유체역학21 💧 2-12 대류미분의 숨겨진 얼굴
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- Опубликовано: 20 сен 2024
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#유체역학 #유체역학 강의
#convective acceleration #대류미분
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안녕하세요 피토스터디 입니다
유체역학 21번 강의입니다 (vrew 자막은 썸네일에)
대류미분의 숨겨진 얼굴 인데요
녹색 벌레가 속도 v 벡터로 s 좌표계를 따라가고 있습니다
이때의 방향미분을 이용해서 대류미분이 정의됩니다
속도벡터와 ∇ operator 의 내적이죠
대류미분의 숨겨진 얼굴은요
스칼라 함수인 경우에는 나타나지 않고요
속도벡터에 적용했을 때만 나타납니다
이번 강의의 핵심적인 내용은요
병진 운동에너지와 회전 운동에너지
그리고 총 운동에너지가요
3 개의 가속도에 대응한다는 개념입니다
대류미분 연산자 v ⋅ ∇ 을 스칼라변수에 적용하면요
선형이 됩니다
하지만 자기 자신에게 적용하는 경우에는 비선형이 됩니다
그리고 대류미분의 비선형성은요
대류미분의 숨겨진 얼굴과 관련이 됩니다
대류미분은 방향도함수를 이용해서 93번식으로 정의되는데요
dr 벡터 방향으로 방향미분을 합니다
대류미분을 스칼라함수에 적용한 계산예 인데요
물리랑 ϕ 의 분포이고요
이것은 진달래의 "엉터리" 개화시기입니다
실제 개화시기는 아니고요
우리나라 지도에서 세종시에서 기준으로 생각해 보겠습니다
물리량 ϕ 에 대해서 분포가 주어져 있으므로
∇ϕ 와 편미분이 계산됩니다
옆에 그림에는 ϕ 가 상수인 경우가 26 개의 곡선으로 그려져 있는데요
∇ϕ 의 방향대로 함수값은 증가하는 형태입니다
그런데 물리량 ϕ 의 분포가 주어지더라도
대류미분은요 임의의 점에서 계산할 수가 없습니다
왜냐하면 dr 벡터를 결정해야 되기 때문이죠
이와 같이 대류미분은 ϕ 의 분포가 주어져도 추가적으로 속도벡터
다시 말해서 dr 벡터의 방향이 결정되어야 됩니다
그래서 dr 벡터를 몇 가지 골라봤습니다
진달래꽃의 개화 시기를 세종시를 기준으로
서울 방향, 광주 방향, 부산 방향으로 계산해 보았습니다
함수값의 변화는 주어진 dr 벡터에 따라서 달라집니다
이와 같이 종속변수의 알려진 분포와는 무관하게
질량의 이동경로가 주어져야만 대류미분이 결정됩니다
고등학교 때 배운 미분은요 함수만 주어지면
더 이상 정보가 필요 없지만요
대류미분은 "가시는 걸음 걸음" 마다 정보가 필요합니다
대류미분의 선형성 인데요
스칼라 함수에 대해서는 선형성을 보장합니다
ϕ_1 과 ϕ_2 를 더하는 것은요
각각 대류미분한 것을 더한 것과 같습니다
이러한 선형성 덕분에 해의 중첩까지 가능하고요
예를 들어서 속도장이 알려져 있으면요
온도장을 푸는 경우에는 선형 편미분 방정식 만 풀면 됩니다
문제는 대류미분을 속도벡터에 적용했을 때 나타납니다
속도벡터에 대류미분이 적용 됐는데요
먼저 벡터항등식 부터 시작합니다
a 벡터와 b 벡터의 내적을 ∇ 했습니다
대칭성으로부터 모든 부호는 양수이고요
99번 식을 얻습니다
윗식 에서 두 벡터 a, b 를 속도벡터 v 로 바꾸면요
똑같은 것이 두 배가 되니까 2 로 나눕니다
100번 식을 얻는데요
항이 총 3 개이기 때문에 대류미분의 숨겨진 두 얼굴이 드러납니다
비탈길에 놓인 원통형의 물체가 같은 높이에서
동시에 출발하는 경우를 생각해 볼까요
동역학 으로부터 운동에너지는요
병진 운동에너지와 회전 운동에너지의 합으로 주어집니다
따라서 미끄러져 내려오는 경우가
회전 에너지 손실이 없기 때문에 더 빨리 내려옵니다
여기서 동역학과 유체역학 사이에 개념이 대응 되는데요
왼쪽은 에너지 이고요 오른쪽은 가속도입니다
따라서 등호 관계가 아니고 대응 관계입니다
병진 운동에너지는요 대류미분 (대류가속도) 에 대응 됩니다
회전 운동에너지는 바람개비로 나타낸 가속도에 대응 하고요
이와 같이 동역학에서 3 개의 운동에너지는요
유체역학에서 3 개의 가속도와 대응됩니다
따라서 대류미분에 추가해서 두 개의 숨은 얼굴이 나타납니다
그런데 대류미분의 항등식에서 마지막 항이
0 이 되는 경우가 있습니다
v 벡터가 0 인 경우는 의미가 없고요
∇×v 벡터가 0 이거나
속도벡터 v 와 ∇×v 가 평행인 경우입니다
여기서 속도벡터의 ∇×v 를 와도 (vorticity) 라고 정의하는데요
이것은 이번 강의에서 다루지 않습니다
대신에 회전과 관련된 가속도가 0 인 경우와
0 가 아닌 경우를 살펴보겠습니다
유체의 운동 만으로 설명하기는 쉽지 않기 때문에
고체 운동의 도움을 받겠습니다
배드민턴의 셔틀콕인 경우에
속도 방향과 회전축 방향은 평행합니다
따라서 이 가속도는 0 이고요
총알도 마찬가지로 두 개의 벡터가 나란합니다
따라서 상당히 빠른 속도를 효율적으로 얻을 (유지할) 수 있습니다
속도벡터와 회전축 방향이 거의 수직인 경우는
태풍이나 회오리 같은 경우인데요
축구공이나 골프공의 궤적에서도 관찰할 수 있습니다
두 개의 벡터가 나란하지 않으면 가속도는 제로가 아니고요
이 경우에는 공의 궤적이 회전에너지의 영향을 받게 됩니다
대표적으로 축구에서의 바나나 킥은요
진행 방향과 회전각속도 방향의 차이 때문에 생깁니다
축구공이 셔틀콕 처럼 진행하지는 않겠죠
대류미분의 가장 큰 문제점은요
자기 자신에게 적용되기 때문에 비선형이 일어나는 것입니다
이것이 유체역학 해석의 최고 난제인데요
사실은 질량관점 해석을
검사체적 관점 해석으로 떠넘긴 대가 입니다
이번 강의에서는
황금색으로 표시된 대류미분에 대해서 논의 하였는데요
스칼라 함수에 적용했을 때는 선형성이 보장되고
그다지 어렵지 않습니다
속도벡터에 적용되었을 때는
이와 같이 두 개의 숨은 얼굴이 나타납니다
시청해 주셔서 감사합니다
레이놀즈 수송법칙
벡터해석
텐서해석
을 알아도 역학적인 심도 있는
이해가 부족하면 알 수 없는 내용이네요.
항상 감사합니다 ❤
동역학 기초가 없으면 개념매치가 안되겠네요. 유체역학도 역학이라서 아무래도 개념 매치가 그렇습니다. 댓글 감사합니다
@@ptostudy교수님 질문있습니다
(a•del) b와 a•(del b)는 같은 것으로 보아도 될까요 ?
@@user-ox9fg8wd9j
a = a_i e_i
b = b_j e_j
del = D_k e_k
(a*del) b = (a_i D_i) b_j e_j = a_i (b_j,i) e_j
del b = D_k e_k b_j e_j = D_k b_j e_k e_j
a*(del b) = a_i e_i *(b_j,k e_k e_j)
= a_i b_j,i e_j ( k=i only survives )
Therefore, (a*del) b = a * (del b) = a*del b Q.E.D.
@@ptostudy감사합니다 🙏
@@user-ox9fg8wd9j 대부분 관심없는데 이렇게 날카로운 질문은 오히려 제가 기쁩니다. 앞으로도 계속 응원해주시고 좋은 지적부탁합니다