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ネタ元は√2の有理数近似で，2数の有理数の間にある有理数を考えているんだと思います．√2は言うまでもなく1より大きい．(2a+b)/(a+b)も1より大きいが，b/aはaとbによって１より大きくも小さくもなる．(2a+b)/(a+b)はb/aと2a/bの間にくる有理数です．それは加比の定理(の不等式版)からすぐわかる．
t=b/aとすると、(2a+b)/(a+b)は分母分子をaで割って(2+t)/(1+t)=1+ 1/(1+t)。これはtに対して単調減少。2つの関数f(t)=t（単調増加）とg(t)=(2+t)/(1+t)（単調減少）が交わるのは方程式を解けば(0
f(t)とg(t)のどちらが√2 に近いかも、点(√2, √2)を通り、傾き-1の直線（単調減少で、√2との距離がf(t)と等しい）とg(t)の位置関係を見れば、明らか。
k=b/aとおくと(2a+b)/(a+b)=1+1/(1+k)でk1+1/(1+√2)=√2k>√2でも同様にして1+1/(1+k)
勉強になりました！
おはようございます。(２) の「分子を有理化し、分母の大きさで大小を比べる。」という方法は "目から鱗" でした。
r=b/a(>0)とすると、(1)はrと1+1/(1+r)の間に√2があることを示せばよく、r=√2のとき、r=1+1/(1+r)=√2となることと、rは単調増加で1+1/(1+r)は単調減少であることからすぐにわかる。 (2)は、rをrで微分すると1になり、1+1/(1+r)をrで微分すると-1/(1+r)^2(> -1)になることから、1+1/(1+r)の方が(√2からの)変化量が小さく、すなわち√2に近いことがわかる。
有理数であることには特に意味がないんですね。
あ、有理数だからr=√2とならず、等号が成立しないっていうのは大事なのかも。
www.geogebra.org/graphing/vv9g5u96何とか図形的に解こうとした結果、二次関数y=x^2-2と(-1,0)を通りx座標a/bで二次関数と交わる直線の二次関数との交点のx座標の絶対値に帰着されました√nの場合もy=x^2-nと(-1,0)の直線の交点で説明できます
本当にここにコメントされてくる方々は貴殿のような数学の猛者の方ばかりで😃
既にコメ欄にあるけどt=b/a(>0)でグラフ書いたら接線の傾きからも(2)がすぐ解ける
交点の√2はb/aが有理数から取り得ないっていうのがなんか綺麗やったンゴ
@@とまとまと-k6r 私もそれでやりました！
分数の式だけど次数が同じなのでb=ac(cは正の有理数)とすると、双曲線と一次関数と√2の大小関係に持ち込めるので上手くいきました。
ニュートン法で√2 の近似をするときに、x と 2/x の相加平均をとるけれど、x=b/a の形なので 相加平均を (b+2a)/(a+b) で代用したわけですね。
差をとって符号で考えるという発想出てこず。a＞b,a=b,a＜bで場合分けして進めました。泥臭すぎました…
以前の経験をもとに実験したり試行錯誤したりして時間はかかった。(2)は2乗の差を計算したので計算量が多くなりました
週末が終わろうというのにいまだ体調が戻っていないため、本日も午後になってからの動画視聴ならびに答案のPDFアップとなりました。note.com/pc3taro/n/n6d1379e8c88b別の大学での（半世紀以上前よりもはるかに）近年の入試問題でもこれに似た問題（類題）を見たことがありますが、その大元がこれだったのかもしれませんね。
(4)はb/aが√2よりでかいか小さいかで場合分けしてできました(2)できんかったコメ欄にあるようなグラフで処理するのもいいですね
一見簡単そうなのに奥深いんですよね医学部の問題は、貫太郎さんは現役の時医学部とか視野に入れていましたか？
(1)X=√2-b/a=(√2a-b)/a Y=√2-(2a+b)/(a+b)=(1-√2)(√2a-b)/(a+b) XY
（1）はb/aをk・・・①とおいてもう一方の式のbに入れると（kとaの式のみにすると）、もう一方の式が「（k+2）/（k+1）」・・・②となる。①-②やると（k^2 -2）/（k+1）となる。分子を見るとk＝2以外は①-②はゼロにならない。よって件の数字は間にある。k＝2のときは、√2＝b/a を満たすものがないという証明。狩にこれが成り立つとすると、2＝b^2 / a^2 → → 2✕ a^2 ＝b^2 ・・・③が成り立つ。③の右辺は因数2の個数はゼロか偶数。一方、左辺は因数2の個数は1か奇数である。よって因数の個数が揃わないので成り立たない。よってk＝2 が成り立つことはない。40のオッサンではこれがやっとですが自分が現役であったとしてもこれで解いちゃうかなぁ？
k＝2ではなく k＝√2 でしたね
単純にb/a - (2a+b)/(a+b)をすると自然に√2がでてきて引き算の結果が正になる場合と負になる場合でだせるので問題意図的にはそっちだったのか・・・もしれないですね、医大なんで貫太郎的答えを欲しているかもしれませんが。私は最初、2数の平均との差の正負で判定しようとしましたが憤死。最終的に2乗の差を使ってやりましたがこちらの方が計算がシンプルな代わり気づきが要求されているなとも
おはようございます。50年以上経っても色褪せない良い問題ですね。(2)はb/aと(2a+b)/(a+b)の中間値 M = 1/2・{(b/a)+(2a+b)/(a+b)} と√2の大小を比較しました。b/a = t (tは正の有理数)とおくと、M = f(t) = 1 + t^2/2(1+t) となります。xを正の実数としてf(x) = 1 + x^2/2(1+x) 、f'(x) = x(x+2)/2(1+x)^2 からx>0 においてf'(x)>0よってx>0 において f(x)は単調増加となり、f(√2) = √2 です。ここでxとは異なり、tは正の有理数なのでt≠√2であり、0
(１)をb/a >√2 ならば 2a＋b/a＋b √2a の時 2a＋b/a＋b=1+ a/a+b
b/aが有理数であること(√2にはならないこと)を併記すればOKだと思います
@@KT-tb7xm ありがとうございます！大変助かりました！
@@natuki9869 さんもし違ったらごめんなさい😄
積の正負って考え方は思いつかなくて，関数的に処理しました。(1)以下のように関数を定義する。b/a = x = f(x)(2a + b)/(a + b) = (2 + b/a)/(1 + b/a) = (2 + x)/(1 + x) = 1 + 1/(x + 1) = g(x)但し，a，bが自然数なので，x > 0を定義域とする方程式f(x) = g(x)を解くと，x = √2である。また，f(x)とg(x)のグラフを描くと・f(x)は単なる比例グラフ・g(x)はx = - 1とy = 1を漸近線とする双曲線のうちの第一象限のみの領域となり，これらの交点は(√2 , √2)である。ここで，x = b/aは有理数なので，無理数√2となることはなく（√2が無理数の証明は省略）グラフから，交点以外では必ずf(x)とg(x)のうち，一方が√2より大きく，もう一方が√2より小さい。より定量的に書けば，f’(x) = 1 > 0，g'(x) = - 1/(x + 1)^2 < 0で，f(x)は単調増加関数，g(x)は単調減少関数なので，交点(√2 , √2)以外の領域で，これらの関数値が√2を通過して増加したり減少することはない。これにより題意が証明された。(2)(1)で描いたグラフから，g(x)の方が√2に近いことが予想できる（図から明らかに|f'(x)| > |g'(x)|なので）その予想のもとに，差をとって評価する。( i ) x > √2の場合グラフより，f(x) > √2 > g(x)なので，{f(x) - √2} - {√2 - g(x)}の正負を評価すれば良い {f(x) - √2} - {√2 - g(x)}= (x - √2) - [√2 - {1 + 1/(x + 1)}]= x + 1 + 1/(x + 1) - 2√2ここで，h(x) = x + 1 + 1/(x + 1)とすると，h'(x) = 1 - 1/(x + 1)^2 > 0(∵x > 0)のため，h(x)は定義域において単調増加関数である。また，h(√2) = 2√2より，x > √2では，h(x) > 2√2である。∴x > √2においては {f(x) - √2} - {√2 - g(x)} = (x - √2) - [√2 - {1 + 1/(x + 1)}] = x + 1 + 1/(x + 1) - 2√2 > 0⇒{f(x) - √2} > {√2 - g(x)}すなわち，g(x)の方が√2に近い。( ii ) x < √2の場合グラフより，g(x) > √2 > f(x)なので，{√2 - f(x)} - {g(x)- √2}の正負を評価すれば良い {√2 - f(x)} - {g(x)- √2}= (√2 - x) - [{1 + 1/(x + 1)} - √2}]=2√2 - h(x)( i )の計算より，x < √2では，h(x) < 2√2である。∴x < √2においては {√2 - f(x)} - {g(x)- √2} = 2√2 - h(x) > 0⇒{√2 - f(x)} > {g(x) - √2}すなわち，g(x)の方が√2に近い。
凄い！
@@coscos3060 さんありがとうございます😄ただ，この発想で解いてる方は結構いますね。
@@KT-tb7xm さん 合八さんも b/a = x として解答を導かれてます。動画の手法 丁寧で明快ですが自分には煩雑過ぎて解答までたどり着けないです😢
@@coscos3060 さん二変数のままだと、計算は結構面倒ですね😅いずれにしても、与式の形のまま、√2との差を評価するか一変数問題に置き換えてから評価するかの違いでしかないのでそこを押さえたアプローチであればって問題ですかね😊個人的には一変数問題に置き換えた方がシンプルかなとは思いますが。
最近、似たような問題が数学の授業で出てきたww
おはようござます。（１）はなんとか正解にたどり着きましたが、（２）はほぐしてもほぐしても、、沈没。実は私が持っている、赤チャート（昭和５０年１月１日発行）の東工大の問題がほぼ同じで、その解法を使って、解いてみました。略解を書いておきます。基本的には貫太郎さんの解法と同じです。ｘ＝√２- b/a とおいてｙ＝√２- (2a+b)/(a+b) の式を変形すると、ｙ＝(1-√２)ax/(a+b)となります。-1 < 1-√２ < 0 より右辺と左辺の符号、 xと y の符号が逆になる。更に、0 < a/(a+b) < 1であるので、|y| < |x|となり、題意が示されました。以上です。１ー√２をあぶりだすところが、ポイントになります。貫太郎さんの解法では√２ー１をあぶり出しています。他の大学でも出題されているようですが、この問題には何か背景があるのでしょうか？明日もよろしくお願いします。
(2)の解答を絶対値付けずにすれば(1)の答えになってますね
単科医大の問題してほしいなー
大小比較は差を取って正負を考えればいいと習ったので。√2-(2a+b)/(a+b)=(√2a+√2b-2a-b)/(a+b)={(√2a-b)-√2(√2a-b)}/(a+b)=(1-√2)(√2a-b)/(a+b)1-√20より、√2a-bの正負によって、大小関係が決まる。ここで、√2-b/a>0とすると、(√2a-b)/a>0で、a>0より√2a-b>0となり、√20とすると、(√2a-b)/a0より√2a-b(2a+b)/(a+b)となる。なお、a,bは自然数のため、(√2-b)/a=0となることはない。以上より、√2はb/aと(2a+b)/(a+b)の間にあることが示された。
(1)は((b/a)+1)((2a+b/a+b)-1)=1=(√2-1)(√2+1)使えば簡単(2)もこの式から割と簡単にできそう
証明問題はなぁ…長いのがｗもっと単純にこの分数が1.3と1.5のどの辺に位置するのかを力づくで示す…というのもありそう。それで解いた猛者も居るんじゃなかろうか？
√2引いて掛け算は思いつきましたが、計算めんどくさそうでサボって答え見ちゃいました笑
確か慶応で出題された類題を観た（解いた？）ことがあったような･･･だったので、√2と二つの数の差を掛けたものが負になることを証明すれば良いという方針はすぐ立ったのですが、実施に計算する段階で「a、b 自然数なのできっと相加相乗平均を使って華麗に計算するに違いない！」と計算に着手しました。実際、貫太郎先生のように√2からの差を取った2数を掛けた√2の係数は−(b/a+(2a+b)/(a+b))=-(b/a+1+a/(a+b))=-((a+b)/a+a/(a+b)) と逆数の和になり、ワンパターンな私はパブロフのイヌのごとく相加相乗平均を検討。しかし思うように式が評価できずに、気を取り直してシンプルに計算して、正の数×平方数×負の數と計算するに至りました。（私は掛けて負になることを目指した。）随分と計算用紙を反故にしてしまいました。華麗に計算するつもりが加齢な者が浅はかな思慮で計算すると悲惨な目に遭遇するという典型的なパターン。やはり医学区部を目指す受験生は、どんな状況でも状況に応じて対処する力が試されるのでしょう。お腹を開いてから、「あっれ〜、思っていたのとちゃうやん！」では安心して命をお預けすることができませんから。（2）は絶対値を2乗したものの差をとって√2からの距離を判定しました。| √2−b/a | = | (√2a-b)/a | | √2−(2a+b)/(a+b) | = | ((√2a-b)(1-√2)/a+b) |で上の2乗から下の2乗を引いて正。従って下の方が√2からの距離は近い。絶対値の中は（1）の計算の際に求めているし、2乗の差＝和と差の積 に変形できるので思ったより計算は楽。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
さすがに医学部の入試問題です。巧みな計算力と、数学的思考力、根気強さ等を問われる問題に、驚嘆しました。また特殊な計算テクニックは、大変勉強になりました。 余談ですが、1966年当時私は小学4年生でした。遊びに夢中で、将来数学教師になるとは、決して考えませんでした。 ｢人生の方程式｣は、難しくて解けないです。
連分数の魅力を、伝えた〜い! ってやつかな
分子有理化ってすごい
こんな問題初めて見た。まだまだだな。
先日忍者屋敷のショーで忍者に扮した芸人さんが実演で失敗してて見物客からまだまだだな。まだまだだな。と冷やかされてたの思い出します。”まだまだだな” このフレーズ好きですね😉
おはようございます。t=b/a(t>0)とおいてf(t)=tとg(t)=(t+2)/(t+1)という関数を用いてアプローチしました。(2)については交点(√2,√2)前後の傾きについて、0>g`(t)>-1を示したらいいかなと。
エレガントな解法!
多分作問者が期待した解答ですよね。美しいです。
ありがとうございます2変数を1変数に置き換える方法。貫太郎さんの動画でも、東大の類題があったと思います。たしか、√x+√y≦k√(2x+y)が常に成り立つ最小のkの値を求めよ。みたいな…コラボ動画の…あれすごくためになりました！
@@kazusaka4063 あの問題、たしかベクトル(√(2x),√y)の大きさ、内積とみる解き方をコメントした記憶があります。
@@Dr.Ks_Labo あの問題もコメントみると解法が多くて良問ですよね。5周くらいしましたもん。
備忘録70G"【 a と b についての同次式に注意して、b/a＝ x ( x ∈正の有理数 ) とおくと、】⑴ ( 2a＋b )／( a＋b ) ＝ ( 2＋x )／( 1＋x ) であり、 ( x＋2 )／( x＋1 ) －√2 ＝･･･＝ ( √2－1 )･( √2 －x )／( x＋1 ) ･･･① だから、 ( x －√2 ) ✖ ① ＝ 一 ( √2－1 )･( x －√2 )² ／( x＋1 ) ＜ ０ ( ∵ x ∈有理数, √2 ∈無理数 ) これより √2 は、 x と ( 2＋x )／( 1＋x ) の間にある。 よって 示された。■ ⑵ | x －√2 | － | ① | ＝ { | x －√2 |／( x＋1 ) } ･ { x ＋√2 ( √2 －1 ) } ＞０ ( ∵ √2 > 1 ) だから、 √2は、( 2＋x )／( 1＋x ) の方 すなわち ( 2a＋b )／( a＋b ) の方に近い。■ 【〖別解〗 y ＝x と y ＝( 2＋x )／( 1＋x ) のグラフに 着目するのも 見通し良好 ! 】
わいも
1)分母分子をaで割って1変数に帰着。2)区間の中点と√2の大小関係に帰着。~~~~~~~~~~~~~＜別解／略解＞：1) x=b/aと置くと、ℚ∋x>0であり (2a+b)/(a+b) = (2+x)/(1+x) = 1 + 1/(1+x)さらにy=1+x, z=1/y と置くと、ℚ∋y>1, ℚ∋z>0（※かつ z√2 ⇒ √2はJの上限よりも下限に近い J: |--×-----●--------| √2 m 2°）m1>√2-1】 ⇔ y ≷ √2+1 （複号同順）であるから、③とから m>√2 ⇒ Jの下限 = min(y-1,z+1) = z+1, m
美しい問題と美しい解き方でした。一点、 ruclips.net/video/WvgrmGGGFPM/видео.html のところで”)“が抜けているようでした。
昔みんなのうたであった ♬るーとにぷらすいちぶんのちゃちゃにぷらするーとのに
おはようございます
これは…同次式！
おはようございます。銀杏の葉が黄色になって来ました。散歩する時も冬支度になりました。 さぁ数学で、頭の回転を上げて行きます。
貫太郎先生が冒頭で仰っていた 一般のｎ（n≧2）の場合。√n が b/aと (na+b)/(a+b) の間にあることを示す。最初に√n との差を計算しておくと√n-b/a=(a√n-b)/a√n-(na+b)/(a+b)=((a+b)√n-na-b)/(a+b) =(a(√n-n)+b(√n-1))/(a+b) =(a√n(1-√n)-b(1-√n))/(a+b) =(a√n-b)(1-√n)/(a+b)(√n-b/a)×(√n-(na+b)/(a+b))=(a√n-b)²(1-√n)/a(a+b)0, (1-√n)0 (a, b 自然数）なかなか美しい結果ですね。
I like (1) very very much.
1
ネタ元は√2の有理数近似で，2数の有理数の間にある有理数を考えているんだと思います．
√2は言うまでもなく1より大きい．(2a+b)/(a+b)も1より大きいが，b/aはaとbによって１より大きくも小さくもなる．(2a+b)/(a+b)はb/aと2a/bの間にくる有理数です．
それは加比の定理(の不等式版)からすぐわかる．
t=b/aとすると、(2a+b)/(a+b)は分母分子をaで割って(2+t)/(1+t)=1+ 1/(1+t)。これはtに対して単調減少。2つの関数f(t)=t（単調増加）とg(t)=(2+t)/(1+t)（単調減少）が交わるのは方程式を解けば(0
f(t)とg(t)のどちらが√2 に近いかも、点(√2, √2)を通り、傾き-1の直線（単調減少で、√2との距離がf(t)と等しい）とg(t)の位置関係を見れば、明らか。
k=b/a
とおくと(2a+b)/(a+b)=1+1/(1+k)で
k1+1/(1+√2)=√2
k>√2でも同様にして1+1/(1+k)
勉強になりました！
おはようございます。
(２) の「分子を有理化し、分母の大きさで大小を比べる。」という方法は "目から鱗" でした。
r=b/a(>0)とすると、(1)はrと1+1/(1+r)の間に√2があることを示せばよく、r=√2のとき、r=1+1/(1+r)=√2となることと、rは単調増加で1+1/(1+r)は単調減少であることからすぐにわかる。
(2)は、rをrで微分すると1になり、1+1/(1+r)をrで微分すると-1/(1+r)^2(> -1)になることから、1+1/(1+r)の方が(√2からの)変化量が小さく、すなわち√2に近いことがわかる。
有理数であることには特に意味がないんですね。
あ、有理数だからr=√2とならず、等号が成立しないっていうのは大事なのかも。
www.geogebra.org/graphing/vv9g5u96
何とか図形的に解こうとした結果、二次関数y=x^2-2と(-1,0)を通りx座標a/bで二次関数と交わる直線の二次関数との交点のx座標の絶対値に帰着されました
√nの場合もy=x^2-nと(-1,0)の直線の交点で説明できます
本当にここにコメントされてくる方々は貴殿のような数学の猛者の方ばかりで😃
既にコメ欄にあるけどt=b/a(>0)でグラフ書いたら接線の傾きからも(2)がすぐ解ける
交点の√2はb/aが有理数から取り得ないっていうのがなんか綺麗やったンゴ
@@とまとまと-k6r 私もそれでやりました！
分数の式だけど次数が同じなのでb=ac(cは正の有理数)とすると、双曲線と一次関数と√2の大小関係に持ち込めるので上手くいきました。
ニュートン法で√2 の近似をするときに、x と 2/x の相加平均をとるけれど、x=b/a の形なので 相加平均を (b+2a)/(a+b) で代用したわけですね。
差をとって符号で考えるという発想出てこず。
a＞b,a=b,a＜bで場合分けして進めました。
泥臭すぎました…
以前の経験をもとに実験したり試行錯誤したりして時間はかかった。
(2)は2乗の差を計算したので計算量が多くなりました
週末が終わろうというのにいまだ体調が戻っていないため、本日も午後になってからの動画視聴ならびに答案のPDFアップとなりました。
note.com/pc3taro/n/n6d1379e8c88b
別の大学での（半世紀以上前よりもはるかに）近年の入試問題でもこれに似た問題（類題）を見たことがありますが、その大元がこれだったのかもしれませんね。
(4)はb/aが√2よりでかいか小さいかで場合分けしてできました
(2)できんかった
コメ欄にあるようなグラフで処理するのもいいですね
一見簡単そうなのに奥深いんですよね医学部の問題は、
貫太郎さんは現役の時医学部とか視野に入れていましたか？
(1)X=√2-b/a=(√2a-b)/a
Y=√2-(2a+b)/(a+b)=(1-√2)(√2a-b)/(a+b)
XY
（1）はb/aをk・・・①
とおいてもう一方の式のbに入れると（kとaの式のみにすると）、もう一方の式が「（k+2）/（k+1）」・・・②
となる。①-②やると（k^2 -2）/（k+1）となる。分子を見るとk＝2以外は①-②はゼロにならない。よって件の数字は間にある。
k＝2のときは、√2＝b/a を満たすものがないという証明。狩にこれが成り立つとすると、
2＝b^2 / a^2 →
→ 2✕ a^2 ＝b^2 ・・・③
が成り立つ。
③の右辺は因数2の個数はゼロか偶数。
一方、左辺は因数2の個数は1か奇数である。よって因数の個数が揃わないので成り立たない。よってk＝2 が成り立つことはない。
40のオッサンではこれがやっとですが自分が現役であったとしてもこれで解いちゃうかなぁ？
k＝2ではなく k＝√2 でしたね
単純にb/a - (2a+b)/(a+b)をすると自然に√2がでてきて引き算の結果が正になる場合と負になる場合でだせるので問題意図的にはそっちだったのか・・・もしれないですね、医大なんで貫太郎的答えを欲しているかもしれませんが。
私は最初、2数の平均との差の正負で判定しようとしましたが憤死。
最終的に2乗の差を使ってやりましたがこちらの方が計算がシンプルな代わり気づきが要求されているなとも
おはようございます。50年以上経っても色褪せない良い問題ですね。
(2)はb/aと(2a+b)/(a+b)の中間値 M = 1/2・{(b/a)+(2a+b)/(a+b)} と√2の大小を比較しました。
b/a = t (tは正の有理数)とおくと、M = f(t) = 1 + t^2/2(1+t) となります。
xを正の実数としてf(x) = 1 + x^2/2(1+x) 、f'(x) = x(x+2)/2(1+x)^2 からx>0 においてf'(x)>0
よってx>0 において f(x)は単調増加となり、f(√2) = √2 です。
ここでxとは異なり、tは正の有理数なのでt≠√2であり、0
(１)を
b/a >√2 ならば 2a＋b/a＋b √2a の時 2a＋b/a＋b=1+ a/a+b
b/aが有理数であること(√2にはならないこと)を併記すればOKだと思います
@@KT-tb7xm ありがとうございます！大変助かりました！
@@natuki9869 さん
もし違ったらごめんなさい😄
積の正負って考え方は思いつかなくて，関数的に処理しました。
(1)以下のように関数を定義する。
b/a = x = f(x)
(2a + b)/(a + b) = (2 + b/a)/(1 + b/a) = (2 + x)/(1 + x) = 1 + 1/(x + 1) = g(x)
但し，a，bが自然数なので，x > 0を定義域とする
方程式f(x) = g(x)を解くと，x = √2である。
また，f(x)とg(x)のグラフを描くと
・f(x)は単なる比例グラフ
・g(x)はx = - 1とy = 1を漸近線とする双曲線のうちの第一象限のみの領域
となり，これらの交点は(√2 , √2)である。
ここで，x = b/aは有理数なので，無理数√2となることはなく（√2が無理数の証明は省略）
グラフから，交点以外では必ずf(x)とg(x)のうち，一方が√2より大きく，もう一方が√2より小さい。
より定量的に書けば，f’(x) = 1 > 0，g'(x) = - 1/(x + 1)^2 < 0で，f(x)は単調増加関数，g(x)は単調減少関数なので，
交点(√2 , √2)以外の領域で，これらの関数値が√2を通過して増加したり減少することはない。
これにより題意が証明された。
(2)
(1)で描いたグラフから，g(x)の方が√2に近いことが予想できる（図から明らかに|f'(x)| > |g'(x)|なので）
その予想のもとに，差をとって評価する。
( i ) x > √2の場合
グラフより，f(x) > √2 > g(x)なので，{f(x) - √2} - {√2 - g(x)}の正負を評価すれば良い
{f(x) - √2} - {√2 - g(x)}
= (x - √2) - [√2 - {1 + 1/(x + 1)}]
= x + 1 + 1/(x + 1) - 2√2
ここで，
h(x) = x + 1 + 1/(x + 1)
とすると，
h'(x) = 1 - 1/(x + 1)^2 > 0(∵x > 0)のため，h(x)は定義域において単調増加関数である。
また，h(√2) = 2√2より，x > √2では，h(x) > 2√2である。
∴x > √2においては
{f(x) - √2} - {√2 - g(x)}
= (x - √2) - [√2 - {1 + 1/(x + 1)}] = x + 1 + 1/(x + 1) - 2√2 > 0
⇒{f(x) - √2} > {√2 - g(x)}
すなわち，g(x)の方が√2に近い。
( ii ) x < √2の場合
グラフより，g(x) > √2 > f(x)なので，{√2 - f(x)} - {g(x)- √2}の正負を評価すれば良い
{√2 - f(x)} - {g(x)- √2}
= (√2 - x) - [{1 + 1/(x + 1)} - √2}]
=2√2 - h(x)
( i )の計算より，x < √2では，h(x) < 2√2である。
∴x < √2においては
{√2 - f(x)} - {g(x)- √2} = 2√2 - h(x) > 0
⇒{√2 - f(x)} > {g(x) - √2}
すなわち，g(x)の方が√2に近い。
凄い！
@@coscos3060 さん
ありがとうございます😄
ただ，この発想で解いてる方は結構いますね。
@@KT-tb7xm さん 合八さんも b/a = x として解答を導かれてます。
動画の手法 丁寧で明快ですが自分には煩雑過ぎて解答までたどり着けないです😢
@@coscos3060 さん
二変数のままだと、計算は結構面倒ですね😅
いずれにしても、与式の形のまま、√2との差を評価するか
一変数問題に置き換えてから評価するかの違いでしかないので
そこを押さえたアプローチであればって問題ですかね😊
個人的には一変数問題に置き換えた方がシンプルかなとは思いますが。
最近、似たような問題が数学の授業で出てきたww
おはようござます。（１）はなんとか正解にたどり着きましたが、（２）はほぐしてもほぐしても、、沈没。実は私が持っている、赤チャート（昭和５０年１月１日発行）の東工大の問題がほぼ同じで、その解法を使って、解いてみました。略解を書いておきます。基本的には貫太郎さんの解法と同じです。
ｘ＝√２- b/a とおいてｙ＝√２- (2a+b)/(a+b) の式を変形すると、ｙ＝(1-√２)ax/(a+b)となります。
-1 < 1-√２ < 0 より右辺と左辺の符号、 xと y の符号が逆になる。更に、0 < a/(a+b) < 1であるので、|y| < |x|となり、題意が示されました。以上です。
１ー√２をあぶりだすところが、ポイントになります。貫太郎さんの解法では√２ー１をあぶり出しています。
他の大学でも出題されているようですが、この問題には何か背景があるのでしょうか？明日もよろしくお願いします。
(2)の解答を絶対値付けずにすれば(1)の答えになってますね
単科医大の問題してほしいなー
大小比較は差を取って正負を考えればいいと習ったので。
√2-(2a+b)/(a+b)
=(√2a+√2b-2a-b)/(a+b)
={(√2a-b)-√2(√2a-b)}/(a+b)
=(1-√2)(√2a-b)/(a+b)
1-√20より、√2a-bの正負によって、大小関係が決まる。
ここで、√2-b/a>0とすると、
(√2a-b)/a>0で、a>0より√2a-b>0となり、√20とすると、
(√2a-b)/a0より√2a-b(2a+b)/(a+b)となる。
なお、a,bは自然数のため、
(√2-b)/a=0となることはない。
以上より、√2はb/aと(2a+b)/(a+b)の間にあることが示された。
(1)は((b/a)+1)((2a+b/a+b)-1)=1=(√2-1)(√2+1)使えば簡単
(2)もこの式から割と簡単にできそう
証明問題はなぁ…長いのがｗ
もっと単純にこの分数が1.3と1.5のどの辺に位置するのかを力づくで示す…というのもありそう。
それで解いた猛者も居るんじゃなかろうか？
√2引いて掛け算は思いつきましたが、計算めんどくさそうでサボって答え見ちゃいました笑
確か慶応で出題された類題を観た（解いた？）ことがあったような･･･
だったので、√2と二つの数の差を掛けたものが負になることを証明すれば良いという方針はすぐ立ったのですが、実施に計算する段階で
「a、b 自然数なのできっと相加相乗平均を使って華麗に計算するに違いない！」と計算に着手しました。
実際、貫太郎先生のように√2からの差を取った2数を掛けた√2の係数は
−(b/a+(2a+b)/(a+b))=-(b/a+1+a/(a+b))=-((a+b)/a+a/(a+b)) と逆数の和になり、ワンパターンな私はパブロフのイヌのごとく相加相乗平均を検討。
しかし思うように式が評価できずに、気を取り直してシンプルに計算して、正の数×平方数×負の數と計算するに至りました。（私は掛けて負になることを目指した。）
随分と計算用紙を反故にしてしまいました。華麗に計算するつもりが加齢な者が浅はかな思慮で計算すると悲惨な目に遭遇するという典型的なパターン。
やはり医学区部を目指す受験生は、どんな状況でも状況に応じて対処する力が試されるのでしょう。
お腹を開いてから、「あっれ〜、思っていたのとちゃうやん！」では安心して命をお預けすることができませんから。
（2）は絶対値を2乗したものの差をとって√2からの距離を判定しました。
| √2−b/a | = | (√2a-b)/a |
| √2−(2a+b)/(a+b) | = | ((√2a-b)(1-√2)/a+b) |
で上の2乗から下の2乗を引いて正。従って下の方が√2からの距離は近い。
絶対値の中は（1）の計算の際に求めているし、2乗の差＝和と差の積 に変形できるので思ったより計算は楽。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
さすがに医学部の入試問題です。巧みな計算力と、数学的思考力、根気強さ等を問われる問題に、驚嘆しました。また特殊な計算テクニックは、大変勉強になりました。
余談ですが、1966年当時私は小学4年生でした。遊びに夢中で、将来数学教師になるとは、決して考えませんでした。
｢人生の方程式｣は、難しくて解けないです。
連分数の魅力を、伝えた〜い! ってやつかな
分子有理化ってすごい
こんな問題初めて見た。まだまだだな。
先日忍者屋敷のショーで忍者に扮した芸人さんが実演で失敗してて見物客からまだまだだな。まだまだだな。と冷やかされてたの思い出します。
”まだまだだな” このフレーズ好きですね😉
おはようございます。
t=b/a(t>0)とおいて
f(t)=tとg(t)=(t+2)/(t+1)という関数を用いてアプローチしました。
(2)については交点(√2,√2)前後の傾きについて、0>g`(t)>-1を示したらいいかなと。
エレガントな解法!
多分作問者が期待した解答ですよね。美しいです。
ありがとうございます
2変数を1変数に置き換える方法。貫太郎さんの動画でも、東大の類題があったと思います。たしか、√x+√y≦k√(2x+y)が常に成り立つ最小のkの値を求めよ。みたいな…コラボ動画の…
あれすごくためになりました！
@@kazusaka4063 あの問題、たしかベクトル(√(2x),√y)の大きさ、内積とみる解き方をコメントした記憶があります。
@@Dr.Ks_Labo
あの問題もコメントみると解法が多くて良問ですよね。
5周くらいしましたもん。
備忘録70G"【 a と b についての同次式に注意して、b/a＝ x ( x ∈正の有理数 ) とおくと、】
⑴ ( 2a＋b )／( a＋b ) ＝ ( 2＋x )／( 1＋x ) であり、
( x＋2 )／( x＋1 ) －√2 ＝･･･＝ ( √2－1 )･( √2 －x )／( x＋1 ) ･･･① だから、
( x －√2 ) ✖ ① ＝ 一 ( √2－1 )･( x －√2 )² ／( x＋1 ) ＜ ０ ( ∵ x ∈有理数, √2 ∈無理数 )
これより √2 は、 x と ( 2＋x )／( 1＋x ) の間にある。 よって 示された。■
⑵ | x －√2 | － | ① | ＝ { | x －√2 |／( x＋1 ) } ･ { x ＋√2 ( √2 －1 ) } ＞０ ( ∵ √2 > 1 ) だから、
√2は、( 2＋x )／( 1＋x ) の方 すなわち ( 2a＋b )／( a＋b ) の方に近い。■
【〖別解〗 y ＝x と y ＝( 2＋x )／( 1＋x ) のグラフに 着目するのも 見通し良好 ! 】
わいも
1)分母分子をaで割って1変数に帰着。
2)区間の中点と√2の大小関係に帰着。
~~~~~~~~~~~~~
＜別解／略解＞：
1) x=b/aと置くと、ℚ∋x>0であり
(2a+b)/(a+b) = (2+x)/(1+x) = 1 + 1/(1+x)
さらにy=1+x, z=1/y と置くと、ℚ∋y>1, ℚ∋z>0（※かつ z√2 ⇒ √2はJの上限よりも下限に近い
J: |--×-----●--------|
√2 m
2°）m1>√2-1】
⇔ y ≷ √2+1 （複号同順）
であるから、③とから
m>√2 ⇒ Jの下限 = min(y-1,z+1) = z+1,
m
美しい問題と美しい解き方でした。
一点、 ruclips.net/video/WvgrmGGGFPM/видео.html のところで”)“が抜けているようでした。
昔みんなのうたであった ♬るーとにぷらすいちぶんのちゃちゃにぷらするーとのに
おはようございます
これは…同次式！
おはようございます。銀杏の葉が黄色になって来ました。散歩する時も冬支度になりました。
さぁ数学で、頭の回転を上げて行きます。
貫太郎先生が冒頭で仰っていた 一般のｎ（n≧2）の場合。
√n が b/aと (na+b)/(a+b) の間にあることを示す。
最初に√n との差を計算しておくと
√n-b/a=(a√n-b)/a
√n-(na+b)/(a+b)=((a+b)√n-na-b)/(a+b)
=(a(√n-n)+b(√n-1))/(a+b)
=(a√n(1-√n)-b(1-√n))/(a+b)
=(a√n-b)(1-√n)/(a+b)
(√n-b/a)×(√n-(na+b)/(a+b))=(a√n-b)²(1-√n)/a(a+b)0, (1-√n)0 (a, b 自然数）
なかなか美しい結果ですね。
I like (1) very very much.
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