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備忘録70G Re:make" 〖別解〗【 与式の 左辺を f(x)とおく。 y＝ f(x) の 変曲点 ( －a, f(a) ) に関する *対称性を活用する. 】 x 軸方向に ＋a 平行移動して、 y＝ f( x－a ) ＝ ･･･ ＝ x³ －3 a ( a－1 ) ( x －a ) これを g(x) とおくと、 g(x)＝ 0 の異なる実数解の個数が 求めるもの。 g'(x)＝ 3 { x² －a ( a－1 ) } g'(x)＝ 0 とおくと、x²＝ a ( a－1 ) ･･･① (ⅰ) a ( a－1 ) ≦ 0 ⇔ 0 ≦ a ≦ 1 のとき、 g(x)は 単調増加で、1個。(ⅱ) a ( a－1 ) > 0 ⇔ a < 0, 1 < a のとき、x＝ ± √ ( a ( a－1 ) ) ＝ α , β で g(x)は 極値をもつ。 g(α) × g(β) ＝ ･･･ ＝ a² ( a－1 )² × a ( 5a＋4 ) これより、 a＝－4/5 のとき、g(α) × g(β)＝ 0 で 2個 ■, －4/5 < a < 0 のとき、g(α) × g(β) < 0 で 3個 ■, (ⅰ) と合せて、 a
週末のため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを午前中に済ませました。note.com/pc3taro/n/n36093a5361faa1 のときの f(α)f(β)
(x+a)^3=3a(a-1)x 全体+a平行移動して x^3=3a(a-1)(x-a)a=0 の場合は解1個とすぐわかる。非ゼロの場合両辺a^3で割ってX=x/a とおくとX^3=3(1-1/a)(X-1) となって、y=X^3 と (1,0)とおる直線の共有点の数に帰着される。（1行目の数式、入力ミスってたのを修正しました）
自己レスですが、も少し工夫すれば普通の定数分離の形に帰着できますね。上のXに関する方程式を、(X-1)/X^3 =1/{3(1-1/a)} と変形して、t=1/Xとおけば左辺=(1-t)t^2 となって、簡単な3次関数の定数分離形。分母≠0条件には少々気を使わねばならんけど。
判別式で極値有無の判定、次数下げ、極値の積の正負で判定。までは行けたのに、最後の積で解と係数の関係ではなく解の公式から出てきた式を代入して失敗。それでも計算し、a-1=Aとか置いて9a⁴A²-4a³A³までは合っていたのに…括り出すのに次数を勘違い、a³A³(9aA-4)とかやって誤答がぁぁぁ
微分した式、すなわちα、βを代入した値が0になる式で割らないと地獄ですね
おはようございます。この問題で、「次数下げ」を使わないと "とんでもない" ことになりそうですね。
これは計算力が求められる問題ですね。こういう問題で落とさないように、計算練習も怠らず進めようと思います。
ただ面倒くさいだけで、易問に属する問題だと思いますが、「医者になりたいのなら、こういう面倒くささに耐えて、かつ、正確な分類ができるようじゃなきゃダメだよ」というメッセージなのかも知れませんね。
定数分離は困難なので、３次関数として極値の有無／正負を考えるしかなさそう。でも、そのままで極値を考えるのは計算が面倒。昨日と同様の手法を用いて、(x+a)^3 に近い形であることに注目し適切に平行移動することにより、極値の計算を楽にできます。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~＜亜流／略解＞：（※以下a∈ℝは与えられているものとします。おそらく入試原文ではそうなっていたはずです。） y = x+a …① g(y) = f(x)= (x+a)^3 - 3a(a-1)x = y^3 - 3a(a-1)(y-a) …②と置く。①のもとでxとyは一対一に対応しており、①,②のもとでは f(x)=0 ⇔ g(y)=0 だから、 f(x)=0の実数解の個数とg(y)=0の実数解の個数は一致する。…★ここで (1/3)g'(y) = y^2 - a(a-1) より、下記1°,２°が従う。----------------------------------------------1°) a(a-1)≦0 のとき（すなわち 0≦a≦1 のとき）：y∈ℝ全体に亘り、g'(y)≧0（等号成立は高々１点のみ）だから、g(y)は連続な狭義増加関数。さらに y→±∞ のとき g(y)→±∞（複号同順）であることにも注意して、中間値の定理とから、g(y)=0は唯１つの実数解をもつ。すなわち、g(y)=0の実数解の個数は１個。----------------------------------------------2°) a(a-1)>0 のとき（すなわち a1…① のとき）：以下簡便のために、00より前記積の符号は 9a^2 - 4A = 9a^2 - 4a(a-1) = 5a^2 + 4a = a(5a+4)の符号に一致することにも注意して、①において a0 ⇒ 1個（※g(y)=0の実数解の個数のこと／以下同様） a=-4/5 ⇒ a(5a+4)=0 ⇒ 2個 -4/5
同じやり方でした。いかに計算をラクにするか、微分した式を使う定石を使えるかがポイントですね。定数分離での解法できるのかな…
(x+a)³かと思ったら違った
極値の積の考え方は合ってたが計算ミスをして正解にはたどり着けなかった早朝にはきつい問題でした
いろいろな知識を詰め込んだ良問ですね。これを初見で解けるようになりたいです笑
判別式知ってたから、２次の項を消すため(x+a)^3+3a(1-a)(x+a)+3a^2(1-a)=0に変形して、D=-4c^3-27d^2に代入して求めた。
朝から私の中古の脳味噌が、悲鳴をあげて勉強をさせて頂きました。感謝します。 解法の方針を立ててからひたすら耐えて、問題を解く忍耐力も体験しました。
この問題扱うの今回で3回目くらいじゃないですか？気のせいですかね笑貫太郎先生は横市の医学部の問題好きですよね！
すいません。勘違いをしたため、コメント削除しました。
字数下げまではできたけど αとβを置く発想がなくて αとβ出して代入しようとしてた反省
方針は貫太郎さんと全く同じでしたが計算ミスしてました
おはようございます☀全統プレテスト行って参ります。
私もです！お互い頑張りましょう！！
がんばりましよう！
頑張れ💪
貴殿の実力の発揮を、陰ながら祈っています。私は、来月資格試験に挑戦します。追い込み中です。
健闘を祈ります👍
(-2α+a)(-2β+a)=4a+5a²のところはf’(x)/3=x²+2ax+a=(x-α)(x-β)だから(-2α+a)(-2β+a)=4(a/2-α)(a/2-β)=4f'(a/2)/3=4[(a/2)²+2a(a/2)+a]=a²+4a²+4a=5a²+4aと計算することもできます．
f（α）f（β）＞0 の時1個は考えなくていいのでしょうか？ 勘違いしてたらすみません。
自分はa
そこの分類が最初抜けてて，後付けでa< - 4/5なら1個ってのを付け加えた感じでしたね結果的には漏れていないのですが，最初の分類で抜けていたので，唐突感を覚える人がいるかもしれませんね
色々詰まってていい問題だなー
昨日気づいたんだけど２０２１って素数じゃなくて４３×４７なんだな
貫太郎さんが散々言ってますよそれ
おはようございます。極大値と極小値の差が＞０の場合３個、＜＝０の場合１個、等で整理してみましたがどうしても、条件に√が出てきてしまい、迷走しました。やはりｆ(α)f(β）の符号の検討がベストですね。もう一度解いて見ます。方程式の解の個数問題の解法はパターン化して憶えておくべきですね。明日もよろしくお願いします。
なんか一対一で見た気がしなくもない
おはようございます。
これ、微分するところまでは思いつくだろうけど、その先が長すぎるｗまぁ、大学入試…それも医学部入試でそんな単純な問題が出るわきゃないが、それにしても、もう少し楽な解法がありそうに見える気がするのも落とし穴の様な。もっと単純に、微分した式が0になるような条件から攻めていく人も居そうだが、それだと詰むのかなぁ…
いつも数学を勉強させていただいております提案なのですが、詰将棋と数学の動画投稿をするアカウントを別々にしてはいかがでしょうか
youtuberのブランディングのことをなんも分かっとらんなお前は
そのままf'(x)で割らずに、どうせ0になる(X²+2aX+a)で割った方が、多少 割り算が楽かなと思いました。そんなに手間は変わらないですけどね！
f(x)をf'(x)/3で割る
個人的には2年前の ruclips.net/video/wCT4GX3L8eI/видео.html がいいです😉
😍😍
2003年阪大の整数といて欲しいです
ヨシッ❗
これ気がついたんですけど、このグラフをx軸方向にaだけ移動させればかなり計算楽になりますね
y方向には変化させないので、グラフ自体は全く合同
スーパー場合わけ問題
極値同士の積で個数評価するの忘れてたから地道に場合わけしたンゴ
解と係数の関係微分した2次方程式の判別式次数下げ極値の積を使った3次方程式の実数解個数判定このチャンネルの3次関数問題の集大成みたいな問題ですね😄これらを全て知っていれば解ける問題ではありますが医学部らしい問題で計算やaの範囲の整理が面倒でした😅
ruclips.net/video/wCT4GX3L8eI/видео.htmlは2年前のですが３分０１秒 のところ a>0 じゃないかと…KTさん 私が違ってたら教えて頂けませんか？ ただa＝０でなければ解答に影響を与えることはないのでどうでもいいんですが 夜遅くすみません。レスポンス何時でもいいです。
@@coscos3060 さんa(a - 1) > 0 となる条件の話なので，すなわち，aとa - 1が「ともに正」または「ともに負」これを不等式で表すとa > 0 かつ a - 1 > 0 ⇒ a > 0 かつ a > 1 ⇒ まとめると，a > 1またはa < 0 かつ a - 1 < 0 ⇒ a < 0 かつ a < 1 ⇒ まとめると，a < 0これらをさらにまとめると，結局のところa < 0 または a > 1なので，板書どおりで良いかと思います。板書では”a < 0，a > 1”と書かれているので，少しわかりづらいのかもしれません。板書のカンマを「または」と読み替えるとしっくりくるかもしれませんね。こんな答えで大丈夫でしょうか？
@@KT-tb7xm さん 板書のカンマを「または」と読み替えるといいですね😊夜分遅くに 失礼いたしました。 助かりました今回のはまるで？？でしたんで2年前の視聴したら消化でき安眠できそうです😂 ありがとうございました。
@@coscos3060 さん良かったです😄
@@KT-tb7xm さんおはようございます。蛇足ですが こういうのは、今回はaに関する２次関数グラフを書き範囲について精査すれば自明ですね。
行き返り曲線考えています
本日は2週に一度の猫さまの動物病院の日なのでこの時刻のコメントです。病院に行ったら、主治医の先生が「老朽化に伴い血液検査の器機を更新しました。検査項目が増えます。それに伴い検査費用も増額です。」そう言われると「ハイ分かりました。」としか言えない･･･2週に一度の病院で1回当たり3000円程度の増額は、定年したものには正直「ピエ〜ン」。確かに、検査項目は凄く増えているけど、今のウチの子の状況ではこんなに検査項目要らんだろう？です。この問題も2回目の掲出であることにはまったく気付きませんでした。当時の自分のコメントを見ると微分した式で割ってやって次下げするというテクニックがなかったみたいで、それなりに進化したのかな？というところです。冒頭の貫太郎先生のお言葉「寸分違わず？同じでした。」一見 (x+a)³「風の」方程式に何か意味があるのか？と思いましたが、方程式の形自体には意味はなかったみたいですね。ただ、a=0 のとき y=x³ と一番シンプルな3次関数になり、解は1個。a=1 のとき 「風」が取れて y=(x+1)³ となり、y=x³ をｘ軸方向に −1平行移動したものになるから解は1個。これから、「多分 少なくとも 0 ≦ x ≦ 1 では解は一個ではないか？」という予想のもとに問題に取り組めたのは御利益だったかも知れません。答えが出て a の範囲を整理するとき、x=0 を境に実数解がいきなり3個から1個になり一瞬「？」とはなってしまいました。GeoGebra でグラフを描かせて a の値をスライドさせるとこの辺りのグラフの振る舞いを見ることができなかなか興味深かったです。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。
おはようございます。数学の問題を解く過程は、連想ゲｰムに近いと私は考えています。 問題を見てから、どのような解法を使って解いたら良いかを、判断(連想)します。 今日も地道に数学を勉強させて頂きます。
3”a”xなら解けた
備忘録70G Re:make" 〖別解〗
【 与式の 左辺を f(x)とおく。 y＝ f(x) の 変曲点 ( －a, f(a) ) に関する *対称性を活用する. 】
x 軸方向に ＋a 平行移動して、 y＝ f( x－a ) ＝ ･･･ ＝ x³ －3 a ( a－1 ) ( x －a )
これを g(x) とおくと、 g(x)＝ 0 の異なる実数解の個数が 求めるもの。
g'(x)＝ 3 { x² －a ( a－1 ) } g'(x)＝ 0 とおくと、x²＝ a ( a－1 ) ･･･①
(ⅰ) a ( a－1 ) ≦ 0 ⇔ 0 ≦ a ≦ 1 のとき、 g(x)は 単調増加で、1個。
(ⅱ) a ( a－1 ) > 0 ⇔ a < 0, 1 < a のとき、x＝ ± √ ( a ( a－1 ) ) ＝ α , β で g(x)は 極値をもつ。
g(α) × g(β) ＝ ･･･ ＝ a² ( a－1 )² × a ( 5a＋4 ) これより、
a＝－4/5 のとき、g(α) × g(β)＝ 0 で 2個 ■,
－4/5 < a < 0 のとき、g(α) × g(β) < 0 で 3個 ■,
(ⅰ) と合せて、 a
週末のため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップを午前中に済ませました。
note.com/pc3taro/n/n36093a5361fa
a1 のときの f(α)f(β)
(x+a)^3=3a(a-1)x 全体+a平行移動して x^3=3a(a-1)(x-a)
a=0 の場合は解1個とすぐわかる。非ゼロの場合両辺a^3で割ってX=x/a とおくと
X^3=3(1-1/a)(X-1) となって、y=X^3 と (1,0)とおる直線の共有点の数に帰着される。
（1行目の数式、入力ミスってたのを修正しました）
自己レスですが、も少し工夫すれば普通の定数分離の形に帰着できますね。
上のXに関する方程式を、(X-1)/X^3 =1/{3(1-1/a)} と変形して、t=1/Xとおけば
左辺=(1-t)t^2 となって、簡単な3次関数の定数分離形。
分母≠0条件には少々気を使わねばならんけど。
判別式で極値有無の判定、次数下げ、極値の積の正負で判定。
までは行けたのに、最後の積で解と係数の関係ではなく解の公式から出てきた式を代入して失敗。
それでも計算し、a-1=Aとか置いて9a⁴A²-4a³A³までは合っていたのに…
括り出すのに次数を勘違い、a³A³(9aA-4)とかやって誤答がぁぁぁ
微分した式、すなわちα、βを代入した値が0になる式で割らないと地獄ですね
おはようございます。
この問題で、「次数下げ」を使わないと "とんでもない" ことになりそうですね。
これは計算力が求められる問題ですね。
こういう問題で落とさないように、計算練習も怠らず進めようと思います。
ただ面倒くさいだけで、易問に属する問題だと思いますが、「医者になりたいのなら、こういう面倒くささに耐えて、かつ、正確な分類ができるようじゃなきゃダメだよ」というメッセージなのかも知れませんね。
定数分離は困難なので、３次関数として極値の有無／正負を考えるしかなさそう。
でも、そのままで極値を考えるのは計算が面倒。
昨日と同様の手法を用いて、(x+a)^3 に近い形であることに注目し適切に平行移動することにより、極値の計算を楽にできます。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
＜亜流／略解＞：（※以下a∈ℝは与えられているものとします。おそらく入試原文ではそうなっていたはずです。）
y = x+a …①
g(y) = f(x)= (x+a)^3 - 3a(a-1)x = y^3 - 3a(a-1)(y-a) …②
と置く。①のもとでxとyは一対一に対応しており、①,②のもとでは f(x)=0 ⇔ g(y)=0 だから、
f(x)=0の実数解の個数とg(y)=0の実数解の個数は一致する。…★
ここで (1/3)g'(y) = y^2 - a(a-1) より、下記1°,２°が従う。
----------------------------------------------
1°) a(a-1)≦0 のとき（すなわち 0≦a≦1 のとき）：
y∈ℝ全体に亘り、g'(y)≧0（等号成立は高々１点のみ）だから、g(y)は連続な狭義増加関数。さらに
y→±∞ のとき g(y)→±∞（複号同順）
であることにも注意して、中間値の定理とから、g(y)=0は唯１つの実数解をもつ。すなわち、g(y)=0の実数解の個数は１個。
----------------------------------------------
2°) a(a-1)>0 のとき（
すなわち a1…① のとき）：以下簡便のために、00より前記積の符号は
9a^2 - 4A = 9a^2 - 4a(a-1) = 5a^2 + 4a = a(5a+4)
の符号に一致することにも注意して、①において
a0 ⇒ 1個（※g(y)=0の実数解の個数のこと／以下同様）
a=-4/5 ⇒ a(5a+4)=0 ⇒ 2個
-4/5
同じやり方でした。
いかに計算をラクにするか、微分した式を使う定石を使えるかがポイントですね。定数分離での解法できるのかな…
(x+a)³かと思ったら違った
極値の積の考え方は合ってたが計算ミスをして正解にはたどり着けなかった
早朝にはきつい問題でした
いろいろな知識を詰め込んだ良問ですね。
これを初見で解けるようになりたいです笑
判別式知ってたから、
２次の項を消すため
(x+a)^3+3a(1-a)(x+a)+3a^2(1-a)=0
に変形して、
D=-4c^3-27d^2に代入して求めた。
朝から私の中古の脳味噌が、悲鳴をあげて勉強をさせて頂きました。感謝します。
解法の方針を立ててからひたすら耐えて、問題を解く忍耐力も体験しました。
この問題扱うの今回で3回目くらいじゃないですか？
気のせいですかね笑
貫太郎先生は横市の医学部の問題好きですよね！
すいません。勘違いをしたため、コメント削除しました。
字数下げまではできたけど αとβを置く発想がなくて αとβ出して代入しようとしてた
反省
方針は貫太郎さんと全く同じでしたが計算ミスしてました
おはようございます☀
全統プレテスト行って参ります。
私もです！お互い頑張りましょう！！
がんばりましよう！
頑張れ💪
貴殿の実力の発揮を、陰ながら祈っています。私は、来月資格試験に挑戦します。追い込み中です。
健闘を祈ります👍
(-2α+a)(-2β+a)=4a+5a²のところはf’(x)/3=x²+2ax+a=(x-α)(x-β)だから
(-2α+a)(-2β+a)=4(a/2-α)(a/2-β)=4f'(a/2)/3=4[(a/2)²+2a(a/2)+a]=a²+4a²+4a=5a²+4a
と計算することもできます．
f（α）f（β）＞0 の時1個は考えなくていいのでしょうか？ 勘違いしてたらすみません。
自分はa
そこの分類が最初抜けてて，後付けでa< - 4/5なら1個ってのを付け加えた感じでしたね
結果的には漏れていないのですが，最初の分類で抜けていたので，唐突感を覚える人がいるかもしれませんね
色々詰まってていい問題だなー
昨日気づいたんだけど２０２１って素数じゃなくて４３×４７なんだな
貫太郎さんが散々言ってますよそれ
おはようございます。極大値と極小値の差が＞０の場合３個、＜＝０の場合１個、等で整理してみましたがどうしても、条件に√が出てきてしまい、迷走しました。やはりｆ(α)f(β）の符号の検討がベストですね。もう一度解いて見ます。方程式の解の個数問題の解法はパターン化して憶えておくべきですね。明日もよろしくお願いします。
なんか一対一で見た気がしなくもない
おはようございます。
これ、微分するところまでは思いつくだろうけど、その先が長すぎるｗ
まぁ、大学入試…それも医学部入試でそんな単純な問題が出るわきゃないが、それにしても、もう少し楽な解法がありそうに見える気がするのも落とし穴の様な。
もっと単純に、微分した式が0になるような条件から攻めていく人も居そうだが、それだと詰むのかなぁ…
いつも数学を勉強させていただいております
提案なのですが、詰将棋と数学の動画投稿をするアカウントを別々にしてはいかがでしょうか
youtuberのブランディングのことをなんも分かっとらんなお前は
そのままf'(x)で割らずに、どうせ0になる(X²+2aX+a)で割った方が、多少 割り算が楽かなと思いました。そんなに手間は変わらないですけどね！
f(x)をf'(x)/3で割る
個人的には2年前の ruclips.net/video/wCT4GX3L8eI/видео.html がいいです😉
😍😍
2003年阪大の整数といて欲しいです
ヨシッ❗
これ気がついたんですけど、このグラフをx軸方向にaだけ移動させればかなり計算楽になりますね
y方向には変化させないので、グラフ自体は全く合同
スーパー場合わけ問題
極値同士の積で個数評価するの忘れてたから地道に場合わけしたンゴ
解と係数の関係
微分した2次方程式の判別式
次数下げ
極値の積を使った3次方程式の実数解個数判定
このチャンネルの3次関数問題の集大成みたいな問題ですね😄
これらを全て知っていれば解ける問題ではありますが
医学部らしい問題で計算やaの範囲の整理が面倒でした😅
ruclips.net/video/wCT4GX3L8eI/видео.html
は2年前のですが３分０１秒 のところ a>0 じゃないかと…
KTさん 私が違ってたら教えて頂けませんか？ ただa＝０でなければ解答に影響を与えることはないのでどうでもいいんですが 夜遅くすみません。レスポンス何時でもいいです。
@@coscos3060 さん
a(a - 1) > 0 となる条件の話なので，すなわち，
aとa - 1が「ともに正」または「ともに負」
これを不等式で表すと
a > 0 かつ a - 1 > 0 ⇒ a > 0 かつ a > 1 ⇒ まとめると，a > 1
または
a < 0 かつ a - 1 < 0 ⇒ a < 0 かつ a < 1 ⇒ まとめると，a < 0
これらをさらにまとめると，結局のところ
a < 0 または a > 1
なので，板書どおりで良いかと思います。
板書では”a < 0，a > 1”と書かれているので，少しわかりづらいのかもしれません。
板書のカンマを「または」と読み替えるとしっくりくるかもしれませんね。
こんな答えで大丈夫でしょうか？
@@KT-tb7xm さん 板書のカンマを「または」と読み替えるといいですね😊
夜分遅くに 失礼いたしました。 助かりました
今回のはまるで？？でしたんで2年前の視聴したら消化でき安眠できそうです😂 ありがとうございました。
@@coscos3060 さん
良かったです😄
@@KT-tb7xm さん
おはようございます。蛇足ですが こういうのは、今回はaに関する２次関数グラフを書き範囲について精査すれば自明ですね。
行き返り曲線考えています
本日は2週に一度の猫さまの動物病院の日なのでこの時刻のコメントです。
病院に行ったら、主治医の先生が「老朽化に伴い血液検査の器機を更新しました。検査項目が増えます。それに伴い検査費用も増額です。」そう言われると「ハイ分かりました。」としか言えない･･･
2週に一度の病院で1回当たり3000円程度の増額は、定年したものには正直「ピエ〜ン」。確かに、検査項目は凄く増えているけど、今のウチの子の状況ではこんなに検査項目要らんだろう？です。
この問題も2回目の掲出であることにはまったく気付きませんでした。当時の自分のコメントを見ると微分した式で割ってやって次下げするというテクニックがなかったみたいで、それなりに進化したのかな？というところです。冒頭の貫太郎先生のお言葉「寸分違わず？同じでした。」
一見 (x+a)³「風の」方程式に何か意味があるのか？と思いましたが、方程式の形自体には意味はなかったみたいですね。ただ、a=0 のとき y=x³ と一番シンプルな3次関数になり、解は1個。
a=1 のとき 「風」が取れて y=(x+1)³ となり、y=x³ をｘ軸方向に −1平行移動したものになるから解は1個。これから、「多分 少なくとも 0 ≦ x ≦ 1 では解は一個ではないか？」という予想のもとに問題に取り組めたのは御利益だったかも知れません。
答えが出て a の範囲を整理するとき、x=0 を境に実数解がいきなり3個から1個になり一瞬「？」とはなってしまいました。
GeoGebra でグラフを描かせて a の値をスライドさせるとこの辺りのグラフの振る舞いを見ることができなかなか興味深かったです。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
おはようございます。数学の問題を解く過程は、連想ゲｰムに近いと私は考えています。
問題を見てから、どのような解法を使って解いたら良いかを、判断(連想)します。
今日も地道に数学を勉強させて頂きます。
3”a”xなら解けた