ㅠㅠ
@@hyoungtakhyoungtakcha8364그댓글봤음 ㅋㅋㅋㅋㅋ
갑자기 진리타령 ㅋㅋ
종교랑 크게 다를건 없음. 논리적으로 사람들이 납득할 수 있는 종교. 지금 맞다고 여겨지는 개념이 갑자기 달라질 수도 있는거임
근데 진짜로 수학 법칙이나 과학이나 그런거 거의 종교 비스무리한 건 맞아 옛날엔 무리수라는 존재는 아예 없다고 극성으로 주장하던 시절도 있었음
@@user-ez7ne1yp3m혹시....당신의 친구가 당신의 친구였던 이유가 지금 당신의 친구라고 믿어지기 때문인건가요?
그건 언제나 달라질수 있구요?
100년후 인간이 이걸보면 얼마나 어리석다하겟노
X=0.99999•••
10X=9.99999•••
10X - X= 9
X=1
이렇게 유도하는걸 본적 있네요.
여기 댓글들 무한의 개념은커녕 소수개념도 모르는사람이 ㅈㄴ많은데 왜 자기가 아는게 전부라 생각하고 반박하려하지? 진짜 능지수준이 말이 안나온다 ㅋㅋㅋㅋㅋ
당신이 중학교 2학년 이상의 학력을 갖고있다면
분수(유리수)를 소수(유한소수 또는 무한순환소수)로 바꿀 수 있어야하고
그 반대로도 할 수 있어야 합니다.
0.99999.....가 1인걸 납득을 못한다는건 당신이 아직 중2수학을 안배웠거나, 배웠지만 새까맣게 까먹었다는 뜻입니다.
해석적으로 증명할때 접근방법이 저게 맞음.
학생들을 위해 최대한 풀어서 설명하신거 뿐
이쉑은 ...을 빼가지고 여러사람 고생시키네
영상보면 다 들어가 있는데 그냥 대충 보고 대충듣고 헛소리 하는거임
x = 0.999...
10x = 9.999...
10x - x = 9x
9.999... - 0.999... = 9
9x = 9
x = 1
0.999... = 1
이거 보고도 틀리다고 할 수 있음..?
와 이거 초딩때 수학도둑에서 본건데 ㅋㅋㅋ
초등수학수준에서? 이해시키는 방법
ㅇ
1 = 1÷3×3 = 0.33333...×3 = 0.99999...
쒜엣 왓 더 유얼 지니어스 뎀
1÷3×3 = 1÷9 = 0.11111111
이거 너무 어거지 아님? ㅋㅋㅋㅋ 그렇게 하면 다른 숫자 넣어서도 할수 있겠네
@@allodoeng-for.you. ㅇㅇ 됨
1=7/7 = 0.142857142857142857.... × 7 = 0.999999.....
6분의 6해도 되고 9분의 9로 해도 되고 11분의 11로 해도 되고 13분의 13으로 해도 되고
이게 사실은 저 0.33333... 이라고 하는게 수렴한다는 얘기가 있어야 함
대충 문과적으로 쉽게 말하자면 실수는 수직선상에서 점으로 표현할 수 있는데 만약 두 수가 다르다면 점과 점 사이에 간격이 있다는 뜻이고 점은 간격을 차지하지 않기 때문에 그 간격에 무한한 점이 존재함 즉 만약 두수가 다르다면 그 두 수 사이에 있는 수의 개수는 무한하다는거
최신순 ㄹㅇ 아이큐 60들임?
베뎃보고 최신순 보러 와쪄염??
최신댓 난리난 거 그냥 개웃기네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
천재는 설명하지 않는다 그저 자명할 뿐
최신순 댓글목록은 흡사 지구평평설, 타진요, 아폴로 달 착륙 음모론 커뮤니티를 보는 듯하다. 정말 콩알만한 지식을 자랑스러운 듯이 드러내놓고 전 인간 역사를 거쳐 쌓여온 수천 수만의 수학자들의 논의 결과를 온몸으로 거부하며 더 이상 반대 측의 증거를 거들떠보려는 시도조차 하지 않는,
수학은 추상화로 시작된 정의후 확장의 결과이고 이 논쟁은 지구 평평설과 같은 비과학적 논쟁거리와는 매우 많은 거리가 있음.
병신임?
간단한 식으로도 정리됨
x = 0.9999...
10x-x = 9.9999...-0.9999... = 9 = 9x
따라서 x = 0.999.... = 1
무한 +무한이니 이 식은 잘못된 식입니다
@@wyoni 왜 안되나요
@@wyoni그 무한이 아니잖아요 1에 무한으로 다가간다는것이 어떻게 무한이라고 할수있죠? 님이 말한다는건 x가 무한대로 발산할경우를 말하는겁니다
직관적으로 이해시키려는 의도는 알겠습니다
다만 설명이 아에 틀린건 아닌데 무한을 이해하는 설명은 아닙니다 ㅎㅎㅎㅎㅎ
무한의 개념을 이해하려면 동영상 내용처럼 입실론을 이해해야합니다
@@sududuyemzmzmzmzm그냥 제가 보기엔
9.999999...가 그냥 10으로 보이고
0.999999...가 그냥 1로 보여서요...
각 수열이 수렴하니 뭐 덧셈이 가능한건 맞는데요
해당 수열이 무한에서 1과 같다 (수렴한다)
를 설명하는 것으로는 무리가 있다는 이야기 같습니다
수렴을 설명하는데 덧셈해서 설명하는게...
무한을 설명하는 좋은 예시는 아닙니다
그냥 중2때 배운 순환소수를 분수로 바꾸는 것만 알아도 1인걸 알수있는데 0.999... = 9/9 = 1
그건 조립제법처럼 원리는 배제한 채 사용하는 공식일 뿐이고, 이건 그 이유를 설명해 주는 영상입니다. 뭐 댓글 상태를 보니 그것조차 모르는 사람도 많은 것 같네요 ㅋㅋ;
@@곰-f6q 아 이영상이 이유를 설명해주는 영상이였군요 제가 주제를 잘못 파악했네요
개발자입니다.
저희 세상엔 그런거 없습니다.
0.9999999.... = 1 아닙니다.
빌어먹을 컴퓨터
print(토닥토닥)
De.Log(토닥토닥);
컴퓨터도 결국 인간이 만든거라 완전히 연속적인 체계를 만들수 없긴 하죠 ㅠㅠ
최신댓글 이 사람들은 그냥 무한소수를 모름 ㅋㅋ 그러니까 갈통 댓글을 써재끼는거
무한소수 모르는건 흔하고 심지어 어떤 댓글은 덧셈뺄셈도 못함 ㅋㅋㅋ
ㄹㅇ 수평오들
무한소수 0.999...와 1사이에 들어갈수 있는 수가 0.000...1 이다 이지랄 하시는 분들 0.000...1은 유한소수 이므로 결국 끝이 있습니다 따라서 무한소수 0.999...와 1사이에 들어갈수 없어요 아무리 유한소수 0.000...1에서 0의 수가 많아도 그 수를 0.999...에 더하는 순간 정확히 1이 아닌 1보다 큰 유한소수가 되버리기 때문입니다
최신 댓글 보니까 우리나라 수준이 한참 뒤떨어져보인다 어떡하지
와 저도 장난으로 봤는데 진짜 놀랬어요.. 허
저분이 제가 고등학생 때부터 가르침 받아온 수학 선생님이신데 정말 천재십니다.. ㄷㄷ
가끔 연락도 하면서 지냅니다 ㅋㅋ
선생님께서 중학생 때였나 전국 모의고사 1등한 적도 있다고 하시더라고요
차원이 다르십니다
선생님 성함이 어떻게 되시나요
자 규칙성을 찾아봅시다.
9÷9가 뭐죠?
1입니다
2÷9는요?
0.22222...입니다.
그렇다면 3÷9는요?
0.33333...이죠
4÷9=0.44444...
5÷9=0.55555...
6÷9=0.66666...
7÷9=0.77777...
8÷9=0.88888...
그럼 다시 9÷9는요?
0.99999...?
네 그것은 1입니다.
최고
같은 논리로 원의 한 부분을 무한 확대 했을때 계속 곡선일까?이다.
점이 돼죠.
@@노아-h6x왜 1차원이 되노 직선이겠지
최신댓글보면서 자존감 채우는중 세상에 이렇게 멍청한사람이 많구나ㅋㅋㅋ
0.999999999...는 그냥 1임 십진수 프레임 안에서 표기의 한계임
"0.99999••• = 1 인것을 이해하지 못하는 사람들을 이해시키기 위한 똥꼬쇼"
와 진짜 최신순 눌러보니 혈압만 오르네 ㅋㅋㅎㅋㅎㅎㅋㅎㅋㅎㅋㅋ
댓글들 ㄹㅇ 레전드네
진짜..아무리 봐도 전혀 와닿지가 않아요,,,수학 하시는분들 무한 존경…