Cohomologie et la bijection extensions-H^2
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- Опубликовано: 8 фев 2025
- Après avoir donné quelques exemples qui décrivaient le lien entre extensions et second groupe de cohomologie, il est temps de présenter le résultat phare qui permet de comprendre pourquoi la cohomologie est devenue le graal de la théorie des groupes: la bijection entre classes d'extension d'un groupe G par un groupe abélien A et le groupe de cohomologie H^2(G,A).
Salut Philippe, par delà le plaisir premier d’excellence d’une part, je suis toujours néanmoins partagé vis à vis de certaines vidéos bien spécifiques que tu fais, comme celle là. Car je vois très bien me semble-t-il, d’un côté, l’idéal d’excellence de ta philosophie pédagogique et de ta filiation conceptuelle (pour ne pas dire « spirituelle »). Elle est si je ne m’abuse, manifestement celle de Dieudonné, Serre, etc., et remonte jusqu’à son illustre Patriarche, qui est assez logiquement Lagrange. Ce grand homme qui réalisa la prouesse assez révolutionnaire de ne jamais faire le moindre « dessin » dans toute son œuvre immense!
Une philosophie épistémologique donc qui pourrait se résumer dans le « cris de guerre » en quelque sorte du « bourbakisme triomphant des structures ». Le maitre mot sous jacent en étant ostensiblement le bannissement non dissimulé de toute « Géométrie », de toute « Physique », de toute « Ingénierie », de tout « pragmatisme », de toute « réalisme », de tout « particularisme » (quasiment), pour ne se concentrer que sur l’essence « platonique » de « l’Idée », sur la « structure des structures », le « sans forme des formes », au travers d’un fleuve de symboles au fond, se suffisants (?) à eux même.
Autrement dit une sorte de « Cyborg »! Au sens propre « purement « imaginaire »! Un squelette « cybernétique » de symboles, sans chaire ni sang, paradoxalement de « pur esprit »…osseux! Qui semblerait presque s’offusquer de toute incarnation particulière. Autrement dit une sorte de « démiurge » ou de « deus ex machina » se suffisant à elle même, à ambition « universaliste », incréé et « automobile », comme mystérieusement « auto » alimentée par sa propre logique intrinsèque quasiment nouménale.
Et derrière, en filigrane, j’y vois évidemment le spectre dissimulé mais murmurant, du « Grand bonhomme des neiges », ce « Yéti moderne de l’Himalaya des Mathématiques » : le Topos.
Être quasi divin qui est « l’espace » sans l’être. Ou plutôt qui est en fait de « l’espace » ce qui n’en est que la contrepartie : la « variabilité ». Autrement le « temps intrinsèque »! Où l’on retrouve cette prétention ou cette croyance à une cohérence interne, donc fatalement d’une variabilité, d’une cinématique et d’une dynamique auto suffisante du « symbole ». Symbole devenu souverain, souverain des souverains, quasi « divin ». Ne daignant s’abaisser qu’à la « corporéité » ultra minimaliste, « résiduelle », « fantomatique », « spectrale », squelettique, d’une structure symbolique totale.
Voilà aussi comment je vois la philosophie de ta présentation et derrière de toute une école « pythagoricienne », non plus des « nombres » souverains, mais des « structures souveraines »
Et mon expérience de l’histoire ou mon « petit doigt » insignifiant me dit néanmoins…attention! Quel sera le « racine de deux » de cette nouvelle « secte »? Quand traversera-t-elle le Rubicon?
Alors bien entendu je ne suis pas naïf. Je sais très bien l’argument massue de « toute puissance » sous tendant un tel « choix axiomatique » allant systématiquement du général au encore plus général, et éventuellement, mais très accessoirement au « particulier ». Mais un « particulier » qui n’est pas placé là pour sa propre grandeur, sa propre valeur et sa propre personnalité, mais essentiellement comme un exemple « sacrificiel », apologétique du général.
Tout romantisme en quelque sorte est « mort », et non seulement Napoléon perça sous Bonaparte, mais le très humain Général Hugo est transhumanisé en Général Général! Voire en « transfini généralissime »!
Et même si je pose mes propres couleurs subjectives au tableau, je suis très loin d’être le seul à signaler une telle tendance « hilbertienne ». Henri Poincaré évidemment avant tous, s’y opposait fiévreusement, cyniquement en tant que fondateur même de la topologie et de la géométrie algébrique précisément!
Mais tant d’autres après. Et pour n’en citer que quelques uns des plus illustres, je dirais Landau et Arnold, Jean Marie Souriau et Attiya, mais peut être de façon plus surprenante encore, Alexandre Grothendieck et Alain Connes!
Et pourtant ces deux derniers paradoxalement ne peuvent vraiment pas être « accusés » d’être des théoriciens « marginaux » ou « orthogonaux » à l’hyper abstraction ou aux « structures ». Ils en sont même tout l’inverse : deux Grands maîtres!
Alors on pourrait dire : « Cela est TA vison très personnelle des choses ». On peut le dire! Mais cela n’en désapprouve pas la pertinence. Et sans plus de justification je ne rappellerai que ce concept très cher à Grothendieck, peut être plus encore que celui « deus ex machina » absolument central et révolutionnaire de « Topos » : celui de « dessins d’enfant », comme générateur « invisible » du « Topos »…
Et beaucoup plus pragmatiquement, pour revenir au « plancher des vaches » pédagogique, je tiens pour vrai la sagesse des maîtres japonais et chinois du « Bonzai » et des « Jardins » : « Avant de tailler une cime, il faut construire des racines ». Et ce d’autant plus que la cime prétend être « élevée ».
Mais « on n’a pas le temps », entends-je déjà! « On doit aller le plus vite possible à l’essentiel, au plus général, d’où tout le reste de particulier découle ‘divinement’ ». Et pourtant résonne en écho cette autre maxime millénaire paradoxale des maîtres du sabre : « Le sabre qui coupe ‘vite’ ne coupe rien du tout! ».
Il y a donc ici pour moi un questionnement avant tout pédagogique fondamental. Et je tiens pour vrai qu’il n’y a pas de raccourci possible : seuls mille exemples emblématiques, construisant des racines, amènent la salutaire nécessité de l’unification dans une vision très générale et très puissante de haute altitude. Et je m’inquiète un peu des « agrégatifs » qu’une telle approche, pour moi tête bêche, produit. Ne clone-t-elle pas son mimétisme. Et quels en sont les effets réels?
En conclusion cette « haute tradition algébriste galoisienne » est magnifique, mais n’a t-elle pas fait précisément les dégâts pédagogiques connus des « réformes du grand Lichnerovich » ? That is my question! 🙏
Et je pense que cohomologie, homologie et homotopie sont fondamentalement les trois sources conjointes d’une même mère et que l’on ne comprend mieux la cohomologie que lorsqu’on comprend les limites et les écueils des deux premières…
@@mpcformation9646 oui je suis complètement d'accord avec ton analyse dite avec toujours la même belle emphase qui te caractérise. Mais je pense que maintenant on a fait le deuil de l'absolu, on a traversé la métaphore des pelures d'oignons en enfilade et les éplucher a fini de nous faire pleurer. On sait que le choix entre papa Hilbert et maman Poincaré n'a pas l'enjeu qu'il pouvait avoir au siècle dernier. Bref, on joue comme on aime!
Merci de cette belle vidéo !
Quel livre de Serre SVP ?
Y-a-t-il des applications à la classification des groupes cristallographiques par exemple et/ou aux groupes de pavage du plan qui sont je crois des produits semi-directs ?
@@JeanMarcBONICI A quel moment je parle du livre ?
@@JeanMarcBONICI non je ne pense pas qu'il y ait des applications directes à ses produits semis direct
@@philcaldero8964 à 22:20 " vous trouvez dans le livre de Jean Pierre Serre chapitre 4 ... "
@JeanMarcBONICI c'est le livre sur la cohomologie galoisienne
@@philcaldero8964 Pour la deuxième partie de ma question je fais allusion à un article intitulé Groupes Cristallographiques Zai'd Allybokus - Oscar Blumberg - sous la direction de Philippe Gille : l'adresse mail est si elle n'est pas censurée par la modération you tube :
Video du soir! bonsoir!
Merci. Ce qui me donne la motivation?
La constance dans la sortie des vidéos
Si je décroche cette agreg - un jour - ce sera en partie grâce à tout ce que vous produisez
Merci
@@bixive2525 Tu m en vois ravi !!!