👍 area of parabola segment = (2/3)bh = (2/3)(2)(1) = 4/3 area of circular segment = area of quarter circle - area of right angled triangle πr^2/4 - (1/2) bh = π(2)/(4) - (1/2)(2)(1) = π/2 - 1 final area = 4/3+π/2-1 = 1/3+π/2
This problem can be solved by integrating from 0 to 1 then from 1 to 2^1/2 in the y direction (dy). The first integral is from 0 to 1 of y^1/2 dy which yields 4/3 the second integral is from 1 to 2^1/2 of (2-Y^2)^1/2 dy, this integral is [arcsin(1/2^1/2 y) + 1/2sin(2arcsin(1/2^1/2 y) this yields pi/2-1. Adding 4/3 from the first integral gives the final answer of pi/2+1/3. Remember when integrating a square root, only one side of the square root (positive side) is considered so you need to multiply by 2 to include both sides.
Es verdad cuando estas resolviendo un examen y quieres ganar tiempo, pero cuando se enseña geometría analítica tienes que conocer de donde salen los puntos y sus respectivas ecuaciones analiticas. El profesor lo explica detalladamente como se enseña en geometría analítica y no como álgebra. 😊 si estuvieras en la universidad y resuelves como dices el profe de matemática te pone cero por algo es análisis matemático con geometría analítica 🤷
Analicemos el gráfico: Vemos la simetría respecto a Y, el círculo es de radio √2, el punto de corte en Y+ es (1,1), si unimos el origen con este punto, notaremos que se forma un ángulo de π/4 respecto a Y. El área a calcular es: A=2*[sector circular (áng π/4)+área de [0,1] de (y=x)-(y=x^2), que es una integral directa] A=2*[π/4+(1/2-1/3)] A=π/2+1/3 Saludos.
Sea el centro de la circunferencia (0,k) tangente a la recta y=4 en (0,4), entonces la ecuación de la circunferencia es: x^2+(y-k)^2=(4-k)^2 ...(#) La circunferencia comparte el mismo punto de tangencia que la parábola y=x^2 en (h,h^2), por tanto tienen la misma pendiente en dicho punto: y'=2x -> y'=2h...(1) Ahora en la circunferencia (#): 2x+2(y-k)*y'=0 y'=x/(k-y) -> y'=h/(k-h^2)...(2) (1)=(2) h^2=k-1/2...(3) Por último, el punto (h,h^2) debe satisfacer la ecuación (#): h^2+(h^2-k)^2=(4-k)^2 Usando (3): k=13/2 y k=5/2 Notamos que el centro (0,k) debe estar debajo de y=4, o sea k
Profesor, ¿qué le parece hacer un video enseñándonos a determinar las rectas A(3, 3), B(6, 9) y C(12, -4) y encontrar el área de ese triángulo mediante integración?
@@profecristhian, Sí. Me gusta visualizar las cosas desde varios ángulos, solo creo que es aburrido resolver un problema con una solución tan simple como Herón. Estoy esperando su video, profesor. Gracias por responderme. Por cierto, ¡sus videos son geniales! Felicitaciones por la dinámica de su enseñanza. Es poderosa, por eso recurrí a usted. ¡Hasta pronto!"
Another way of solving is to obtain, by integration, the areas of the circle and parabola, from 0 to 1, subtract the parabola area from the circle area, and finally multiply by 2.
por que no le hiciste unicamente integrando de -1 a 1 de la integral de la funcion parabolica menos la mitad superior de la funcion de la circunferencia
Con cálculo integral, considerando la simetría y la identidad cos²w=(cos(2w)+1)/2: A=2∫(√(2-x²)-x²)dx|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2(x²/3)|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2/3. Se hace el cambio de variable senw=x/√2-> x=√2senw -> dx=√2coswdw -> √(2-x²)=√2cosw, y entonces ∫√(2-x²)dx|[0,1]=∫√2cosw√2coswdw|[0,π/4]=2∫cos²wdw|[0,π/4]=2∫((cos(2w)+1)/2)dw|[0,π/4]=∫(cos(2w)+1)dw|[0,π/4]=(sen(2w)/2+w)|[0,π/4]=sen(π/2)/2+π/4=sen(90º)/2+π/4=1/2+π/4; y finalmente A=2(1/2+π/4)-2/3=1+π/2-2/3=1/3+π/2.
Muy complicado al pedo. Se toma variable independiente a y. Y se integra la función area en cartesianas (dx dy) variando entre la curva x2 y sqrt(r^2-x^2), en este caso r=sqrt(2)
A mí me dió π - 2. Hice integral de los dos arcos y de debajo de la parábola. La medida circunferencia tiene área π a ella le resté las integrales antes dichas
Si tiene solucion en el campo complejo. Toda variable de n coeficiente tiene n raices. Por tanto a esa funcion la van a hacer falta 2 raices y son en el plano complejo. Si hablamos de nuneros reales no tienen solucion.
Hice un procedimiento distinto. Teniendo el área entre x²+y²=2 & y=x², podemos hallar los puntos de intersección igualando las curvas de modo que x²-y=0=x²+y²-2 Por lo cual, y²+y-2=0, que al resolver nos lleva a y=-2 ∨ y=1. Si y=-2, entonces -2=x² no tiene solución en los reales así que lo descartamos, por lo cual y=1 (por lo cual x=±1) es la intersección entre las dos curvas. Como solo nos importa el semicírculo superior, perfectamente podemos trabajarlo como función tomando la raíz positiva del despeje de y, es decir, y=√(2-x²). Y, al observar que ambas son funciones pares, entonces sencillamente calculamos 2∫(√(2-x²)-x²)dx desde 0 hasta 1, que por propiedades de la integral podemos trabajar como 2(∫√(2-x²)dx-∫x²dx),. La segunda no tiene mucho misterio y es -1/3, pero la primera requiere de un análisis más cuidadoso. Hacemos √2cost=x y, en consecuencia, -√2sentdt=dx, √2sent=√(2-x²), x→0 ⟹t→π/2 & x→1 ⟹ t→π/4 Son todas verdaderas. Luego, nuestra integral ∫₀¹√(2-x²)dt=2∫sen²tdt desde π/4 hasta π/2. También, como sen²t=(1/2-cos(2t)/2), hacemos ∫dt-∫cos(2t)dt Es decir, π/4-(sen(2(π/2))/2-(sen(2(π/4))/2) =π/4-(0-1/2) =π/4+1/2 Por tanto, la solución ha de ser 2(π/4+1/2-1/3) =2(π/4+3/6-2/6) =2(π/4+1/6) =π/2+1/3.
Circle and parobol intersect at the abscissa 1 (and -1. Be I the integral from 0 to 1 of sqrt(2 - x^2). dx, We note x = sqrt(2).sin(t) and dx = sqrt(2).cos(t).dt. Then I = the integral from 0 to Pi/4 of 2.(cos(t))^2.dt, or the integral from 0 to Pi/4 of (1 + cos(2.t)).dt, so it is [t +(sin(2.t)/2] between 0 and Pi/4, so I = Pi/4 + 1/2 Be J the integral from 0 to 1 of x^2.dx, J = 1/3 (evident). Finally the area we are surching is 2.(I - J) = 2.(Pi/4 + 1/2 - 1/3) = Pi/2 + 1/3.
Ohhh my god ya made this prob wayyy more complicated than it needs to be, including in the integration. Easy way: 2 * integral of [sqrt( 2-x^2) - x^2] from 0 to 1 Why: if integrating can do so from top to bottom…. Literally take the top function minus the bottom function. Can integrate from 0 to 1 because the integration is symmetric. Just multiply by 2 to double the area. Why? B/C ….
Your method is too complex. From circle side, the area is (1/4)*pi*(2^0.5)+2*1*1*0.5=(1/2)*pi+1 From y=x^2 side, the area is integral x from -1 to 1, so area=2/3 So, the answer is (1/2)*pi +1 - 2/3=(1/2)*pi +1/3
Muy bueno.
Gracias!
Beautiful and elegant explanation.
Interesante, magnífico!!!
Gracias!
👍
area of parabola segment =
(2/3)bh
= (2/3)(2)(1) = 4/3
area of circular segment = area of quarter circle - area of right angled triangle
πr^2/4 - (1/2) bh
= π(2)/(4) - (1/2)(2)(1)
= π/2 - 1
final area = 4/3+π/2-1
= 1/3+π/2
This problem can be solved by integrating from 0 to 1 then from 1 to 2^1/2 in the y direction (dy). The first integral is from 0 to 1 of y^1/2 dy which yields 4/3 the second integral is from 1 to 2^1/2 of (2-Y^2)^1/2 dy, this integral is [arcsin(1/2^1/2 y) + 1/2sin(2arcsin(1/2^1/2 y) this yields pi/2-1. Adding 4/3 from the first integral gives the final answer of pi/2+1/3.
Remember when integrating a square root, only one side of the square root (positive side) is considered so you need to multiply by 2 to include both sides.
Excelente explicación, gracias.
Muchas gracias por el apoyo, saludos!
Muy buena explicación mas claro que el agua no puede haber. Me recuerda mis clases de ingeniería de geometría analítica👍👍
Gracias por el apoyo, saludos!.
El cambio de variable de x a u está de más ya que basta con reemplazar y = x^2, quedando y + y^2 = 2.
Es verdad cuando estas resolviendo un examen y quieres ganar tiempo, pero cuando se enseña geometría analítica tienes que conocer de donde salen los puntos y sus respectivas ecuaciones analiticas. El profesor lo explica detalladamente como se enseña en geometría analítica y no como álgebra. 😊 si estuvieras en la universidad y resuelves como dices el profe de matemática te pone cero por algo es análisis matemático con geometría analítica 🤷
Muy bueno
Analicemos el gráfico:
Vemos la simetría respecto a Y, el círculo es de radio √2, el punto de corte en Y+ es (1,1), si unimos el origen con este punto, notaremos que se forma un ángulo de π/4 respecto a Y.
El área a calcular es:
A=2*[sector circular (áng π/4)+área de [0,1] de (y=x)-(y=x^2), que es una integral directa]
A=2*[π/4+(1/2-1/3)]
A=π/2+1/3
Saludos.
me encantó este
Good. Now find the radius of the largest circle that lies between y=x^2 and y=4
Sea el centro de la circunferencia (0,k) tangente a la recta y=4 en (0,4), entonces la ecuación de la circunferencia es:
x^2+(y-k)^2=(4-k)^2 ...(#)
La circunferencia comparte el mismo punto de tangencia que la parábola y=x^2 en (h,h^2), por tanto tienen la misma pendiente en dicho punto:
y'=2x -> y'=2h...(1)
Ahora en la circunferencia (#):
2x+2(y-k)*y'=0
y'=x/(k-y) -> y'=h/(k-h^2)...(2)
(1)=(2)
h^2=k-1/2...(3)
Por último, el punto (h,h^2) debe satisfacer la ecuación (#):
h^2+(h^2-k)^2=(4-k)^2
Usando (3):
k=13/2 y k=5/2
Notamos que el centro (0,k) debe estar debajo de y=4, o sea k
Profesor, ¿qué le parece hacer un video enseñándonos a determinar las rectas A(3, 3), B(6, 9) y C(12, -4) y encontrar el área de ese triángulo mediante integración?
Hola, esa es una magnífica idea, muchas gracias.
Aunque va a haber bastante hate jajajaj ya que se puede sacar con la formula de herón, pero es muy buena idea aprender Integrales así
@@profecristhian, Sí. Me gusta visualizar las cosas desde varios ángulos, solo creo que es aburrido resolver un problema con una solución tan simple como Herón. Estoy esperando su video, profesor.
Gracias por responderme. Por cierto, ¡sus videos son geniales!
Felicitaciones por la dinámica de su enseñanza. Es poderosa, por eso recurrí a usted. ¡Hasta pronto!"
Para algo existen los determinantes...
Another way of solving is to obtain, by integration, the areas of the circle and parabola, from 0 to 1, subtract the parabola area from the circle area, and finally multiply by 2.
Exacto, es un método más complicado, pero funciona
Muy interesante ,profesor un video donde halle le ecuación de la recta de Euler.
Me encanta la idea, voy a hacer un video sobre eso pronto.
muito bem explicado
Exercício bem elaborado.
Gracias
Nos puedes hacer una playlist de Calculo general, profe😢
Hola, te refieres a una playlist de retos sólo de cálculo?
si@@profecristhian
You could have found the intersecting points steps before when doing the circle. square one and one and you get two.
Sí, tienes razón, gracias por la observación
Shooow
Es más fácil reemplazar X^2 por Y y te queda una cuadrática en Y.
Hola, claro pero los valores que buscaba era en x aunque se pudo extrapolar, bueno ya está jajaja
La ecuacion de la circuferencia es una relacion no una funcion, corrigame si me equivoco en mi respuesta
Eso se resume a la diferencia de las integrales de 0 a 1 de ambas funciones, luego las multiplicas por 2 porque son funciones pares ambas, Y LISTO!
por que no le hiciste unicamente integrando de -1 a 1 de la integral de la funcion parabolica menos la mitad superior de la funcion de la circunferencia
Con cálculo integral, considerando la simetría y la identidad cos²w=(cos(2w)+1)/2: A=2∫(√(2-x²)-x²)dx|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2(x²/3)|[0,1]=2∫√(2-x²)dx|[0-1]-2/3. Se hace el cambio de variable senw=x/√2-> x=√2senw -> dx=√2coswdw -> √(2-x²)=√2cosw, y entonces ∫√(2-x²)dx|[0,1]=∫√2cosw√2coswdw|[0,π/4]=2∫cos²wdw|[0,π/4]=2∫((cos(2w)+1)/2)dw|[0,π/4]=∫(cos(2w)+1)dw|[0,π/4]=(sen(2w)/2+w)|[0,π/4]=sen(π/2)/2+π/4=sen(90º)/2+π/4=1/2+π/4; y finalmente A=2(1/2+π/4)-2/3=1+π/2-2/3=1/3+π/2.
Muy complicado al pedo. Se toma variable independiente a y. Y se integra la función area en cartesianas (dx dy) variando entre la curva x2 y sqrt(r^2-x^2), en este caso r=sqrt(2)
es complicado con calculo integral.
According to my calculations final area equal 1/3 - 4*arctg[1-sqrt(2)]🤒
A=integral de( 2_x^2)^1/2 meno integral de x^2 tra -1 e +1
A mí me dió π - 2. Hice integral de los dos arcos y de debajo de la parábola.
La medida circunferencia tiene área π a ella le resté las integrales antes dichas
Debe haber un error, porque también hice solo con integrales y sale lo mismo que en el vídeo
Si tiene solucion en el campo complejo. Toda variable de n coeficiente tiene n raices. Por tanto a esa funcion la van a hacer falta 2 raices y son en el plano complejo. Si hablamos de nuneros reales no tienen solucion.
Is it x^2 - √2-x^2
No era más fácil con una integral doble?
No hace falta que sea doble, con una integral simple es suficiente
@carlosperalta4809 pero me parece más rápido con una doble, la divides en dos, hasta el punto de corte es verticalmente simple y la otra horizontal
@@ElpazguatoNo. Es mas simple integrar entre la curva x^2 y sqrt(r^2-x2), en este caso r=sqrt(2)
Que fácil es criticar. Excelente video amigo, sigue adelante
@p.........52 no estoy criticando estoy sugiriendo
There's a easier solution:
the quarter of circle area is
2*π/4 and +2*integral(x-x^2)|[0,1] =
π/2+1/3
Unnecessary dividing area to too many parts.
this integral is equal to 1/6 and not 1/3 as you say
@@profecristhian 2*1/6=1/3. There are 2 leafs of the parabola under the line y=|x|, so I wrote 2*integral...
Hice un procedimiento distinto. Teniendo el área entre x²+y²=2 & y=x², podemos hallar los puntos de intersección igualando las curvas de modo que
x²-y=0=x²+y²-2
Por lo cual, y²+y-2=0, que al resolver nos lleva a y=-2 ∨ y=1. Si y=-2, entonces -2=x² no tiene solución en los reales así que lo descartamos, por lo cual y=1 (por lo cual x=±1) es la intersección entre las dos curvas.
Como solo nos importa el semicírculo superior, perfectamente podemos trabajarlo como función tomando la raíz positiva del despeje de y, es decir, y=√(2-x²).
Y, al observar que ambas son funciones pares, entonces sencillamente calculamos 2∫(√(2-x²)-x²)dx desde 0 hasta 1, que por propiedades de la integral podemos trabajar como
2(∫√(2-x²)dx-∫x²dx),.
La segunda no tiene mucho misterio y es -1/3, pero la primera requiere de un análisis más cuidadoso.
Hacemos √2cost=x y, en consecuencia,
-√2sentdt=dx,
√2sent=√(2-x²),
x→0 ⟹t→π/2 &
x→1 ⟹ t→π/4
Son todas verdaderas.
Luego, nuestra integral
∫₀¹√(2-x²)dt=2∫sen²tdt desde π/4 hasta π/2.
También, como sen²t=(1/2-cos(2t)/2), hacemos
∫dt-∫cos(2t)dt
Es decir, π/4-(sen(2(π/2))/2-(sen(2(π/4))/2)
=π/4-(0-1/2)
=π/4+1/2
Por tanto, la solución ha de ser
2(π/4+1/2-1/3)
=2(π/4+3/6-2/6)
=2(π/4+1/6)
=π/2+1/3.
Con coordenadas polares se puede evaluar más rápido.
A EQUAÇÃO DO CÍRCULO NÃO É UMA FUNÇÃO. POR ISSO A A INTEGRAL NÃO SE APLICA. MAS É UM ÓTIMO EXERCÍCIO.
Gracias
Circle and parobol intersect at the abscissa 1 (and -1.
Be I the integral from 0 to 1 of sqrt(2 - x^2). dx, We note x = sqrt(2).sin(t) and dx = sqrt(2).cos(t).dt. Then I = the integral from 0 to Pi/4 of
2.(cos(t))^2.dt, or the integral from 0 to Pi/4 of (1 + cos(2.t)).dt, so it is [t +(sin(2.t)/2] between 0 and Pi/4, so I = Pi/4 + 1/2
Be J the integral from 0 to 1 of x^2.dx, J = 1/3 (evident).
Finally the area we are surching is 2.(I - J) = 2.(Pi/4 + 1/2 - 1/3) = Pi/2 + 1/3.
Fascinante
That stupid arm flopping around is extremely annoying.
Si no le gusta no vea y listo
x^2+x^2× x^2 × x^2= 2
X^2+x^6=2 ❤❤
Ohhh my god ya made this prob wayyy more complicated than it needs to be, including in the integration.
Easy way:
2 * integral of
[sqrt( 2-x^2) - x^2] from 0 to 1
Why: if integrating can do so from top to bottom…. Literally take the top function minus the bottom function.
Can integrate from 0 to 1 because the integration is symmetric. Just multiply by 2 to double the area.
Why? B/C ….
Jajaja porque lo dices ?
Sera verdad, exacta, precisa al final las Matemáticas es la vida ciencia no factica
既然用到微積分了幹嘛不直接用圓方程式減掉下方的拋物線方程式然後從 -1 積到 +1 就得到紅色區塊的面積了
搞得好囉嗦
Se puede obtener de esa forma también
Your method is too complex.
From circle side, the area is (1/4)*pi*(2^0.5)+2*1*1*0.5=(1/2)*pi+1
From y=x^2 side, the area is
integral x from -1 to 1, so area=2/3
So, the answer is (1/2)*pi +1 - 2/3=(1/2)*pi +1/3
Explicación muy confusa!
Tal vez necesites repasar algunos conceptos básicos.