✓ Квадрат вписан в прямоугольный треугольник | Ботай со мной
HTML-код
- Опубликовано: 3 апр 2023
- В прямоугольный треугольник вписали квадрат (то есть все вершины квадрата лежат на сторонах треугольника). Докажите, что центр квадрата лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (RUclips): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_trushin
Facebook: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
RUclips: / trushinbv
Ема, у меня на пробнике была такая же задача.
В прямоугольном треугольнике вписаны два квадрата : у одного стороны лежат на катетах, у другого - сторона лежит на гипотенузе.
Нужно доказать, что центры квадратов лежат на биссектрисе прямого угла.
+++++
+, у меня тоже такая была😅
Сложные эти ваши окружности. Провел из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на катеты, и доказал что они равны. Я лично любитель прямоугольных треугольничков.
Ого так даже проще
Чуть выше решил достроением, если интересно почитайте
А как вы доказали, что перпендикуляры, опущенные из точки пересечения диагоналей на катеты равны?
@@yakovlichevau половины диагоналей квадрата равны, они под одним углом к катетам, значит мысленные тре-ки подобны, а если они подобны и одна сторона равна, соответствующей, значит тре-ки равны
Надеюсь понятно обьяснил
@@yakovlichevau Хороший вопрос. Половины диагоналей квадрата равны, из этого факта, не следует, что диагонали квадрата являются высотами к катетам, или пересекаются с катетами под равными углами, в частном случае ДА, когда описанный треугольник прямоугольный, равносторонний. Если прямой угол опирается на сторону квадрата, это не определяет получившийся треугольник, как равносторонний.
Молодца!) Твоим способом получается даже "в уме" решить ) А про хорды и очевидность равенства углов на них опирающихся - даже матюгнуться пришлось от непонимания... ))
Классная задача!
Маленький треугольник при прямом угле подобен большому треугольнику. Тогда мы оставшиеся три стороны квадрата можем обложить такими же треугольниками так, что получится, что наш квадрат вписан в большой квадрат. У них диагонали пересекаются в общем центре, а одна является нашей биссектрисой большого треугольника.
+
Это более хорошее решение! 👍
То есть: достраиваем косой квадрат до прямо лежащего, в который тот меньший вписан. У этих двух квадратов центры совпадают, и диагонали пересекаются в одной точке. А то, что диагональ большого квадрата есть биссектриса треугольника, - "это очевидно", как и в первом случае. Красивое решение.
Открыл комменты, чтобы отыскать это решение)
Спасибо за видео.
Она была на пробнике егкр в этом году, если я правильно помню. Я ее там не решил тогда. Позже сам разобрался, пол часа думал над окружностью. Непростая задача.
Такая задача попалась на пробнике(16 номер), там было два квадрата( один прямой другой наклонённый), нужно было доказать, что центры квадратов лежат на одной прямой
Здравствуйте, хотел посоветоваться, если можно. Заканчиваю задачник Гордина по планиметрии (7-9 класс, 1 и 2 части по темам, встречающимся на ЕГЭ), но не знаю, откуда лучше брать качественные задачи для того, чтобы проработать и вспомнить как можно больше фактов или частых планиметрических комбинаций. В егэшном сборнике Гордина есть избранные задачи (я отобрал 80 уникальных), но боюсь, что не хватит времени всё прорешать, потому что планирую ещё научиться решать параметры. Может из сборника Ященко или с Вашего сайта (там вроде задачи не обновлялись с 2019)?
Классная задача. Давайте что-нибудь посложнее!
Довольно симпатичная задачка. Условие такое, что его может понять даже семиклассник. И не то чтобы семиклассник, а, я думаю, что даже ребёнок из начальной школы может понять - никаких сложных терминов тут не используется.
Но решение, объективно, сложное. Не в том смысле сложное, что до него сложно догадаться, а в том смысле, что для решения используются знания из 10 класса. Нужно понимать про окружность, про вписанные четырёхугольники, даже про ХОРДЫ.
В общем, самое простое решение "в лоб", с построением высот из центра квадрата обделено вниманием. А самое красивое, с "Пифагоровым квадратом", получило таки сердечко хоть и с большой задержкой.
Но если бы автор нарисовал "розовый квадрат" с уже нарисованной розовой диагональю - это была бы жемчужина!
И просто и красиво. И во флаконе.
Вот и всё. Если понравилось, пишите свои комментарии.
Красиво)
Понравилось. Можно еще усложнить задачу задав 2ой вопрос.
Какой может быть максимальной длины отрезок между центрами вписанных квадратов со стороной "а"?
Дякуємо-спасибі.
Так или иначе, вы понимаете, что по понятным причинам, если произвести "построение Пифагора", т.е. построить квадрат суммы катетов вокруг квадрата гипотенузы (а это и есть заданный квадрат), то из-за симметрии центры квадратов совпадут!
А центр "бОльшого" квадрата на пересечении диагоналей - на биссектрисе.
Скажите, красиво?
Задача хоть и не сложная, надо безумия красивая
Единственная проблема для многих, что картинка не одна получается
Борис, спасибо. Очень изящное решение. Ради таких нестандартных выводов я здесь. (несмотря на то, что измерить расстояние от центра пересечения диагоналей до катетов школьникам будет понятнее)
Интересно, что спустя пару минут раздуммй пришел к окружности и углам на хордах, но не удовлетворился, так как забыл про 180 градусов и не был уверен можно ли вписать этот 4угольник в окружность
Можно еще так
Достроем от гипотенузы квадрат, получится подрбная маленькой конструкция (по праллельным и перпендик прямым)
С обратной стороны большого квадрата достраиваем тауую же конструкцию
И прямая из угла через ценр малкнького квадрата попадет в центр большого и с обратной стороны аналогично, таки образом полчится одна прямая между прямыми углами идущая черезценрты трех квадратов
Ну и все что осталось достроить к остальным 2м сторонам квадрата еще 2 таких конструкции с прямой и получить онромный квадрат, а прямые будут его диагоналями то есть биссектрисами изначального тре ка
Стесняюсь спросить, а площадь какого квадрата больше, вписанного в угол или прислонённого к гипотенузе?
того что в угол вписан
@@user-zp4gt8du1b
? мамой клянусь?
Здравствуйте, а как посчитать количество числа 1 в числе n при помощи комбинаторики ? Допустим в числе 13 6 раз встречает число 1 это 1,10,11,12,13
Так число пи иррациональное, то есть бесконечное, скорее всего всего это так не посчитать
Здравствуйте, сегодня такая была на пробнике... Я не понял как пункт б решать:
В прямоугольном треугольнике на катете АС отмечена точка P, на катете ВС точка T, а на гипатинузе Q R так, что TQRP - квадрат. Найдите сторону квадрата, если АС =√5, ВС=3√5
А можно так решать? Построив квадрат на гипотенузе мы получили маленький прямоугольный треугольник, для которого сторона квадрата - гипотенуза. Постоим на сторонах квадрата 4 таких же треугольника так, чтобы получился новый квадрат. Получаем , что исходный квадрат вписан в новый, а значит центры их симметрии совпадают, следовательно биссектриса прямого угла исходного треугольника проходит через центр исходного квадрата.
Можно. Но нужно обосновать почему центры совпадают
@@trushinbv Нарисовав картинку можно увидеться четыре равных четырехугольника. Если провести диагонали из вершин описанного квадрата к центру вписанного, то получится, что они будут составлять две прямые (противолежащие четырехугольники получаются поворотом на 180 градусов), а раз диагонали равные, то точкой пересечения эти две прямые делятся пополам, следовательно, точка пересечения этих диагоналей является центром обоих квадратов.
Что хорошего вы знаете про биссектрису?
Подумайте 10 минут!
Ха-Ха-Ха
Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
- А как измерять это "равноудаление"?
Удобнее всего по пендикуляру определять расстояние от точки до прямой, но "равноудаление" можно и вдоль наклонной прямой.
Главное, чтобы угол наклона был одинаковый (sin=sin)
Вот и всё решение задачи:
полудиагонали равны, наклонены на равные углы - значит центр РАВНОУДАЛЁН от катетов. Биссектриса.
А если взять, что каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла и центр квадрата равноудален от вершин, то если предположить обратное, что центр не лежит на биссектрисе, то получим противоречие.
Из того что "центр квадрата равноудален от вершин" напрямую не следует, что он "равноудален от сторон угла"
@@trushinbv но 2 его вершины лежат на разных катетах?
@@user-kr6qx3md4l но расстояние до вершине не равно расстоянию до катета )
@@trushinbv
А я бы засчитал.
Среди массы поклонников жёлтого квадрата.
В школе мы решали похожую задачку. Но мы чертили окружности.
Борис, у вас будет интенсив перед экзаменов в фоксофорде?
я спрашивал будут в середине мая
@@user-pf4ei8oe3n спасибо! Записаться через фоксфорд можно будет или с Борисом напрямую?
БВ, спасибо за ролик! Решение действительно изящное)
Я хочу предложить ещё одно решение:
Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Также верно обратное. А так как центр квадрата равноудалён от вершин, то получается, что он лежит на биссектрисе, чтд)
Высоты надо проводить,
углы равные надо доказывать,
как с взаимно перпендикулярными сторонами?
Или просто - "равноудалены" и всё?
Тут МАССА незрячих квадратом бредит ...
Вы про какой квадрат, про белый или про жёлтый?
@@chilokolich3971 я говорю про изначальный квадрат, его центр равноудален от катетов треугольника
А как вы это доказывать?
@@trushinbv точно, это не всегда так, я что-то глупость какую-то сказал 😅
точно, ЭТО всегда так.
Трушин же доказал именно это.
И где глупость?
В комментариях гуляет заблуждение, что желтый 4угольник - квадрат. :( Это НЕ квадрат. Издержки чертежа. Кстати, именно этот прием (как в этом ролике) используется в знаменитой задаче, где по 4 точкам (про которые известно, что каждая лежит на одной стороне квадрата) надо восстановить весь квадрат.
@@user-zx2tv6kq9o потрясающий признак
@@constantinfedorov2307Из этого признака следует только то, что четырехугольник является прямоугольным дельтоидом.
@@constantinfedorov2307Хотя нет, даже это не следует :)
@@dan_who_exists Просто два прямоугольных треугольника, "слепленных" по гипотенузе. Один из треугольников равнобедренный, а другой - нет.
@@constantinfedorov2307 не затруднит пояснить? Два прямоугольных треугольника "слеплены" по общей гипотенузе, равной по длине для обеих треугольников. Один из этих треугольников равнобедренный, стороны в прямоугольнике параллельны друг-другу. Как противоположные стороны могут быть не равны?
Только зачем в конце вспомнили про хорды и вписанный угол? При пересечении диагоналей квадрата получается 4 равных, равнобедренных прямоугольных треугольника, в которых все острые углы по 45 градусов
это вы к чему, капитан-очевидность?
@UCb0Cd1UnnqNuYSm8_uhgffw
Очень странно.
Автор доказал, что при ЛЮБОМ угле при катете,
центр вписанного квадрата будет
на биссектрисе из прямого угла!
Вы - сомнение выказываете.
Доказательство не верно?
Чего проще:
постройте четырёхугольник со сторонами
1, 1, 1/2, (sqrt7)/2, и с углами 90° напротив друг-друга.
Ну, и остаётся только достроить до квадрата
и описанного треугольника.
Странно очень.
Задачка ОЧЕНЬ-ОЧЕНЬ прозрачная!
Для начальной школы.
А давайте её переформулируем: В некоторый прямоугольный треугольник вписаны 2 квадрата, так что у одного угол совпадает с прямым углом треугольника, а у другого одна из сторон лежит на гипотенузе. Докажите, что вершина прямого угла треугольника лежит на прямой, соединяющей центры этих квадратов.
Из текущей задачи решение следует очевидным образом. Но интересно попробовать её изящно решить, не зная заранее факта про биссектрисы.
👏👏👏👏👏👏👏
Задача для суперменов
Возьмем частный случай, когда сторона квадрата лежит на гипотенузе, а вершина квадрата лежит ровно посередине гипотенузы. Найдите углы треугольника (или тангенс углов; вы найдете скрытое «золотое сечение»)
Извините а в какой школе вы видёте математику
См. описание к ролику )
задача из пробника ЕГЭ2023) правда там изначально дано, что одна сторона лежит на гипотенузе
Башкортостан?)
@@user-nj8vj1oi5y в Москве такая была
👍
Здравствуйте Борис. Действительно, красивая задача. Спасибо за разбор.
Недавно столкнулся с не понятной для меня задачей, она про последовательность. Словами объяснить трудно, но могу куда-нибудь залить саму задачу. Там 3 пункта. Не могли бы вы помочь с решением? Сколько голову не ломаю, не выходит. У меня вроде получилось решить второй пункт, если я правильно решил первую. У меня получилось что кол-во квадратов = 2^n+2 где n номер рисунка. Тогда возникают трудности с третьем пунктом…
Прошу, не могли бы вы мне помочь. Я вас давненько смотрю, благодарю вас за ваш труд, если бы не вы, то может быть я бросил бы математику
Скинь, пожалуйста, условие
@@onton-zy5re Там обязательно потребуется рисунок
@@saidalosaidumarov9727 залей куда-нибудь. На яндекс диск например
Сначала я подумал что это отдалённо напоминает Фибоначи, но идея с суммой геометрической прогрессии мне показалась проще. У меня получилось, что формула нахождения количества квадратов(m) = 4+ сигма (от 1 до n-1) 2^n. Если там упростить, то получилось m = 2^n + 2. В данные рисунки формула хорошо вписывается, но т.к. нет четвёртого рисунка, приходится догадываться. Честно, какой-то конкретной логики я здесь не вижу. Возможно я не прав, и там всё гораздо проще
@@onton-zy5re ютуб удаляет ссылку
То, что диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам можно использовать? (для доказательства того, что жёлтый четырёхугольник - квадрат)
Это свойство прямоугольника, так что нельзя
@@user-iw5ir7jq4l это свойство параллелограмма
@@user-iw5ir7jq4l не понял, почему свойство нельзя использовать
@@user-ex9bv1fg6jдиагонали точкой пересечения делятся пополам - это признак параллелограмма, значит, используя этот признак, не получится доказать, что жёлтый четырёхугольник квадрат, так как не всякий параллелограмм является квадратом
С одной стороны - да, с другой - нет. Зависит от ваших рассуждений. Как вы себе представляете доказательство?
Отличный ролик для учителей))
Как не надо делать.
Не допускайте рисунков с дополнительными "хорошими" условиями.
Задача и решение супер! Спасибо, Борис!
Прямая через правый угол квадрата параллельно левому катету.
Прямая через верхний угол квадрата параллельно нижнему катету.
У двух квадратов совпадают центры.
Центр на биссектрисе.
Скажи, не красиво?
То что у двух квадратов совпадают центры - еще нужно доказать
@@ddodrokhvalov
Проведите диагонали, там сплошная симметрия.
Ничего не понял. Как-нито лихо проведено доказательство. Что откуда следует - непонятно 🤔
А можно без окружностей. После построения желтого четырех угольника, становится понятно, что это прямоугольник, а после этого понятно, что это еще и квадрат. Получатся это как раз то построение в самом начале, когда квадрат вписан в прямой угол. И не надо окружностей.
Нет, он будет квадратом только если треугольник равнобедренный.
смешно
@@gordon_savage Две стороны одинаковые, это расстояние от центра до вершины, угол между ними 90 градусов. Значит все таки квадрат.
@@chilokolich3971 Грустно
Петя-Петя, грёбаный Экибастуз.
А что если нарисовать на квадрате описанную окружность.
После этого очевидно, что
1. Её центр совпадёт с центром квадрата
2. Дуга этой окружности будет 90 градусов (угол между диагоналями квадрата 90 гр)
3. В силу п. 2, эта окружность окажется вписана в прямой угол.
4. В силу 3, её центр лежит на биссектрисе прямого угла.
5. В силу 1, центр квадрата лежит на биссектрисе.
Нет, она будет вписана в угол, только если треугольник равнобедренный.
@@gordon_savage пожалуй, что так...
А можно ли обойтись без окружности, как-нибудь доказать, что это квадрат?
можно доказать, что круг - это не квадрат.
но нельзя доказать, что не квадрат - это квадрат.
Здесь в комментариях видела способ: провести из центра квадрата перпендикуляры к катетам и доказать, что они равны
Зачем там окружность проводить и хорды? Жёлтый четырёхугольник - с двумя прямыми углами и двумя равными сторонами (как половины диагоналей квадрата). Этого недостаточно чтобы заявить, что это квадрат? Ну а диагональ квадрата это биссектриса его угла.
Ааааааа, это не квадрат, чёрт побери. Хуёвый из меня математик. :(
Опять картинка с серединным перпендикуляром и биссектрисой, которые пересекаются в середине дуги описанной окружности.
Совершенно незачем аписывать жёлтый прямоугольник а круг. Очевидно, что это квадрат, так как его стороны являются половинами диагоналей квадрата, вписанного в треугольник
Совершенно незачем писать писанину.
Жёлтый четырехугольник не обязан быть квадратом. И не обязан быть прямоугольником.
Вот вам контпример:
Возьмем треугольник со сторонами 5√2; 5√2, 10 и треугольник со сторонами 6; 8; 10. Приложим один треугольник к другому так, чтобы стороны длиной 10 у них совпали.
Тогда получим четырехугольник со сторонами 5√2, 5√2, 6, 8, в котором противоположные углы прямые и 2 соседних стороны равны. И он не является квадратом.
Подстригся, красавчик стал
На это был отдельный роликс
Мне показалось, что можна было рассмотреть решения из подобия триугольников.
Сторона прямоугольника лежащая на гипотенузе паралельна противоположной стороне. Но противоположная сторона прямоугольника является гипотенузой для маленького прямоугольного треугольничка.
Маленький треугольник подобный к большому. Хорды у них совпадают и делят сторони прямоугольника пополам. Тоесть прямоугольник поделен пополам, значит линия деления проходит через центр.
Вы считаете, что биссектриса делит гипотенузу пополам?
@@trushinbv Ой. )))) Был неправ. Забираю свои рассуждения... (((
я начал решать примерно также и получил, что маленький треугольник подобный и получил, что углы при этом целевом отрезке равны соответственно углам при катетах треугольника. Соответственно вторым вариантам вписать можно только в треугольник у которого углы по 45 градусов? Странно.
А площадь этих квадратов будет одинакова?
Доброго времени суток! Отличное видео! Борис, думаю окружность была не обязательна. Можно было сказать, что жёлтый четырехугольник - квадрат поскольку противоположные углы по 90°, и соседние стороны равны половине диагоналей большого квадрата. В таком случае красный отрезок становится диагональю жёлтого квадратика, а также биссектрисой прямого угла
В Сад!
Имейте же уважение - читайте, чукчи-писатели!
Это не квадрат и даже не прямоугольник. Просто так удачно нарисовал. Ваше утверждение верно только для равнобедренного прямоугольного треугольника.
Если нарисовать треугольник со сторонами 3;4;5 и пририсовать к нему такой же треугольник так, чтобы стороны длиной 5 совпали и стороны 3 и 3 были соседними, то получится четырехугольник, у которого:
1) Противоположные углы по 90°
2) Две соседних стороны равны
и который не является квадратом. (А является дельтоидом.)
после того как было доказано, что желтый- квадрат, то факт того, что биссектрисы теперь совпадают уже доказано было в первом случае, когда квадрат вписан в треугольник, а вершина в прямом угле (т.е. можно и без окружностей обойтись)
Это все хорошо конечно, только вот желтый не квадрат
@@slave5113 Соглашусь, может быть и не квадратом
Сын спросил: а есть ли такой прямоугольный и равнобедренный треугольник все стороны которого целые числа? Или другими словами: а^2+а^2=b^2, где а и b целые числа.
Может кто здесь знает ответ?
Нет, потому что корень из двух - иррациональное число
Второй случай еще проще доказываается. Без разных окружностей.
Через тточку пересечения диагоналей проводим паралельную гипотенузе и получаем первый случай.
Желтый четырехугольник -квадрат (легко доказывается из равенства 2-х его сторон, равных по 1/2 от диагонали вписанного квадрата). Диагональ желтого квадрата(!) является бисектриссой прямого угла. А центр врисанного квадрата является вершиной желтого квадрата- а значит лежит на бисектриссе(!) прямого угла.
И не надо вспоминать о вписанных углах, опирающихся на равные хорды. Так же как и в первом случае- всё очевидно. Просто смотри.
с дуба?
@@chilokolich3971 Спасибо. Возражение очень содержательное.
Я предложила альтернативное решение.
Возражайте конкретно-в чем я не права.
Успехов!
@@lyuba5365
Chil Okolich
3 минуты назад
Сколько же дальтоников!
Белый - это КВАДРАТ,
Жёлтый - это НЕ квадрат(кроме случая равных катетов)!
@@lyuba5365
да ты ВЕДЬМА!
Экзамен на профпригодность:
чему равно
2а :2а = ?
4! : 4! =??
36 : 3(8-6) =???
@@chilokolich3971 я бы больше сказала: здесь все квадраты чёрные! 😊🙃
Были два прямоугольных треугольника по разные полуплоскости от гипотенузы с медианами, а потом без всякого обоснования рассматриваем квадрат - непоследовательно неочевидно и взято с потолка
К доктору!
Экзамен на профпригодность:
чему равно
2а : 2а = ?
4! : 4! =??
36 : 3(8-6) =???
Привет,
Можно новую задачку по геометрии здесь?
Дан прямоугольник ABCD
На BC точка M и на CD точка N
Отрезки AM и MD пересекают BN в точках O и P
Отрезок AN пересекает MD в точке R
Площадь BOM=21 и площадь MOP=21, площадь PRN=6 и площадь RND=8
Чему равна площадь ABCD?
Я не знаю, я на верное старею. Но мое решение шло тем же путем, но окружность там так и не возникла. хватило того, что изначально прямоугольный треугольник. Наверное я что то упустил. Но с ответом не ошибся. нет. Блин. Ну серьезно. Зачем окружность? Там ведь вроде как нет вариантов вписать квадрат не нарушив симметричность?
Я наверное стар, и туплю сейчас((
Но лайк заслужен в любом случаи! Обожаю видео этого канала!
Какую симметричность?
@@trushinbv Прямоугольного треугольника
Я могу не правильно выражаться. Но. как бы это проще объяснить то...?
В объяснениях мастер вы! не я )
Но сам угол 90. уже не дает вариантов на квадрат в принципе. Да их 2 в идеале, но первый вообще не интересен, а второй не может быть другим. Мое простейшее рассуждение заключалось в построении фигуры из 2-х треугольников, тоесть отражением первого. ну итд и тп. Ну плохо я объясняю((
Но если мы уже знаем что (красненький отрезок) это диагональ квадрата зачем добавлять окружности и доказывать что диагонали квадрата делят его прямой угол на 45 и 45? Эт вроде как свойство
Какого квадрата?
Про красненький отрезок мы знаем, что он соединяет вершину прямого угла и точку пересечения диагоналей желтого квадрата.
@@trushinbv который образован из пересечения диагоналей вписанного в треугольник квадрата. Диагонали квадрата же пресекаются под прямым углом и деляться пополам. Потивоположный угол прямой по условию (прямоуголный треугольник). Выходит квадрат.
Пс. А нет не выходит. Ох стоило на это прям указать в видео и разьяснить почему. оч обманчиво, оч неинтуитивно. )
@@667gamestudio сложно было предположить, что кто-то решит, что двух прямых углов достаточно для того, чтобы быть прямоугольником )
Но, действительно, многие так подумали (
@@trushinbv
Сложно предположить, что розовый - это диагональ жёлтого.
И несложно утверждать, что розовый - это диагональ РОЗОВОГО!
Красиво, да?
5:39 в дальнейших рассуждениях вы пользуетесь тем, что желтая фигурка - это квадрат, хотя это не доказали
К доктору!
Экзамен на профпригодность:
чему равно
2а :2а = ?
4! : 4! =??
36 : 3(8-6) =???
Желтая фигурка - не квадрат )
На указанной вами отметке Борис Трушин использует факт из условия, что белый четырехугольник - это квадрат.
Интересная задача. В решении для взрослых (про детей автору канала лучше знать) я бы сакцентировал внимание на 2 пунктах. Первый это то, что жёлтый четырехугольник не обязательно прямоугольник. А второе это то, что задача о жёлтом четырехугольнике полностью равносильна исходной. Если удастся построить жёлтый четырехугольник с диагональю не биссектрисой, то тогда удастся на базе этого четырехугольника достроить треугольник и квадрат и утверждение будет опровергнуто (мне так проще думать). И немного не понял, зачем нужна была медиана? Вокруг жёлтого четырехугольника можно описать окружность, 2 стороны одинаковые, а значит, углы, опирающиеся на стороны одинаковые.
И ещё интересно, что решить задачу алгебраически довольно сложно. Хотя есть на выбор 2 ортогональных базиса, так и хочется написать векторные уравнения и решить, но как-то не очень просто выходит (в уме совсем не получается).
Про доказательство в случае когда две вершины квадрата лежат на гипотенузе: можно ли просто сказать что центр квадрата это точка равно удалённая (так как половины диагоналей квадрата равны) от сторон прямого угла и следовательно лежит на биссектрисе? То есть одним утверждением решить задачу
Но половинки диагоналей - это же не расстояния до катетов, они им не перпендикулярны
Конечно можно.
И это очевидность, которую Борис не захотел увидеть.
Своя рубашка ближе к телу, хотя и косоворотка.
@@trushinbv
половинки равны и они под одинаковым углом к катетам.
Это нужно доказывать?
@@scientist8910 конечно
@@trushinbv
3:15
Розовая диагональ "розового квадрата" полностью на биссектрисе.
Нарисовать "розовый квадрат", опустив высоты на катеты, проще и естественней, чем рисовать жёлтый неквадрат.
Построить треугольник по основаниям высот.
Как измерить расстояние от центра квадрата до катетов? Да просто проведём перпендикуляры и сравним. Перпендикуляры равной длины, это очевидно!
Биссектриса - это ГМТ равноудалённых от сторон угла.
Значит центр на биссектрисе.
А почему просто не сказать, что желтый четырехугольник это прямоугольник, так как противоположные углы прямые и то что прямоугольник это квадрат, так как ширина и длина равны половине диагонали большого квадрата. Тогда 2й случай будет аналогичен с первым.
Двух прямых углов недостаточно, чтобы быть прямоугольником )
на 05:00 откуда взялась медиана? Уже полчаса рисую и никак у меня центр на биссектрису не попадает, кроме случая с равнобедренным треугольником...
Зачем ходили в окружности?
Отрезки которые доказали, что равны - они половины диагоналей исходного квадрата, а значит равны.
Меньший четырехугольник имеет две равных стороны и два угла по 90 градусов - очевидно кврадра, значит искомый отрезок диагональ, значит там по 45 градусов.
Я где-то ошибся?
Фатально
Экзамен на профпригодность:
чему равно
2а :2а = ?
4! : 4! =??
36 : 3(8-6) =???
Меньший четырехугольник не обязан быть квадратом. Два противоположных угла по 90 градусов, два оставшихся могут быть 80 и 100, могут быть 70 и 110. То что в четырехугольнике две смежных стороны равны вовсе не означает, что две другие стороны равны.
@@ddodrokhvalov Нарисуете прямоугольник с двумя противоположными углами по 90 градусов и двумя равными сторонами при одном из них, но не квадрат?
Это т.Пифагора.
Дорисуем квадрат со стороной (А+В) вокруг "нашего" квадрата со стороной С.
Диагональ квадрата со стороной (А+В) пройдёт через центр "нашего" квадрата со стороной С.
Всё.
Бонус:
расстояние от центра "нашего" квадрата до вершины "нашего" угла (А+В)*sqrt2
А зачем тут окружность? Того, что жёлтая фигура квадрат, достаточно должно быть.
Но она не квадрат )
@@trushinbv ну да, согласен. Просто так явно показаны 2 прямых угла и 2 равные стороны, что не задумываешься, что две другие стороны могут быть не равны и два других угла могут быть не прямыми.
Квадратом она будет только в том случае, если исходный треугольник будет равнобедренным.
@@user-im1pb4br3f Чертеж может обманывать )
@@trushinbv Половины диагоналей вписанного квадрата являются РАВНЫМИ сторонами жёлтого квадрата...
А достроение до квадрата? Надо опустить два перпендикуляра и точка пересечения будет давать квадрат, который двумя сторонами лежит на катетах. И провести диагональ квадрата. Т.к данный достроенный квадрат лежит на катетах треугольника, и один из 4 углов совпадает с углом прямоугольного треугольника, то диагональ проведенная в квадрате делит угол пополам.
Я про углы и хорды бы не вспомнил, не говоря про выход через окружность
Красивая задача. Можно многими способами доказать, используя знания на уровне 6-7 класса. Единственно смутил переход к медиане в прямоугольном треугольнике. На мой взгляд, правильно было бы доказать, что розовая линия совпадает с медианой малого прямоугольного треугольника.
Но биссектриса редко бывает медианой )
Великий русский язык! Спасибо за простату и лёгкость восприятия👍
Иронично))
ПростАту 😂😂😂
За это спасибо биологии, а не русскому языку, каким бы великим тот ни был )
Извини, но уж прям в глаза бросается )
Я решил попроще, без окружности. Желтый прямоугольник - это квадрат. Две его стороны находятся на диагоналях основного квадрата. Диагонали у квадрата равны, соответственно половины диагоналей тоже) У желтого, как мы уже теперь знаем, Квадрата провели диагональ из прямого угла и она соответственно равна 45град ))
Это не квадрат )
@@trushinbv желтый не квадрат, уверены?
@@qwertmix111333 у него же только два прямых угла
Он будет квадратом, только если треугольник равнобедренный.
@@trushinbv да, действительно)) Построил в специальном приложении для чертежей не равнобедренный прямоугольный треугольник - квадрат не получился уже))
А почему хорды одинаковые? Разве желтый четырехугольник обязательно квадрат? Он вполне может быть прямоугольником и тогда хорды не равны. И получается...Ну вы понимаете
Хорды одинаковые, т.к. это диагонали квадрата. А жёлтый четырёхугольник может быть даже не прямоугольником.
Поставил на паузу на вопросе про четырехугольник. Сначала понял, что это -- прямоугольник, потом -- что это квадрат, так как половины диагоналей большого квадрата равны. А диагональ желтого квадрата является биссектрисой угла, что и требовалось доказать. Никакие окружности не нужны)
А почему это прямоугольник?
@@trushinbv Да, это может быть не прямоугольник, понял свою ошибку 🙂
Я не совсем понял, зачем мы рисуем окружность...
Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, значит нам уже известно, что те желтые отрезки равны, и нам известно, что в данной фигуре два прямых угла, значит перед нами жёлтый квадрат. Дальше вы доказываете, что эти углы равны (по окружности), но можно рассмотреть два равных равнобедренных прямоугольных треугольника и там углы будут по 45 градусов, значит розовый отрезок это и есть наша биссектриса 🧐
Почему вы решили что это прямоугольник? Там только два прямых угла )
2 других угла необязательно будут по 90 градусов
@@augenblick9295 если два других угла не по 90 градусов, как можно получить при этом равенство двух прилегающих сторон, прилегающих к прямому углу?
@@trushinbv человек выше интересно ответил)
@@roy.betty.replicantnexus-6871 я тебе ответил в другом комментарии
с каких пор жёлтый 4-ёхугольник стал квадратом? это даже не прямоугольник, только если катеты не равны. я так понял что объяснение решения задачи не совсем правильное или я прост жёстко обосрался
никто и не говорит что желтый 4-ехугольник квадрат
А где вы такое услышали?
Точно не в этом видео.
@@user-zx2tv6kq9o этого мало чтоб построить прямоугольник
@@user-zx2tv6kq9o прямоугольный дельтоид.
@@fullfungo эм... нет. у него получается 2 противоположных угла по 90, сумма других 180(но они не по 90), и две стороны через один угол 90 равны и круг можно вокруг него обвести
Уверен, что можно обойтись и без окружностей и с меньшим количеством действий, но мне лень это описывать с телефона 😄
Предлагается более простое решение, без знания свойств описаных окружностей. Надо лишь доказать равенство углов, образуемых при сечении прямого угла розовым отрезком, который пока ещё не биссектриса ruclips.net/video/_dSil5R037c/видео.html.
Для этого надо доказать равенство 2 треугольников внутри жёлтого четырёхугольника. Доказывать нужно по 3-му признаку (равенство 3 сторон).
Сперва заметим, что жёлтый четырёхугольник - это прямоугольник:
- Угол при вершине треугольника прямой - по условию
- угол при противоположной вершине также прямой (диагонали исходного квадрата пересекаются под прямым углом).
Доказываем равенство треугольников:
1) розовый отрезок - общая сторона
2) остальные стороны попарно равны, т.к. они являются сторонами жёлтого прямоугольника.
Доказали. Треугольники равны -> все их углы равны.
Значит розовый отрезок - биссектриса. Чтд.
Но если у четырехугольника лишь два прямых угла, он не прямоугольник )
Лайк Борян
Довольно просто решить задачу аналитически. В прямом угле треугольника сам бог велел разместить центр прямоугольной системы координат. Пусть углы квадрата на катетах имеют координаты (x, 0) и (0, y). Легко увидеть, что нижний угол квадрата на гипотенузе имеет координаты (x, 0) + (y, x). Осталось сложить эту точку с диагонально противоположной (0, y) и разделить пополам. Координаты этой точки равны друг другу, значит она лежит на гипотенузе.
Ещё можно предложить доказать, что в любой треугольник можно вписать квадрат.
Без окружности проще. Там сразу доказывается, что малый четырехугольник - тоже квадрат. А дальше, выражаясь словами Бориса - "смотри очевидное".
"Там сразу доказывается, что малый четырехугольник - тоже квадрат"
Но он квадрат только в равнобедренном треугольнике
@@trushinbv Борис, кстати в интернете есть популярная задача, где в треугольник со сторонами 3; 4; 5 (египетский) вписан квадрат. Одна сторона лежит на гипотенузе, а противоположные вершины лежат на катетах. (Как у вас на втором рисунке). Так вот, необходимо найти его площадь. Может разберете???
@@trushinbv
Ну, "малый четырёхугольник", розовый (!) который, всё-таки квадрат.
И доказательство этого (через построение и равенство прямоугольных треугольничков) очевидно.
Возможно, геометрия и не нужна в современном мире.
Но как способ проверки пригодности к обучению точным наукам востребована.
Результат ошеломительно удручающий.
Не смог решить эту тестовую задачу - у тебя твёрдая "3" по математике.
Однозначно.
Как мы доказали, что это квадрат, а не четырёхугольник с 2-мя прямыми углами напротив друг друга
Там только один квадрат, который по условию квадрат
@@trushinbv жёлтый четырёхугольник должен быть квадратом, чтобы расстояние от точки пересечения диагоналей до катетов было одинаково, но почему это квадрат
@@AlekseyIV это не квадрат. Всё, что мы используем, что вокруг него можно описать окружность
@@trushinbv понял, спасибо
Учителя смотрят?
Прежде чем писать РЕШЕНИЕ, пройдите тест.
Экзамен на профпригодность:
чему равно
2а :2а = ?
4! : 4! =??
36 : 3(8-6) =???
зачем эта окружность? достаточно того, что жёлтый четырёхугольник - тоже квадрат.
Было бы достаточно, если бы он был квадратом )
@@trushinbv то есть он не квадрат? ну-ну.
@@MrBeLoveD1981 он будет квадратом только если треугольник равнобедренный.
@@gordon_savage то есть все углы прямые, хорды (они же стороны жёлтого четырёхугольника) - равны. Но это не квадрат. НУ-НУ.
@@MrBeLoveD1981 с чего ты взял, что все углы прямые? На глаз по рисунку определил? Возьми, например, 2 треугольника со сторонами 3, 3, 3√2 и 4, √2, 3√2 и прислони гипотенузами. Все углы прямые будут?
ruclips.net/video/_dSil5R037c/видео.html Вот тут не понял , откуда взялась медиана?
Это хорошо известный школьный факт, что медиана равна половине гипотенузы
@@trushinbv Не спорю с этим утверждением, но почему эта прямая-медиана, откуда такая информация? ruclips.net/video/_dSil5R037c/видео.html тут мы проводим отрезочек, говоря при этом, что он не факт, что биссектриса. чуть позже мы говорим, что он - медиана, откуда мы делаем такой вывод- не понятно. Более того простой пример на треугольнике, где один катет больше второго в 2 раза наглядно показывает , что там не медиана.
@@hpd51zYg6v это не тот же отрезок )
Мы провели медиану, чтобы доказать, что можно описать окружность
@@trushinbv все, спасибо большое, разобрался
Если вписать квадрат в круг, то вмё становится очевиднее
Сколько же дальтоников!
Белый - это КВАДРАТ,
Жёлтый - это НЕ квадрат(кроме случая равных катетов)!
Учителя смотрят?
ЧЕМУ учат "учителя"!
Плясать да петь, да дурацкие фокусы показывать?
ПалИванычАриков = ПетяСанычШариков.
Поубивал бы!
4! : 4! = (!)^2
Половины диагоналей изначально вписанного квадрата равны и пересекаются под прямым углом - зачем хорды городить ?
Прискорбно, но у вас "3". Очень твёрдая. Без права пересдачи!
*
@chilokolich3971
52 минуты назад
Эх, не тот квадрат Борис жёлтым мелом обвёл!
Проведи он высоты из центра на катеты и обведи красным, получился бы квадрат.
...
*
@@user-lw4ww3to5k откуда у вас полномочия ставить кому бы то нибыло оценки ???? Держите их при себе. Непоследовательное изложение Бориса Трушина искажает логику решения. В данном случае он петляет. После того как в квадрате который вписан в треугольник проведены диагонали нужно отметить, что они пересекаются под прямым угломи точкой пересечения делятся пополам и все половинки равны между собой, по построению желтого четырех угольника получается что у нас 2 прямых угла опираются на одну гипотенузу, и вот только тут нужна окружность для того чтобы показать равенство углов на которые разделен прямой угол исходного треугольника из равнобедренности прямоугольного треугольника с катетами из половин диагоналей
@@aakh3500
Ха-Ха-Ха,
ровно через сутки до вас дошло "решение Бориса" (не самое-самое впрочем)
и вы слово в слово его ПОВТОРИЛИ!
А до этого несли какую-то неумь, не предложив своего решения.
Более того, и с цифрами "запетляли".
@@chilokolich3971 моя цель разобраться с решением которое на видео - наш преподаватель в вузе помнится говорил, что самое лицемерное в геометрии это "Очевидно" - все смотрят по разному и если взялись объяснять то не ленитесь говорить откуда и на что смотрите, в видео дается ложный намек - два прямоугольных треугольника с медианами вокруг них описана окружность, медианы равны половине гипотенузы и потом вспоминается про квадрат и диагонали - в таком контексте естественно связать одно с другим и сделать предположение что желтый четырехугольник квадрат. Хороший математик не является хорошим популяризатором математики.
Ха-Ха-Ха,
ЧТО мы знаем про квадрат?
В СЕДЬМОМ (!!!) классе.
Мы знаем, что в ЖЁЛТОМ квадрате стороны могут быть не равны. Да ещё и углы могут быть не равны 90°.
(Как в чОрном квадрате Малевича).
Ха-Ха-Ха,
Всё зависит от цвета.
ЭТО за гранью добра и зла!
Ребята, у кого не квадрат это квадрат, не ходите в математики.
Ходите в программёры-кодеры.
Слушайте, общие слова о недостаточности математики в образовании это прекрасно, но покажите-поясните, как на плоскости может быть не квадратом четырёхугольник, у которого противоположные углы - прямые, и у одного из этих прямых углов прилегающие стороны - равны. Как при этих условиях можно получить не квадрат?
@@roy.betty.replicantnexus-6871
*
@user-lw4ww3to5k
2 дня назад
@roy.betty.replicantnexus-6871
Пообещай что присядешь 10 раз
*
@@roy.betty.replicantnexus-6871
*
@user-lw4ww3to5k
2 дня назад
@roy.betty.replicantnexus-6871
1) Стороны длиной 1 и 1,
Гипотенуза1 = sqrt2;
2) Стороны 1/2 и (sqrt7)/2,
Гипотенуза2 = sqrt2;
3) Прислони треугольники гипотенузами.
*
Жестковат критерий)) Разве что только если твой учитель - Борис.
А так готов спорить, что не каждый школьный учитель математики пройдёт этот тест на "чувство геометрии", уж молчу про процент учеников.
Для 3 класса.
С помощью Пифагора.
Только!
В 5:40 логика решения потеряна, для того что и так очевидно - половины диагоналей равны и пересекаются под прямым углом городятся хорды, а то что медианы лежат на одной прямой не доказано. Вы поторопившись с окружностью, направили зрителя на ложное мнение, что желтый четырехугольник квадрат, разместив после картинку с квадратом.
К доктору!
Экзамен на профпригодность:
чему равно
2а :2а = ?
4! : 4! =??
36 : 3(8-6) =???
@@chilokolich3971 вот могу вам ответить - напишите свои выражения в виде дроби чтобы было понятно, а что вы имели ввиду ставя знак деления и своей фантазии "что, так то вот - правильно" мне не интересно, обсуждайте со своим лечащим врачем (доктором)
@@aakh3500
Ну, вот в этом и причина твоего бреда.
Не прошёл ты тест, недотёпа.
Ты НЕ понял решение и вывалил свои "глупости". По глупостям и получи.
Зачем окружность? Желтый прямоугольник - КВАДРАТ!
нет )
@@trushinbv я в аналогичном посте уже успел написать - соседние стороны жёлтого прямоугольника - половины диагоналей вписанного квадрата, т.е. равны!
Диагональ жёлтого квадрата делит угол пополам, и она же является прямой, соединяющей прямой угол прямоугольного треугольника с пересечением диагоналей вписанного квадрата.
@@victormog Почему вы решили что это прямоугольник? Там только два прямых угла
@@trushinbv да, но прилегающие к прямому углу стороны при этом равны! как он может не быть квадратом при этом?
@@roy.betty.replicantnexus-6871
Вот просто и выяснили, что ты поверхностно понимаешь в геометрии.
Борис , В ваши рассуждения закралась ошибка.
Примерно на 4.40.
Вас сбили с толку построения исходя из вашего , почти равнобедренного треугольника..
И центр окружности .описанной вокруг
Четырёхугольника с двумя прямыми противоположными углами совсем не обязан лежать на биссектрисе.
🥺Нарисуйте треугольник с большей разницей углов. Например 30 и 60.
И увидите в чём дело.
А где мы используем то, что центр лежит на биссектрисе? Нам вообще не важно где центр
Сорри,
Пересмотрел- "углы, которые опираются на эти хорды- равны."
Беру свои слова назад.
С уважением к Вам !
Крохотное занудство :
Жёлтый 4х угольник не должен на рисунке напоминать квадрат .
Всё.
Пойду решать очередную задачу.😅
@@user-hu6wf9gb5i да он, вроде, и не напоминает )
У него же всего два прямых угла
@@trushinbv
Забавно.
В Английской задаче быстро нашёл производительность детей равна 0.
И начал искать где ошибся ,
Вариант малыши халявничают - не пришёл в голову...
Немного математики / немного юмора..
Я думал, что "задача из Кембриджа" самая смешная,
что "Биссектриса это не крыса" самая очевидная.
Ошибался. Эта ещё смешнее, ещё очевиднее.
- ЧТО мы знаем хорошего про биссектрису?
Что вы можете сказать про неё?
Если вы не знаете, что это ГМТ равноудалённых от сторон угла,
то поставьте на паузу, возьмите первый учебник по геометрии.
Эх, не тот квадрат Борис жёлтым мелом обвёл!
Проведи он высоты из центра на катеты и обведи красным, получился бы квадрат.
А так получилось ... маемо шо маемо. А ля Земскофф.
Ничего хорошего не могу сказать про жёлтый четырёхугольник, а про розовый квадрат только хорошее.
Середина розового квадрата безусловно лежит на биссектрисе прямого угла треугольника, и правая верхняя вершина розового квадрата лежит, да и вся диагональ розовая на биссектрисе угла.
И доказывать-то не нужно. Смотри.
ЧТД.