Énigme n°4 - Les bonbons
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- Опубликовано: 21 окт 2024
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Retour des énigmes, voici la 4ème de la série.
L’énoncé : on a un paquet qui contient 40 bonbons:
10 bonbons bleus
10 bonbons rouges
10 bonbons noirs
10 bonbons verts
Le paquet est opaque, on ne distingue pas la couleur des bonbons que l'on tire. On souhaite avoir 4 bonbons, un de chaque couleur. Combien de bonbons au minimum doit-on piocher pour être certain d'en avoir un de chaque couleur ?
Ces formats de videos "énigmes" sont trop bien !
Mais un peu simple :)
@@Azhennn. Nooooon ça va !
Le but des énigmes c'est de donner quelque chose qui paraît dur alors qu'en réalité la réponse est toute simple. Merci à vous de continuez cette série ;)
On approche à grand pas des 500k d'abonnés ! 😁
Moi qui vous suit depuis si longtemps ça fait bizarre 😅
Effectivement les abonnés et les vues augmentent avec un joli rythme et je vois depuis longtemps tes commentaires qui font toujours plaisir. 😊😊
Comme j'aurais aimé avoir un prof de maths comme vous durant ma scolarité ! Svp...ne vous arrêtez pas!
Les vidéos sont intéressantes dans l'ensemble. Mais il faudrait de temps en temps des énigmes plus difficiles !
Celle de l'épisode de Columbo dans l'épisode les "surdoués" est épique: "prenons le cas de sacs de pièces , quel que soit son nombre et aussi le nombre de pièces qu'ils contiennent mais bien sûr chaque sac a le même nombre de pièces, et parmi ces sacs, un seul a des pièces fausses! La seule donnée dont on dispose est que les vraies pièces sont un peu plus lourdes que les fausses, l'énigme est : en UNE SEULE pesée , comment déterminer le sac qui a les fausses pièces?"
@@brunolevasseur Sympa cette énigme mais il faut certainement rajouter qu'on connait la masse exacte des vraies pièces et des fausses pièces (Il me semble que de simplement savoir que les vraies sont plus lourdes ne suffit pas pour être sûr de pouvoir trouver le bon sac en une seule pesée).
@@brunolevasseur nan encore celle la elle est pas très dure, mais par contre celle du voleur d'or ou des chameaux jsp comment c'est possible de trouver😅
@@fabienal-kazzi1507 , la solution est donnée à la fin de l'épisode.
En effet il faut donner un nombre de sacs par exemple 3 , un poids des vraies pièces, admettons 10 g et 1 g de plus pour les fausses, soit 11 g pour simplifier les calculs et la solution du coup, ce qui compte c' est la méthode qui est la suivante:
Il y a 3 sacs donc, on prélève 1 pièce du 1er, 2 du 2eme, 3 du 3 eme, on devait avoir 60 g (10 g X 6 pièces) à la pesée , si les pièces étaient toutes vraies, donc si l' on a 61 g, le premier sac a les pièces fausses, 62 g le 2eme sac a les pièces fausses et enfin si l' on a 63 g, c' est le 3eme sac qui a les pièces fausses.
J'aime bien le système d'apprendre des maths sous forme d'enigme c'est une bonne manière de travailler et s'amuser en même temps.
( Même si je ne changerai pas d'avis sur le fait que les maths c'est la pire matière^^ )
@@kxzuro6666 (faux)
Petit commentaire pour le référencement. Tes vidéos sont super intéressantes et pédagogiques et je connais beaucoup de gens qui auraient poussé les maths plus loin s'ils avaient eut ce genre de support
Je confirme.
Ce qui montre bien que l’on peut s’amuser avec les mathématiques à tous les niveaux sans avoir besoin de concourir pou la médaille Field. J’aime beaucoup.
Super facile comme énigme 🤷🏻♂️
Gg alor 👍
Désolé monsieur 197 de qi 🌝
Il fonctionne généralement par thématique, ça va aller dans les prochains jours en se complexifiant^^
Là pour le coup c'était assez basique mais il a posé les bases.
@@Mikyldy
Y a pas à avoir 197 QI pour trouver cette énigme 😂
@@Mikyldy mec j'ai trouvé en 30 secondes et j'ai eu 8 au bac de maths 😂
Si tu trouves pas ce sont pas les autres qui sont fort mais toi qui ne l'est pas assez
Je viens de découvrir votre chaîne et au delà des explications claires et simples j’aime beaucoup votre personnalité.
Continuez comme ça avec simplicité et humilité
C’est adorable. Merci beaucoup 😊😊
Toujours un régal ces vidéos.
Chaîne très intéressante, enrichissante.
Des bons rappels et des bons soutiens pour les élèves de collège et lycée.
Merci monsieur.
J'aime tes videos ça fait travailler le cerveau façon GMAT, loin de ce monde qui ne fait qu'abrutir de jour en jour.
Vos vidéos sont un régal pour nos neurones ! Vous écouter est un véritable plaisir car vous expliquez avec un sourire malicieux juste comme il faut, beaucoup de bienveillance tout en sollicitant notre intelligence...
Merci pour tout cela, félicitations et bonne année !!
Ariel ☀️ de Nice
Excellentes explications et merveilleuse pédagogie. Merci
C'est marrant et cela ne sert à rien que les énigmes soient plus difficiles pour la mise en place d'un raisonnement MERCI
trop facile, mais reste le plaisir de t'écouter. Merci prof, on en veut encore
Elles sont super tes enigmes merci ! 😌
La nièce est une petite rusée.
Lui, grand naïf, croit qu'elle ne veut que 4 bonbons, alors qu'en réalité elle souhaite avoir les 3/4 du paquet ! 😂😂😂
tellement
C'est marrant ! C'est presque une fable de J. De La Fontaine
Un genie 🤣🤣🤣
Ca serait bien que tu fasses une vidéos sur le lemme des tiroirs et qu a chaque énigme de la sorte tu épingles...
C'est simple, ce serait cool que tu en fasses aussi des plus dure, au niveau plus élevé même si c'est moins accessible pour certains
Pour ceux qui voient mal la solution, le problème est plus simple à résoudre dans l'autre sens. On demande le nombre minimum de bonbons qui permet d'être sûr d'avoir un bonbon de chaque couleur. Notre nombre N est donc le plus petit élément de l'ensemble A, que je définis comme les nombres de bonbons où quoi qu'il arrive, je tire des bonbons de toutes les couleurs. 40 appartient obligatoirement à A puisque si je tire tous les bonbons j'en ai au moins un de chaque couleur. Je sais également que si j'ai tiré les 40 bonbons, j'en ai au minimum 10 de chaque couleur. Maintenant remettons un bonbon dans la boîte (ce qui revient à n'en tirer que 39). J'en ai au moins 9 de chaque couleur puisque j'en avais au moins 10 à l'étape d'avant. Donc 39 appartient à A. Je remets encore un bonbon dans la boîte et je suis sûr, pour les mêmes raisons, d'en avoir au moins 8 de chaque couleur. Donc 38 appartient à A. Je continue à remettre les bonbons dans la boîte un par un et quand j'arrive à 31, je suis sûr d'en avoir au moins 1 de chaque couleur. Donc 31 appartient à A. Pour conclure, il suffit de voir que 30 n'appartient pas à A puisque je peux imaginer un cas de gros poissard où j'ai tiré 30 bonbons de trois couleurs. Donc 30 n'appartient pas à A. J'en déduis que le plus petit élément de A, c'est-à-dire ma solution, est 31.
Un peu long mais bon raisonnement.
salut ca fait 35 ans que je n'ai pas fait fait de math. je suis tombé par Hazard sur une de tes vidéo et j'ai tellement kiffé ( comme dirait les jeunes) que je m'y suis abonné.
Dommage que tous les profs de maths ne soit pas comme toi ^^.
Dernièrement , je me trouve avec une sorte de problème d'ordre mathématique (simple a exploser mais moins simple pour avoir le bon résultat)
En faisant des calculs simplistes j'ai bien un résultat mais je sens bien que ce n'est pas le bon ^^
Aimerez tu que je te l'expose ?
je pense ca ferait une bonne petite vidéo et ainsi j'aurai la bonne méthode pour trouver le résultat ^^
Hello
Merci pour ton retour, ravi que les vidéos te plaisent. Oui expose le moi si ça s’y prête pourquoi pas une vidéo dessus
hedacademy@gmail.com
Ou en commentaire comme tu préfères. Peut être même que quelqu’un donnera la réponse avant moi 😁😁
@@hedacademy
Salut, je vais essayer de présenter ca clairement est si ca ne l'ai pas je t'enverrai un email avec un petit dessin pour éclaircir..^^
On a une planche de 185 cm de long et qui pèse 50kg posé sur un axe de façon a ce qu'elle puisse balancer de droite a gauche .
cette axe se situ a 25 cm de l'extrémité gauche.
Donc elle penche naturellement a droite
Question : quel poids dois je posé a l'extrémité gauche pour que ma planche soit en équilibre ?
j'espère que cela pourra t'inspirer une vidéo ..... a moins que tu en ai déjà fait une sur le sujet ..dans ce cas met moi juste un lien ^^
Pour ma part j'ai utiliser 2 approches avec une différence d'une centaine de kilo entre les 2 ^^
Même si ma 2eme méthode me semble plus judicieuse je sais que ce n'est pas LA méthode ^^
Ça fait plaisir de trouver! Mais de toutes façons pour moi ,le principal plaisir est de vous voir, souriant ...cela dédramatise ,plus de phobie des maths ! ( Je ne sais pas si cela aurait été aussi efficace avec une autre catégorie d'objets !🙂)...
Merci pour ce format super !
Simple et efficace! Comme d'habitude ! 🤗
Merci🙂🙂🙂
simple, efficace et plaisant, de quoi faire un peu de maths en vacances
même si quand on est en 1ère on trouve ce genre d'énigmes assez simplistes ahah !
bonne continuation !
Je suis aussi en Première, je te conseille de regarder le commentaire d'ExpoMaths, il y a selon moi matière à refléchir...
J'adore ! Et j'avoue : je n'avais pas mis sur pause !
Continue les énigmes t’es le sang !
Oh purée !!! Je suis trop heureuse 🤗 J'ai réussi à résoudre l'énigme 😎✌🤩
Salut les jeunes 😎
Pour les amoureux du dénombrement et des probas : Quelle est alors la probabilité qu'un tel tirage arrive ?
C'est à dire que l'exigence de la petite nièce soit atteinte au 31 tirages exactement ?
Je vais pas vous mentir : autant jouer à l'euromillions car il faut être un sacré chat noir pour que cela vous arrive !
Oui là ça se complique 🤭🤭🤣🤣
1 chance sur 40*39*38*...* (40-31+1) soit 40*39*38*...*10
Je crois que P = 2,12523551×10^-22 mais je suis pas sur.
Bon sang j'y refléchis depuis tout à l'heure !
C'est quel type de probabilités s'il vous plaît ?
Bonjour Pour le problème du paquet qui contient 4 types de bonbons. Pourrais tu montrer le calcul des l'évolution des probabilités. De 0 à 31 prises
Aid Adha Mobarak Saïd merci prof
عيد أضحى مبارك سعيد و كل عام و أنتم بالف خير
J'adore!!! Vivement la prochaine
Celle-ci est pour le coup vraiment très intuitive.
Bonjour,
Merci pour la vidéo 🙂
Question :
Comment s'appelle ce type précis de raisonnement ?
Merci.
Trop bien ce genre de vidéo.
PS : j'ai trouvé la réponse de l'énigme. Trop contente 😉
Trop sympa notre prof de math là, vraiment 😄👍
G trouvé en 2 secondes. J'ai même cru avoir faux vu la vitesse👑
Mdr 🤣 Toujours avoir confiance en sois ✌🤗
Trop cool tes video
31 :) J'ai trouvé cette question logique, j'adore les maths et j'adore surtout le raisonnement que ça demande :)
Moi perso j ai résolu l énigme en moins de 10 secondes... .......
J ai donné le paquet de bonbons à ma nièce et je lui ai dit :" vas y sers toi "
:-D
J'adore tes enigmes (bon celle ci est vraiment la même que les cravates mais au moins on peut voir si on a compris le principe plus vite )
Petit conseil : change de niece elle est relou mdr
Très facile comme énigme mais assez sympa
Tes vidéos sont drôlement motivantes ..... Bne continuation
Super t’es vidéos
c'est vraiment cool hen mais vraiment j'ai jamais eu besoin de mettre sur pause une seul fois sur tout les énigme pour trouver. c'est frustrant de n'avoir que des résonnement simplissime....
J’adore son rire!!!
Le prof de math de rêve 😍
Bonjour, on peut aussi tirer 9 bonbons et lui donner le reste du paquet ou il restera obligatoirement les 4 couleurs.
J'adore les énigmes!
Cool ! Si maintenant les couleurs de bonbons ne sont pas répartis équitablement dans le paquet, il faut d'abord vider les 3 couleurs majoritaires et ensuite le coup suivant est bon. Il ne faut pas commencer par vider les couleurs minoritaires, sinon le nombre de tirages est inférieur à la vraie valeur. C'est bien ça ?
Donc, un nombre de tirages entre 1 au mieux et 31 au pire. Ce qui m intéresserait, ce sont les probabilités pour chaque tirage. Comment faire ?
Fait en 5s 🤗
Moi j'ai mis tout le paquet dans une bonbonnière transparente 😜
😂😂😂👍👍👍👍
🤣 31 🍬 🤲 , le sac transparent est plus logique que la solution proposée.
Bonjour et merci, comment faire si la question était "Combien faut-il tirer de bonbons pour avoir 80% de chances d'en avoir au moins 1 de chaque couleur ?"
Question plus technique :
quel est le nombre MOYEN de tirages pour avoir au moins quatre bonbons chacun d’une couleur différente ?
7.75 ?
Je te propose d'expliquer l'énigme des moines. 50 moines sont dans un monastère, ils ne peuvent pas parler. Certains sont malades et la maladie se déclare avec un point rouge sur le front. Les moines ne peuvent pas voir si ils sont eux même malades, par contre, ils voient si les autres moines sont malades ou pas, ils peuvent voir les autres. Dès le premier jour ils sont déjà malades. La maladie n'est pas contagieuse (tous les malades sont malades le 1er jour); Chaque matin, ils sont dans la même pièce, se voient tous, ne peuvent ni parler ni faire de signes; Dès qu'ils se sont vus, ils retournent dans leur chambre jusqu'au matin suivant ou doivent obligatoirement quittter le monastère dès qu'ils savent qu'ils sont malades. le 28ème jour, tous les moines malades quittent le monastère aux même moment; Question : combien y a-t-il eu de malade ? Comment ont-ils compris qu'ils étaient malades; C'est aussi un raisonnement logique un peu plus que mathématique, mais c'est une chouette énigme pas si simple. Ceux qui connaissent, ne mettez pas la réponse ici, le but c'est d'en faire une vidéo et de ne pas spoiler la réponse :-)
On peut aussi compléter la recherche par "Combien de bonbons doit on tirer pour en avoir deux (ou trois) de la même couleur....?" (pour les malins qui sont plus rapides)
Pauvre nièce, elle n’a vraiment pas de chance si elle doit tirer 31 bonbons avant d’en avoir 4 de couleurs différentes.
Sinon super vidéo comme toujours 👍😁
La chance que j'ai en général lol
pas de chance sauf si on considère qu'un bonbon sorti doit être mangé, par mesure d'hygiène :)
@@imemoria8144 Oui là ça devient incroyable comme quoi « Haribo c’est beau la vie pour les dents et les caries » (euh non pas pour les dents finalement)
bon je met un pouce bleu juste pour le soutien car l'énigme est trop facile il y a même pas a faire pause, mais merci comme même, allez un petit pouce bleu de soutien depuis l'Algérie ^^
J aurais rêvé d avoir un prof de math comme ça😉
Oh mince! C'est exactement ce que j'avais vu pour ce nombre de bonbons à piocher pour le cas où l'on a vraiment pas de bol! Et je me disais que non, c'est trop facile!
Bon, c'est la question à se poser si l'on est aveugle, si l'on est clairvoyant, on regarde les couleurs demandées! :-D
Dis à ta nièce que ce n'est pas bon pour les dents! ^^
je vais reposer mon problème ici:
On a une planche de 185 cm de long et qui pèse 50kg et qui est posé sur un axe de façon a ce qu'elle puisse balancer de droite a gauche .
Cette axe se situ a 25 cm de l'extrémité gauche.
Donc elle penche naturellement a droite
Question : quel poids dois je posé a l'extrémité gauche pour que ma planche soit en équilibre ?
j'espère que cela pourra t'inspirer une vidéo ..... a moins que tu en ais déjà fait une sur le sujet ..dans ce cas met moi juste un lien ^^
Pour ma part j'ai utiliser 2 approches avec une différence d'une centaine de kilo entre les 2 ^^
Même si ma 2eme méthode me semble plus judicieuse je sais que ce n'est pas LA méthode ^^
Amusez vous bien
j'adore cette chaîne 😍
Moi aussi je me suis fait piégé ;)
J'ai cru qu'il y avait un piège alors j'ai réfléchi au delà du nécessaire et j'ai ré-écouter l’énoncé pour détecter un éventuel biais. Finalement, incrédule, j'ai écouter le reste confirmant l'évidence.
bien jouer ;)
*je me suis fait piéger et non "piégé"
Je dirais 31 bonbons. Supposons que l'on n'ait pas de chance : on tire 10 bonbons de la première couleur, 10 de la deuxième couleur, 10 de la troisième couleur et enfin un bonbon de la dernière couleur.
Il y a entre 4 et 31 essais. Ce serait marrant de faire la probabilité de chacun. Ce serait plus difficile (loi multinomiale ?).
Trop bien! J'ai trouvé 31 :-)
Génial. J’espère que ta nièce n’a pas du répondre à l’énigme avant d’avoir ses bonbons 🤪
Je trouve ça sympa des énigmes de logique et non prenant les formules de mathématiques. Pcq à titre personnel je suis curieux et j'aime ma réflexion mais les formules de math c'est pas pour moi
il est beaucoup trop drôle🤣
En mathematique il en faut 31 effectivement, en probabilité il en faudrait 13...?
La nièce est très astucieuse!
La question est « combien de bonbons au minimum il faut que je tire ». La réponse est 4 😝 (avec bcp de chance 😂)
Si la question était « combien de bonbons dois-je tirer pour être 100% certain d’avoir 4 bonbons différents » réponse 31
Bon je taquine. J’avais bien compris le bail ! 👍🏻
"Au minimum POUR ÊTRE SÛR d'avoir (...)"
Donc c'est bien 31
Et sinon en termes de proba, ça donne quoi pour avoir les 4 couleurs différentes à la suite ? 1/4 * 10/39 * 10/38 * 10/37 ?
Que t'ai besoin de 31 bonbons avant d'avoir la 4e couleur ou d'avoir tous d'une couleur, puis tous d'une autre couleur, puis... ?
Non, en l'occurrence, je dirais plutôt : 1 × 3÷4 × 2÷4 ÷ 1÷4, soit 6÷64 ou 3÷32.
Explication : on se fiche de la couleur du premier (donc 4 couleurs valides sur 4), puis le suivant doit être de n'importe quelle couleur sauf celle du premier (donc 3 couleurs restantes sur 4), puis le suivant doit être de n'importe quelle couleur sauf celle des deux premiers (donc 2 couleurs sur les 4 possibles : les deux restantes) et le dernier doit être de la seule couleur restante, toujours sur les quatre possibles.
@@ObsidianParis c'est pas exactement ça. Quand tu as pris la 1ere, il n'y a plus que 39 bonbons dont 30 sont d'une autre couleur, donc c'est pas 3/4 mais 30/39, pareil pour le prochain qui n'a plus que 38 bonbons dont 20 qui sont encore d'une autre couleur, puis 10/37...
@@quentind1924 Ah oui, oui ! Bien vu. Je suis resté focalisé sur l'exclusion de certaines couleurs uniformément réparties au départ et je n'ai plus pensé au fait qu'on en diminuait la population à chaque retrait. Comme quoi, on se fait toujours avoir avec les probas/stats, même avec de la pratique.
Simple
personnellement j'ai fait comme ça:
10 bleus
10 rouges
10 noirs
10 verts
10*4 = 40
10/40 = 1/4
10/40 = 1/4
10/40 = 1/4
10/40 = 1/4
1
1/4
1/16
1/64
1er tour: 100% de chances pour ne pas avoir le même car j'en ai aucun
2ème tour: 1-1/4 = 75% de chances de ne pas avoir le même
3ème tour: 75/100-1/4-1/16 = 43,75% de chances de ne pas avoir le même
4ème tour: 43,75/100-1/4-1/16-1/64 = 10,937 % de chances de ne pas avoir le même
(100+75+43,75+10,937)/4 = 57,42175%
1/(57,42175/100)*4 = 7
il faut que tu prenne 7 bonbons pour que tu es 1 bonbons de chaque couleurs donc 4 bonbons
Enfin une énigme que j'ai trouvé 😂😂
Bonsoir monsieur et bonne année je crois de ma part c’est le plus je prends 9 bonbons puit je lui donne le reste
J'aime beaucoup
Oui bien dit
Il faut bien mélanger le sac. J'estime que vers le dixième tiré on aura un de chaque couleur.
ça serait intéressant de calculer la probabilité que le "pire" cas arrive
Exactement la même enigme que les cravates ahah 31
Le ''menteur" me fait trop rire 😂
Comme celle d'avant ^^
31 c'était une réponse tellement évidente, que j'ai réfléchi trois plombes pour voir s'il y avait un piège xD
31! J'ai trouvé en me basant sur la logique des cravates
Super! Ça veut dire assidu sur les vidéos 😁👍🏽
Les mêmes raisonnements reviennent avec quelques variantes, souvent comme ça en maths 😊
Tu tires neuf bonbons et tu lui donnes le sac ...il y aura forcément quatre couleurs dans le sac .
Comme dirait un certain Obi Wan je ne sais qui, tout est une question de point de vue. Perso si je tire dans l'ordre, les 10 bleus, puis les 10 rouges, puis les 10 noirs, puis les 10 verts, je ne le verrait pas comme de la malchance mais comme le tirage le plus improbable, le plus exceptionnel, de toute ma vie.
D'ailleurs ça ferait une bonne suite à ce problème : Quels est la probabilité d'en arriver jusqu'au 31ème bonbon pour avoir 1 bonbon de chaque couleur ?
facile mais amusant ;)
Je me suis fait des noeuds au cerveau pour rien
J'avais immédiatement trouve 31 mais je me suis dit : c'est trop facile.
C'est vrai qu'en matière de poisse je suis un champion
Moi il m'en aurait fallu 31 pour avoir les 4 couleurs
Et encore avec ma chance je serais tombé sur l'unique paquet défectueux avec que 3 bonbons bleus 😢
Petite devinette, un cultivateur meurt. Il a 4 enfants et un seul terrain. Il a demandé au notaire de diviser son terrain en parts égale et de même forme que le terrain d'origine (en L) comment le diviser?
A la fin la musique ça vient de realm craft
Je dirais 31 bonbons.
Je suis sûr d'en laisser 9, qui est 1 bonbon de moins qu'une série complète d'une même couleur.
C'est vrai qu'en restant les yeux fermés , déterminer les couleurs des neuf bonbons restants n'est pas évident même si c'est faisable . Maintenant quand on pense aux nombres de façons de sortir les 40 bonbons parmi lesquelles on peut tirer les quatre couleurs bonbon après bonbon ou bien après avoir tiré les bonbons de chaque couleur , on a quand même un grand nombre de cas à gérer . En fait 40!/(10!)⁴ = 815915283240435923625611269596115894272000000000/(3628800)⁴ = 815915283240435923625611269596115894272000000000/13168189440000² . Je m'en vais d'abord manger , la suite au prochain épisode lol .
Question un peu plus difficile :
Combien de bonbons faut-il tirer pour avoir 3 chances sur 4 d'en avoir au moins un de chaque couleur ?
23.25
dcp 23 ou 24 bonbon car obn peut pas les couper
Même principe que les cravates donc par logique j'en aurais pris 31, mais moi j'aurais procédé autrement, j'aurais retiré 9 bonbons du paquet avec peut-être 1 chance d'avoir les 4 couleurs sinon je lui donnais le reste du paquet et comme elle n'est pas aveugle, elle aurait pris un ou deux bleus, un ou deux noirs, un ou deux verts 'puisqu'elle n'aime pas les rouges !
Merde, je suis trompé. Je croyais que c'était comme les cravates, 11🥺 Prof, j 'en si un : un nénuphar double de sa superficie chaqué jour et met 100 jours pour couvrir la surface d ' un étang, combien de temps mettront 2 nénuphars pour couvrir la même surface?
J'adore tes énigmes ...... surtout quand je trouve la réponse 🤣