【S-series#12】三角関数を含む無限級数【★6】

[@田村博志-z8y]

三角関数の複素数表示
e^( it ) = cos t + i sin t
を用いると理論上は何倍角でも等比級数に帰着できます。

[@Kaimochi-]

ホントですか…！！Σ(ﾟДﾟ)
良ければ方法を教えて頂けませんか…！！

[@田村博志-z8y]

@@Kaimochi- さん
今回の問題でいうなら
a_n = π/2^n
とおくと
sin t = ( e^( it ) - e^( - it ) )/( 2i )
に t = a_n を代入して
sin a_n = ( e^( ia_n ) - e^( - ia_n ) )/( 2i )
あとはこれを頑張って 4 乗すれば複素指数関数の線形結合で書けます。
これに 4^n を掛けると 4 = e^( log 4 ) と変形すれば
e^(なんちゃら)
という項がたくさん出てきます。途中に複素数の計算を挟みますが
結論はある複素数の虚部になるはずです。元の sin a_n を複素数の虚部として
表しているので。
実数だけで話を進めるならチェビシェフ多項式ですね。

[@Kaimochi-]

@@田村博志-z8y なるほど…！！オイラーを使って指数関数で求めるんですね…！！
丁寧に説明ありがとうございます…！！！

[@shikaishik]

これを見つけるのもすごいですね

[@Kaimochi-]

問題は思い付けてもこの解法を思い付くのは難しいですよね笑…