QUEL TRIANGLE A LA PLUS GRANDE AIRE ? Test pour Oxford
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- Опубликовано: 12 дек 2023
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Nouvelle question du test d'entrée à Oxford de 2023
Parmi ces 5 triangles, quel est celui qui a la plus grande aire ?
a) un triangle isocèle de côté 10 - 10 - 1
b) un triangle isocèle de côté 10 - 10 - 5
c) un triangle isocèle de côté 10 - 10 - 10
d) un triangle isocèle de côté 10 - 10 - 15
e) un triangle isocèle de côté 10 - 10 - 19
Sans aucun calcul j'ai parié sur l'équilatéral, j'ai réalisé mon erreur quand vous avez débuté l'étude des aires. Après avoir fait Math-sup c'est pas brillant mais cela fait maintenant 52 ans sans pratiquer autre chose que des règles de trois professionnellement. Vos vidéos sont excellentes pour une remise en mémoire et ne pas la perdre.
Idem. C'est relativement contre-intuitif, puisqu'il semble que l'aire maximale soit celle qui rapproche le plus le triangle d'un cercle. Mais non !!!
Bravo !
Avec ces consignes, le triangle qui maximise l'aire est le triangle isocèle-rectangle 10 - 10 - 10*racine(2).
Redoublez la figure, vous verrez intuitivement que le losange de côté 10 le plus grand est un carré.
Idem...
J’ai essayé de calculer l’aire en fonction de la base, puis de dériver pour trouver le max...et je me suis embourbée dans des calculs horribles ....mais j’aurais tablé sur équilatéral....
@@ghislaindewalle283 Très malin ! Merci, je me demandais quel ratio donnait la plus grande aire, avec le coup du carré et sa diagonale ça semble carrément logique !
C’est le piège! C’est un QCM donc on regarde vite fait 1 et 5 qu’on élimine, ensuite on compare 2 et 3 proprement, on élimine 2 et on se dit que 2 et 4 sont vaguement similaires et on répond 3 hâtivement
lorsque vous comparez les aires, il me semble qu'il aurait été plus simple de tout mettre sous la racine, non?
Par exemple, 20 x Racine(3) = Racine(400 x 3) = Racine(1200), et 3 x racine(175) = racine(9 x 175) = racine(1575)... plus facile de comparer les deux.
Très intéressant comme d'habitude et ça fait fonctionner notre cerveau et notre mémoire... Merci!
J’ai trouver une manière différente de trouvé qui est ps forcément très rapide mais je l’aime bien. La voici:
Déjà j’ai poser le triangle qui a comme côté 10-10-x qui a une aire que j’ai calculer de x*sqrt(400-x^2)/4
Si on arrive à maximiser l’aire on pourra comparer la valeur de x trouver avec les valeur de l exercice est celle qui sera plus proche gagnera.
x*sqrt(400-x^2)/4 = m, ou m est la valeur maximal
x^2(400-x^2) = 16m^2
-x^4 + 400x^2 - 16m^2 = 0
Soit t = x^2
-t^2 + 400t - 16m^2
Vue que m est la valeur maximal, le discriminant doit être égale à 0 donc:
400^2 - 64m^2 = 0
(400+8m)(400-8m) = 0
m = +\- 50
Nous avons maintenant trouver la valeur maximale donc trouver x a cette valeur:
t = -400/-2 = 200
x = +\- sqrt(200) = +\- 10sqrt(2)
On sait maintenant que la valeur maximal de l’air est à x = 10 * sqrt(2). On sait aussi que la rascine de 2 est un peu près 1,414 donc x ~= 14.14. Les valeur que nous avons à dispositions sont 1, 5, 10, 15, 19
La valeur la proche est la d) 15. C’est donc cela la plus grande.
interessant, c'est donc le triangle rectangle isocele qui a la plus grande aire, ca parait intuitif
@@user-rg7bj9on9y intéressant, mais après dans un QCM à temps limité ça parait plus rapide d'agir ainsi, même si effectivement entre 13 et 15, il faudrait engager les calculs comme dans la vidéo.
Non seulement c'est plus lent mais en plus ça t'aurait valu de te faire renvoyer à coups de pieds dans le derrière pour avoir osé dire "La valeur la plus proche dois avoir la plus grande aire"
@@xhantTheFirst ba pas vraiment. C’est casiment une parabole donc oui c’est presque toujours vrai
Pour aller plus vite mettre directement tous les nombre sous la racine à l’étape 20√3 vs 3√175 : √1200 vs √1575.
Super, continue tes vidéos!!! Je suis en seconde, j'apprends beaucoup avec tes vidéos, j'ai 19.5 de moyenne en maths merci.
De quelle année date ce post ? les maths existent encore en "France" ?
Je suis en terminale et j’en apprends tous les jours avec tes petites vidéos ! Merci !
arf, ça sert plus à rien l'école du quoicoubeh
étudie plutôt le réchauffement climatique, l'écriture inclusive, la réécriture de l'histoire sur l'esclavagisme, netflix...
Ce serait encore plus intéressant de demander la valeur du troisième côté pour avoir l'aire maximale (sans QCM, bien évidemment).
Et du coup, cette longueur est: 10*√(2) ≈ 14,1421
Justement, le but du QCM est de voir qui est capable de trouver la réponse rapidement sans passer par le processus de dérivation ou de discriminant, qui est plus long mais qui marche quasiment à tous les coups
La prise d'initiative en 6:02 a refait ma journée. Merci pour la bonne humeur !
Si a est la valeur des 2 côtés égaux l'aire sera maximum quand le 3ème côté = a*Racine(2). J'ai obtenu ce résultat en maximisant la fonction aire avec Excel. Cela doit pouvoir se démontrer en exprimant l'aire en fonction de a et de x. x étant le 3ème côté puis dérivation et recherche du max. J'ai choisi la facilité, je suis ingénieur pas mathématicien :-)
Bonjour, je me demandais s'il était possible dans de futures vidéos de traiter de sujets plus scolaires tel que des analyses de fonctions ou des démonstrations mais avec des méthodes plus avancés pas forcément vus aux lycées (comme la division de polynômes que vous avez déjà utilisé dans le passé ^^), vuala vuala !
Et bravo de rendre les maths plus accessibles à tous, même mon père arrive à appréhender certaines notions grâce à vous !
Je suis ton père ! 🥸
@@urluberlu2757 Tu lui ressembles po trop hein 🤔
@@Mini-Mose un peu ra6 comme réponse...
Bonjour,
A l'instar de Sébastien, je ne me suis pas lancé dans les calculs d'aire du triangle.
J'ai considéré que l'aire d'un triangle isocèle, c'est l'aire d'une demi rectangle (cf. schéma illustré dans l'explication).
Or l'aire d'un rectangle est maximale dans le cas particulier où il s'agit d'un carré. (facile à démontrer ... ou retenir)
De fait, l'aire du triangle isocèle sera maximale lorsque la "demi" base et la hauteur seront quasiment égaux.
Dans le cas du triangle 10-10-15, la demi-base vaut 7.5 et donc la hauteur vaudra (100 - 7.5²), soit un peu moins de 7.
Dans le cas du triangle 10-10-10, la demi-base ne vaut que 5 et donc la hauteur vaut (100 - 5²), soit un peu moins de 9.
Bien que ces valeurs soient approximatives, elles me permettent de conclure "rapidement" que la meilleure proposition est 10-10-15.
J'espère que mon explication vous aura convaincu.
Très vrai. Ainsi le triangle isocèle qui aura la plus grande aire sera un triangle isocèle rectangle (moitié d'un carré), d'aire = 10² / 2 , soit 50.
Sa base vaudrait 10 √2 , soit 14.142.
Avec des nombres entiers, la meilleure solution serait 10⋅10⋅14. Mais cette solution n'était pas proposée. 15 était ici la proposition la plus proche de 14.142.
Vivement la prochaine vidéo. Moi qui me croyais nul en maths, me voici en session de rattrapage à plus de 51 ans. Quelle fraîcheur.
Super 😊 merci pour ce retour
@@hedacademy formule Héron ?
Démontrer que L'aire d'un triangle EST Egale à son demi-perimètre Multiplié par le Rayon du Cercle inscrit dans le triangle !
(le cercle inscrit dans un triangle est le cercle dont le centre est l'intersection des bissectrice des angles du triangle, et ce cercle est tangent à chacun des côtés du triangle)
Démontrer que L'aire d'un triangle EST Egale à son demi-perimètre Multiplié par le Rayon du Cercle inscrit dans le triangle !
(le cercle inscrit dans un triangle est le cercle dont le centre est l'intersection des bissectrice des angles du triangle, et ce cercle est tangent à chacun des côtés du triangle)
bravo ! Super video ❤
Après un calcul de dérivée, on trouve une longueur de la base idéale à 10sqrt2, soit14.14... A remarquer qu'il s'agit alors d'un triangle isocèle rectangle, autrement dit un demi carré.
Il n'y a pas besoin de faire de dérivée pour trouver cela, on peut raisonner géométriquement ... on garde une des bases de longueur 10 horizontale et on fait tourner l'autre suivant un cercle, il est évident que la surface étant base x hauteur / 2, elle est maximale quand la hauteur est maximale, donc quand le deuxième côté de longueur 10 est perpendiculaire au premier, et donc triangle isocèle rectangle, d'où hypoténuse = 10 V2
C'est l'exercice parfait pour dégainer la formule de Héron. Question subsidiaire pour les lycéens, quelle valeur de la base maximise l'aire du triangle isocèle de côté 10 ?
Pas lycéen mais pour les lycéens: L'aire sera maximisée si le triangle isocèle est la moitié d'un carré (la base sera alors la diagonale de ce carré, on comprend qu'on peut pas faire plus grand) et c'est un résultat à connaître c'est 10*racine de 2. En réalité on pouvait réfléchir comme ça pour trouver la réponse à la question initiale et 15 était le nombre le plus proche de 10*racine de 2 qui vaut 14.14
Malin, je me suis posé la même question sur la valeur "optimisant" l'aire, et l'histoire du demi-carré avec le racine(2) * côté pour la diagonale, c'est bien joué :)
Belle explication😊
Tu es un très bon prof ça c’est clair, j’aurais aimé avoir quelqu’un comme toi
Mais malgré mon niveau correct en maths que j’ai , je n’aurais jamais trouvé la réponse
Moi j’aurais construit tous les triangles, et là j’aurais pu constater mais en calcul jamais de la vie j’aurai trouvé
Merci pour ce problème intéressant ❤. Un moyen rapide de trouver la solution est de paramétrer :
-a côté de même longueur du triangle isocèle
-b base du triangle isocèle
-h hauteur du triangle isocèle issue du côté de longueur unique b
Pythagore nous donne h^2=a^2-(b/2)^2 soit
h=a.✓[1-(b/2a)^2]
Alors l'aire A se calcule ainsi
A=b.h/2=a.b/2.✓[1-(b/2a)^2]
En faisant apparaitre (b/2a) devant la racine A devient :
A=a^2.(b/2a).✓[1-(b/2a)^2]
En posant x=(b/2a), l'aire s'écrit A=a^2.x.✓[1-x^2]
Le problème revient à chercher la longueur b maximisant l'aire A du triangle avec le côté a fixe.
En dérivant A par rapport à x,
dA/dx=a^2[✓(1-x^2)+x.(-2x)/(2✓(1-x^2))] en simplifiant
dA/dx=a^2.(1-2x^2)/[✓(1-x^2)]
En étudiant la fonction A=aire,
l'aire est définie pour 0
@@user-rg7bj9on9y Merci pour votre remarque ! Effectivement, trouver la valeur optimale ne suffit pas ! Il faut calculer l'aire pour chaque cas de valeurs différentes de la base et ensuite comparer ces valeurs d'aires comme effectué dans la video ! Ce point prouve l'intérêt de ce problème !
Merci pour cette vidéo tout d'abord , c'est tres interessant. Moi , je l'ai fait avec une méthode , qui est d'apres moi plus simple , j'espere qu'elle va vous plaire :
Soit b la base du triangle , h l'hauteur qui en est issu
h=√(100-b²)
Ainsi l'aire est défini par :
A=f(b)=1/2×b×√(100-b²)
On dérive par rapport à b :
f'(b)= ( 200-b²)/√(400-b²)
✓ tableau de variation de f :
f strict croissante jusqu'a 10√2
f strict décroissante à partir de 10√2
f admet donc un maximum en 10√2
Ainsi plus la difference d= | 10√2 - b | est petite , plus l'aire est grande .
10√2~14
Pour b=1 : d=13
Pour b=5 : d=9
Pour b=10 : d=4
Pour b=15 : d=1
Pour b=19: d=4
D'ou le triangle ayant la base 15 a la plus grande parmi les options donnés
Salutations du Maroc, belle vidéo❤🎉
Merci 😊
Une astuce intéressante est de tracer le même triangle en « miroir vertical » (symétrique par rapport à la base). On obtient alors un losange de côté 10, et l’on sait que l’aire d’un losange est maximale (*) lorsque le losange est un carré (angle droit aux sommets). Dans ce cas, sa diagonale (la base du triangle initial, donc la valeur cherchée) vaut 10√2 ≈ 14,142 ; la réponse la plus proche est 15. Problème résolu, 10 secondes, zéro calcul… 🤓
(*) : Si on ne le sait pas (**), on peut l’intuiter de la façon suivante : on commence par aplatir le losange pour le réduire à une ligne verticale : son aire est nulle. On écarte ensuite progressivement les côtés, jusqu’à l’aplatir complètement et le réduire à une ligne horizontale : son aire est à nouveau nulle. Au cours de l’étirement, elle a commencé par augmenter puis elle s’est remise à diminuer, elle est donc passée par un maximum qui pour des raisons de symétrie ne peut être que lorsque les diagonales (dont l’une a augmenté de 0 à 20 et l’autre diminué de 20 à 0) se sont trouvées égales donc lorsque la figure est passée par un carré.
(**) Mais de toute façon, si on ne le sait pas, on oublie Oxford… 😂
@@user-rg7bj9on9y Vous ne connaissez pas les stratégies pour résoudre des QCM ^^
Il est évident et facile à vérifier que entre les CHOIX 10 et 15, ce sera bien 15 qu'il faut choisir.
Entre environ 30 sec avec cette résolution et 5 minutes avec celle de la vidéo... il n'y a pas photo ^^
@@user-rg7bj9on9y Tout à fait, cet argument ne fonctionne pas « rigoureusement » (même d’ailleurs si une des valeurs proposées avait été 14,14 puisqu’elle aussi n’aurait été aussi qu’une valeur approchée). Mais il donne quand même un indice permettant de sélectionner en un temps très court une réponse avec une bonne probabilité de réussite, ce qui est ce qu’on recherche dans le contexte (très particulier) de ce genre de concours où il faut résoudre un maximum de problèmes en un temps limité et où l’intuition (et l’expérience, comme le soulignait récemment Iman) joue un rôle primordial, faute de temps suffisant pour une résolution formelle. Mais on n’est d’accord, d’un point de vue strictement mathématique, l’hypothèse « 10√ 2 (qui donne l’aire maximale) est plus proche de 15 que de 10 _donc_ le triangle de base 15 est plus grand que celui de base 10) » n’est absolument pas justifiée.
Rudement bien vu et, de la même façon, si on nous avait proposé en plus 14 pour la base, c'est ça qu'il eût fallu choisir.
On peut travailler sur le cas général. L'aire d'un triangle isocèle avec 2 côtés c et une base b est une fonction de b, c étant connu. On démontre - signe de la dérivée - que cette aire admet un maximum pour b=c√2, soit pour c=10, l'aire est maximale pour b = environ 14,1. Pas évident que ce soit beaucoup plus long car tu as rejeté a priori les trois cas qu'il conviendrait quand même de calculer pour être sûr. Avec potentiellement 5 calculs d'aire et les risques d'erreur à chaque calcul je trouve que passer à l'approche fonctionnelle peut valoir le coup.
Bravo professeur
sinon y a aussi la formule d'héron (qui donne l'aire du triangle en fonction de la longueur de ses cotés a, b et c)
l'aire est la plus grande quand le produit (a+b+c).(a+b-c).(a-b+c).(b+c-a) est max
ce qui donne:
a) 21.19.1.1 = 399
b) 25.15.5.5 = 9 375
c) 30.10.10.10 = 30 000
d) 35.5.15.15 = 39 375
e) 39.1.19.19 = 14 079
donc réponse d) et c'est mon dernier mot jean pierre ;-)
Si on appelle x le demi-côté inconnu, la surface est donnée par x.racine_carrée(100-x²) définie sur [0;10]; après rapide étude des variations, et sauf erreur de ma part ..., la fonction atteint son maximum pour x = 5racine de 2 environ égal à 7,07, et doublé (pour avoir la base que l'on cherche..) on obtient 14,14 et parmi les quatre propositions c'est le 15 qui est le plus proche!
Ce qui est sympa, c'est de pouvoir résoudre cet exercice à différents niveaux!!
Merci Hed'
Au fait, je passe souvent tes vidéos en classe avec mes élèves :)
Pour trouver le maximum, j'ai utilisé (fg)' = f'g+fg' = 0 ( f = x, g = racine(100-x2)) . J'ai trouvé x = racine(100/3) ~ 5,77..... Comment tu trouves 5.racine(2) ???
@@vincentdescharmes7897 Pour la dérivée, j'ai trouvé (100-2x²)/(racine(100-x²)).
Elle s'annule pour x= racine de 50 soit 5racine de 2.
Brillant !
Boss je t'adore ❤
perso je fais souvent rentrer tout dans la racine pour eviter terme en racine et d autre hors racine
sinon un exercice pour un triangle isocele de 10-10 quelle est la base du 3ieme cote optimal pour avoir ere maximale ?
Il y a BEAUCOUP plus rapide ! Il faut tracer un cercle trigonométrique de rayon 10. Si l'on fait varier l'angle alpha de 0° à 180°, l'aire du triangle en question croit avec alpha de 0° à 90° puis décroit de 90° à 180°. L'aire MAXIMALE est donc pour alpha=90°, triangle isocèle rectangle. La troisième longueur vaut alors 10xracine(2) soit environ 14. On constate immédiatement et sans autre calcul que 10,10,15 donne l'aire la plus proche du maximum. Merci!
@@user-rg7bj9on9y je maintiens ma réponse ! Il s'agit d'un qcm pas d'une démonstration !!!!! D'autre part pour preuve, si l'on poursuit la croissance de alpha après (10,10,15), l'aire du triangle continue à décroitre continuement jusqu'à 180°. Et,avant d'atteindre 180°, l'on retrouve par symétrie la valeur de l'aire (10,10,5). CQFD l'aire de 10,10,15 est supérieure à 10 10,5. Sans calculs!!!! Faites un dessin
est ce que tu peut nous expliqué le cour des ordre et opération pour la 3éme
Soit 2a le 3ième côté, h la hauteur et S la superficie.
S = 2a * h /2 = ah
h^2 = 10^2 - a^2 Pythagor
=> S = a*(10^2 - a^2)^0.5
=> S^2 = a^2 * (100 - a^2)
=> S^2 = 100a^2 - a^4
Calcul de la dérivée pour obtenir le maximum.
200a - 4a^3 = 0 => 4a(50 - a^2) = 0
a = 0 rejeté
a = 50^0.5 = 7.0711
2a = 14.1421 = 3ieme côté.
Donc le choix le plus près est 15.
NB. Je cacule avec la superficie au carré pour simplifier la dérivée.
Si la superficie est maximum son carré l'est aussi.
Solution plus technnique (calcul differentiel) mais aucun taponnage.
J'ai trouvé la réponse bien plus rapidement et sans calcul. Voici :
On prend un côté de 10 qu'on prend comme base. On fait mentalement tourner l'autre côté de 10 et on observe quand on a la plus grande hauteur : c'est quand les 2 côtés sont à 90 degrés. On a le triangle avec la plus grande air possible. Dans ce cas, l'autre côté fait 10 fois racine de 2, soit 14.14. La réponse d est la bonne.
Pas de calcul, juste de la géométrie.
Alors de tête, j’ai remarqué qu’on pouvait séparer le triangle isocèle en deux triangles rectangles identique en suivant la bissectrice de l’angle entre les deux côtés identiques
Ensuite je remarque qu’un triangle rectangle peut être inscrit dans un cercle et qu’en variant la position de l’angle droit sur l’arc de cercle, l’aire augmente jusqu’à former un triangle isocèle puis diminue
Le maximum étant alors quand le côté vaut 2 x 10 x racine(2)/2 = 14,1421
Pour aller un peu plus loin,
Exercice de terminale S spé maths :
Déterminer AC pour avoir l'aire du triangle ABC la plus grande avec AB=BC=10.
On peut même proposer l'échelon au-dessus : AB=BC=a positif non nul quelconque.
@@LC95297 c'est pas faux.
Si on considère l'un des côtés de l'angle principal comme base, alors on peut résoudre visuellement.
Plaçon le sommet principal au centre d'un cercle. Alors les deux autres sommets se trouve sur le cercle.
La plus grande aire possible serait un côté de 10 sqrt(2) (triangle isocèles rectangle)
Soit, un côté d'environ 14. Donc le plus proche de 14 on est, le mieux.
15 est plus proche de 14 que les autres propositions.
Le seul calcul a faire, c'est 10 sqrt(2) ^^
J'ai trouvé, j'étais bien parti en éliminant rapidement les deux extrêmes qui visuellement étaient évidents.
Mais alors ensuite, comment dire ? Pas tout à fait comme la vidéo.
Le "Pythagore en mode accéléré" ouch ! impossible pour moi, obligé de tout détailler les étapes.
Et obligé de tout écrire sinon je me perds.
Puis, je suis allé avec les simplifications, je n'ai pas gardé les fractions, donc il a fallu à un moment que je revienne en arrière.
Bref, j'y ai passé environ plus d'une heure et griffonné trois formats A4. 😪
Donc, je vais annuler mon inscription à Oxford .... et puis en plus c'est loin de chez moi. 😂
Perso, je l'ai fait comme ça :
Je cherche la base du triangle telle que l'aire soit maximale
D'abord j'exprime l'aire A en fonction de la base du triangle isocèle b (via Pythagore) :
A = 1/2 * b * Racine(10² -(b/2)²)
Comme A est forcément un nombre positif, chercher b pour que A soit max, c'est pareil que chercher b pour que A² soit max
A² = 1/4 *b²*(100 -b²/4) = b²*(25-b²/16)
Je pose x = b² pour plus de simplicité
A² = x(25 -x/16) = -x²/16 +25x
Donc mon aire au carré (A²) est donnée par une équation du second degré en fonction du carré de ma base (x = b²)
Elle est représentée par une parabole qui atteint un maximum pour x = b² = -25/(2*-1/16) = 200
Le carré de l'aire A² (et donc l'aire elle-même A) varie en fonction de b² selon une parabole qui atteint un maximum pour b² = 200
Donc plus b² est proche de 200 (en étant inférieur ou supérieur, peu importe), plus on est proche du maximum de A² et donc de A.
Parmi les options proposées, c'est donc quand b=15 que A est maximum.
Wahou c'est un truc de ouf
Une solution élégante est de créer un triangle isocèle de côtés (10, 10, 2x). La hauteur du triangle est h = racine(100 - x^2). L'aire vaut donc A = 2x*racine(100-x^2). Un extremum est trouvable pour A' = 0. On a donc 0 = 2 racine(100-x^2) - 2x^2/racine(100-x^2). Cela se simplifie en 2x = 2*racine(50) = 14.1421. On observe aisément qu'il s'agit d'un maximum et la longueur la plus proche ici est 2x = 15.
Ce serait intéressant de savoir la relation qui lit les côtés avec la base pour avoir la plus grande aire possible.
faut lire les commentaires : 10*√(2)
@@emmanuelc.8831
Effectivement je m'en suis aperçu après.😁
Pouvez vous nous donner le cours sur les fonctions et applications
Les fonctions et applications me dérange trop
J'ai calculé et j'ai trouvé normalement que la plus grande aire possible dans ce cas là serait une base égale à 10 × (racine de 2) qui vaut à peu près 14,14
Et dans le cas général, avec les 2 côtés égaux valant c, pour la plus grande aire possible, la base vaudrait c × (racine de 2)
La formule de Héron (d'Alexandrie) permet de calculer l'aire S d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs a, b et c de ses trois côtés :
S = ✓(p(p - a)(p - b)(p - c))
p = (a + b + c)/2
1) 10 - 10 - 1 => S = ✓10,5 (0,5)(0,5)(8,5)
2) 10 - 10 - 5 => S = ✓12,5 (2,5)(2,5)(6,5)
3) 10 - 10 - 10 => S = ✓15 (5)(5)(5)
4) 10 - 10 - 15 => S = ✓17,5 (7,5)(7,5)(2,5)
5) 10 - 10 - 19 => S = ✓19,5 (9,5)(9,5)(0,5)
2) > 1) car 2,5 = 5 x 0,5 et 8,5 < 2 x 6,5
3) > 2) car 5 = 2 x 2,5 et 6,5 < 2 x 5
4) > 3) car (7,5)(7,5) = 2,25 x (5)(5) et 5 = 2 x (2,5)
Pour comparer 4) et 5)
4) ✓17,5 (7,5)(7,5)(2,5) = ✓(7)(2,5)(3)(2,5)(3)(2,5)(2,5) = (3)(2,5)(2,5)✓7 =
5) ✓19,5 (9,5)(9,5)(0,5) = ✓(5)(3,9)(5)(1,9)(5)(1,9)(5)(0,1) = (5)(5)(1,9)✓(0,39)
4) ÷ 5) = (3)(0,5)(0,5)(✓7) /(1,9✓0,39) = 0,75(✓7) /(1,9✓0,39) = ✓(0,75 x 0,75 x 7 x 7) / (1,9 x 1,9 x 0,39 x 0,39) > 1 car 1,9 < 3 x 0,75 et 7 > 10 x 0,39
Donc 4) est le plus grand
Ça bidouille grave mais ça fonctionne.le réflexe,plus élégant est l étude de fonction maxi et mini ...
Il faut connaître les carrés jusqu’à 15 et les cubes jusqu’à 11 🥶 OK !!!….. quand j’étais petite, je détestais apprendre mes tables de multiplication. En fait je détestais le par-cœur et quand j’ai vu que j’étais bonne en maths, j’étais obligée d’apprendre par cœur mes tables de multiplication pour résoudre les problèmes de maths 🤦🏾♀️ 😅 du coup je les ai apprises toute seule en cinquième. parce que j’en avais besoin. Et c’est bizarre parce que les poésies que je rechignais à apprendre en primaire je les connais maintenant par cœur alors que je suis adulte. Et je ne sais pas comment. Mais j’en comprends mieux le sens et l’application à faire dans la vie comme les fables de La Fontaine.
non seulement vous étés un prof génial, mais vous avez aussi un esprit super cool !
Le plus haut triangle possible est celui qui a la plus grande hauteur, comme un des côtés est constant, la plus grande hauteur est lorsque ce côté est perpendiculaire à la base, donc lorsque le triangle isocèle est aussi rectangle. Dans ce cas là, le troisième côté ferait 10 V2 = 14,1
Or cette valeur est entre 10 et 15, plus proche de 15 que de 10. Donc il ne sert à rien d'envisager le cas 5, c'est entre 10 et 15 avec une forte intuition que c'est le 15.
On va doucement, doucement ok
alors attention à 5:19
S'il y a un signe 'moins' de chaque côté, ils ne se neutralisent pas.
entre -2 et -1 le plus grand est -1, si on vire les 'moins', on cherche à savoir le plus grand entre 2 et 1, et c'est 2...
Alors là c'est évident mais genre trouvez le plus grand entre (27-√730)*2 et (27-√730)*3
Une première approximation que j'ai faite :
10-10-15, ça ressemble à 10 fois les longueurs d'un triangle rectangle de longueurs 1-1-sqrt(2).
Du coup, la surface "tombe" tout de suite, c'est de l'ordre de 10^2/2
A comparer avec la surface du triangle équilatéral, on obtient la bonne réponse.
Donc, on pouvait comparer finalement 2 triangles "connus", en acceptant une approximation sur le triangle rectangle :)
on a des triangles isocèle qu’on peut par découpage ramener à deux triangles recrangles de meme hypothenuse (ici 10) et en reassemblant ont doit comparer des aires de rectangles de diagonale 10
intuitivement le plus grand de tous c’est le quadrilatère régulier c’est à dire le carré c’est donc le cas ou le côté vaux 5sqrt(2) soit en doublant pour trouver le 3eme côté : 10sqrt(2) soit un peu plus de 14 (14.14) du coup le plus grand ça va être le 15
@@user-rg7bj9on9y L'argument "intuitivement" non plus, mais la l'objectif c'est d'aller vite et de trouver la solution, pas de faire un raisonnement long mais bon mathématiquement
Dans ce contexte, la formule de heron est top. Elle permet de calculer rapidement a partie du semi perimetre et des coté.
A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
La formule de Heron est « top » quand on connaît les 3 côtés du triangle, ce qui n’est pas le cas ici (il manque la hauteur). Si il faut commencer par calculer le troisième côté, il est beaucoup plus simple et rapide de calculer l’aire par la formule classique base x hauteur / 2
@@christianf9865
Dans le sujer present, on te propose 5 triangle isocele de 10cm de coté avec la longueur du 3ème coté. Tu peux donc directement calculer l'aire via cette formule et nul besoin de connaitre la hauteur du coup. Donc la formule de heron y est tout a fait adapté !
@@acnmes Exact, « my mistake » 🫢, je m’étais focalisé sur le demi-triangle. Et comme on ne cherche qu’à comparer les surfaces entre elles et non à calculer leur valeur exacte, on n’a même pas besoin de la racine carrée… 👍
Facile, réponse a) puisque c'est le triangle isocèle qui a la plus grande hauteur parmi tous les triangles proposés.
J'ai eu une méthode bien plus rapide : partir de la formule générale, en posant x la base, et en exprimant h en fonction de x. On a facilement une expression à analyser pour trouver le minimum, et très vite on se rend compte que ça va être infaisable, et donc on arrête et on regarde la solution.
Quand on regarde un joueur d'échec qui maitrise son sujet, c'est à dire qu'il connait la théorie, comprend les enjeux et sait adopter la bonne stratégie, ça à l'air tout simple. Mais quand on veut reproduire la même chose, on se rend très vite compte de nos lacunes. C'est pareil ici
🤗
A l’intuition, je me suis dit que le cercle est la forme qui a a plus grande aire par rapport à son périmètre, et que le triangle équilatéral est le triangle qui se rapproche le plus d’un cercle, si on peut le dire comme ça, et que donc c’était lui qui avait l’aire la plus grande. C’était faux, mais je n’ai pas fait les calculs, c’était juste une hypothèse. Mais ça me fait poser deux questions : quelle est mon erreur de raisonnement ? Et quelle est la limite d’augmentation du troisième côté avant que l’aire ne commence à baisser ? Autrement dit, quel est la longueur maximale du troisième côté pour que l’aire soit toujours la plus grande ?
On aurait pu aller plus loins avec une petite étude de fonction pour savoir en quel valeur lair était maximum
Petite suggestion pour les lycéens : écrire la fonction aire = f(base), dériver et trouver le max. Il n’est pas entier mais est proche de 14. Il n’en reste plus que deux à compare 😉
Démontrer que L'aire d'un triangle EST Egale à son demi-perimètre Multiplié par le Rayon du Cercle inscrit dans le triangle !
(le cercle inscrit dans un triangle est le cercle dont le centre est l'intersection des bissectrice des angles du triangle, et ce cercle est tangent à chacun des côtés du triangle)
Bon ben j'irais pas à Oxford 😅😂🤣
Cambridge peut-être ??😋
Coucou,
Je fais une pause dans la vidéo à 6mn50... Pour comparer 20√3 et √375, j'aurai rentré le 20 dans la racine : √(400 * 3) = √1200 qui est bien plus grand que √375
Recoucou !
Démontrer que L'aire d'un triangle EST Egale à son demi-perimètre Multiplié par le Rayon du Cercle inscrit dans le triangle !
(le cercle inscrit dans un triangle est le cercle dont le centre est l'intersection des bissectrice des angles du triangle, et ce cercle est tangent à chacun des côtés du triangle)
Est ce que la calculatrice était autorisée pour cet exam ? Merci pour vos vidéos très sympas !! :)
Pas besoin, pour peu que tu connaisses les premières décimales de V2 (à peu près 1,414 pour info).
@@LC95297 Ah oui, peut être, mais en fait j'ai calculé la formule générale et puis appliqué pour toutes les bases....
@@__-1234 Le but de cet exercice est justement de faire en sorte que la "force brute" (la méthode que tu as utilisée, et qui marche sur à peu près tous les exercices) prenne trop de temps, donc probablement pas de calculatrice
@@xhantTheFirst C'est pas vraiment force brute, il y a très peu de cas. Une fois l'équation établie cela m'a pris 20s de trouver la solution.
si tu passes un concours comme osford et que tu mets 12 minutes pour une question qui demande30 secondes
tu es dans les choux mais si tu fais comme moi tu fais de tête, tu trace la médiatrice dans ta tête, tu as après 3 rectangles
dont la surface est égales a Lxl donc 10x 2.5 ,10x5 10x7.5 donc c'est 10=10=15 qui gagne et tu le fais de tête
pas besoin de calculatrice, 68 ans ingénieur avec plusieurs teste dans ma besace et j ai mis moins d'une minute
j attends ta réponse
5:58 Pour comparer 20√3 et √375, je fais plus rapidement, en remettant le 20 sous la racine, ce qui donne √20²*3 = √1200, ça me prend une seconde pour comparer avec √375
Je n'avais pas vu la fin de la vidéo, Iman parle de mettre tout sous la racine, c'est vraiment plus rapide
👍😎🏁🐆
En fait l'exercice en lui même ne pose pas de problème. Dans le pire des cas tu prends une fonction de variable le troisième côté et tu testes les différentes valeurs de la variable proposées.
La méthode utilisée dépend entièrement du temps dont on dispose. En 5 minutes c'est facile par contre si on ne dispose que de 2 minutes et sans calculatrice c'est nettement plus compliqué.
Peux-tu vite faut expliquer ta solution avec une fonction, Martin s'il-te-plait ?
Une fonction du troisième coté ?
@@armand4226 soit x la base variable et h la hauteur. D'après Pythagore (x/2)²+h²=10²
Donc h=racine carrée de (100-x²/4)
Donc l'aire vaut base *h/2 = x*racine carrée de (100-x²/4)/2
Ensuite on remplace x par les valeurs proposées dans l'exercice.
@@martin.68 Extraordinaire, tout peut se mettre sous forme de fonctions, je suis épaté.
Bravo.
@@armand4226 oui, utiliser une fonction c'est surtout intéressant si tu veux optimiser une situation, on peut chercher la dérivée et étudier les variations pour déterminer la base pour laquelle l'aire est maximale.
On peut donc faire comme ça ?
Il faut que j'essaie de le faire ... ça va me prendre une demi journée 😅.
Ça n’aurait pas était plus simple de mettre les aires au carré pour faire les comparaison entre racine
TROP facile en 5 mn :
L'aire d'un Triangle Quelcconque est = 1/2 * Produit des longueurs de 2 de ces côtés * le sinus de l'angle entre CES 2 côtés !
Donc en particulier dans cet exersice avec triangle Isocelle : Aire = 1/2 * 10 * 10 * sin (angle entre les 2 côtés isocelle) !
En plus , Pour tout triangle la somme des longeur de 2 côtés est Superieure à longuer du 3èème => ici c'est vérifié par tous les triangles !
En plus plus la longeur du 3ème côté est grande plus l'angle entre les cotés egaux et donc le sinus est grand , A CONDITION QUE CET ANGLE NE SOIT PAS OBTUS (Càd Il doit ETRE Inferieur à 90°)
Donc pour triangle 10 10 15 L'angle entre 10 & 10 est obtus à cause du 15 ,
Triangle 10 10 19 Aussi
donc ce qui reste est 10 10 10 qui est aussi triangle Equilatérale donc => AIRE = 1/2 10 * 10 *sin (60°) (car chaque angle = 60°)
Aire = 50 * (sqrt(3) /2) CAR Sin (60°) = Sqrt (3) /2 { Sqrt = racine Carré)
AIRE = 25 sqrt(3) C'est LA Réponse ! TATARAAAAAAAAAAAA !!! 🙂
C'est la raison pour laquelle je ne suis pas allé à Oxford !🤔
Question subsidiaire : pour un triangle isocèle de côtés a, a, x, trouver la valeur de x qui maximise son aire.
Réponse :
.
.
.
.
x = a√2
oxford ca a changé
L'un des premiers à regarder
Je suis... "timide" en maths mais justement ça me permet de jouer AVANT lecture de la vidéo :
j'ai envie de dire 10-10-10 parce qu'avec 10 de côté on peut avoir 3 côtés de 10 km si on le souhaite.
Mais après, avec 2 côtés de 10 lieues, au delà, ça joint pu ! donc 10-10-15 ça fera jamais un triangle, du moins pas fermé.
01:20
.... ah ban BIEN SUR que Neine : j'avais pas tout visualisé... Oui bien sûr la limite serait 10+10 et 20 pour le 3e côté, ce serait un "triangle" confondu.
Donc pas de piège... Donc c'était pas la bonne raison, pour choisir 10x10x10.
Ah voilà, j'avais bien pensé au mot "isocèle", et effectivement, équilatéral...
euh.... : bon je vais m'en sortir en disant que, tout comme un carré, qui est un rectangle particulier, un équilatéral pourrait être un iso particulier . . . .
pour l'honneur ! Aller 😁😆
@@cslevine Démontrer que L'aire d'un triangle EST Egale à son demi-perimètre Multiplié par le Rayon du Cercle inscrit dans le triangle !
(le cercle inscrit dans un triangle est le cercle dont le centre est l'intersection des bissectrice des angles du triangle, et ce cercle est tangent à chacun des côtés du triangle)
20racine3=racine400×racine3=racine1200 et racine375 ,on voit clairement que 20racine3 est plus grand que racine 375,ça m'a permis d'être sûr de comprendre ce que je faisais, désolé j'ai commenté avant de finir la vidéo
Professeur, mais vous encore plus fort que Dr. Louapre ! Il vous suffit de résoudre le problème de millénaire ouvert '' P = NP ? '' pour obtenir la medaille Fields et le prix Abel En Mathématique Informatique Théorique ! 🙂
Pour aller a Oxford calcul et casse tete ya weldi ahna les arabes notre theoreme est simple tu veus aller a n'importe quel poste? Le theoreme arabe dit jmaatna wella mouch jmaatna et l'affaire est reglee kadech thebou tsaabou ednia
Promo>SM 🤪
0 calcul pour ma part juste par ordre de grandeur.
10-10-10 est éliminé d'office car pas isocèle mais équilatérale.
10-10-1 et 10-10-19 sont à peut de chose près les mêmes triangles qui sont proche d'être plat.
Reste donc 10-10-5 et 10-10-15. visuellement 10-10-15 semble couvrir plus de surface que le 10-10-5 car plus évasé bien que moins haut.
PS je viens de regarder la vidéo. Ca m'a retourner le cerveau mdr. Ceci dit, je n'ai jamais considéré un équilatérale comme étant un isocèle. J'ai toujours fait le distingo. Isocèle = 2 cotés égaux équilatérale = 3 coté égaux. et comme il faut être précis vis à vis de la consigne ben je l'ai éliminé directe.