Promossi con una domanda sola?

Ancona Maria Elisa
Pungitore Lorenzo
Scheda dell’attività: Promossi con una domanda sola?
Contesto: extramatematico, sociale, probabilità. L’attività è rivolta ad un pubblico a livello del secondo biennio, ma può essere affrontato anche a livello di primo biennio quando si conosce la definizione di probabilità e si è in grado di valutare la probabilità di eventi condizionati.
Strumenti:
Calcolatrice
Carta e penna
Obiettivi:
Comprendere il significato di probabilità
Riflettere che l’esser “fortunati” o meno può essere un fatto quantificato
Nodi concettuali:
Dati e previsioni
Relazioni e funzioni
Risolvere e porsi problemi
Metodologia:
A partire da una situazione di vita quotidiana di uno studente si conducono gli ascoltatori all’analisi di un problema di probabilità attraverso l’uso di carta e penna. Questa metodologia porta a valutare diverse probabilità di vari eventi per giungere alla conclusione che l’essere fortunati non è un fatto casuale e che dunque può essere quantificato.
Descrizione dell’attività:
Si propone in classe un quiz a risposta multipla e si chiede: qual è la probabilità che uno studente che ha risposto esattamente alle domande abbia effettivamente studiato.
Supponendo che uno studente abbia, magari a fine anno, una media bassa. E’ “possibile”, con una sola interrogazione, recuperare il terreno perduto ed essere promosso?
Di uno studente si potrebbe arrivare a dire che:
a. Se studia con impegno, allora risponde bene alle domande del quiz con probabilità 1 (ovvero per lui saper rispondere correttamente è un evento certo).
b. Se studia così così, sa rispondere bene alle domande del quiz con probabilità p.
c. Se non ha studiato, può rispondere bene ad una domanda con m risposte con probabilità 1/m (ovvero per lui tutte le risposte sono “equivalenti”)
d. Se uno studente a fine anno ha la media del 4 vuol dire che, durante l’anno, su 10 domande ha risposto bene solo a 4 (oppure a 20 su 50 e così via).
Passando alla formalizzazione del problema indichiamo con A l’evento “lo studente ha (davvero) studiato” e con B l’evento “lo studente risponde esattamente alla domanda”. Chiedersi qual è la probabilità che uno studente che ha risposto esattamente alle domande abbia effettivamente studiato vuol dire chiedersi qual è la probabilità dell’evento A|B.
Dalla Formula di Bayes si ha:
P(A|B)=(P(B|A)P(A))/(P(B|A)P(A)+P(B|A ̅)P(A ̅))
dove con A ̅ si è indicato l’evento “complementare” all’evento A. Calcoliamo adesso i vari valori di probabilità, supponendo, per semplicità, che il compito consista di una sola domanda.
P(B|A) = 1
P(A) = p
P(B|A ̅ ) = 1/m
Dunque si ha: P(A|B)=(1×p)/(1×p+(1-p)/m) = mp/(1+p(m-1))
In una seconda fase passiamo a un caso specifico, quindi si supponga che uno studente abbia, magari a fine anno, una media bassa pari a 4. E’ “possibile”, con una sola interrogazione recuperare il terreno perduto ed essere promosso? Per le considerazioni successive alla discussione fatta in classe, possiamo dire che, per quanto ne sappiamo, il nostro studente è come se, durante l’anno, avesse “mediamente” risposto bene solo a 4 su 10. Dobbiamo ancora fare una ulteriore osservazione di lavoro: rispondere bene ad una interrogazione, anche se finale, dovrà essere considerato come rispondere bene ad un quiz con due sole risposte. Porremo per questo m = 2. Siamo dunque in un caso particolare della nostra formula finale: sarà sufficiente porre p = 4/10 per ottenere: P(promozione) = 4/7.
Essendo 4/7 circa 0,571 possiamo dire che siamo vicini alla sufficienza e dunque sarebbe lecito e corretto promuovere lo studente in quelle condizioni.
Riferimenti alle Indicazioni Nazionali:
Lo studente, in ambiti via via più complessi, il cui studio sarà sviluppato il più possibile in collegamento con le altre discipline e in cui i dati potranno essere raccolti direttamente dagli studenti, apprenderà a far uso delle distribuzioni doppie condizionate e marginali, dei concetti di deviazione standard, dipendenza, correlazione e regressione, e di campione. Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché gli elementi di base del calcolo combinatorio.
In relazione con le nuove conoscenze acquisite approfondirà il concetto di modello matematico.