本質ちゃんと理解して使えてる？４つの定義を背景から説明します！【ネイピア数】
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- Опубликовано: 25 июл 2024
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ネイピア数はいわゆる「自然対数の底」のことで，一般にeで表されます．
高校数学では(1+1/n)ⁿで極限n→∞をとったものとしてネイピア数eが定義されますが，このネイピア数に同値な特徴付けが複数あり，大学以降の教科書では異なる定義になっていることも少なくありません．
そこで，この動画ではネイピア数の４つの定義について，理論と背景を整理します．
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【講師】山本拓人(家庭教師・予備校講師・数学教室講師)
✅ 塾，予備校業界で10年以上の指導歴を持つ．予備校1年目の生徒アンケートでベテランを凌いでトップクラスの高評価を得て通常の8倍の報酬アップを提示されるなど，早い時期から頭角を表す．受講生に合わせた分かりやすく丁寧な指導に定評がある．
✅ 社会人向け数学教室で講師を務める．また，個人でもオンライン家庭教師，集団授業を行なっている．主に大学数学，高校数学を指導している．
✅ 解説記事を執筆する数学ブロガーでもあり，大学受験ブログ「合格タクティクス」，大学数学ブログ「あーるえぬ」の月刊閲覧数は7万を超える．
✅ 大学院修士課程に飛び級で首席合格するなど，数学に対する知識・理解も深い．専門は非線形偏微分方程式で，京都大学内にある数理解析研究所(RIMS)にて博士後期課程として数学の研究を行っている．
✅ 趣味はピアノ，スポーツ，甘いもの食べ歩き
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0:00 この動画のテーマ
0:56 [定義１] 指数関数
3:44 [定義２] 極限
5:26 [定義２]の極限の存在証明（方針）
7:21 [定義２]の極限の存在証明（単調増加）
12:30 [定義２]の極限の存在証明（上に有界）
15:56 [定義３] 級数
17:06 [定義２]のeと定義３のeが一致することの証明（方針）
19:27 [定義２]のeと定義３のeが一致することの証明
24:43 [定義４] 微分方程式
26:34 exp(x)のマクローリン展開
29:42 [定義３]との関係
短調増加もやつ相加相乗で平均で示すやつ好き
TeXがきれい
目の付け所が嬉しいです笑
ネイピアに関するいろんな動画を見ましたが、この動画が一番しっかり説明されていてわかりやすかったです！感動しました。
勉強になりました！
鈴木先生！光栄です！！
ありがとうございます！
貫太郎先生が見に来ている！！ すごい！！
最初から終わりまで気合いを入れて何度も見直しますね～
登録しました！！！
ネイピア数にちょっぴり興味があるので楽しかったです。ありがとうございました！
良かったです！何かを感じ取って頂けたなら幸いです！
大学で勉強したODE入門ではとにかくe^xをベースに解きまくるという感じでしたが、u(x)がpower series expansion出来ると仮定して、そのderivativeが元の多項式と等しいとすると、いっぺんに色々分かるんですね…（かな？）
実は線形常微分方程式
dx/dt=x, x(0)=1
の解がpower series expansionでき（て項別微分可能であ）ることは仮定しなくても証明することができます．
なので，そのpower series expansionを微分方程式に代入すればいっぺんに色々分かるという感じですね．
（なお，冪級数(power series)は級数であって多項式とは呼ばないので，そこは区別した方がよいです）
定義4，微分方程式の解が指数関数であるという命題の証明について．これは微分方程式の解の一意性があるので，ネイピア数を他の定義で定義しといてその指数関数が微分方程式を満たすことからわかる感じですかね？
もし[定義４]の微分方程式の解uが複数あればwell-definedではなくなるので，微分方程式の解の一意性は重要ですね！
また，ネイピア数を用いない指数関数の定義もあるので，ネイピア数を別の定義で与えていなくても指数関数は定義できます．ここでは，（ネイピア数を用いずに）指数関数を先に定義しているという前提での話となっています(という主旨のご質問ですよね？)．
@@TKT_Yamamoto
「u'=u,u(0)=1⇒∃a∈R[u(x)=a^x]」という命題の証明はどうなるのかなという趣旨でした．
さまざまな方法が考えられますが，例えば次のように証明できます：
u'=uからuは無限回微分可能であることが分かり，nによらずdⁿu/dxⁿ(0)=1なのでuはMaclaurin展開可能であることが分かります．
このMaclaurin展開からu(x+y)=u(x)u(y)が成り立つことが証明できるので，Cauchyの関数方程式と同様にu(x)=a^xと表されることが分かります．
@@TKT_Yamamoto
なるほど、それは思いつきませんでした。勉強になりました。ありがとうございます。