Löse das Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
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- Опубликовано: 2 июл 2024
- Gleichungssysteme lösen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man das überbestimmte Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen kann. Wir erhalten unendlich viele Lösungen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Gleichungssystem
0:27 Gauß Algorithmus
6:20 Unterbestimmtes LGS
9:22 Lösungsmenge
11:07 Bis zum nächsten Video :)
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Hey, ich wollte nur einmal rückmelden, dass ich finde, dass du total lieb und rücksichtsvoll erklärst. Du hast mir schon sehr viel in Mathe geholfen, dafür vielen Dank:)
Dachte auf den ersten Blick, dass das ja machbar wird... das Video hat mich eines Besseren belehrt 😂 konnte aber erstaunlich gut folgen. Danke für die anschauliche Erklärung/Lösung! 😄
Ich empfand schon zu Schulzeiten (vor 10 Jahren) die Gauß-Methode immer als so anstrengend und dachte mir, dies sei eine großartige Gelegenheit die vor Ewigkeiten gelernte Determinanten- Methode mal wieder auszupacken… 😎
Nun ja, mit der „Hauptdeterminante“ D=0 war der Spaß dann schon wieder vorbei, aber aus Fehlern lernt man bekanntlich ja das meiste. 😅
Danke für das wunderbar aufbereitete Video, ich finde solche Videos sind einfach super um hin und wieder den Alltag aufzupeppen! 😁
Herzlichen Dank für diese Aufgabe, mein Lösungsvorschlag:
a+5b+9c= 5
2a+6b+10c= 6
3a+7b+11c= 7
4a+8b+12c= 8
⇒
Nachn den ersten 2 Gleichungen, wenn wir die erste Gleichung mit 2 multiplizieren:
2a+10b+18c= 10
2a+6b+10c= 6
die 2. Glichungung mit (-1) multiplizieren ergibt:
2a+10b+18c= 10
-2a-6b-10c= -6
4b+8c= 4
b+2c= 1
b= 1-2c
wenn wir dies bei den Gleichungen 3 und 4 einsetzen:
3a+7*(1-2c)+11c= 7
4a+8*(1-2c)+12c= 8
⇒
3a+7-14c+11c= 7
4a+8-16c+12c= 8
⇒
3a-3c=0
4a-4c=0
⇒
a=c
Sezten wir dies in der 1. Gleichung ein:
a+5b+9c = 5
c+5*(1-2c)+9c= 5
c+ 5-10c+9c= 5
5= 5 ✅
L= { c ∈ ℝ ; c, (1-2c), c }
Beispiel:
a= 0
b= 1
c= 0
a= 1
b= -1
c= 1
a= 2
b= -3
c= 2
.
.
.
.
Lösung nach 10 Sekunden gesehen😂 aber trotzdem gut erklärt 😊
Nett gemacht, aber wie ich finde relativ kompliziert. Man kann das ja komplett auflösen. In Gleichung 1 hat man ja bereits a stehen, kann man also relativ leicht umstellen und in alle anderen einsetzen. Dann hätte man 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die man ebenso wieder aufschlüsseln könnte. Bis man dann halt eben den Wert für eine Variable hat, die man dann nach und nach immer wieder in die Grundgleichungen einsetzen kann, um jeden Wert ermitteln zu können. Aber auch so ein schönes Ergebnis, da es in Abhängigkeit einer Variable berechnet worden ist :)
Ändert nichts daran, dass es keine Koeffizientenlösung im Sinne eines spezifischen Zahlenwertes gibt. Das ist die Besonderheit dieser linearen Matrix.
Außer dem Eliminationsverfahren von Susanne und Ihrem Einsetzungsverfahren gibt's noch das Gleichstellungsverfahren. Das wars dann. Je nach Aufgabenstellung ist mal diese mal jene einfacher. Ach ja die Determinanten gäbe es auch noch. Falls der TR die kann geht's damit am, schnellsten. Aber das ist hier ja nicht der Sinn der Sache.
Sehr gut erklärt, wie immer. Aber nach der Elimination von a aus den letzten drei Gleichungen hätte ich nicht stur den Gauß-Algorithmus weiter angewendet, sondern zunächst in den Gleichungen 2-4 jeweils durch den gemeinsamen Teiler der Koeffizienten dividiert (also durch 4, 8, 12) und jeweils b + 2c = 1 erhalten. Da hätte man fast die Hälfte der Zeit gespart.
Das war auch mein erster Gedanke, dass man doch direkt sieht, dass III = 2 * II und IV = 3 * II ist und die unteren beiden Zeilen komplett verschwinden werden.
Aber sie möchte halt nicht vermitteln, sowas zu erkennen, sondern das immer funktionierende Kochrezept, das jeder versteht. 😉
Es wäre sehr interessant zu erfahren, wie kommt man an eine dgl zu einem physikalischem Problem (also nicht dessen Lösung!!) Danke Dir und schöne Zeit in Thailand gehabt zu haben 🙂
Danke für das interessante Video! Hinweis: In der Beschreibung befindet sich ein Zahlendreher. Es sind 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten und nicht (wie angegeben) 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Oh sehr aufmerksam! Dankeschön, ich ändere es ab. 😊
bin verwirrt, warum ist c nicht gleich a, wenn a=c ist? verzeiht die vielleicht dumme Frage
Es gibt noch weitere Videos von Susanne zum Gauß-Algorithmus.
Vielen Dank für diese spannende Aufgabe. Tatsächlich ist die Frage schon indirekt durch andere Kommentare gekommen. Wenn a=c ist, darf ich die drei Gleichungen auch so umformen, dass a=c ist? So hätte ich ja zwei Unbekannte und 4 Gleichungen. Danke für die Antwort und die tollen Videos!
Also ich muss sagen, dass ich noch nie was vom Gauss-Algorithmus gehört hab....
Ich habs so gemacht:
Immer die nöchsthöhere Gleichung mit der nächst tieferen Gleichung verglichen. Also eigentlich kurz die Gleichungen 1 von 2 subtrahiert, ddas Gleiche mit 2 von 3, und 3 von 4.
Bei allen bestätigt sich die gleiche, folgende Differenz:
a + b + c = 1
Danach habe ich 2 Gleichungen genommen, umgestellt und a = c rausbekommen.
Wenn a und c gleich sind, dann sinds schon mal 2 gleichgrosse Teile, die nur noch einen weiteren Teil zulassen, dass die obige Gesamtsumme a + b + c = 1 stimmt.
Folglich gilt dann a=b=c = 1/3.
Dann Kontrolle durch Einsetzen in eine beliebige Gleichung.
Wenn a gleich c ist, könnte man dann nicht in den Gleichungen das a durch c ersetzen (oder umgekehrt) und dann weitermachen und vielleicht eine genauere Lösung erhalten?
Alternativ hätte man zuerst die erste Zeile anpassen können, um sich die Folgerechnungen zu erleichtern:
a + 5b + 9c = 5 | II. - I.
and 2a + 6b + 10c = 6
and 3a + 7b + 11c = 7
and 4a + 8b + 12c = 8
a + b + c = 1
and 2a + 6b + 10c = 6 | II. - 2I.
and 3a + 7b + 11c = 7 | III. - 3II.
and 4a + 8b + 12c = 8 | IV. - 4II.
a + b + c = 1 | I. - II./4
and 4b + 8c = 4 | /4
and 4b + 8c = 4 | doppelt
and 4b + 8c = 4 | doppelt
a - c = 0 | +c
and b + 2c = 1 | -2c
a = c
and b = 1 -2c
a = c = (1-b)/2
L = { (a, b, c) | c ∈ ℝ, a := c, b := 1 - 2c }
Lösung:
Da der rechte Teil immer dem b-Faktor des linken Teil entspricht, kann man die Gleichungen umschreiben (b nach vorne und dann durch den Faktor teilen):
b + (1a + 9c)/5 = 1
b + (2a + 10c)/6 = 1
b + (3a + 11c)/7 = 1
b + (4a + 12c)/8 = 1
Daher haben wir
(1a + 9c)/5 = (2a + 10c)/6 = (3a + 11c)/7 = (4a + 12c)/8
1. Test:
(1a + 9c)/5 = (4a + 12c)/8 |*40
8a + 72c = 20a + 60c |-8a -60c
12c = 12a |:2
c = a
2. Test:
(2a + 10c)/6 = (3a + 11c)/7 |*42
14a + 70c = 18a + 66c |-14a -66c
4c = 4a |:4
c = a
Damit:
(1a + 9a)/5 = (2a + 10a)/6 = (3a + 11a)/7 = (4a + 12a)/8
10a/5 = 12a/6 = 14a/7 = 16a/8
2a = 2a = 2a = 2a
Da a = c, ist a und c beliebig und b + 2a = 1 bzw. b = 1 - 2a.
Wenn also z.B. a = c = 0 dann ist b = 1.
Was ist denn der Vorteil davon, wenn man das c durch einen anderen Buchstaben ersetzt?
Hallo, Frau
Vielleicht solltest du erklären was "linear abhängig" und "linear unabhängig" bedeutet.
Eigentlich hat die Gleichung im Endeffekt nur 2 Unbekannte: a und b
Da a=c ist kann in der ersten Gleichung c durch a ersetzt werden und somit hat man nur noch eine Gleichung.
a=c=1.5, b= -2.
Eigentlich ist's so nicht vollständig korrekt. Man kann für eine beliebige Variable a oder b oder c eine beliebige Zahl wählen. Die beiden anderen Variablen sind dann mit den Beziehungen a=c und b = 1-2a festgelegt.
Jetzt wollte ich das allein versuchen, kam auf a=c und b=1-2c und 0=0 und dachte, das ist falsch. Also habe ich mir das Video angeschaut und es war doch richtig 😅 nur habe ich die Lösung nicht verstanden
Ich hab die ersten zwei zusammen gefaßt und die letzten zwei, und dann wieder zusammen und der ganze Kram
hatte dann keine Lösung :(. Dann war ich zu faul noch mal andere Varianten zuprobieren, hab mir lieber das Video
angeschaut.:) Interessant, aber das was mit dem System nicht stimmt hab ich gemerkt. Muss sagen das war mal
was schönes und neu für mich.
Konnte man so ein Gleichungssystem nicht über Matrizen-Rechnung lösen ich glaub da war doch was?
Kann es sein, daß Gleichungen 3 und 4 nur Vielfache von Gleichung 2 sind und damit im Grunde keine neuen Informationen beinhalten?
Weder Gleichung 3 noch Gleichung 4 sind ein Vielfaches von Gleichung 2. Um z.B. von Gl. 2 zu Gl. 3 zu kommen müsste man ja mit 3/2 multiplizieren. Das funktioniert aber nur für den a-Term, nicht die anderen Terme.
Doch, nach der ersten Umformung sind alle Gleichungen nur vielfache voneinander.
Normalerweise hätte ich geantwortet
"Richtgeschwindigkeit sei Lichtgeschwindigkeit",
aber Bayerwaldler hat recht: es kommen zwar immer a+b+c=1 hinzu (auch eine weitere neue Info), das sind aber keine Vielfachen, auch keine Mehrfache, denn die Multiplikatoren von b und c unterscheiden sich von denen von a, werden also nicht durch die weiteren Zeilen im gleichen (anteiligen) Ausmaß verändert.
@@Bayerwaldler Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil :)
Generell sind für ein lösbares LGS mit drei unbekannten drei Gleichungen genügend...
9:44 Im 3-D-Raum ist die Lösung eine Gerade. (Einfach unterbestimmtes Gleichungssystem mit 3 Unbekannten)
Der TaRe wirft a=0,b=1,c=0 aus, was ja eine Lösung ist.
kenne es so, dass man das c mit lamda ersetzt
L = {42} .. wie immer
(L2-L1) gibt a+b+c=1. Das wird meine neue L2.
(L3-L2) gibt a+b+c=1 auch ! Das wird meine neue L3. Die bringt nichts neu.
(L4-L3) gibt a+b+c=1 auch ! Das wird meine neue L4. Die bringt nichts neu.
Wir haben also nur:
(L1) a+5b+9C=5
(L2) a+b+c=1
Dann:
(L1-L2) gibt 4b+8c=4 also b+2c=1, also b=1-2c
(b in L2) gibt a+1-2c+c=1, also a-c=0, also a=c
Lösung: {(a;1-2a;a), a€R}
Sieht verdaechtig aus, a=c=0 b=1 ?. So dann guck ich ma die restlichen 11 min...
Aber Susanne, Schätzelein, das ist doch keine Lösung. Konkrete Zahlen möchte man als Lösung haben. Ich hoffe Du weißt, ein Gleichungssystem mit 3 unbekannten aber mehr als 3 Gleichungen ist unlösbar, deswegen kommt so ein Salat raus... :(
Komische Aufgabe.
Wozu tut man das brauchen müssen?
Bisschen unbefriedigend.. ;-)
"Unbekannte"😭.....man nennt sie "Variable"
Hi Manfred, ich sag mal so:
Wenn das "man" in "...man nennt sie..." für manfredw steht, mag Ihr Satz zutreffend sein, sonst aber überhaupt nicht. Variabel und unbekannt sind zwei verschiedene und voneinander unabhängige Eigenschaften!
Beispiel:
Ihr Nachname ist mir unbekannt, aber Sie würden wohl kaum zustimmen, dass er variabel ist.
Dagegen war das Wetter in den letzten Wochen sehr variabel, aber ist keinesfalls unbekannt.
Also, zwei verschiedene Bezeichnungen für zwei unterschiedliche Dinge.
🙂👻
Im außermathematischen Bereich ist diese Unterscheidung sinnvoll, aber bei mathematischen Begriffen ist es nun mal so, das bestimmte Begriffe fix sind....und was den Begriff "Unbekannte" angeht, ist er seit die Neue Mathematik in den Schulbereich Einzug gehalten hat, seit den 1980ern in keinem Schulbuch mehr zu finden ...
@@manfredw.582
Unser kleiner Disput hier ist ja nicht so wichtig für die Lösung der Aufgabe.
Aber ich gebe zu, ich wusste nicht, dass in den 80ern deutsche Schulbehörden eine "Neue Mathematik" in ihre Lehrbücher eingeführt haben(😳😉). Warum nicht, die Auswirkungen auf den Rest der mathematischen Welt werden eher gering sein.
Hoffentlich wird den Schülern dann gut genug erklärt, dass Konstanten zwar nicht variabel sind, aber Variablen durchaus Konstanten sein können, oder so...
🙂👻
𝕃 = {(x; 1-2x; x) ∈ ℝ³} 😉