Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]
HTML-код
- Опубликовано: 7 фев 2025
- Канал Юры Маркелова -- / @yuriimarkelov
Интервью "Юра Ищет Призвание" -- • ЮРА ИЩЕТ ПРИЗВАНИЕ
RUclips-канал Ассоциации Победителей Олимпиад -- / @apo_rf
ВК-группа АПО по математике -- olymp_m...
Сообщество "Олимпиадная геометрия":
ВК -- olympgeom
Telegram -- t.me/olympgeom
RUclips -- / olympiadgeometry
Каналы со школьной простой геометрией:
Геометрия с нуля -- / @Геометрияснуля
Школково -- / @shkolkovo
Решения можно писать в комментарии или на почту SavvateevGeometry@gmail.com.
Задачи:
EASY - (Олимпиада им. Шарыгина, заочный тур, 2009. Автор: Владимир Протасов) Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно. Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания со вписанной окружностью.
MEDIUM - (Санкт-Петербургская математическая олимпиада, 1999. Автор: Фёдор Бахарев). В неравнобедренном треугольнике АВС проведены биссектрисы AA1 и CC1 , кроме того, отмечены середины К и L сторон АВ и ВС соответственно. Точка Р - основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на прямую CC1 , а точка Q - основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на прямую AA1 . Докажите, что прямые КР и LQ пересекаются на стороне АС.
HARD - (Задача M12165 из журнала American Mathematical Monthly. Авторы: Tran Quang Hung и Nguyen Minh Ha (Вьетнам)) Пусть MNPQ - прямоугольник с центром K, вписанный в треугольник ABC так, что точки N и P лежат на сторонах AB и AC соответственно, в то время как M и Q лежат на BC. Вписанная окружность △BMN касается BM в точке S и BN в F, вписанная окружность △CQP касается CQ в T и CP в E. Пусть L - точка пересечения линий FS и ET. Докажите, что KL делит пополам отрезок ST.
🎯 Поддержать популяризацию математики на Патреоне: / savvateev
Наши ресурсы: alexei_... / aleksey_savvateev / savvatan savvateev.live... savvateev.xyz t.me/savvateev...
НАКОНЕЦ-ТО !!!! Юрик, с почином тебя!! Досмотрю вечером, а сейчас побежал фигачить весь день по Москве и Подмосковью!!! До встреч в лесах и парках, с кем мой путь пересечётся :-)))
Юрий, красавец. Столько людей боятся геометрию и ее не любят на всех уровнях. Надеюсь что все лекции будут максимально популярны!
Спасибо!!!
Чееел, это так круто, продолжай снимать!!! Интересные факты в геоме это прямо то, что нужно летом для полезного проведения времени, тем более, что они действительно помогают решать задачи(я только посмотерл и сразу решил одну задачу, над которой думал часа 3))) С нетерпением жду продолжения!!!!!!!!!!!!!!!!!
Шикарно! Нельзя прекращать данную рубрику! Все кристально ясно!
Я случайно через математика и его группу попала на эту рубрику по геометрии. Мне маме домохозяйке это не надо, но моим детям в будущем это будет очень полезно. В школе мой любимый предмет это геометрия и черчение.наверное поэтому я закончила строительный, в добавок шью что-то и крою....геометрия нужна однозначно в жизни. Один из самых практичных уроков после начальной школы
Отлично получилось! Все четко и понятно (а в геометрии это далеко не у всех получается), продолжай!
Я думал только Савватеев на спидах сидит
@@diogeneslaertius3365 В твоём случае правильно писать "невыкупающий ников душнила" :3
что такое спид? это же заболевание какое-то, или я перепутал?
@@Маткульт-приветАлексейСавватее спид (speed) - скорость
@@Маткульт-приветАлексейСавватее жаргонное название некоторой группы наркотических средств
Спасибо , получил удовольствие от лекции :-----)
Продолжай в том же духе! Очень интересно слушать!
Последняя задача - мощнейший катарсис, спасибо большое! Решение не напишу, потому что этот комментарий слишком мал для него)
Хочу ещё!
Позволю себе немного конструктивной критики. Раз уж видео посвящено одному геометрическому факту, то имеет смысл рассказывать разные его доказательства. Например, не только с помощью счета углов, но и с помощью счета отрезков. Осознание утверждения с разных сторон расширяет возможности его применения. Во-вторых, конечно, полезно было бы сказать, что абсолютно аналогичные утверждения верны для вневписанных окружностей и служат источником даже куда большего количества нетривиальных задач. В-третьих, я рекомендую при подготовке лекции думать, нельзя ли где-то провести счет углов альтернативным, более простым, способом. Мне показалось, что в этом видео счет далеко не везде оптимальный и не везде универсальный (сильно опирается на картинку), думаю, что это для многих усложняет восприятие. Ну и маленькое техническое замечание: в конце видео ссылки появляются не в тот момент, когда о них говорит лектор, а сильно позже, поэтому некоторые фразы выглядят странно.
А так, желаю удачи!
Мне кажется если Юра будет регулярно снимать ролики с таким же энтузиазмом, то этот проект станет очень успешным.
Но хотелось бы видеть по больше домашних задач уровня HARD.
Решения:
HARD:
Проведем биссектрисы MM' и QQ' углов NMB и PQC соответственно, которые пересекают прямые FS и ET в точках M' и Q'.По лемме 255 M' лежит на средней линии параллельной ВМ, аналогично Q' лежит на ср. линии параллельной QC => прямая M'Q' проходит через середины стoрон MN и PQ и параллельна MQ => M'Q' проходит через точку К. Из равенств треугольников MM'N и QQ'P нетрудно увидеть что M'K = KQ'.
Так как ST || M'Q', M'K = KQ' => SX = XT, где Х - точка пересечения KL и ST (нетрудно увидеть из подобия)
Посмотрим, насколько часто получится. Попробую давать больше сложных задач.
А решение абсолютно правильное и вроде, из всех в комментах -- самое короткое!
Блестяще! Спасибо, буду теперь изучать геометрию :-)
У тебя хорошие ораторские способности для своего возраста
Да кринжовый немного
Спасибо!
@@ВсевидящееокоПутина немного страшно получать такие комменты от человека с таким ником...
@@YuriiMarkelov АХАХА
EASY: M' - точка пересечения KL с биссектрисой угла C(K, l - точки касания), тогда по теореме 255 угол BM'C = 90 => M = M' и с др. стороны аналогично, ЧТД
MED: точка P лежит на ср. линии параллельной BC(по теореме 255)=> KP пересекает AC в середине, аналогично для LQ => пересечение LQ и KP - середина AC, которая лежит на AC, ЧТД
HARD: проведём прямую параллельную BC через K, пусть эта прямая пересекает FS В Р', QE-Q'.
т.к. K - центр прямоугольника, то эта прямая делит NM пополам. Т.к эта прямая параллельна BM и делит NM - на две части, то это ср. линия BNM, тогда точка P' - это точка из теоремы 255 => угол MP'N = 90, аналогично угол PQ'Q = 90. Пусть эта прямая пересекает NM в M1, PQ в M2, тогда KM1 = KM2(половина стороны прямоугольника), т.к эта прямая перпендикулярна NM и делит её пополам, то NP'M - равнобед(P'M1 - медиана, высота), аналогично для PQ'Q. угол NP'M = угол PQ'Q = 90, PQ = NM, P'NM, PQ'Q - равнобед. => P'NM = PQ'Q. Значит P'M1 = Q'M2 => P'K = KQ'.
Т.к BC параллельно P'Q' => LST подобен LP'Q' => если LK - медиана в LP'Q', то LK'(K' - пересечение LK и BC) - медиана в LST => SK' = K'T, ЧТД.
Всё правильно! Вы прошли этот уровень... Жду Вас в комментариях к следующей лекции.
Жду следующий выпуск)
Отлично!!!! То что искал, спасибо!
Пожалуйста!!!
Upd: буковки поправлены.
Hard.
В упоминании в ролике не нуждаюсь.
Биссектриса
Правильно! В буковках пару раз запутались, а так абсолютно верное решение!
Видно, что вы сильный геометр! Про перенос на PN подумаю, спасибо!
Кстати, задача Hard, если не говорить, что надо через 255 решать, действительно Hard.
Прекрасная подача! Жду как можно больше геомы на этом канале)
Спасибо! А вы задачи в конце попробовали решить?
@@YuriiMarkelov Решил за минут 15 Easy и Medium,щас решаю Hard)
8:18
Проще было бы сделать так. Пусть M - середина AC, и N - середина BC. MP - медиана в прямоугольном треугольнике APC, тогда треугольник AMP равнобедренный и угол PMC в два раза больше угла PAC, то есть равен углу BAC, который равен углу NMC. Значит, M, N и P лежат на одной прямой.
Действительно, можно было и так доказать! Спасибо, не знал о таком несложном способе)
Очень крутой посыл у парня. Посмотрела первые 2 минуты и пошла зарисовывать!
Только некоторые факты, проговаривает быстро. Слишком.8:28. Не хватает Трушинской паузы и вопроса: «так ребята?»
Здорово! Забавный ведущий
Спасибо! Очень приятно)
Парень крутой, лайк :)
Спасибо=)
Да, товарищи Tran Quang Hung и Nguyen Minh Ha с квадратом красиво придумали.
13:07 А разве
Классное видео. Ведущий суперски знает геому.
Но есть небольшие замечания. Темп речи довольно быстрый, не надо так ускоряться на первых минутах объяснения: люди ещё не вникли в рисунок, а уже начинаете применять теоремы. И лучше ускорять свою речь по ходу обсуждения, чтобы люди смогли лучше понять твои мысли. Лучше дублировать углы и фигуры для которых применяется теорема, ведь рисунок не всегда получается идеальным, разсказчик больше держит его в голове, чем на доске. После доказательства можно привести за 1-2 минуты краткий обзор, план всего решения не вдаваясь в подробности, показывая всё на рисунке.
Спасибо за похвалу и советы!
@_TeUm_ Вот!
Это то, что я хотел!!!! Спасибо!!!!!
Ура! Пожалуйста!
@@YuriiMarkelov я скоро начну решать. Я сам только 7 класс закончил, но о вписанных углах и пропорциях я что-то знаю! Я постараюсь решить хотя бы 1 уровень. Если получится, то я возможно решение напишу(зависит от ситуации) Но я очень счастлив тому, что теперь тут будет геометрия, надеюсь будет больше выпусков!!!!!
@@YuriiMarkelov первую задачу сейчас решил, вот решение:
Пусть точки касание будут K и L(К на AB, L на АС), пусть KL пересекает биссектрису CM в точке Х, а биссектрису BN в точке Y, тогда по задаче номер 255 угол BXC равен 90 градусов, и угол BYC тоже равен 90 градусов. Заметим, что из точки В опущено два перпендикуляра на СМ - ВМ и ВX, но тогда точка Х совпадает с М. Аналогично получаем что точка Y совпадает с N. Точки К,L,X,Y лежат на одной прямой, тогда точки M,N,K,L лежат на одной прямой. А это и требовалось доказать!!
Если есть ошибки, то жду разъяснений и объяснений)!
Абсолютно правильно!
Осталось ещë две задачи! MEDIUM Вам точно по силам!!!
@@YuriiMarkelov я его буду решать конечно же, но позже. Может быть решение на почту пришлю
А на каком основании мы сделали вывод что точка центр окружности лежит на биссектрисе?
Это общеизвестный факт: центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
Это очень интересно, пж продолжай делать контент
Давайте обмен?
Вы пишите решение какой-нибудь из задач EASY, MEDIUM
HARD в комменты, а я обещаю сделать вторую серию.
Согласны?
@@YuriiMarkelov, а можно я так?)
@@ОлегФилиппов-с9с Да! Только с Вас, судя по Вашему уровню, решить задачу HARD!
@@YuriiMarkelov Смотрите!
Рассмотрим треугольник BMN. Пусть в нём биссектриса прямого угла М пересекает прямую FS в точке O. Это точка из 255 задачи, значит, через неë проходит средняя линия треугольника, параллельная BM. Она пересекает NM в еë середине Х и на ней же лежит центр прямоугольника К.
Аналогично для треугольника CQP и точки R пересечения биссектрисы и прямой ЕТ. (Середину PQ обозначим за Y).
KX = KY из симметрии, OX = YR из равенства треугольников RYQ и FXM (по катету ХМ=YQ и острому углу в 45°) => OK=RK.
ST || OR => SORT - трапеция. По замечательному свойству трапеции RT и OS пересекаются в точке, через которую проходит прямая, соединяющая середины оснований трапеции. К - середина, а значит KL делит ST пополам, что и требовалось.
HARD:
Проведём биссектрисы прямых углов треугольников MBN и PQC и пересечем с прямыми FS и ET в точках X и Y. Из задачи 255 уголMXN=уголQYP=90°. Треугольники MXN и QPY прямоугольные и равнобедренные(уголPQY=уголXMN=45°). Значит MX=QY=MN/√2. => ТК это биссектрисы прямых углов Расстояние(X,BC)=Расстояние(Y,BC)=MN/2=расстояние(K,BC). => Х, У, К лежат на одной прямой параллельной ВС. Аналогично расстояния ρ(X,MN)=ρ(Y,PQ)=MN/2 => XK=YK=(MN+MQ)/2.
Пусть LK пересекает ST в точке D
Рассмотрим треугольники LXK и LSD, ТК SD||XK то уголKXL=уголDSL, угол L общий => треугольники подобны.коэфф подобия KD/KDL=g. Аналогично треугольники LKY и LDT подобны с коэффициентом g. SD=g*XK=g*YK=TD . ч.т.д.
Спасибо за решение! Вроде всё правильно!
Это очень сложная задача, здорово, что у Вас получилось её решить!
@@YuriiMarkelov Спасибо!
На канале будут практические применения теоремы Емельяновых?
Очень круто!
Спасибо!
Будущий профессор. Через 30 лет. Всего. Гордимся. Отлично.
Классная рубрика. ДАВАЙТЕ ЕЩЕ!
У меня мозг взорвался. Очень быстро.
Все отлично!
Но Можно помедленней и меньше формальностей?
Скорость 0.5 будет медленно
круто
Геометрия - ЕТА МАЯ ЖЖЖЫЗНЬ
Сколь угодно согласен
Спасибо ☺️ всё очень хорошо объяснил💕🤗
Отрапортовал! Спасибо!
Пожалуйста!
А какой примерный срок решения задач? А то я слишком поздно посмотрел это видео...
экспрессивно, так держать!
Согласен!!!!
Не долго музыка играла конечно, прекрасная рубрика и так быстро загнулась(
Что делать, если на рисунке точка P оказалась за пределами отрезка KL? Как в этом случае доказать вписанность четырехугольника?
Смотрите. Тогда угол PLC будет равен 90°-betta, как вертикальный углу BLK.
И угол CIP будет равен 90°-betta как смежный углу между касательными.
Получается, что из точек I и L отрезок PC виден под одним углом, значит эти 4 точки лежат на одной окружности.
Сильные ребята собрались!!!! Круто что они между собой общаются. Обожаю смотреть!
У меня вопрос к первой задаче. Если центр лежит на биссектрисе то часть AL в круге это диаметр следовательно он перпендикулярен касательной и точка Р будет совпадать с точкой L
Диаметр перпендикулярен не любой касательной.
Точки P и L совпадут тогда и только тогда, когда AB = AC
я влюбился заново в геометрию
Геометра это хорошо
Юрец, топи! 🤘
вынудили подписаться )))) Парень, научить делать доклад, пока сумбурно )))
Мишанин конкурент!
соратник
ты одну линнию в две точки соеденил
как биссектрисса угла а можеть бить и в точке P и в точке L одновременно
Мощный
Я люблю геометрию
пишу этот комментарий, потому что мне небезразлично будущее нашей страны
Гений!
Когда следующее видео?
В эту пятницу съёмка, потом надеюсь за две недели смонтировать. Так что где-то в середине июля.
@@ЮрийМаркелов-з4э уже середина июля
@@ЕвгенийИванов-и3у и не поспоришь))) Сейчас совсем нет времени монтировать. Так что выпуск пока задерживается. Извините
Очень классная лекция!!!
Красота второй Алексей Саватеев
А можно в камеру смотреть?)
а так супер!
К следующему выпуску обязательно научусь!
Как часто будет геометрия?
Постараемся хотя бы раз в месяц выпускать.
Ну чо, Юр, - дождался здесь хотя бы одного решения? (Интересно, а в почту?)
Добрый день, Константин Александрович!
Да, дождался. Здесь уже два -- одно EASY и одно HARD! На почте пока нет.
сложная задача не такая и сложная
Дизлайки поставили любители алгебры😉
Юр, не получилось у тебя влюбить меня в геметрию(
Я ее итак любил
В геметрию не получилось, может в геометрию удастся=)
Ну, кстати, может)))
Наверное, в русский удастся влюбить
Слишком сложно для меня(
like поддержки
Хотелось бы узнать как разделить неравностаронний четырехугольник на равные части. С уважением.
Все хорошо, все нравится, но ведущий говорит очень быстро)))) иногда не успеваешь понять, что происходит, приходится перематывать)
у всех скорость восприятия разная, на ютубе как раз для таких случаев есть функция настройка скорости
Спасибо за совет! Постараюсь в следующий раз не так торопиться.
Кстати, можно на Ютубе поставить 0,75x. Я попробовал, вроде не ужасно звучит, можно смотреть.
@@YuriiMarkelov спасибо, попробую поставить 0,75)
А мне наоборот нравится) таким образом быстрей думать начинаешь
Привет. Можно ли в 9 классе за три месяца с среднего школьного уровня перейти на хороший олимпиадный? Или нужно было с 7 класса этим серьезно заниматься?
Бро... Главное хотеть. На своем примере покажу, я заканчиваю 11. Год назад с моим одноклассником мы были примерно на одном уровне, как ты сказал, на среднем школьном. Начали вместе ботать, мне надоело, и я отвалился через месяц, а он продолжил. В итоге он победитель физтеха по матеше, а я жую сопли, пытаясь наскрести баллы егэ. Так что главное - заниматься. У тебя 2 года, даже если в 10 не получится, получится в 11. Времени много, не просри его, удачи
А ты докажи, что центр окружности лежит на биссектрисе)
Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. Это общеизвестный факт и в доказательстве он не нуждается.
Юра - прирожденный педагог!
Ничего не понятно, но очень интересно!
90+90=180
Малчик класный но слышком быстро гутариш....неуловить....
это пипец! для практических задач уже есть аналитическая геометрия. все свести к уравнениям. а здесь только мозг ломать
Не знаю. Я обожаю именно это мозголомание в плане геометрии.
Но, кстати, на олимпиаде можно не успеть всё свести к уравнениям и их решить.
@@YuriiMarkelov я не про олимпиады, а для чего такая мозголомка. Тоже учился по учебникам Прасолова, но в детстве это нравилось. Сейчас, когда это не пригодилось, другое отношение
@@ПавелКесарев-й8г а я смотрю вы алгебраист)
@@АртёмБаранов-г9и я программист! )
@@ПавелКесарев-й8г ну это тоже хорошо! Я вот как школьник очень геометрию люблю.
Чуть поспокойнее))
Всем привет, как дела?
Каво
Одиозный дед и Савватан рулят!!!
мы такие :-)))
Ораторские способности хороши, но а вот педагогических способностей обьяснять плоховато, поступай в педагогическ а потом паши и гутарь....мальчик