面積比 弘学館 B

[@アイムケチ]

最近先生のおかげで数学ができるようになってきているという実感があります。
最近は先生の問題が1分以内に大体解けるようになりました。

[@suugakuwosuugakuni]

それは嬉しいお言葉🤗
1分以内は早すぎです笑

[@motti7066]

⑴BR:RCの別解
点Pを通るARと平行な直線とBCとの交点を点Sとする．
BP:PA=BS:SR=1:1ー①
CQ:QP=CR:RS=1:1ー②
①と②より，BR:RC=2:1ー③
⑵AQ:QRを使わないでやる解答
△ABC=2△BCP(①より)
=2×2△BQC(②より)
=4△BQC
=4×3△QRC(③より)
=12△QRC

[@hiDEmi_oCHi]

PからBCへARと平行な補助線を引いて中点連結定理を使って比を求めて解きました。
AQ:QRは求める必要がなかったです。

[@kfujihara3310]

PからBCに平行な線を引き、ARとの交点をDと置くと、
△PQDと△CQRが合同となるので、CR=PD
また、△ABRにおいてBRはPDの2倍になるのでBR：CR=２：１
あとは△ABCをCPで割って1/2
更に△CQRは△CBDの1/2　×　2/3　となるので、全部で1/12
とすると、AQ：QRの比を求めなくとも答えが出ると思います。

[@finn-y1k]

高さ・底辺が2倍、3倍...になると、面積も2倍、3倍...になる。の条件だけで解けました!!
RCを底辺とした高さで考えると、
Q:P=1:2、P:A=1:2だから、Q:A=1:4で、△AQC:△QRC=3:1
底辺・高さが等しいから、
△APQ:△AQC=3:3、△APC:△PBC=6:6
よって、△ABC:△QRC=12:1

[@パンドラの箱の中身]

分かりやすいわあ。

[@Notoshi62]

△BQCは△ABCの1/4は辺の比で明らか、よってBR:RCさえわかれば良いと考え、QからＡＢに平行な補助線を引いて考えました。
この補助線とBCとの交点をMとするとMはBCの中点になる
△ABRと△QMRの相似比を△PBCと△QMCの相似比から求めて、BRはBCの1/2の4/3、すなわち2/3となって
△QRC面積は△ABCの1/4の1/3となって1/12と出しました。
我ながら小学生っぽいなぁ

[@mskkch6645]

BR:RCとAQ:QRを求めるのに点Bから点Qに線分を引いてベンツ切りによる面積比から出すこともできますね。
△AQC:△BQC＝AP:PB＝1 : 1
△AQB:四角形AQBC＝PQ:QC＝1 : 1 より
△AQB:△AQC:△QBC＝2 : 1 : 1
これより
BR:RC＝△AQB:△AQC＝2 : 1
AQ:QR＝四角形ABQC:△QBC＝(2 + 1) : 1
したがって求める△QRCは
△QRC＝△ABC×1/3×1/4＝1/12△ABC

[@KN9260]

～の定理など使わなくとも三角形の基本の積み重ねで
十分解ける問題だと思う。定理はその想定するケース
に当てはまる問題には強い反面、汎用性がなくなる。
面積で比較すると△QAP=△QPB=△QBC=△QCA
よって△ABQ:△AQC=2:1
高さが共通なので底辺の比も同じでBR:RC=2:1
よって△QBR:△QRC=2:1
よって△QRC=△QBC/3
△QBC=△ABC/4だから
△QRC=△QBC/3=△ABC/12となる。
こんな感じではダメだろうか？

[@que_será_será_mga]

メネラウスですね！これは万能です！笑

[@pockey201223]

いつもありがとうございます。50年前メネラウスに混乱したことを思い出しました。中心からぐるっと回って先行って戻るブーメランかぁ、やれやれ。

[@ですけど]

メネラウスでBR:RCを出し三角形PBCを出したらもう少し楽にとけますねー。

[@松本雄太-u6t]

メネラウスすげー（°ω°）

[@user-cu6sq3db2s]

ありがとうございます！！弘学館高校合格できるようにのこり1週間がんばります！

[@suugakuwosuugakuni]

頑張って下さい！！

[@user-cu6sq3db2s]

@@suugakuwosuugakuni うかりました！！

[@白衣の人]

PRを結ぶ補助線を引いて
△ABC=1
△CQR=x
△BPR=y と置けば
△PQR=△CQR、△BPR=△APR、△APQ=△ACQ=1/4なので
2x+y=1/2
y=1/4+x
の連立方程式で　x=1/12、y=1/3
でも解けますね。

[@zyyxxx099888]

聞けばなるほどって思うけど、1人では解けんな…

[@國體ワンワールド史観]

おーわたしの母校です！ありがとうございます！

[@くろ-x6h]

メネラウスばっか使っちゃうから高校受験の公立で証明しろとか言われても無理なんだよなぁ

[@Air-p4f]

メネラウスの定理、覚えたは良いけどどのタイミングで
使えばいいのかまだ思いつきません…w

[@たた-y3e2i]

比が２セットどの組み合わせでも(今回はAP:PBとPQ:QC)分かれば、メネラウスとチェバを使いまくって全ての比が出せます。なのでメネチェバはセットで使うと思ってください。
出せる比は使うかどうかは別として、全部出してから問題を解き始めるのが、遠回りに見えて、見落としが減る堅実な解法です。なので、使えると思ったらガンガン使いましょう。

[@ビビVV]

というか高校の範囲を高校受験（途中式を書く場合）に使っても問題ないんですか！？

[@suugakuwosuugakuni]

問題ないです

[@ビビVV]

@@suugakuwosuugakuni
ありがとうございます！

[@EdenStonerJPN]

BR：CR ＝ａ：ｂ とおいて、△QRC を２通りで表すんですね。ちゃんと ａ＝ 2ｂ になります。