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蛍光ペンツールが視覚的にわかりやすくてびっくり。
ちゃんと証明も示してくれるのがやっぱりさすが永島先生！
トレミーの定理痒い所に手が届く感ありますね☺️
登録者数4万人おめでとうございます！
正五角形の対角線の長さがトレミーの定理で簡単に求まることは知らんかった勉強になりました
草
@@user-sl6mc5wy8o？なにか面白い？
トレミーの定理、定理の中で一番好き
cos36°は毎回sin2a=sin3a(a=36°)を利用してやっていたのですが、トレミーを使うとこんな早くできるなんてびっくりです
ここらへんの初等幾何の定理は中学とか高一くらいに習うけど図形触れないうちに全部忘れてるから助かります！cos36の導出に使えるのは驚き… その発想はなかった
備忘録👏【 補助線の引き方→ ① 等しい角を作る。 ② 等しい辺を作る。 】 〖 ☆トレミーの定理 ( ① 等しい角を作る－補助線を引いて、相似比から得られる ) 〗 a／AC＝ED／b かつ c／BE＝AC／d から 導く ■☆正五角形から、その中の四角形を使って ｢トレミーの定理を使う｣ のが Magic Bullet ! ⑴ cos36°の求め方の一つ ⑵ cos72°の求め方の一つ
分かりやすかったです！
このわかりやすさに慣れてきて、他のサイト使ったら分かりにくすぎて戻ってきました笑
今日もありがとうございます！
わかりやすい、、、、🙇🙇🙇
センター試験伝説の問題(図形)はトレミー使うと瞬殺できるからおすすめ
8:20 さすがこの予想はあってた
先生、わかりやすくて字も図もきれいで素晴らしいです。頭もきれいに整理されているに違いないかと・・・ところで、「なんしか」「なんしか」ってよくおっしゃいますけど和歌山の方ですか？大学時代の和歌山出身の友人がよく言ってました。
公式全く覚えられなくて先生に公式の証明をきいて、テストでも自分から導いて解いてます単純暗記めちゃくちゃ苦手です
暗記ほどよく苦手な方が本質つかむクセが付いて数学得意になるかも。
永島先生じゃん…一昨年お世話になって、問題ごとに緑チョークでkey書いてくれて問題のポイント最後にちゃんと言い直してくれるめちゃわかりやすくて、現役時代から偏差値10上がったもんなぁ…ちゃんとお礼言えてなかったので、こちらですいません🙇♂️永島先生ありがとうございます！豪書く数学！！(合格数学！)
cos36°,72°感動！三角関数でしかやったことなかったからこれは覚えとこう
小山先生もそうですが、駿台の数学科講師はトレミーの定理好きですね笑本日もありがとうございました！
そうなのですね！駿台模試で二回連続解法に登場しました！
トレミーの定理って聞いたことないなと思い学生時代に使ってた教科書（数研出版）のやつを見返してみたらやはり載ってませんでした。便利な小技って知らないだけでまだまだあるもんなんですね。
トレミーの定理は、高校の頃から先生に「記述式の試験で使えない公式だから覚えなくて良い」と言われて今まできたので、あまり意識したことのない公式でしたが、便利な公式ですね。今は変わった、というか記述式の試験でも使って良いとなったのでしょうか？ダメだとしても共通テストなどの過程を見ないテストでは使える場面を見極めて使えたらと思います。
そうなんですよね。塾で教えていても、問題にある数字と記号を、公式に当て嵌めれば自動的に答えが出てくると考えている子が多いのです。数学は、自動券売機ではございません！考えることの楽しさを、もっと味わって欲しいですよね。
こんなに簡単に証明できるんだ！
公式は覚えることも大切ですが、導出できる（少なくとも導出の過程が理解できている。）ことの方が何倍も重要なのは言わずもがな。センター試験の往々にして訳の分からない誘導に乗るには、公式を覚えているだけレベルではとても無理だと思うのですが。後半の正五角形から cos36° cos72° を求める過程は勉強になりました。しっかり復習して自力で解けるようになります。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
す、すげー
そうだなあトレミーの定理の証明が簡明な方法で美しかったですが、相似な三角形の相似比からとる比を使ってなかったので証明に使うとひっかかるかもしれない(中学生感覚)こっちの方が見やすいし取り安いんですけどね。正五角形の角度の余弦は例えばACとBEの交点Pとおいて△ABCと△APBの相似で方程式立てた方が容易かな、AP=x-1を使って。トレミーの定理は強力な技だけど、もしこれが有効ということでフル活用される問題出されると恐すぎるので裏技で終わっててほしいです。
数学王者決定杯っていう北予備校の模試で５角形の対角線の長さをトレミーの定理使って求めさせる問題あったなー。黄金比の話も出てきて興奮したのを覚えている。
確かにプトレマイオスは便利。ノヴァからのインフィニティは最強ですよね。
中学の時私立入試のために覚えさせられた黄金比がこんな感じで解けるのか
8:53 Ptolemy's Theorem
最後の(2)は加法定理でも求められるね〜
医学生だが知らなかった……初めて聞いた定理だが便利そう
この定理初めて知った！今度の模試で使お
F*CKS0C137Y ブラーマグプタは辺にルートはいってくると一気にゴミと化すから微妙じゃね？もちろん知っておいたら便利だけど
共通テストではどうなるんでしょうね。💦
@@dai-4002 共通テストでも同じだと思うよ計算の速さより文章読解でってらしいが出る範囲は変わらんやろ
こんなんがあからさまに使える模試かｗｗ
生き甲斐がない男 使えるかわからんけど使えう機会があればね。あからさまに使うなんて書いてないよ。
割と習わないけどめちゃくちゃ便利だーー
プトレマイオス...サーバーインフィニティ...プレアデス...うっ頭が
トレミーの定理、教科書には載ってないのですが、記述とかに勝手に使ってはダメなんでしょうか？
最後の問題複素数平面使っても求まるよね笑！
数学ができない人に限って公式当てはめて解くとか言う人多いですね。
板倉圭佑 呼びました？
そう言われるのが鉄板すぎて、あんまそういう人見たことないんやけど…。
図形の性質も分からずに公式だけ覚えて問題を解こうとしている人は間違いなく考える力が身についていないと自分は思います。トレミーはとても便利な公式であるがゆえに覚えて使おうとする中学生も多くいますが(某大手塾Wなどでは教えたりしていますが)中学でそういう授業を受けた人たちの多くは高校で数学苦手になります笑自分は高校生で地元の進学校に通っていますが周りにそういう人たくさんいますよ
@@スズハシ 大学で習うような本質的に正しいことまで理解しなくてもいいですが意味わかった上で公式や定理を暗記すべきですね。
駿台で70超えてないやつはみんなそう
たまにcos2θ＝cos3θ解かせる問題あるけどこれがθ＝36°で五角形に関係してくる。
え？
指で書いてるのに字がきれい
青チャートにはのってますね
青チャには載ってるよね
ガンダムマイスターの血が騒ぐ
それな
まじそれな
トレミーの定理って記述模試で使ったらバツにされるみたいなのなかったっけ？先生から聞いただけで実際に使ったことないから分からないけど…🤔
間違ったことを言わなければペケはつかないはずですよ。一言「トレミーの定理より」って頭につければ大丈夫かと。
その定理自体が高校までの指導範囲で証明できるものならいいんじゃないの？有名なのだとロピタルの定理は高校数学までの範囲で証明できないから記述で使えないけど
ああ それは、ロピタルの定理の記述ができる条件を正しく議論せずに書いてるからペケされるだけ。実際、東大の教授が出したなんかの本（タイトルを思い出せないのですが）の中で、π>=3.05を示す方法として逆三角関数（高校範囲外）を持ってきてもいいではないかと述べていました。そもそも大学の先生は高校で習う範囲にそこまで詳しいわけではないので、正しく論述されていれば○、矛盾があったり条件を満たしていない定理を使ったら×ってしてるだけみたいですよ。それをふまえてロピタルの定理が使えないような問題を大学は出してるみたいです。
ああ そしたら数3の定理とか殆ど使えなくないですか？
@@ありきたりa 教科書記載内容はきちんと議論すれば導けますので、証明を添えなくても断りを入れれば使えます。例えば、平均値の定理や拡張前のロルの定理はきちんと教科書に(たとえ簡易的なものであっても)証明が書かれています。高校数学の範囲外というのは要は最大値や最小値・極限の厳密な定義の話が関わってくるわけで、高校数学での(多少曖昧かもしれない)定義と大学数学での(厳密な)定義に懸隔がある以上確かに全てが全て高校数学で議論されるものではありませんが、それより自分が理解しているかしていないかの方が遙かに大事だと思います。余談で定理・公式というものはそもそも使用頻度が高い数学的事実・主張をいちいち導かなくても使えるようにしたものなので、極論導出過程さえ分かっていれば別に覚える必要はないものです。(使っているうちに覚えるという表現が適切かもしれません。)定理・公式より寧ろそれらの導出過程にある一般化された議論や考え方がもっとも重要であり、それを個々の具体的な議論に適用してやれば定理・公式なんて登場させなくったって解けます。つまり、定理・公式の導出過程は問題の解き方・アプローチそのものであるといえます。断り無しで使えない定理や公式であってもきちんとした理解があれば導出過程を辿ることによって1から議論すれば実質的には使えていることになります。(1から議論するのが大変なものが多いからこそ定理・公式は非常に便利なんですが、それは証明に対する理解があってはじめてだというのが私の主観的な考えです)トレミーの定理をはじめ図形分野に関しては定理の導出過程が相似性や三平方の定理、円周角の定理等の中学数学の基本事項に基づいた簡単なものが殆どなので、一般化された後の定理を意識的に適用しようとせずに定理の導出の流れを辿ったほう(つまり相似性や三平方の定理を考えたほうが)が早い場合も多々あります。
数学は全くわかりませんが、プトレマイオスは昔のエジプトの王朝名で、プトレマイオスという将軍の名前ですね(世界史選択)、間違えてたらごめんなさい
知ってるけどなかなか使わない
トランザム！
こんなの聞いたことないぞ
青チャや基礎問題精巧などの参考書には載ってるゾ。
これ知らんぞ笑
トレミーの定理の証明高1の駿台ハイレベルで出たなぁ笑！
誘導なしですか？
なさ ほぼ誘導なしだったような気がする笑
相似２つ使えば補助線なしでもっと楽にできますよね。
難関大でトレミーの定理を使わなきゃ解けない問題はありません
そもそも幾何学知識なんて難関二次で殆ど出んよ
@マーガレット 使わんよ。最近の東大は幾何学的知識が必要な問題はありません。図形問題が出題されたとしてもそれはベクトルや複素数の融合、ファクシミリとかですよ。まあ昔はいくつか幾何学的知識を問う問題が出題されてましたね
マーガレット 相似とか、扇型探せとかは当たり前すぎて、幾何学的知識とかそういう話では無いのでは笑笑？中学生とか高校の教科書で出てくるような基本知識はそりゃあ東大でも必要ですね
はぇ〜知らん公式やったわぁ〜
名前かわいい
なんで学校で教えてくれなかったんだろうか。
受験生で初見とか言ってる奴やば過ぎて草
蛍光ペンツールが視覚的にわかりやすくてびっくり。
ちゃんと証明も示してくれるのがやっぱりさすが永島先生！
トレミーの定理
痒い所に手が届く感ありますね☺️
登録者数4万人おめでとうございます！
正五角形の対角線の長さがトレミーの定理で簡単に求まることは知らんかった
勉強になりました
草
@@user-sl6mc5wy8o
？
なにか面白い？
トレミーの定理、定理の中で一番好き
cos36°は毎回sin2a=sin3a(a=36°)を利用してやっていたのですが、トレミーを使うとこんな早くできるなんてびっくりです
ここらへんの初等幾何の定理は中学とか高一くらいに習うけど図形触れないうちに全部忘れてるから助かります！
cos36の導出に使えるのは驚き… その発想はなかった
備忘録👏【 補助線の引き方→ ① 等しい角を作る。 ② 等しい辺を作る。 】
〖 ☆トレミーの定理 ( ① 等しい角を作る－補助線を引いて、相似比から得られる ) 〗
a／AC＝ED／b かつ c／BE＝AC／d から 導く ■
☆正五角形から、その中の四角形を使って ｢トレミーの定理を使う｣ のが Magic Bullet !
⑴ cos36°の求め方の一つ ⑵ cos72°の求め方の一つ
分かりやすかったです！
このわかりやすさに慣れてきて、他のサイト使ったら分かりにくすぎて戻ってきました笑
今日もありがとうございます！
わかりやすい、、、、🙇🙇🙇
センター試験伝説の問題(図形)はトレミー使うと瞬殺できるからおすすめ
8:20 さすがこの予想はあってた
先生、わかりやすくて字も図もきれいで素晴らしいです。頭もきれいに整理されているに違いないかと・・・ところで、「なんしか」「なんしか」ってよくおっしゃいますけど和歌山の方ですか？大学時代の和歌山出身の友人がよく言ってました。
公式全く覚えられなくて先生に公式の証明をきいて、テストでも自分から導いて解いてます
単純暗記めちゃくちゃ苦手です
暗記ほどよく苦手な方が本質つかむ
クセが付いて数学得意になるかも。
永島先生じゃん…
一昨年お世話になって、問題ごとに緑チョークでkey書いてくれて問題のポイント最後にちゃんと言い直してくれるめちゃわかりやすくて、現役時代から偏差値10上がったもんなぁ…
ちゃんとお礼言えてなかったので、こちらですいません🙇♂️
永島先生ありがとうございます！
豪書く数学！！(合格数学！)
cos36°,72°感動！
三角関数でしかやったことなかったからこれは覚えとこう
小山先生もそうですが、駿台の数学科講師はトレミーの定理好きですね笑
本日もありがとうございました！
そうなのですね！駿台模試で二回連続解法に登場しました！
トレミーの定理って聞いたことないなと思い
学生時代に使ってた教科書（数研出版）のやつを
見返してみたらやはり載ってませんでした。
便利な小技って知らないだけでまだまだある
もんなんですね。
トレミーの定理は、高校の頃から先生に「記述式の試験で使えない公式だから覚えなくて良い」と言われて今まできたので、あまり意識したことのない公式でしたが、便利な公式ですね。
今は変わった、というか記述式の試験でも使って良いとなったのでしょうか？
ダメだとしても共通テストなどの過程を見ないテストでは使える場面を見極めて使えたらと思います。
そうなんですよね。塾で教えていても、問題にある数字と記号を、公式に当て嵌めれば自動的に答えが出てくると考えている子が多いのです。数学は、自動券売機ではございません！考えることの楽しさを、もっと味わって欲しいですよね。
こんなに簡単に証明できるんだ！
公式は覚えることも大切ですが、導出できる（少なくとも導出の過程が理解できている。）ことの方が何倍も重要なのは言わずもがな。
センター試験の往々にして訳の分からない誘導に乗るには、公式を覚えているだけレベルではとても無理だと思うのですが。
後半の正五角形から cos36° cos72° を求める過程は勉強になりました。しっかり復習して自力で解けるようになります。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
す、すげー
そうだなあ
トレミーの定理の証明が簡明な方法で美しかったですが、相似な三角形の相似比からとる比を使ってなかったので証明に使うとひっかかるかもしれない(中学生感覚)
こっちの方が見やすいし取り安いんですけどね。
正五角形の角度の余弦は例えばACとBEの交点Pとおいて△ABCと△APBの相似で方程式立てた方が容易かな、AP=x-1を使って。
トレミーの定理は強力な技だけど、もしこれが有効ということでフル活用される問題出されると恐すぎるので裏技で終わっててほしいです。
数学王者決定杯っていう北予備校の模試で５角形の対角線の長さをトレミーの定理使って求めさせる問題あったなー。黄金比の話も出てきて興奮したのを覚えている。
確かにプトレマイオスは便利。ノヴァからのインフィニティは最強ですよね。
中学の時私立入試のために覚えさせられた黄金比がこんな感じで解けるのか
8:53 Ptolemy's Theorem
最後の(2)は加法定理でも求められるね〜
医学生だが知らなかった……
初めて聞いた定理だが便利そう
この定理初めて知った！今度の模試で使お
F*CKS0C137Y ブラーマグプタは辺にルートはいってくると一気にゴミと化すから微妙じゃね？もちろん知っておいたら便利だけど
共通テストではどうなるんでしょうね。💦
@@dai-4002 共通テストでも同じだと思うよ
計算の速さより文章読解でってらしいが出る範囲は変わらんやろ
こんなんがあからさまに使える模試かｗｗ
生き甲斐がない男 使えるかわからんけど使えう機会があればね。あからさまに使うなんて書いてないよ。
割と習わないけどめちゃくちゃ便利だーー
プトレマイオス...サーバーインフィニティ...プレアデス...うっ頭が
トレミーの定理、教科書には載ってないのですが、記述とかに勝手に使ってはダメなんでしょうか？
最後の問題複素数平面使っても求まるよね笑！
数学ができない人に限って公式当てはめて解くとか言う人多いですね。
板倉圭佑 呼びました？
そう言われるのが鉄板すぎて、あんまそういう人見たことないんやけど…。
図形の性質も分からずに公式だけ覚えて問題を解こうとしている人は間違いなく考える力が身についていないと自分は思います。
トレミーはとても便利な公式であるがゆえに覚えて使おうとする中学生も多くいますが(某大手塾Wなどでは教えたりしていますが)中学でそういう授業を受けた人たちの多くは高校で数学苦手になります笑
自分は高校生で地元の進学校に通っていますが周りにそういう人たくさんいますよ
@@スズハシ 大学で習うような本質的に正しいことまで理解しなくてもいいですが意味わかった上で公式や定理を暗記すべきですね。
駿台で70超えてないやつはみんなそう
たまにcos2θ＝cos3θ解かせる問題あるけどこれがθ＝36°で五角形に関係してくる。
え？
指で書いてるのに字がきれい
青チャートにはのってますね
青チャには載ってるよね
ガンダムマイスターの血が騒ぐ
それな
まじそれな
トレミーの定理って記述模試で使ったらバツにされるみたいなのなかったっけ？先生から聞いただけで実際に使ったことないから分からないけど…🤔
間違ったことを言わなければペケはつかない
はずですよ。一言「トレミーの定理より」って
頭につければ大丈夫かと。
その定理自体が高校までの指導範囲で証明できるものならいいんじゃないの？有名なのだとロピタルの定理は高校数学までの範囲で証明できないから記述で使えないけど
ああ
それは、ロピタルの定理の記述ができる条件を
正しく議論せずに書いてるからペケされるだけ。
実際、東大の教授が出したなんかの本（タイトル
を思い出せないのですが）の中で、π>=3.05を示す
方法として逆三角関数（高校範囲外）を持ってきて
もいいではないかと述べていました。
そもそも大学の先生は高校で習う範囲にそこまで
詳しいわけではないので、正しく論述されていれば
○、矛盾があったり条件を満たしていない定理を
使ったら×ってしてるだけみたいですよ。
それをふまえてロピタルの定理が使えないような
問題を大学は出してるみたいです。
ああ そしたら数3の定理とか殆ど使えなくないですか？
@@ありきたりa
教科書記載内容はきちんと議論すれば導けますので、証明を添えなくても断りを入れれば使えます。
例えば、平均値の定理や拡張前のロルの定理はきちんと教科書に(たとえ簡易的なものであっても)証明が書かれています。
高校数学の範囲外というのは要は最大値や最小値・極限の厳密な定義の話が関わってくるわけで、高校数学での(多少曖昧かもしれない)定義と大学数学での(厳密な)定義に懸隔がある以上確かに全てが全て高校数学で議論されるものではありませんが、それより自分が理解しているかしていないかの方が遙かに大事だと思います。
余談で
定理・公式というものはそもそも使用頻度が高い数学的事実・主張をいちいち導かなくても使えるようにしたものなので、極論導出過程さえ分かっていれば別に覚える必要はないものです。(使っているうちに覚えるという表現が適切かもしれません。)
定理・公式より寧ろそれらの導出過程にある一般化された議論や考え方がもっとも重要であり、それを個々の具体的な議論に適用してやれば定理・公式なんて登場させなくったって解けます。
つまり、定理・公式の導出過程は問題の解き方・アプローチそのものであるといえます。断り無しで使えない定理や公式であってもきちんとした理解があれば導出過程を辿ることによって1から議論すれば実質的には使えていることになります。(1から議論するのが大変なものが多いからこそ定理・公式は非常に便利なんですが、それは証明に対する理解があってはじめてだというのが私の主観的な考えです)
トレミーの定理をはじめ図形分野に関しては定理の導出過程が相似性や三平方の定理、円周角の定理等の中学数学の基本事項に基づいた簡単なものが殆どなので、一般化された後の定理を意識的に適用しようとせずに定理の導出の流れを辿ったほう(つまり相似性や三平方の定理を考えたほうが)が早い場合も多々あります。
数学は全くわかりませんが、プトレマイオスは昔のエジプトの王朝名で、プトレマイオスという将軍の名前ですね(世界史選択)、間違えてたらごめんなさい
知ってるけどなかなか使わない
トランザム！
こんなの聞いたことないぞ
青チャや基礎問題精巧などの参考書には載ってるゾ。
これ知らんぞ笑
トレミーの定理の証明高1の駿台ハイレベルで出たなぁ笑！
誘導なしですか？
なさ ほぼ誘導なしだったような気がする笑
相似２つ使えば補助線なしで
もっと楽にできますよね。
難関大でトレミーの定理を使わなきゃ解けない問題はありません
そもそも幾何学知識なんて難関二次で殆ど出んよ
@マーガレット 使わんよ。最近の東大は幾何学的知識が必要な問題はありません。図形問題が出題されたとしてもそれはベクトルや複素数の融合、ファクシミリとかですよ。まあ昔はいくつか幾何学的知識を問う問題が出題されてましたね
マーガレット
相似とか、扇型探せとかは当たり前すぎて、幾何学的知識とかそういう話では無いのでは笑笑？
中学生とか高校の教科書で出てくるような基本知識はそりゃあ東大でも必要ですね
はぇ〜知らん公式やったわぁ〜
名前かわいい
なんで学校で教えてくれなかったんだろうか。
受験生で初見とか言ってる奴やば過ぎて草