【高校数学】今週の積分#38【難易度★★★★★】
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- Опубликовано: 9 фев 2025
- 別解などが浮かんだ人はぜひコメント欄へ！
みんなで積分を楽しもう٩( 'ω' )و！！
『今週の積分』シリーズは毎週月曜日7時半にアップしています。
「ひたすら積分したい受験生」「すっかり鈍ってしまった大学生」「一週間を数学から始めたい社会人」におススメです。
早起きのリズムを作るのにも適していると思うので、ぜひ毎週欠かさずアップ直後に見て、何かしらコメントを残す習慣を身に付けましょう！
これまでの『今週の積分』を見たい方は再生リストへ↓
• 【高校数学】今週の積分#1【難易度★★】
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今ならわかる、これはking property だ。
違う方法で解けたので共有しておきます。
分子分母にsinx-cosx をかけると、二倍角の形で表現することができます。
分子は1/2(sin2x-cos2x-1)、分母は-cos2xと変形できます。あとは三つの項でわければそれぞれ簡単に積分できる形なので、不定積分を求めることができました。
今週もupありがとうございます。
自分は、
積分の中身の関数をf(x)と置いて、
f(x)を偶関数と奇関数に分解しました。
すると、
f(x) = 1/2 + (cosx-sinx)/2(sinx+cosx)
となり、
後ろの部分の積分は少し悩みましたが、微分形の接触に気付けたので計算でき、正解できました！
来週も楽しみにしてます。
結局、アイを求める問題だったんだ、俺たちみたいに
駿○予備校講師戸○崎と言う人も積分は愛を求めるものだとよくおっしゃいます。
ポルノグラフィティのアポロかよ
は？
アイカラワズ
AKITOさんの動画で見たからすぐできた^^
良い復習になりましたありがとうございます
うまいですねー。１か月前に喜寿になったけど、楽しく勉強させて頂いております。
工業高校だから、こんな難しい数学の授業はやってないから積分とか微分とかよく分からないけど、見てるだけでもなんか楽しい笑
学べる機会があったらこの分野学んでみたい笑
その精神勿体無いなー
無理矢理にでもやれば良いのに
工業高校から東工大受かったぜ
sinxとcosxはセットで考えるとよいことがあると思っておくとよいですね。
これは積分以外にも、どんな問題にも有効なテクニックです。
・分母を計算すると√2sin(x+π/4)←これはx=π/4に関して対称、積分区間も0~π/2でx=π/4に関して対称
・x=aに関して対称性がある積分はx-a=tと置換してみる（平行移動する）と
偶関数や奇関数が出てきて例の公式を用いて計算しやすくなる場合がある
・今回はx-π/4=tと置換してみると被積分関数は (1-tant)/2(区間は-π/4~π/4)
・tantは奇関数だから積分値は０、あとは1/2を上記の区間で積分するだけ
2つ目の解答方法がめちゃ凄いと思いました！
AKITOさんとでんがんさんの積分問題を思い出して良い復習になりました✨
控えめに言って最高です
分母を合成して、
√2sin(x+π/4)=√2sintとおくことにより
分子をcos(t-π/4)→加法定理で和の形にして解きました
頭いい
私もこれだったな
King's propertyを知っていれば瞬殺ですね
天才
@@鳴海連 どうやってKing propertyで置き換えるのでしょうか？教えて頂けませんか？自分には考えてもわかりません！
でんがんさんのチャンネルでも同じような置換積分してましたね。
【別解】
というか別ルート。
応用も効いて、しかも最速。
★対称性の利用の発想
被積分関数が sin, cos で出来ている場合は、sin, cos を入れ換えたやつと足したり引いたりして様子を見る。
★解答(積分区間は省略)
y₁ = ∫(cosx/(cosx + sinx))dx
y₂ = ∫(sinx/(cosx + sinx))dx
とすると、
y₁ + y₂ = π/2
y₁ - y₂
= ∫{(sinx + cosx)'/(sinx + cosx)}dx
= 0
となる。この2式より、
2y₁ = π/2
∴ y₁ = π/4
こんな方法あったんや…
某駿○の講師が
「sinとcosは双子だから、どっちか片方で躓いたらもう一人も登場させる。そして親は円だから、双子でもダメなら親にも来てもらう。」みたいなこと言ってたの思い出した
キングプロパティを使う練習をするのにいい問題でした。
sinxとcosxの対称性を
利用して分母を消すとは
目から鱗
なんだこれは…たまげたなぁ
【sinとcosの対称性に注目するsin（π/2-x）=cosx,cosx（π/2-x）=sinx】
t=tanx/2の置換はえぐい形になってしまう
分母をcosで合成する解法もある
手も足も出なかったけど解説聞いたら綺麗で感動しました
原始関数を求めなくても、定積分の値が出てくるのは驚きです。
確かにヨビノリを知っているのは学校に自分しかいないと断言出来る。
話はともかくこの積分はゴリゴリにやりましたw
X＝π/2-t で置換するやつ、でんがんさんがやってた！
あれの考え方むずい
ななし権兵衛 難しい分面白いですよね！
様々な対称性の考え方、akitoさんがわかりやすく説明してたのでまだでしたらぜひ！
森の賢王
あざす
まぁt=tanx/2でなんとかなるよね
結果
計算したくなくなる様な形出てきたw
ちゃんと数学しろよ
ああ
？？
@@ゴロフキンスナフキン 6分の1ももちろん使ってないよね。
キングプロパティ習った次の朝の今日の積分これなの嬉しすぎる
動画見る前は、2倍角にして、分子と分母の項数を逆にして、あとはゴリゴリ計算したわ。
三角関数の部分分数分解もやった。
2つ目の解法で感動した！！
加法定理を使って sin(x+45°) より分母を単純化したらサクッと解けた
√2 * sin(x+π/4) = sin(x) + cos(x)
分子もcos(x+45°)の方から中身を x+45°に揃えちゃう
たくみさんの授業動画の黒板に書く文字が格好いい。しかも、癒しの声で、とても理解しやすい。ただ、視聴は2倍速だけどね。（笑）早朝からお疲れ様です。
キングプロパティえぐ
奇関数と偶関数に分解するってのと本質的には同じ発想ですよね
K Dr. 違います
@@wi-fi1088 同じだよ。被積分関数は(π/4,0)に原点シフトすると定数＋奇関数になっているのが本質
∫{cos(x)/(sin(x)+cos(x))}dx , x:=t+π/4、 [x:0,π/2]→[t:-π/4,+π/4]
＝∫{cos(t+π/4)/(sin(t+π/4)+cos(t+π/4))}dt （加法定理でπ/4を全部消去）
＝∫{1/2-tan(t)/2}dt＝π/4（定数と奇関数に分離。tanは＋－対称区間で積分する必要なし＝０）
これは関数の対称性が見えているか？そもそも対称性とは何かを分かっているか？それだけの問題
三角関数の対称性は、目からウロコでした😳。
別解の式変形も上手いですね。
開設のなかった2つのやり方も自力てやっていようかなあと思いました。
いつも神動画ありがとうございます。
むずいて！！
受験ではお馴染みの問題。解法知らないと解けないかも。
ni mi あらら
毎度のことですが、勉強になりました。まだまだですが、こんなスマートな解法が思い浮かぶくらいのレベルになりたいです。
マンデー積分をぶっ壊す！
言ってるのはM積党あたりですかね…
いやぁしかし綺麗に約分できて簡単な数字になった時の気持ち良さよ
You shall use king property properly.
なるほどすごいね！
スッキリした計算でできるのか
友達が暗算で計算してました…
恐るべし。
自慢じゃないけど3秒で暗算出来た
やっぱ数学は色んな問題に触れてる者勝ちだなと思った
hina giku それ暗記だろ
Бямбадорж Даваанямын いわゆる解法暗記だね
hina giku
それ自慢だろ
hina giku 多分数学の計算がやった数勝ちだが、数学の理論というか、もっと深いとこまで行ったらそこからはセンスの問題かと(やった数2桁行くかも怪しい俺氏低みの見物)
解法まとめ、これが知りたいってやつがあったらコメントお願いします。
・I=∫(a→b)f(x)dx=∫(a→b)f(a+b-x)dx
2I=∫(a→b){f(x)+f(a+b-x)}dx
キングプロパティ、動画のやり方
・三角関数の合成で分母まとめ、置換積分
・{f(x)+f'(x)}/f(x)という積分に都合のいい形を作り積分
・分母分子に(cosx-sinx)かけ、倍角公式で分母をまとめる
・tan(x/2)=tの置換)、最終手段
対称性の利用は定石だけど、2個目のやり方は気づかなかった…
いい復習になりました
置換の仕方がえぐ
t=tan(t/2)と置く置換、ワイエルシュトラス置換とかいうかっこいい名前付いてるらしい
鮮やか！
きれい
AKITOさんの動画で紹介されてた対称性を利用する積分ですね！！
数々の動画見てきたけど
1番感動した。
まとめ
sとｃは対称性が成り立つ。そのためにx=π/2-tに置き換えて似た形をつくって足して積分
別解として分子にs+cを補ってそれを引き戻す作業をして分母分子同形から計算する方法もある。この方法は数3でよく見るテクニックな気がする
めちゃくちゃ気持ちいいですね
積分の公式を使わずに、図形をイメージしても解は出ます。
－－－
半径1の円の中心と、その円弧上に頂点をもつ斜辺の長さが1の直角三角形を思い描くとき、cos/（cos+sin）は平たく言えば、三角形の底辺/（底辺+高さ）になる。
x＝0のとき、高さ≒0なので、cos/(cos+sin)は1である。
x=π/2のときは、底辺≒0であり、cos/(cos+sin)は0である。
また、上記の直角三角形の形状の特徴からxが0からπ/2まで変化する時のcos/(cos+sin)の値の変化と、xがπ/2から0まで変化する時のsin/(cos+sin)の値の変化は同じである。
言い換えれば、分子が”底辺”だろうと”高さ”だろうと、見る方向を変えると同じである。
さてここで、横軸にx、縦軸にcos/(cos+sin)あるいはsin/(cos+sin)をとり、xが0からπ/2まで変化するときの値の変化をグラフ中にプロットすると、底辺の長さがπ/2であり、高さが1で斜辺が湾曲した図形が2つできあがる。
なお、この2つの図形は縦軸に対して鏡対象であるため（更に加えて言えば、それぞれの図形の斜辺の湾曲度合いはπ/4でも対象であるため）、例えば、sin/(cos+sin)の値をプロットして出来あがった図形を横軸に対して反転させ、cos/(cos+sin)の値からできた図形の上に乗せると、横の長さがπ/2、縦の長さが1の長方形が出来上がる。
従って、∫cos/(cos+sin)dxの値はπ/4になる。
－－－
分母分子にcosx-sinxをかけて、倍角の公式使っても出来そう
天才
∫1/cos2xdxが出てきて難易度バク上がりしました
それってx=π/4で分母に0かけてることになるけど大丈夫なものなのかな？
あぃべ
分母分子にcos2xを掛ければ分母が(1-sin2x)(1+sin2x)だから部分分数分解して積分すればlog〜やで！
Mr. A
部分分数分解かぁー！！！
全く思いつかんかったわ！
さんくす！
有理関数にしてゴリゴリしてたら動画終わってた。
ある意味頭悪い
。安倍総理大学 ホンマに頭悪そうなやつ発見
@@bbang5936 入試本番では、解法が思いつかなかったら見切り発車で解くのが得策といえるから、一概に頭が悪いとは言えない。
自分は分母分子にsinx -cosxをかけてやったので2倍角で処理しました。
すっご
日常でんがんの後輩と勝負してみたって動画と解き方似てるな
ヒント無しで解けた!嬉し
逆関数の積分教えて欲しいです！
教えるほどの問題じゃないと思う。逆関数の定義しれば超絶簡単
クラクラ研究部 自分で導くのが苦手な人もいるから解説した方がいいのでは？
ちなみにクラクラth10です
@@クラクラ-p3k イキリすぎ笑笑
いい積分をありがとうございました！！
途中で気づいたけど、キンプロじゃねぇか
オススメに出てきたから久々に見たけどこれやってる事king propertyやないけ
始めて「今週の積分」見たけど積分って面白い
マンデー積分復活せんかなぁ…
Mondayは形容詞ではないので名詞の前に置くことができませんよ。
@@integer6067
"Monday"は英語ですのでそうでしょう。
"マンデー積分"は誰かが言った日本の固有名詞と認識しております。
うまい
三角関数の中身の置換よりも別解の方が個人的には発想しやすい
最近カッコいいたくみさんよりは、カッコいい鼻穴に注目しちゃう... 変かな〜？？？
(1) tan x =t とおくと、積分範囲は、(t =0~∞ ) (2) 与式をΓとおき、原始関数を求めて、極限をとると、(3) Γ ＝lim ( R →∞ ) [ log l (t + 1 )/ √(1 + t ^2 ) l + arc tan t ] ・(1/2) ( t=0~ R) (4) Γ ＝lim (R →∞ ) { log l (R + 1 )/ √( R ^2 + 1 ) l + arc tan R -( 0 + 0 ) } ・(1/2) (5) 極限をとると、 Γ ＝( 0 ＋π／2 ) ・(1/2) ＝ π/4
ワイ大学生、大学でオイラーの公式を習って以降こういううまい積分方法をどんどん忘れています。塾講師アルバイトライフもあとわずかか…
今週の積分シリーズ
・１つ目の問題：#1 → ruclips.net/video/vm7LcyupMs0/видео.html
・１つ前の問題：#37 → ruclips.net/video/VoskvNUId8M/видео.html
・次の問題：#39 → ruclips.net/video/4yjUDxOvUSM/видео.html
分母を分母、分子両方にかけても上手く計算できる
大学生の範囲で解きました(多分悪手？)
分母分子をcosxで割ると、(被積分関数)=1/(1+tanx)
tanx=tとおくと、x:0→π/2でt:0→∞、x=arctantよりdx=dt/(1+t²)
ゆえに
(与式)
=∫[0→∞] dt/(1+t)(1+t²)
=(1/2){(∫[0→∞] dt/t+1)+(∫[0→∞] dt/t²+1)-(∫[0→∞] tdt/t²+1)} (部分分数分解)
=(1/2)[log(t+1)/√(t²+1)+arctant] [t=0→∞]
=(1/2)(log1+π/2)
=π/4
俺は今回は合成からの置換で解いたが解いたあとに改めて別解を動画で見るのが楽しみ。
グラフで考えると、分子sinxにしたのと0→π/2での面積絶対同じになるってイメージできる
ほんとだ
グラフ(積分の視覚的表現)がwolframalphaででます。計算結果も。不定積分?
integral_0^(π/2) cos(x)/(sin(x) + cos(x)) dx
wolframalphaの自然言語です。貼り付けで。
wolframalphaの数学入力あり。手入力はラク。式は、結果のプレーンテキ
たいへん美しい計算ですね。
king propertyやな！
よびのりで一ヶ月前にみたわ
結構前にakitoさんがやってたやつやんって思ったからできたけど、知らんかったら前の動画で紹介されたt=tanx/2するとこだったｗ
やっぱ賢い人は違うということを思いしらされます。(変にボケたがるところも含めて。)
複素まで含めて考えてlog(sinx+cosx)を微分してみるとすぐに不定積分の形がわかって、積分区間では常に連続かつ実なのでってできるけど高校範囲ではないな
1つ目の解法、変数をxからtに変換した後、文字をxに直すのにどうしても違和感がある それは高校数学の範囲で説明がつくことなのだろうか
文字が変わっても定積分の値には影響しないので大丈夫、と言えば違和感減らせますかね？
もちろん不定積分でこれやっちゃダメです。
これに関して、解答書く時って一言書かなくてもいいんですか？
「積分変数tをxに置き換えて」と書いてもらった方が、採点するときに考えてる内容が判るから、嬉しいけど、これくらい簡単な式なら、tのままで次に行かれてもまあ困らない。
数学モンスターのおかげで解けた
【ワイエルシュトラス置換使ってみた】
感動
【難易度★★★★★】ってのがヒントになるな。ノーヒントの場合ならフツーのやり方を一通り試して失敗するハズの手間が省ける。
t＝tan(x/2)の置換、一応やってみたら、もう一回tanで置換したくなるような式が出てきた（笑）❗
有理関数の積分の方も出来た❗
思ったほど大変じゃなかった。そんなにトリッキーな技を使わなくても、log２つとarctanに分解出来て、logが消えてarctanが残る形になった。
マンデー積分をぶっ壊す!!!!!
時すでにお寿司
日常でんがんの動画のおかげで解けた！
これが噂のマンデー積分.....
オイラーとか双曲線関数をしょっちゅう使う人は裏ルートの方が先に思いつくかも？
最初分母分子をcos(x)で割って単純に見えるぞ！！！って思ってたら全然解けなくて対称性に気づくのに半日かかってやっと解けた…合っててよかった…ようやく僕の月曜日が始まる。
最後の解法を思いつく人は少なくないと思う。私も文系だけど式を睨んでて思いついた。
但しヨビノリ氏の言うごとく汎用性がないので、
やはり前半の解法をしっかり使えるようにしておくことだと思う。
こういう解法を知ってればエレガントに解ける問題って、詰め将棋で勝負勘を養うような効果をねらってるのでしょうか？それとも、純粋にパズルとして楽しめば良いのでしょうか？？
不定積分を求めるのには後半の解法が必要ですね
King property最強‼️
別物として考えたのになんで足してもいんですか？
連立方程式を解く時と同じですよ。
これを有理関数化して解かせるという悪意あるミスリードを誘うためにこの前t=tan x/2の動画出したんですね。
サムネの新しい変顔レパートリー欲しいです
キンプロ最高
king propertyの動画でも紹介されていたパターンですね
圧倒的KingProperty
置換してx軸を逆から見る方法なのかな？
本質的には同じですね
アキトさんの動画でみたな
cosのところをtanにしてみてください