Wieviel Vorarbeit benötigt das Video? Ist so schwer vorstellbar dass das direkt aufgenommen werden kann, die Rechnung so leicht von der Hand geht und alles beim ersten Mal stimmt :). Das sieht immer zu leicht aus. Als wäre alles sofort so offensichtlich und selbstverständlich. Vielleicht mal ein Outtake Video^^.
ich bin im mathematischen denken zu hilfsbedürftig um für die gruppe ein gewinn zu sein, würde trotzdem gern mitglied werden, problem: kein online banking
Letzte Woche Hatten Wir Mathe Klassenarbeit Geschrieben (Eine Jahresarbeit Das İst Eine Arbeit İn Dem Alle Themen Des Jahres Rankommen) Und İch Habe Zwar 2 Fehler Aber Bei Der Zusatzaufgabe Habe İch 3 Punkte Und Deshalb Habe İch 1+ Teils Durch Deine Videos, Danke
Super Video, vielen Dank dafür! Ich muss sagen, seitdem ich deinen Kanal kenne, fallen mir diese Aufgaben deutlich leichter. Was mich hier am Meisten ins Ruder gebracht hat, war dieses - zwischen 2 und den zwei folgenden Termen, ich bin nämlich bei 2 - (3n+5)/(2^n+1) gelandet, was leider so garnicht zum gewünschten Ergebnis geführt hat.
Hey Chris, schön zu hören, dass dir meine Videos was bringen! Stück für Stück lernt man immer mal was dazu und merkt erst gar nicht wie man immer besser wird.
@@MathemaTrick sehe ich genauso. Vor allem die schwierigen Aufgaben (bei dir meist unter schwierig, Uni Klausur, .. ) bringen mich wirklich weiter. Wenn du möchtest und noch neue Aufgaben suchst, schicke ich dir von der Uni Ulm ein paar Altklausuren aus dem Fach Analysis für Ingenieure und Informatiker. Die waren auch immer ziemlich knackig. :)
@@chrisbirkenmaier2277 Ja klar, kannste mir gerne entweder per Mail an info@mathematrick.de oder über Instagram @mathema_trick schicken. Vielleicht ist dort ja was Passendes für ein Video dabei.
Wiedermal ein sehr schönes Video. Vielleicht wäre noch der Hinweis gut gewesen das der Induktionsanfang auch sehr oft als "Verankerung" und der Induktionsschritt sehr oft als "Vererbung" bezeichnet werden. Nur um Verwirrung vorzubeugen... 😉
Oha, da klingelt es leise im Hinterstübchen. 😅 Ich meine das hatten wir damals auch in Mathe. Leider nie wieder gebraucht. Aber danke für die Wiederholung .
Viel spannender ist eigentlich die Frage, wie man überhauptmal ursprünglich auf einen so beweisbaren Zusammenhang kommt, der eine Summe einem direkt ausrechenbaren Term gleichsetzt. Der erste Entdecker konnte die Gleichheit ja nicht so auf diese Weise beweisen, weil er die andere Seite des Gleichheitszeichens noch gar nicht kannte.
Hier eine mögliche Herleitung: S=1/2+2/2²+3/2³+...+n/(2^(n)) 2*S=1+1+3/2²+...+n/(2^(n-1)) S=2*S-S=1+1/2+1/2²+1/2³+... ...+1/(2^(n-1))-n/(2^(n))= =(1-1/(2^(n)))/(1-1/2)-n/(2^(n))= =2-2/(2^(n))-n/(2^(n))= =2-(n+2)/(2^(n)) Bei der Herleitung habe ich Teleskopsumme und die sogenannte geometrische Summe verwendet.
Leider für mich als sehbehinderten nur schwer nachvollziehbar weil du selten die Angabe, gleichungs Teile und zwischenergebnisse vorliest, wäre vielleicht auch für den normalsterblichen hilfreich
@@davex2444 ja hatte mich interessiert weil ich jetzt im Wintersemester mit meinem Informatik Studium anfange 😅. Was studierst du genau und wie gut warst du in der Schule in Mathe? Wie viel lernst du so täglich/pro Woche? 👀 Hab echt n bissel Angst vorm Studium auch wenn ich immer ganz gut in Mathe war und mich fürs Thema wirklich sehr interessiere 😅
Danke! Liebe Susanne, ein top anspruchsvolles Video. Mathematische Beweise faszinieren mich immer wieder. Vor allem, wenn sie von Dir so toll strukturiert erklärt werden. Danke für Deine Mühe und viele Grüße ! Aber jetzt mache ich kein Mathe mehr, sondern einen schönen Spaziergang in der Sonne.
Was in diesem Video fehlt ist, wenn die IA nicht stimmt bzw. wenn man in der IS nicht auf den IV kommt. Dann stimmt nämlich die Gleichung nicht! Solche Beispiele können natürlich auch im Studium vorkommen. Da rechnet man zu Hause stundenlang, um im IS auf die IV zu kommen, nur dass man dann erst in der nächsten Übungsstunde draufkommt, dass die Gleichung gar nicht stimmt!
Ich habe davon noch nie etwas gehört geschweige denn gesehen. Du schaffst es immer wieder solch Themen, selbst einem absoluten Matheidioten wie mir, so zu vermitteln das ich es verstehe.😊😊 Glückwunsch noch zu über 250.000 Abonnenten, wenn es so weiter geht schaffst du dieses Jahr noch locker die 500.000. Würde mich sehr für dich freuen.😊😊🤗
vielen Dank liebe Susanne, so wie du mich durch Abitur begleitet hast, begleitest du mich jetzt durch Das Studium und zwar ERFOLGREICH. Bin dir sooo unfassbar dankbar. Einen Wunsch hätte ich allerdings noch und da bin ich anscheinend nicht der einzige, MACH BITTE MEHR UNIMATHE VIDEOS
Es ist sicher eine gute Uebung ,die Formel mit vollständiger Induktion zu beweisen . Es wäre aber auch gut ,zu zeigen , wie man diese Formel einfach durch ableiten der Formel für eine endliche geometrische Reihe bekommt .
Das Problem an der Induktion ist, dass es sich nicht nur auf ein Thema beschränkt, und zwar auf die Induktion. Sondern man muss halt viel umformen dies das. Da braucht man echt viel Mathematisches Wissen meiner Meinung nach. Potenzgesetze, binomische Formeln usw. Das macht es echt knifflig
Muss ehrlich sagen ich war immer sehr verwirrt mit Induktion und hab jetzt mein Mathe Modul an der Uni wiederholt und dieses eine Video hat alle meine Fragen beantwortet. Super strukturiert, sehr gut erklärt und vor allem aber auch Schritt für Schritt alles durchgegangen damit keine Zweifel bleiben. Danke und jetzt heißt es nur noch üben ;9
Mir geht es gerade genauso, Mathe 1 beim ersten Mal nicht bestanden (war auch schlecht vorbereitet) Und nun wiederhole ich das Modul und habe mit diesem Video endlich die Induktion verstanden. Vielen vielen Dank für diese tolle Erklärung! Jetzt noch Matrixrechnung und dann sollte die Klausur klappen. Komplexe Zahlen verstehe ich zum Glück schon :) Vielen Dank für die tollen Videos!
Könntest Du Beispiele zeigen, bei denen die Induktion NICHT aufgeht - und zwar verschiedener Art: 1) Es existiert ein n, sodass IV gilt - aber die Induktion geht nich auf und 2) Die Gleichung für das erste n nicht gilt, aber sich ein "späteres" findet... und doch die Induktion nicht aufgeht?... etc. etc. - man könnte nämlich den Eindruck gewinnen, dass es IMMER so wäre als würde die Induktion aufgehen, wenn man es für n=1 bewiesen hat. Oder tut es das?
Nein. Das tut es nicht. 1) Die Summe von 1 bis n ist gleich dem Quadrat von n für alle positiven ganzen Zahlen, wäre ein Beispiel. Die Summe von 1 bis n für n = 1 ist 1. das Quadrat von ost 1 für n = 1. Damit ist der Anfang erledigt. zum Induktionsschritt müste man nun zeigen, dass die Summe über die Zahlen von 1 bis n+1 gleich dem Quadrat von n+1 ist. Das erste wäre nach IH n²+n+1. Das zweite ist (n+1)²=n²+2n+1. n²+n+1=n²+2n+1 gilt aber nur, wenn n=0, also nicht einmal für 1 und generell nicht für alle natürlichen Zahlen. 2) Die (Summe über die natürlichen Zahlen von 1 bis n) plus 2 ist gleich dem (Quadrat von n) plus 1. Das gilt nicht für n=0 un dauch nicht für n=1 aber es gilt für n=2. Die Induktion geht aber wieder nicht auf. Denn nach IV wäre die Summe von 1 bis n+1 gleich n²+1+n+2 = n²+n+3 und das ist nur für n=1 gleich (n+1)²+1=n²+2n+2.
Wenn man WiWi studiert, den ganzen Tag schon an Wirtdchaftsmathe saß und sich jetzt um 22:23 freiwillig im Feierabend Mathevideos von Susanne reinzieht. Danke, dass du so vielen von uns die Faszination der Mathematik näher bringst!
Super Kanal, gefällt mir, bin selber (Fast-Renter) Physiker, manches ist einfach, manches aber auch nicht, toller Beitrag zur mathematischs naturwissenschaftlichen Bildung, gerne mehr
Danke für das Video. Ich habe das früher in der Schule immer hingenommen, aber nie richtig verstanden. Der zweite Schritt, die Induktionsvoraussetzung, bereitet mir von der Logik her 'Bauchschmerzen'. Im ersten Schritt habe ich doch erst gezeigt, dass die Gleichung für das erste n gilt. Wie kann ich jetzt daraus voraussetzten, dass ich die Gleichung, die ich auf Richtigkeit hin beweisen möchte, ab sofort benutzen darf? Und wenn ich sie benutzen darf, wäre sie dann nicht schon gültig? Ich habe früher nie verstanden, wie das als Beweis durchgehen kann. Vielleicht kann mir das hier jemand erklären? Danke im Voraus.
Im induktionsschritt wird gezeigt: Wenn die Behauptung für n stimmt, dann stimmt sie auch für n + 1 . Mit dem Induktionsanfang stimmt sie für n = 1 , dann stimmt sie auch für das nächste n, also 2 und das nächste ...
@@sz1281 Danke für die Rückmeldung. Aber vor dem Induktionsschritt stelle ich doch in der IV die Gültigkeit der Gleichung schon voraus. Zu dem Zeitpunkt weiß ich doch noch gar nicht, ob die Gleichung auch für beispielsweise n=5 noch gilt. Ich benutze also eine Gleichung, von der ich nicht sagen kann, dass sie für jedes n gültig ist um mit ihr zu beweisen, dass sie für jedes nachfolgende n gültig ist. Das ist so, als ob man ein Wort erklären will und dabei das Wort selber benutzt. Mathematisch akzeptiere ich die Vorgehensweise ja, nur logisch ist das für mich nicht.
@@Zenadriel Ganz einfach: Du nimmst mal die IV als korrekt an und dann rechnet man im IS solange herum bis man auf die IV kommt! Das was in diesem Beispiel nicht gezeigt/gesagt wurde ist, wenn man im IS nicht auf die IV kommt (und man sich nicht verrechnet hat), sondern eben auf was komplett anderes: Dann hast du bewiesen, dass die Gleichung nicht stimmt! Übrigens auch schon wenn die IA nicht stimmt, dann braucht man die IV und IS gar nicht erst machen!
@@walter_kunz Ach so, die Voraussetzung ist somit nur eine Annahme, wie beim Indirekten Beweis, wo man beweist, dass die Annahme falsch und damit das Gegenteil richtig sein muss. Ja ok, das würde Sinn machen. Danke.
@@Zenadriel Entscheidend ist der Schritt. Wenn die Gleichung für ein beliebiges n stimmt (Annahme), dann stimmt sie auch für die nächste Zahl n + 1. Mit dem Induktionsanfang folgt dann die Richtigkeit dieser Annahme. Da war ich wohl zu langsam ...
Absoluter Gamechanger! Unglaublich hilfreich für die kniffligen Induktions-Aufgaben in der Klausur. Top erklärt! Bitte mehr Videos zu Klausuraufgaben - die sind Gold wert!
Wieder ein tolles Video. Bei der Induktionsvoraussetzung geht leider ein bisschen unter, dass man diese nur dann anschreiben kann, wenn man tatsächlich mindestens EIN n gefunden hat, für das die Gleichung gilt. Die Gleichung selbst ist nicht die INduktionsvoraussetzung, sondern der Umstand, dass es ein n gibt. Sehe ich das richtig?
Ich mache gerade ein Schnupperstudium in Mathematik und es gefällt mir sehr gut. Ich bekomme dadurch, und durch deine Videos, langsam ein grundlegendes Gefühl für Studienmathematik. Danke!😊
Hei Susanne, Sie faszinieren mich immer wieder! Ihre Art und Weise das Wissen zu vermitteln ist fantastisch! Vielen Dank! Liebe Grüsse vom Polarkreis 🇧🇻
Also beim Ansatz habe ich doch schon einiges vergessen, das Durchrechnen geht aber noch recht flot. (seit 2001 als Mathelehrer in Pension) Bin sehr froh, diese tolle Seite gefunden zu haben.
Eine wirkliche schöne Aufgabe nachvollziehbar erklärt. So verlieren auch komplexere Themen, vor denen man sich in der Schule vllt. gefürchtet hat, ihren Schrecken.
Hey Susanne, Ich danke dir vielmals für deine Videos. Dank dir fällt mir das Informatik Studium schon viel leichter hahaha. Ich hätte dennoch eine Bitte.... Unzwar ich habe keine ahnung wie dieses umformen funktioniert und woher ich weiß was ich darf und was nicht... Kannst mir da vlt was raten ?
Super erklärt.Trotz Abi habe ich 66 zum ersten mal begriffen, wie das funktioniert. Allerdings habe ich 2 gegen 2 gekürzt und mir die Umstellerei mit dem Minus erspart.
Wie ist es denn wenn man nicht mit Summen arbeitet? Z.B. 1+4+7... + (3n-2) = 1/2n*(3n-1). Da kann ich ja nicht die Summe aufteilen oder? Ich habe da nicht ganz verstanden warum hier auch und wie die Summe aufgeteilt wird. :/
@MathemaTrick Der Schritt bei 13:06 ist didaktisch sehr wertvoll, jedoch wenn man die 2 "festhält" also abdeckt mit einer Hand, dann sieht man, dass der erste Bruch negativ ist und somit der zweite Bruch dem ersten abgezogen wird. :) Danke für das Video!
2+((n+1)-2(n+2))/(2^(n+1)) = (?) 2- ((n+3)/(2^(n+1)) (1) folgt, die 2 und was im Nenner steht werde ich hier nicht erwähnen, so: (n+1)-2n-4 = -(n+3) (2) folgt: -n-3 =-(n+3) (3) folgt: -(n+3)= -(n+3) 🤗
Ein kleiner Einwand. Ich kenne die vollständige Induktion in einer anderen Reihenfolge. 1.: Annahme, die Formel sei für jedes n richtig. 2.: Beweis, dass die Formel unter dieser Annahme auch für n+1 gilt. 3.: Zeigen, dass die Formel für n = 1 gilt. Damit stimmt die Annahme. Formal kann man natürlich so vorgehen, wie im Video gezeigt. Aber der heikle Punkt, dass man zunächst von einer Annahme ausgeht, wird umschifft. Beispielsweise wird in 8:53 gesagt: "das dürfen wir jetzt ersetzen." Aber die Richtigkeit der Formel wurde zuvor nur für n = 1 gezeigt.
Also wie Sie mit einfachsten Plus Minus Berechnungen umgehen , als ob man einem Matheproffeseur während des Lösens einer schweren Aufgabe erklären muß , daß 2 +2 = 4 wäre ... denn wenn man nicht so erklären würde , könnte es sein, das der Professor nicht weiß, daß 2 +2 vier wird .... wir haben während der Schulzeit zu Beginn des Bruchrechnens ( als 14 jähriger Schüler) das Addieren und Substrahieren von Brüchen gelernt , so dass man als 17 -18 jährige nicht mehr in Details berechnen musste ( so zu sagen aus dem Kopf das Ergebnis wusste ) ... das verlangsamt meines Erachtens die Kreativität des Menschens bei der Mathe ... oder ?
Wieso darf man die Induktionsvorraussetzung allgemein verwenden, wenn man nur für n=1 bewiesen hat, dass die Gleichung stimmt. Theoretisch könnte die Gleichung bei n=2 nicht aufgehen, deshalb frage ich mich weshalb man diesen Schritt machen darf?
wenn ich hier schon wieder immer kleine Fehler mache und neues lerne (bzw. altes/ verlorenes Wissen reaktiviere); kann ich dann in Mathe-Kursen auf Uni Niveau überhaupt bestehen? Ich kann mich zwar gut reinfuchsen, aber ich schüttele das nicht easy aus dem Ärmel, sondern musste das mühevoll nachvollziehen. Ist das normal oder ist mein math. Leistungsniveau viel zu schwach?
Was ist wenn mein beim IS nicht das selber rausbekommt was zu zeigen war. Ich bekomme mehrmals ähnliche Lösungen aber nicht die selben. Ich muss aber auch sagen die Aufgabe benimmt ist etwas komplexer als im Video.
Bei sowas habe ich den IA oft für n = 0 gemacht, weil die Aussage oft auch noch für n = 0 galt und dafür noch einfacher zu zeigen war als für n = 1 - wäre hier auch der Fall gewesen: Links steht dann eine Summe von k=1 bis 0. Wenn die obere Grenze kleiner als die untere ist, hat man eine Summe ohne Sumannden - eine sogenannte "leere Summe", die immer 0 ist. Und wenn man rechts 0 für n einsetzt, kommt auch 0 heraus. Und was für alle natürlichen Zahlen zzgl. 0 gilt, gilt insbesondere für alle natürlichen Zahlen. ;-)
genau das dachte ich gerade auch. ich suchte mir bei solchen aufgaben immer das einfachste n aus, welches die zu beweisende aussage sicher stellt. hier also die 0. aber da sind die geschmäcker verschieden: die einen überlegen einen augenblick, um rechenschritte zu sparen, die anderen rechnen einen augenblick, um nicht so genau überlegen zu müssen......
@@KarlHeinzSpock So einfach ist es nicht. Es ist notwendig mit dem kleinsten n zu beginnen. Sonst gilt die Aussage nur für das "einfachste n" und alle n, die größer sind als das "einfachste n". (Würde man per Induktion zeigen wollen, dass für alle natürlichen Zahlen gilt, dass sie größer als 5 sind und der Einfachheit halber bei n=6 beginnen, hätte man einen falschen "Beweis".) Sollte damit gemeint sein, man prüft die ersten n alle der Reihe nach als Induktionsanfang und wendet den Induktionsschritt erst bei einem geeigneten "einfachen n" an, sollte man das auch verständlich formulieren. Noch ein Hinweis: Man geht eher davon aus, dass die 0 eine natürliche Zahl ist, die meisten (Professoren) schreiben die Peano-Axiome so und die DIN 5473 ist so formuliert. (Auch wenn es dazu unterschiedliche Meinungen gibt.)
Nein, so kannst du das nicht machen, weil du den Induktionsschritt nicht durchführst. Wenn du im Induktionsanfang n=0 verwendest bekommst du im Induktionsschritt summe = 0 + summe, wenn du es für (0+1), also dem nachfolger von 0, bestimmen willst und das ist trivial und für (n>0) erhläst du eine ungütige Aussage. Mein Mathelehrer hat das so erklärt : Im IA beweist man, das es für ein ich sag mal vernütiges n (n=0 ist kein vernünfigtes n, da n=0 nicht Teil der Summe ist) gilt. Im Induktionsschritt beweist man dann, das die Formel für alle Nachfolger gilt, was hier mit (n+1) ausgedrückt wird. alle Nachfolger ist deswegen so wichtig, dass man sich das verinnerlicht, denn eine fiktive Formel könnte z.B. nur für die Menge der ungeraden Zahlen gelten und dann ist der Nachfolger nicht n+1, sondern n+2.
Man sollte bei solchen "Tricks" natürlich immer wissen, was man tut ... und den IA selbstverständlich immer so wählen, dass er zusammen mit IV und IS den Beweis für alle n liefert, für die er verlangt ist. Im konkreten Fall bedeutet das, dass es legitim ist, den IA für n = 0 anstelle von n = 1 zu machen; denn alles, was für n ≥ 0 gilt, gilt insbesondere für n ≥ 1. Den IA für n = 3 zu machen wäre dagegen nicht in Ordnung, weil der Beweis dann für n = 1 und n = 2 fehlen würde. Hier ist es völlig in Ordnung, den IA mit n = 0 zu machen; da kommt auch nichts Ungültiges raus. Eine Summe mit Obergrenze < Untergrenze ist eine sogenannte leere Summe und immer 0, weil sie einfach keinen Summanden hat. Aber selbst wenn du das nicht benutzen möchtest, kann man leicht sehen, dass 0 heraus kommt, wenn man k = 0 setzt. Daraus folgt, dass die Summe von k = 1 bis n über k/2^k und die Summe von k = 0 bis n über k/2^k für alle n identisch sind. Und dann kannst du den IA für n = 0 machen, ohne eine leere Summe zu erhalten. Und das mit dem IS verstehe ich nicht - der IS ändert sich doch durch den anderen IA in keinster Weise. Beim IS willst du ja nicht konkret von 0 auf 1, sondern von einem beliebigen n, für das die Behauptung per IV stimmt, auf seinen Nachfolger (hier n+1) schließen. Und solange du dabei nicht durch n teilst oder sonst irgendetwas tust, das für n = 0 verboten ist, ist doch alles gut. Bei uns gab's mal eine Induktionsaufgabe, wo die Gleichung für alle n außer der 4 stimmte. Den Beweis mussten wir erbringen, indem wir n = 1, n = 2 und n = 3 direkt einsetzten und für n ≥ 5 vollständige Induktion machten. Da mussten wir den IA mit n = 5 machen und im IS auch an einer Stelle benutzen, dass n ≥ 5 sein musste.
@@teejay7578 Ok, für diese Beweis haste gewonnen ;) Mir war nicht bewusst das 0 auch teil der Lösung ist, wenn die Summe bei 0 beginnt. Aber was ich definitiv kritisiere ist, dass du dir das Ausrechnen der Summe für einen bestimmten Wert ersparen willst. Das kann definitiv schief laufen. Beispiel : Summe von 1 bis n über (2k-1) = n*n. Die Formel besagt nichts anders, als dass die Summe ungerader Zahlen >0 eine Quadratzahl ergibt. Nach deiner Methode mit der leeren Summe wäre sogar 0 Lösung, denn 0*0 ist 0. Gut, wenn nun 0 auch Teil der Lösung ist, sollte man meinen, dann kann man auch die Summe bei 0 beginnen lassen. Aber 2*0-1=-1 und das das ist nun offensichtlich nicht 0. Nun könntest du argumentieren, das die Summe ja nicht bei 0 beginnt, aber 0 widerstrebt der Aussage, die die Formel treffen will, eben die Summe ungerader Zahlen >0 ergibt immer eine Quadratzahl.
Bei vollständiger Induktion muss ich immer an einen Kochtopf denken, der flächenmäßig genau bis zur Begrenzung des Kochfeldes geht und dann durch Induktionshitze erwärmt wird...
Bin in Klasse 8 und war vor einer Woche bei einem Mathematik-Seminar. Dort wurde auch die vollständige Induktion erklärt. Ist eigentlich relativ simpel, wenn man es einmal verstanden hat. Dieses Video ist gut um nochmal mehr Beispiele zu sehen :)
Krass, dass du dich bereits in der 8. Klasse mit solchen Themen auseinandersetzt. Willst du dann auch beruflich in so eine Richtung gehen oder hast du dir darüber noch keine Gedanken gemacht?
@@MathemaTrick ich hab mir noch keine genauen Gedanken über meine Berufswahl gemacht, bin mir aber ziemlich sicher, dass es irgendwo in den Mint-Bereich gehen wird :)
Beim Induktionsanfang dürfte es eigentlich keine Rolle spielen, für welches Element man die Behauptung beweist, oder? Das müßte doch mathematisch sauber in beide Richtungen gelten. Wenn für jedes Element ein Nachfolger existiert, für den das Gleiche gilt, dann ist das bewiesene Element Nachfolger des Vorgängers, also muß es im Umkehrschluß auch für den Vorgänger gelten. Oder täusche ich mich da? Die Induktionsvoraussetzung formuliert ja auch genau das: "Es existiert _ein_ Element für das gilt..."
@@Kind-Honeydew193 Wenn ich beweise, daß die Behauptung für n gilt und auch für n+1, dann ist das bewiesene Eingangselement auch n+1 für das Vorgängerelement n.
Susanne, könntest du mal beschreiben in einem deiner Videos, wie eine mündliche Mathematikprüfung an der Uni (für bspw. LAAG/Geometrie/Algebra) abläuft im Vergleich zu den schriftlichen Semesterprüfungen? Ich denke viele angehende Mathematikstudenten würde das interessieren.
@@freddykisback123 Das ist nicht richtig. Bei uns waren bis auf eine Ausnahme alle Matheprüfungen mündlich, egal ob Erstversuch oder Wiederholungsprüfung.
Grundlegend können die Profs ihre Prüfungen sehr unterschiedlich gestalten. Manche fokusieren sich auf ein, zwei größere Beweise, die man dann sehr detailliert durchspricht. Die meisten möchten aber eher ein Überblick über das gesamte Semester durchnehmen. Da hat man dann viele kleine Beweise und Erklärungen drin.
@@diverlady5860 Wie soll den eine Uni so 200+ Studis prüfen, da hat doch kein Prof bock und zeit für und schiebt das dann an sein wissenschaftliches Kleinzeug ab. Bei euch müssten dann außerdem ein paar hohe Hirschfaktors rumschleichen wenn man mal so unnötig hart aussortieren kann. Bei uns liegen die Ausgerasselten bei 55% bis 65%, mündlich only setzt da bestimmt noch einen drauf.
@@freddykisback123 Wir sind halt ein kleiner Studiengang an einer kleine Uni. Selbst in den Grundvorlesungen haben wir keine so hohe Durchfallquote. Vielleicht ist es aber an den großen Uni doch so anders. Ich bin auf jeden Fall sehr zufrieden mit unseren Prüfungen. Die Professoren nehmen jede Prüfung persönlich ab. Sie sind in den meisten Fällen auch sehr hilfreich, also geben Tipps wenn man nicht weiterkommt und ziehen dafür dann je nach Größe des Hängers entsprechend bei der Note ab.
Die Existenz mindestens eines (dazu noch unbekannten) n mit den gewünschten Eigenschaften ist für die Induktionsvoraussetzung unzureichend, da man die Anzahl der Elemente der Menge der natürlichen Zahlen, für die die Behauptung gilt im Induktionsschritt erhöhen möchte. Das ist zwar mit deinem Induktionsschluss nicht ausgeschlossen, aber auch nicht gesichert. Üblicherweise enthält die Induktionsvoraussetzung alle natürlichen Zahlen, für die die Behauptung gilt, hier also: exists N in setN, forall n in setN^{
Danke, Du hast meinen Tag gerettet. Ich habe genau das mit dem Minus nicht gemacht und habe dann erstaunlicherweise das Ergebnis nicht hinbekommen ... Bei uns war das nur ne Übungsaufgabe. Ich hatte auch die Lösung - aber natürlich nur runtergeschrieben. Warum man das, was ich versucht habe nicht machen darf, habe ich nicht verstanden. Und wenn ich ehrlich bin verstehe ich das immer noch nicht. Wir sollen ja von der linken Seite uns zur Rechten Seite bewegen. Und wenn ich mir beide Formeln so anschaue, dann steht da links 2-x+y und rechts steht 2-z. Also muß doch x+y = z sein. Aber wenn ich versuche einfach x+y zu z zu bringen, dann funktioniert das eben genau nicht. Hast Du da noch ne knackige Erklärung dazu? Glücklicherweise habe ich jetzt verstanden, daß man bei Brüchen mit einem - davor das eben lassen sollte. So wurde es auch in der Musterlösung genau gemacht.
Hallo Susanne, super erklärt! In unseren Modulen ist die Null laut DIN5473 in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Nun muss ich die Induktion mit Null beginnen ∧ mit n+1 ∨ n-1 weitermachen ? Ich habe mich jetzt mal schlauer gemacht ∧ ich nehme alle Fragen zurück Induktion mit 1 wenn nicht anders vorgegeben ∧ Domino n+1 😊
Ich studiere Berufsqualifiziert Maschinenbau und habe wie warscheindlich viele andere das Problem das Mathe mit einem Quali Abschluss einfach eine bescheidene Basis dafür ist. Ich möchte dir einfach mal danken ohne deine Videos würde ich regelmäßig verzweifeln, es gibt wenig Leute die das so gut erklären wie du. Du machst das echt super, alles gut dir und danke danke danke für deine Arbeit hier.
Ich bin überrascht, dass an der Uni Hamburg die Beweismethode in der Klausur angegeben ist. Meine Klausuren sahen so aus: Zeigen Sie dass, .... Ganz selten stand da: Berechnen Sie ... Man muss doch als Student selbst drauf kommen, wie man einen Satz beweisen kann.
Beweise in der Mathematik waren bzw. sind für mich immer ein Buch mit sieben Siegeln.... - trotz der sehr anschaulichen Erläuterung hier. Wenn ich das alleine machen müßte, wäre das wieder für mich zum Haareraufen...
Du hast mich grad vor einem nervlichen Zusammenbruch gerettet not gonna lie. Mein Mathedozent ist einfach zu unfähig um das so gescheit zu erklären wie du...
Lösung: Ich zeige zuerst, das obige Behauptung für n = 1 gilt. 1 Linke Seite: ∑(k/2^k) = 1/2^1 = 1/2 k=1 Rechte Seite: 2-(1+2)/2^1 = 2-3/2 = 1/2. Beide Seiten sind gleich, also gilt die Behauptung für n = 1. Nun beweise ich, dass die obige Behauptung für n+1 gilt unter der Voraussetzung, dass die obige Behauptung für n=1 gilt: n+1 ∑(k/2^k) = 2-(n+1+2)/2^(n+1) muss gelten. k=1 Es gilt nach Voraussetzung: n ∑(k/2^k) = 2-(n+2)/2^n. k=1 Nun ist: n+1 n ∑(k/2^k) = ∑(k/2^k) + (n+1)/2^(n+1) = 2-(n+2)/2^n + (n+1)/2^(n+1) k=1 k=1 = 2-2*(n+2)/(2*2^n)+(n+1)/(2*2^n) = 2-[2*(n+2)-(n+1)]/(2*2^n) = 2-[2n+4-n-1]/(2*2^n) = 2-[n+3]/(2*2^n) = 2-(n+1+2)/2^(n+1) q.e.d. Nun gilt also die obige Behauptung für n+1 unter der Voraussetzung, dass sie für n=1 gilt. Ich habe im Anfang bewiesen, dass die obige Behauptung für n=1 gilt, dann gilt sie also auch für n+1 = 1+1 = 2. Wenn sie aber für n=2 gilt, dann gilt sie auch für n+1 = 2+1 = 3. Wenn sie aber für n=3 gilt, dann gilt sie auch für n+1 = 3+1 = 4. Usw., q.e.d.
![Yailin La Mas Viral, @kreizyk.official - Dale 2 (Remix) [Video Oficial]](http://i.ytimg.com/vi/JaYHBzgqz94/mqdefault.jpg)
*Mein komplettes Equipment*
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Da sage ich mal danke für das beherzigen der Themenwünsche! :)
Wieviel Vorarbeit benötigt das Video? Ist so schwer vorstellbar dass das direkt aufgenommen werden kann, die Rechnung so leicht von der Hand geht und alles beim ersten Mal stimmt :). Das sieht immer zu leicht aus. Als wäre alles sofort so offensichtlich und selbstverständlich. Vielleicht mal ein Outtake Video^^.
ich bin im mathematischen denken zu hilfsbedürftig um für die gruppe ein gewinn zu sein, würde trotzdem gern mitglied werden, problem: kein online banking
Bis auf ein paar Kleinigkeiten erklärst du es tadellos. Schőn intelligent und sympathisch. Geht nicht besser 👍
Super!
Danke, dass du auch an Studenten denkst!
So gut hat bisher noch niemand die Induktion erklärt!
Ganz simple Rechnung, überhaupt kein Problem und die Lösung ist auch selbsterklärend...
dennoch super Video 👍
Letzte Woche Hatten Wir Mathe Klassenarbeit Geschrieben (Eine Jahresarbeit Das İst Eine Arbeit İn Dem Alle Themen Des Jahres Rankommen) Und İch Habe Zwar 2 Fehler Aber Bei Der Zusatzaufgabe Habe İch 3 Punkte Und Deshalb Habe İch 1+ Teils Durch Deine Videos, Danke
Super Video, vielen Dank dafür! Ich muss sagen, seitdem ich deinen Kanal kenne, fallen mir diese Aufgaben deutlich leichter. Was mich hier am Meisten ins Ruder gebracht hat, war dieses - zwischen 2 und den zwei folgenden Termen, ich bin nämlich bei 2 - (3n+5)/(2^n+1) gelandet, was leider so garnicht zum gewünschten Ergebnis geführt hat.
Hey Chris, schön zu hören, dass dir meine Videos was bringen! Stück für Stück lernt man immer mal was dazu und merkt erst gar nicht wie man immer besser wird.
@@MathemaTrick sehe ich genauso. Vor allem die schwierigen Aufgaben (bei dir meist unter schwierig, Uni Klausur, .. ) bringen mich wirklich weiter. Wenn du möchtest und noch neue Aufgaben suchst, schicke ich dir von der Uni Ulm ein paar Altklausuren aus dem Fach Analysis für Ingenieure und Informatiker. Die waren auch immer ziemlich knackig. :)
@@chrisbirkenmaier2277 Ja klar, kannste mir gerne entweder per Mail an info@mathematrick.de oder über Instagram @mathema_trick schicken. Vielleicht ist dort ja was Passendes für ein Video dabei.
Super erklärt, Daumen rauf :-)
Hahaha.. wie immer tolles Video. Ich kam irgendwie nicht mehr weiter, weil ich nicht wirklich auf dieses Minus Zeichen geachtet habe 😅😅
Wiedermal ein sehr schönes Video. Vielleicht wäre noch der Hinweis gut gewesen das der Induktionsanfang auch sehr oft als "Verankerung" und der Induktionsschritt sehr oft als "Vererbung" bezeichnet werden. Nur um Verwirrung vorzubeugen... 😉
Vielen Dank
Oha, da klingelt es leise im Hinterstübchen. 😅 Ich meine das hatten wir damals auch in Mathe. Leider nie wieder gebraucht. Aber danke für die Wiederholung .
Sind Sie nicht die Saengerin? Ich habe ihre lied gehört auf youtube? Wie klug sie sind! Cool. 👏👏
Hallo, wo ist denn das Summen Symbol (Sigma) ordentlich definiert? LG!
Viel spannender ist eigentlich die Frage, wie man überhauptmal ursprünglich auf einen so beweisbaren Zusammenhang kommt, der eine Summe einem direkt ausrechenbaren Term gleichsetzt. Der erste Entdecker konnte die Gleichheit ja nicht so auf diese Weise beweisen, weil er die andere Seite des Gleichheitszeichens noch gar nicht kannte.
Hier eine mögliche Herleitung:
S=1/2+2/2²+3/2³+...+n/(2^(n))
2*S=1+1+3/2²+...+n/(2^(n-1))
S=2*S-S=1+1/2+1/2²+1/2³+...
...+1/(2^(n-1))-n/(2^(n))=
=(1-1/(2^(n)))/(1-1/2)-n/(2^(n))=
=2-2/(2^(n))-n/(2^(n))=
=2-(n+2)/(2^(n))
Bei der Herleitung habe ich Teleskopsumme und die sogenannte geometrische Summe verwendet.
Wobei: Sorry, das Wort Teleskopsumme nehme ich zurück (da ist ja keine drin), aber geometrische Summenformel schon.
was für eine app ist das? sieht nach goodnote aus.
das hatten wir in der Schule vor 40 Jahren noch nicht ...
Ich schon. :-)
Mehr davon
herrlich, fast wie urlaub in tschechien: lauter böhmische dörfer :)
Leider für mich als sehbehinderten nur schwer nachvollziehbar weil du selten die Angabe, gleichungs Teile und zwischenergebnisse vorliest, wäre vielleicht auch für den normalsterblichen hilfreich
Wenn ich meine Mathe 1 Klausur bestanden habe gibts nh Spende 😜
Ok, machen wir so! 😜 Dann wünsche ich dir ganz viel Erfolg, du packst das! 😉
@@MathemaTrick Danke 🙌🏼
@@MathemaTrick Das wird dann wohl nh Spende 🥳
@@Jacksy1967 Hehe, herzlichen Glückwunsch auf jeden Fall! 🥳 Stark gemacht!
Gerne mehr Uni-Mathe, ich steige in Wintersemester ein und prognostiziere mir kleine Startschwierigkeiten. Daher genau richtig!
Wie sieht’s aus?
@@alphabackfisch1148 Voll lieb, dass du nachfragst
@@davex2444 ja hatte mich interessiert weil ich jetzt im Wintersemester mit meinem Informatik Studium anfange 😅. Was studierst du genau und wie gut warst du in der Schule in Mathe? Wie viel lernst du so täglich/pro Woche? 👀
Hab echt n bissel Angst vorm Studium auch wenn ich immer ganz gut in Mathe war und mich fürs Thema wirklich sehr interessiere 😅
@@alphabackfisch1148ich studiere ab diesem Monat auch Info :)
@@alphabackfisch1148 und alles gut?
Danke! Liebe Susanne, ein top anspruchsvolles Video. Mathematische Beweise faszinieren mich immer wieder. Vor allem, wenn sie von Dir so toll strukturiert erklärt werden. Danke für Deine Mühe und viele Grüße ! Aber jetzt mache ich kein Mathe mehr, sondern einen schönen Spaziergang in der Sonne.
@Vorname Nachname Niemand
@@xetras8107 Danke schön!
Was in diesem Video fehlt ist, wenn die IA nicht stimmt bzw. wenn man in der IS nicht auf den IV kommt.
Dann stimmt nämlich die Gleichung nicht!
Solche Beispiele können natürlich auch im Studium vorkommen.
Da rechnet man zu Hause stundenlang, um im IS auf die IV zu kommen, nur dass man dann erst in der nächsten Übungsstunde draufkommt, dass die Gleichung gar nicht stimmt!
Ich habe davon noch nie etwas gehört geschweige denn gesehen. Du schaffst es immer wieder solch Themen, selbst einem absoluten Matheidioten wie mir, so zu vermitteln das ich es verstehe.😊😊
Glückwunsch noch zu über 250.000 Abonnenten, wenn es so weiter geht schaffst du dieses Jahr noch locker die 500.000.
Würde mich sehr für dich freuen.😊😊🤗
@Vorname Nachname dort bin ich auch einer, das weiß ich. Spar dir einfach solch Kommentare oder denk sie dir einfach. Danke.😊
Die 500.000 habe ich nun tatsächlich geschafft, dankeschön für den Support!
Sehr gut und verständlich erklärt!
Gerne mehr Uni Mathe :)
vielen Dank liebe Susanne, so wie du mich durch Abitur begleitet hast, begleitest du mich jetzt durch Das Studium und zwar ERFOLGREICH.
Bin dir sooo unfassbar dankbar. Einen Wunsch hätte ich allerdings noch und da bin ich anscheinend nicht der einzige, MACH BITTE MEHR UNIMATHE VIDEOS
Es ist sicher eine gute Uebung ,die Formel mit vollständiger Induktion zu beweisen . Es wäre aber auch gut ,zu zeigen , wie man diese Formel einfach durch
ableiten der Formel für eine endliche geometrische Reihe bekommt .
Das Problem an der Induktion ist, dass es sich nicht nur auf ein Thema beschränkt, und zwar auf die Induktion. Sondern man muss halt viel umformen dies das. Da braucht man echt viel Mathematisches Wissen meiner Meinung nach. Potenzgesetze, binomische Formeln usw. Das macht es echt knifflig
Muss ehrlich sagen ich war immer sehr verwirrt mit Induktion und hab jetzt mein Mathe Modul an der Uni wiederholt und dieses eine Video hat alle meine Fragen beantwortet.
Super strukturiert, sehr gut erklärt und vor allem aber auch Schritt für Schritt alles durchgegangen damit keine Zweifel bleiben.
Danke und jetzt heißt es nur noch üben ;9
Mir geht es gerade genauso, Mathe 1 beim ersten Mal nicht bestanden (war auch schlecht vorbereitet) Und nun wiederhole ich das Modul und habe mit diesem Video endlich die Induktion verstanden. Vielen vielen Dank für diese tolle Erklärung! Jetzt noch Matrixrechnung und dann sollte die Klausur klappen. Komplexe Zahlen verstehe ich zum Glück schon :) Vielen Dank für die tollen Videos!
Vielen Dank für das Video, gerne mehr Uni Mathematik
Könntest Du Beispiele zeigen, bei denen die Induktion NICHT aufgeht - und zwar verschiedener Art: 1) Es existiert ein n, sodass IV gilt - aber die Induktion geht nich auf und 2) Die Gleichung für das erste n nicht gilt, aber sich ein "späteres" findet... und doch die Induktion nicht aufgeht?... etc. etc. - man könnte nämlich den Eindruck gewinnen, dass es IMMER so wäre als würde die Induktion aufgehen, wenn man es für n=1 bewiesen hat. Oder tut es das?
Nein. Das tut es nicht. 1) Die Summe von 1 bis n ist gleich dem Quadrat von n für alle positiven ganzen Zahlen, wäre ein Beispiel. Die Summe von 1 bis n für n = 1 ist 1. das Quadrat von ost 1 für n = 1. Damit ist der Anfang erledigt. zum Induktionsschritt müste man nun zeigen, dass die Summe über die Zahlen von 1 bis n+1 gleich dem Quadrat von n+1 ist. Das erste wäre nach IH n²+n+1. Das zweite ist (n+1)²=n²+2n+1. n²+n+1=n²+2n+1 gilt aber nur, wenn n=0, also nicht einmal für 1 und generell nicht für alle natürlichen Zahlen. 2) Die (Summe über die natürlichen Zahlen von 1 bis n) plus 2 ist gleich dem (Quadrat von n) plus 1. Das gilt nicht für n=0 un dauch nicht für n=1 aber es gilt für n=2. Die Induktion geht aber wieder nicht auf. Denn nach IV wäre die Summe von 1 bis n+1 gleich n²+1+n+2 = n²+n+3 und das ist nur für n=1 gleich (n+1)²+1=n²+2n+2.
Wenn man WiWi studiert, den ganzen Tag schon an Wirtdchaftsmathe saß und sich jetzt um 22:23 freiwillig im Feierabend Mathevideos von Susanne reinzieht. Danke, dass du so vielen von uns die Faszination der Mathematik näher bringst!
German is not my language and I understood everything anyway.
Danke!!
Bis auf ein paar Kleinigkeiten erklärst du es tadellos. Schőn intelligent und sympathisch. Geht nicht besser 👍
Super Kanal, gefällt mir, bin selber (Fast-Renter) Physiker, manches ist einfach, manches aber auch nicht, toller Beitrag zur mathematischs naturwissenschaftlichen Bildung, gerne mehr
Dankeschön, nach 45 Jahren eine Wiederholung! Mein Kopf hat sich gefreut, die Erinnerung kam zurück.
Danke für das Video. Ich habe das früher in der Schule immer hingenommen, aber nie richtig verstanden. Der zweite Schritt, die Induktionsvoraussetzung, bereitet mir von der Logik her 'Bauchschmerzen'. Im ersten Schritt habe ich doch erst gezeigt, dass die Gleichung für das erste n gilt. Wie kann ich jetzt daraus voraussetzten, dass ich die Gleichung, die ich auf Richtigkeit hin beweisen möchte, ab sofort benutzen darf? Und wenn ich sie benutzen darf, wäre sie dann nicht schon gültig? Ich habe früher nie verstanden, wie das als Beweis durchgehen kann. Vielleicht kann mir das hier jemand erklären? Danke im Voraus.
Im induktionsschritt wird gezeigt: Wenn die Behauptung für n stimmt, dann stimmt sie auch für n + 1 .
Mit dem Induktionsanfang stimmt sie für n = 1 , dann stimmt sie auch für das nächste n, also 2 und das nächste ...
@@sz1281 Danke für die Rückmeldung. Aber vor dem Induktionsschritt stelle ich doch in der IV die Gültigkeit der Gleichung schon voraus. Zu dem Zeitpunkt weiß ich doch noch gar nicht, ob die Gleichung auch für beispielsweise n=5 noch gilt. Ich benutze also eine Gleichung, von der ich nicht sagen kann, dass sie für jedes n gültig ist um mit ihr zu beweisen, dass sie für jedes nachfolgende n gültig ist. Das ist so, als ob man ein Wort erklären will und dabei das Wort selber benutzt. Mathematisch akzeptiere ich die Vorgehensweise ja, nur logisch ist das für mich nicht.
@@Zenadriel Ganz einfach: Du nimmst mal die IV als korrekt an und dann rechnet man im IS solange herum bis man auf die IV kommt!
Das was in diesem Beispiel nicht gezeigt/gesagt wurde ist, wenn man im IS nicht auf die IV kommt (und man sich nicht verrechnet hat), sondern eben auf was komplett anderes: Dann hast du bewiesen, dass die Gleichung nicht stimmt! Übrigens auch schon wenn die IA nicht stimmt, dann braucht man die IV und IS gar nicht erst machen!
@@walter_kunz Ach so, die Voraussetzung ist somit nur eine Annahme, wie beim Indirekten Beweis, wo man beweist, dass die Annahme falsch und damit das Gegenteil richtig sein muss. Ja ok, das würde Sinn machen. Danke.
@@Zenadriel Entscheidend ist der Schritt. Wenn die Gleichung für ein beliebiges n stimmt (Annahme), dann stimmt sie auch für die nächste Zahl n + 1.
Mit dem Induktionsanfang folgt dann die Richtigkeit dieser Annahme.
Da war ich wohl zu langsam ...
Absoluter Gamechanger! Unglaublich hilfreich für die kniffligen Induktions-Aufgaben in der Klausur. Top erklärt! Bitte mehr Videos zu Klausuraufgaben - die sind Gold wert!
Bei Frau Trick hört sich alles so einfach an. Rethorisch unübertroffen gut.
Wieder ein tolles Video. Bei der Induktionsvoraussetzung geht leider ein bisschen unter, dass man diese nur dann anschreiben kann, wenn man tatsächlich mindestens EIN n gefunden hat, für das die Gleichung gilt. Die Gleichung selbst ist nicht die INduktionsvoraussetzung, sondern der Umstand, dass es ein n gibt. Sehe ich das richtig?
ja, ab diesem n gilt die gleichung dann
Ich mache gerade ein Schnupperstudium in Mathematik und es gefällt mir sehr gut. Ich bekomme dadurch, und durch deine Videos, langsam ein grundlegendes Gefühl für Studienmathematik.
Danke!😊
Heilige scheiße... wie kann man sich diesen bullshit freiwillig antun?
Ich mache das Frühstudium für Physik momentan :) Muss leider das auch machen, aber fällt relativ einfach.
Hei Susanne,
Sie faszinieren mich immer wieder!
Ihre Art und Weise das Wissen zu vermitteln ist fantastisch!
Vielen Dank!
Liebe Grüsse vom Polarkreis 🇧🇻
Also beim Ansatz habe ich doch schon einiges vergessen, das Durchrechnen geht aber noch recht flot. (seit 2001 als Mathelehrer in Pension)
Bin sehr froh, diese tolle Seite gefunden zu haben.
Mathe Videos zur Uni sind immer sehr willkommen! Danke!
Bitte mehr Uni Mathe!!! Tolles Video, hat mir sehr geholfen!
Vielen Dank😀
Eine wirkliche schöne Aufgabe nachvollziehbar erklärt. So verlieren auch komplexere Themen, vor denen man sich in der Schule vllt. gefürchtet hat, ihren Schrecken.
scheiss thema aber top video, dankeschön
Endlich mal Uni Klausuren, perfekt
Sehr gut erklärt, vielen Dank 🙂
Der gemeine Fallstrick ist hier die unsichtbare -1, die sich im Zähler des ersten Bruchs versteckt.
Hey Susanne,
Ich danke dir vielmals für deine Videos.
Dank dir fällt mir das Informatik Studium schon viel leichter hahaha.
Ich hätte dennoch eine Bitte....
Unzwar ich habe keine ahnung wie dieses umformen funktioniert und woher ich weiß was ich darf und was nicht...
Kannst mir da vlt was raten ?
Top! Sowas haben wir noch letztens im Mathe-Lk (NRW) gemacht.
Super erklärt.Trotz Abi habe ich 66 zum ersten mal begriffen, wie das funktioniert. Allerdings habe ich 2 gegen 2 gekürzt und mir die Umstellerei mit dem Minus erspart.
Wie ist es denn wenn man nicht mit Summen arbeitet? Z.B. 1+4+7... + (3n-2) = 1/2n*(3n-1). Da kann ich ja nicht die Summe aufteilen oder? Ich habe da nicht ganz verstanden warum hier auch und wie die Summe aufgeteilt wird. :/
@MathemaTrick Der Schritt bei 13:06 ist didaktisch sehr wertvoll, jedoch wenn man die 2 "festhält" also abdeckt mit einer Hand, dann sieht man, dass der erste Bruch negativ ist und somit der zweite Bruch dem ersten abgezogen wird. :)
Danke für das Video!
Dankeschön. Ein höhere Mathematik 2 video wäre auch premium.
2+((n+1)-2(n+2))/(2^(n+1)) = (?) 2- ((n+3)/(2^(n+1)) (1) folgt, die 2 und was im Nenner steht werde ich hier nicht erwähnen, so: (n+1)-2n-4 = -(n+3) (2) folgt: -n-3 =-(n+3) (3) folgt: -(n+3)= -(n+3) 🤗
Ein kleiner Einwand. Ich kenne die vollständige Induktion in einer anderen Reihenfolge.
1.: Annahme, die Formel sei für jedes n richtig.
2.: Beweis, dass die Formel unter dieser Annahme auch für n+1 gilt.
3.: Zeigen, dass die Formel für n = 1 gilt. Damit stimmt die Annahme.
Formal kann man natürlich so vorgehen, wie im Video gezeigt. Aber der heikle Punkt, dass man zunächst von einer Annahme ausgeht, wird umschifft.
Beispielsweise wird in 8:53 gesagt: "das dürfen wir jetzt ersetzen." Aber die Richtigkeit der Formel wurde zuvor nur für n = 1 gezeigt.
Also wie Sie mit einfachsten Plus Minus Berechnungen umgehen , als ob man einem Matheproffeseur während des Lösens einer schweren Aufgabe erklären muß , daß 2 +2 = 4 wäre ... denn wenn man nicht so erklären würde , könnte es sein, das der Professor nicht weiß, daß 2 +2 vier wird .... wir haben während der Schulzeit zu Beginn des Bruchrechnens ( als 14 jähriger Schüler) das Addieren und Substrahieren von Brüchen gelernt , so dass man als 17 -18 jährige nicht mehr in Details berechnen musste ( so zu sagen aus dem Kopf das Ergebnis wusste ) ... das verlangsamt meines Erachtens die Kreativität des Menschens bei der Mathe ... oder ?
Wieso darf man die Induktionsvorraussetzung allgemein verwenden, wenn man nur für n=1 bewiesen hat, dass die Gleichung stimmt. Theoretisch könnte die Gleichung bei n=2 nicht aufgehen, deshalb frage ich mich weshalb man diesen Schritt machen darf?
wenn ich hier schon wieder immer kleine Fehler mache und neues lerne (bzw. altes/ verlorenes Wissen reaktiviere); kann ich dann in Mathe-Kursen auf Uni Niveau überhaupt bestehen?
Ich kann mich zwar gut reinfuchsen, aber ich schüttele das nicht easy aus dem Ärmel, sondern musste das mühevoll nachvollziehen.
Ist das normal oder ist mein math. Leistungsniveau viel zu schwach?
Was ist wenn mein beim IS nicht das selber rausbekommt was zu zeigen war. Ich bekomme mehrmals ähnliche Lösungen aber nicht die selben. Ich muss aber auch sagen die Aufgabe benimmt ist etwas komplexer als im Video.
Ich ahbe 2 Fragen:
1. Was heißt eigentlich das Wort Induktion? Gerne auch synonyme Wörter.
2. Gibt es auch unvollständige Induktionen?
Die berühmte vollständige Induktion.
Ja ist mir im ersten Unisemester. begegnet. Da muss man durch
Wiwis Engees Physis usw.!
Ohkey.
Das braucht man als BWeller nicht, OK unser Prof für Wima hatte das drauf, wir nicht!, lol aber danke für deine super Demo
Ich schliesse mich meinen Vorrednern an, tolles Video, super erklärt :)
Dankeschööön!! 😍
Ach und deswegen klappt das nicht, wenn ich das mit einen beliebigen n durch führe.
Ist also stets das erste n, was als Angabe vordefiniert ist.
Aufgabe aus der Abschlussklausur für Wirtschaftswissenschaftler? Ich hoffe nicht;-)!
"Beweishäckchen" :)
... "quad erat demonstrandum"!
Uni Hamburg? 🤣🤣🤣 Keiner der Hamburger in meinem Studium hat bis zum Ende durchgezogen. 🤷
ich schwör ehrenfrau ja, rettest mich noch in der letzten minute... alles gecheckt!!!!
das hät ich vor meiner exmatrikulation gebraucht xD
Oh no 😂💙 hoffe du hast etwas besseres gefunden
Bei sowas habe ich den IA oft für n = 0 gemacht, weil die Aussage oft auch noch für n = 0 galt und dafür noch einfacher zu zeigen war als für n = 1 - wäre hier auch der Fall gewesen: Links steht dann eine Summe von k=1 bis 0. Wenn die obere Grenze kleiner als die untere ist, hat man eine Summe ohne Sumannden - eine sogenannte "leere Summe", die immer 0 ist. Und wenn man rechts 0 für n einsetzt, kommt auch 0 heraus. Und was für alle natürlichen Zahlen zzgl. 0 gilt, gilt insbesondere für alle natürlichen Zahlen. ;-)
genau das dachte ich gerade auch. ich suchte mir bei solchen aufgaben immer das einfachste n aus, welches die zu beweisende aussage sicher stellt. hier also die 0. aber da sind die geschmäcker verschieden: die einen überlegen einen augenblick, um rechenschritte zu sparen, die anderen rechnen einen augenblick, um nicht so genau überlegen zu müssen......
@@KarlHeinzSpock So einfach ist es nicht. Es ist notwendig mit dem kleinsten n zu beginnen. Sonst gilt die Aussage nur für das "einfachste n" und alle n, die größer sind als das "einfachste n". (Würde man per Induktion zeigen wollen, dass für alle natürlichen Zahlen gilt, dass sie größer als 5 sind und der Einfachheit halber bei n=6 beginnen, hätte man einen falschen "Beweis".)
Sollte damit gemeint sein, man prüft die ersten n alle der Reihe nach als Induktionsanfang und wendet den Induktionsschritt erst bei einem geeigneten "einfachen n" an, sollte man das auch verständlich formulieren.
Noch ein Hinweis: Man geht eher davon aus, dass die 0 eine natürliche Zahl ist, die meisten (Professoren) schreiben die Peano-Axiome so und die DIN 5473 ist so formuliert. (Auch wenn es dazu unterschiedliche Meinungen gibt.)
Nein, so kannst du das nicht machen, weil du den Induktionsschritt nicht durchführst. Wenn du im Induktionsanfang n=0 verwendest bekommst du im Induktionsschritt summe = 0 + summe, wenn du es für (0+1), also dem nachfolger von 0, bestimmen willst und das ist trivial und für (n>0) erhläst du eine ungütige Aussage. Mein Mathelehrer hat das so erklärt : Im IA beweist man, das es für ein ich sag mal vernütiges n (n=0 ist kein vernünfigtes n, da n=0 nicht Teil der Summe ist) gilt. Im Induktionsschritt beweist man dann, das die Formel für alle Nachfolger gilt, was hier mit (n+1) ausgedrückt wird.
alle Nachfolger ist deswegen so wichtig, dass man sich das verinnerlicht, denn eine fiktive Formel könnte z.B. nur für die Menge der ungeraden Zahlen gelten und dann ist der Nachfolger nicht n+1, sondern n+2.
Man sollte bei solchen "Tricks" natürlich immer wissen, was man tut ... und den IA selbstverständlich immer so wählen, dass er zusammen mit IV und IS den Beweis für alle n liefert, für die er verlangt ist. Im konkreten Fall bedeutet das, dass es legitim ist, den IA für n = 0 anstelle von n = 1 zu machen; denn alles, was für n ≥ 0 gilt, gilt insbesondere für n ≥ 1. Den IA für n = 3 zu machen wäre dagegen nicht in Ordnung, weil der Beweis dann für n = 1 und n = 2 fehlen würde.
Hier ist es völlig in Ordnung, den IA mit n = 0 zu machen; da kommt auch nichts Ungültiges raus. Eine Summe mit Obergrenze < Untergrenze ist eine sogenannte leere Summe und immer 0, weil sie einfach keinen Summanden hat. Aber selbst wenn du das nicht benutzen möchtest, kann man leicht sehen, dass 0 heraus kommt, wenn man k = 0 setzt. Daraus folgt, dass die Summe von k = 1 bis n über k/2^k und die Summe von k = 0 bis n über k/2^k für alle n identisch sind. Und dann kannst du den IA für n = 0 machen, ohne eine leere Summe zu erhalten.
Und das mit dem IS verstehe ich nicht - der IS ändert sich doch durch den anderen IA in keinster Weise. Beim IS willst du ja nicht konkret von 0 auf 1, sondern von einem beliebigen n, für das die Behauptung per IV stimmt, auf seinen Nachfolger (hier n+1) schließen. Und solange du dabei nicht durch n teilst oder sonst irgendetwas tust, das für n = 0 verboten ist, ist doch alles gut.
Bei uns gab's mal eine Induktionsaufgabe, wo die Gleichung für alle n außer der 4 stimmte. Den Beweis mussten wir erbringen, indem wir n = 1, n = 2 und n = 3 direkt einsetzten und für n ≥ 5 vollständige Induktion machten. Da mussten wir den IA mit n = 5 machen und im IS auch an einer Stelle benutzen, dass n ≥ 5 sein musste.
@@teejay7578 Ok, für diese Beweis haste gewonnen ;) Mir war nicht bewusst das 0 auch teil der Lösung ist, wenn die Summe bei 0 beginnt. Aber was ich definitiv kritisiere ist, dass du dir das Ausrechnen der Summe für einen bestimmten Wert ersparen willst. Das kann definitiv schief laufen. Beispiel : Summe von 1 bis n über (2k-1) = n*n. Die Formel besagt nichts anders, als dass die Summe ungerader Zahlen >0 eine Quadratzahl ergibt. Nach deiner Methode mit der leeren Summe wäre sogar 0 Lösung, denn 0*0 ist 0. Gut, wenn nun 0 auch Teil der Lösung ist, sollte man meinen, dann kann man auch die Summe bei 0 beginnen lassen. Aber 2*0-1=-1 und das das ist nun offensichtlich nicht 0. Nun könntest du argumentieren, das die Summe ja nicht bei 0 beginnt, aber 0 widerstrebt der Aussage, die die Formel treffen will, eben die Summe ungerader Zahlen >0 ergibt immer eine Quadratzahl.
Hat man nicht einfach nur die angenommen, dass sie Behauptung war ist und dann darauf belegt, dass sie war ist?
Bei vollständiger Induktion muss ich immer an einen Kochtopf denken, der flächenmäßig genau bis zur Begrenzung des Kochfeldes geht und dann durch Induktionshitze erwärmt wird...
Ich verstehe absolut gar nichts. Aber super zum einschlafen
Induktion ist der größte scheiß
Aber danke fürs Video das war wirklich hilfreich 😅🙏🏻
Bin in Klasse 8 und war vor einer Woche bei einem Mathematik-Seminar. Dort wurde auch die vollständige Induktion erklärt. Ist eigentlich relativ simpel, wenn man es einmal verstanden hat.
Dieses Video ist gut um nochmal mehr Beispiele zu sehen :)
Krass, dass du dich bereits in der 8. Klasse mit solchen Themen auseinandersetzt. Willst du dann auch beruflich in so eine Richtung gehen oder hast du dir darüber noch keine Gedanken gemacht?
@@MathemaTrick ich hab mir noch keine genauen Gedanken über meine Berufswahl gemacht, bin mir aber ziemlich sicher, dass es irgendwo in den Mint-Bereich gehen wird :)
sieht ja bei dir nach ner veritablen mathebegabung aus!
wait...das war aber nicht zufällig JuMa?!
@@itachishisuiuchiha7804 doch, warst du auch dabei?
Mein Löwe, mein Bär, meine Lieblings Mathelehrerin❤️🫶🏽
Bitte mehr Videos für Mathe-Studenten! :)
ich bin so froh dass ich das hinter mir habe. jedes mal wenn du ein video hochlädst erinnere ich mich an meine freiheit :D
Das Studium doch eine schöne Zeit, in der das Gehirn auch gefordert wurde.
Mein Berufsleben ist dagegen stinklangweilig.
Physikstudium 1. Semester. Analysis.
Lerne jetzt schon für mein kommendes Studium und das ist genau das was ich brauchte. Vielen Dank
Super, das freut mich! Gute Idee sich jetzt schon ein bisschen in alles einzulesen.
Beim Induktionsanfang dürfte es eigentlich keine Rolle spielen, für welches Element man die Behauptung beweist, oder?
Das müßte doch mathematisch sauber in beide Richtungen gelten. Wenn für jedes Element ein Nachfolger existiert, für den das Gleiche gilt, dann ist das bewiesene Element Nachfolger des Vorgängers, also muß es im Umkehrschluß auch für den Vorgänger gelten. Oder täusche ich mich da?
Die Induktionsvoraussetzung formuliert ja auch genau das: "Es existiert _ein_ Element für das gilt..."
@@Kind-Honeydew193 Wenn ich beweise, daß die Behauptung für n gilt und auch für n+1, dann ist das bewiesene Eingangselement auch n+1 für das Vorgängerelement n.
Sehr gut erklärt.
Es war sehr hilfreich, danke dass es dich in RUclips gibt 💕
Dankeschön! 🥰
Muss sagen das war ne besonders schöne Induktion.
Super hergeleitet und total verständlich erklärt. Klasse
Habe fürs abi mit deinen Videos geübt, danke. Habs gut bestanden.
Suuuper, herzlichen Glückwunsch! 🤩🥳
Ich glaube, ich muss die Grundlagen lernen 😢
Susanne, könntest du mal beschreiben in einem deiner Videos, wie eine mündliche Mathematikprüfung an der Uni (für bspw. LAAG/Geometrie/Algebra) abläuft im Vergleich zu den schriftlichen Semesterprüfungen? Ich denke viele angehende Mathematikstudenten würde das interessieren.
Mündliche Prüfung gibts nur als 3ter und letzer Prüfungsversuch. Wenn du da reinschlitterst, wars das für die Meisten sowieso schon.
@@freddykisback123 Das ist nicht richtig. Bei uns waren bis auf eine Ausnahme alle Matheprüfungen mündlich, egal ob Erstversuch oder Wiederholungsprüfung.
Grundlegend können die Profs ihre Prüfungen sehr unterschiedlich gestalten. Manche fokusieren sich auf ein, zwei größere Beweise, die man dann sehr detailliert durchspricht. Die meisten möchten aber eher ein Überblick über das gesamte Semester durchnehmen. Da hat man dann viele kleine Beweise und Erklärungen drin.
@@diverlady5860 Wie soll den eine Uni so 200+ Studis prüfen, da hat doch kein Prof bock und zeit für und schiebt das dann an sein wissenschaftliches Kleinzeug ab. Bei euch müssten dann außerdem ein paar hohe Hirschfaktors rumschleichen wenn man mal so unnötig hart aussortieren kann. Bei uns liegen die Ausgerasselten bei 55% bis 65%, mündlich only setzt da bestimmt noch einen drauf.
@@freddykisback123 Wir sind halt ein kleiner Studiengang an einer kleine Uni. Selbst in den Grundvorlesungen haben wir keine so hohe Durchfallquote.
Vielleicht ist es aber an den großen Uni doch so anders. Ich bin auf jeden Fall sehr zufrieden mit unseren Prüfungen. Die Professoren nehmen jede Prüfung persönlich ab. Sie sind in den meisten Fällen auch sehr hilfreich, also geben Tipps wenn man nicht weiterkommt und ziehen dafür dann je nach Größe des Hängers entsprechend bei der Note ab.
Die Existenz mindestens eines (dazu noch unbekannten) n mit den gewünschten Eigenschaften ist für die Induktionsvoraussetzung unzureichend, da man die Anzahl der Elemente der Menge der natürlichen Zahlen, für die die Behauptung gilt im Induktionsschritt erhöhen möchte. Das ist zwar mit deinem Induktionsschluss nicht ausgeschlossen, aber auch nicht gesichert.
Üblicherweise enthält die Induktionsvoraussetzung alle natürlichen Zahlen, für die die Behauptung gilt, hier also:
exists N in setN, forall n in setN^{
Danke, Du hast meinen Tag gerettet. Ich habe genau das mit dem Minus nicht gemacht und habe dann erstaunlicherweise das Ergebnis nicht hinbekommen ... Bei uns war das nur ne Übungsaufgabe. Ich hatte auch die Lösung - aber natürlich nur runtergeschrieben. Warum man das, was ich versucht habe nicht machen darf, habe ich nicht verstanden.
Und wenn ich ehrlich bin verstehe ich das immer noch nicht. Wir sollen ja von der linken Seite uns zur Rechten Seite bewegen. Und wenn ich mir beide Formeln so anschaue, dann steht da links 2-x+y und rechts steht 2-z. Also muß doch x+y = z sein. Aber wenn ich versuche einfach x+y zu z zu bringen, dann funktioniert das eben genau nicht. Hast Du da noch ne knackige Erklärung dazu?
Glücklicherweise habe ich jetzt verstanden, daß man bei Brüchen mit einem - davor das eben lassen sollte. So wurde es auch in der Musterlösung genau gemacht.
Hallo Susanne, super erklärt! In unseren Modulen ist die Null laut DIN5473 in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Nun muss ich die Induktion mit Null beginnen ∧ mit n+1 ∨ n-1 weitermachen ? Ich habe mich jetzt mal schlauer gemacht ∧ ich nehme alle Fragen zurück Induktion mit 1 wenn nicht anders vorgegeben ∧ Domino n+1 😊
Klasse Video. Das einzige, was man noch hinzufügen könnte, ist, dass die dazugehörige Reihe gegen 2 konvergiert.
Ich studiere Berufsqualifiziert Maschinenbau und habe wie warscheindlich viele andere das Problem das Mathe mit einem Quali Abschluss einfach eine bescheidene Basis dafür ist. Ich möchte dir einfach mal danken ohne deine Videos würde ich regelmäßig verzweifeln, es gibt wenig Leute die das so gut erklären wie du. Du machst das echt super, alles gut dir und danke danke danke für deine Arbeit hier.
Ich bin überrascht, dass an der Uni Hamburg die Beweismethode in der Klausur angegeben ist. Meine Klausuren sahen so aus: Zeigen Sie dass, .... Ganz selten stand da: Berechnen Sie ...
Man muss doch als Student selbst drauf kommen, wie man einen Satz beweisen kann.
Cool erklärt , Dankeschön 😊
Beweise in der Mathematik waren bzw. sind für mich immer ein Buch mit sieben Siegeln.... - trotz der sehr anschaulichen Erläuterung hier. Wenn ich das alleine machen müßte, wäre das wieder für mich zum Haareraufen...
so geil erklärt!
Du hast mich grad vor einem nervlichen Zusammenbruch gerettet not gonna lie. Mein Mathedozent ist einfach zu unfähig um das so gescheit zu erklären wie du...
ENDLICH kann ich Volts. Induktion verstehen, DANKE DIR, du bist einfach toll
Lösung:
Ich zeige zuerst, das obige Behauptung für n = 1 gilt.
1
Linke Seite: ∑(k/2^k) = 1/2^1 = 1/2
k=1
Rechte Seite: 2-(1+2)/2^1 = 2-3/2 = 1/2. Beide Seiten sind gleich, also gilt die Behauptung für n = 1.
Nun beweise ich, dass die obige Behauptung für n+1 gilt unter der Voraussetzung, dass die obige Behauptung für n=1 gilt:
n+1
∑(k/2^k) = 2-(n+1+2)/2^(n+1) muss gelten.
k=1
Es gilt nach Voraussetzung:
n
∑(k/2^k) = 2-(n+2)/2^n.
k=1
Nun ist:
n+1 n
∑(k/2^k) = ∑(k/2^k) + (n+1)/2^(n+1) = 2-(n+2)/2^n + (n+1)/2^(n+1)
k=1 k=1
= 2-2*(n+2)/(2*2^n)+(n+1)/(2*2^n) = 2-[2*(n+2)-(n+1)]/(2*2^n)
= 2-[2n+4-n-1]/(2*2^n) = 2-[n+3]/(2*2^n) = 2-(n+1+2)/2^(n+1) q.e.d.
Nun gilt also die obige Behauptung für n+1 unter der Voraussetzung, dass sie für n=1 gilt. Ich habe im Anfang bewiesen, dass die obige Behauptung für n=1 gilt, dann gilt sie also auch für n+1 = 1+1 = 2. Wenn sie aber für n=2 gilt, dann gilt sie auch für n+1 = 2+1 = 3. Wenn sie aber für n=3 gilt, dann gilt sie auch für n+1 = 3+1 = 4. Usw., q.e.d.