2³ˣ + 2ˣ = 222, le niveau monte MAIS TU SAIS TOUT FAIRE
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- Опубликовано: 30 окт 2023
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On doit résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation suivante:
2³ˣ + 2ˣ = 222
C'est en quelque sorte l'évolution d'une vidéo récente dans laquelle on devait résoudre l'équation x³ - x² = 18
Lien vers les vidéos évoquées :
Résoudre x³ - x² = 18 ⬇️
• Résoudre x³ - x² = 18....
La démonstration qu'un polynôme est factorisable si a est racine ⬇️
• FACTORISER au maximum ...
On résout une équation de degré 4 ⬇️
• Résoudre x⁴ - 4x³ - 7x...
Avec les vidéos précédentes, j'ai pu anticipé les étapes
Identifier un changement de variable
Recherche racine évidente
Factorisation
Résolution equation degré 2 avec delta
Résolution avec ln
Mille fois bravos je suis plus costaud en maths grâce à vous
La bonne humeur que vous apportez donne à penser que les maths sont récréatives
le seul prof qui pourrait faire résoudre des équations quadratiques à des enfants de 7 ans tellement c'est limpide ses explications
2:38 reconnaitre 6 comme racine évidente c'est un peu tiré par les cheveux (ça explique un truc ou deux :D) si on connait pas ses cubes (j'ai pas souvenir d'avoir jamais connu de tête le cube de 6). Par contre on peut y aller un poil bourrin et decomposer en facteurs premiers. x3+x=x(x2+1) d'une part, 222=2*111=2*3*37 d'autre part. Et là par contre, reconnaitre avec x(x2+1)=6*37 que 6 est solution, pas de soucis.
Oui c’est ce sue je pensais : comment fait-on si l’on ne remarque pas le 6 ou bien si la solution n’est pas « intuitive »?
@@majie_mj applique les formules de Cardan mais ça va te prendre un temps fou…
Dans le supérieur pour des polynômes de degré 3 tu peux utiliser certaines techniques pour trouver une racine (pas évidente) et ensuite factoriser. Par contre, pour des polynomes de degré supérieur à 3, soit une solution est donnée soit t'as pas le choix et il faut passer par les racines évidentes.
@@tugaks1837 ma math sup / math spé commencent à dater mais il me semble que c'est pour du deg5 qu'on ne peut plus généraliser. Pour deg4 y'a une approche bourrin qui m'a toujours plu quand pas de racine evidente, c'était d'identifier P(x)=ax2+bx qui te redonne tes coeffs de x4 et x3 au carré. Tu as alors P(x)2 = Q(x), avec Q(x) de deg2. Le coup de maître c'est ensuite de reculer pour mieux sauter. Quel que soit le réel y, (P+y)2=Q+2yP+y2. Ce qui est un carré parfait si et seulement si son delta est nul. Donc ça revient à trouver un y tel que delta est nul, et ensuite c'est que du bonheur parcequ'on a un truc du style A2-B2=0. Si je dis pas de bêtises on peut toujours trouver un y et donc toujours utiliser cette approche (qui reste bourrine dans beaucoup de cas scolaires)
@@florianbasier Je connaissais pas merci pour la technique. Si je me trompe pas y a aussi une formule absolument immonde pour généraliser les racines des polynômes de degré 4. Par contre pour degré 5 en effet pas de formule générale avec les opérations élémentaires mais je vais me renseigner voir s'il existe pas des techniques quand il n'y a pas de racines évidentes.
Vous êtes très pédagogue !
Longue vie à votre chaîne !
J'ai toujours apprécié votre contenu mais avant il était orienté vraiment (ce qui m'empêchait pas de redécouvrir des choses très enfoui dans mon cerveau) maintenant c'est du niveau terminal (voire en première année avec le polynôme de degré 3) et je trouve ça bien de faire découvrir pour beaucoup ces cours de manière à la fois plaisante et scolaire. Alors que je connais beaucoup de chaînes orienté cours et des chaînes orienté exo prépa mais vous êtes le seul que je connaisse dans votre style
Effectivement j’ai l’impression que monter un peu le niveau semble plaire y compris à ceux qui se remettent aux maths après tant d’années et ce peu importe le niveau qui a été le leur. Donc je me laisse porter et ça permet de diversifier aussi le contenu.
Donc Ravi que ça te plaise.. encore plus 😁😁
Vos vidéos sont vraiment de plus en plus intéressantes . MERCI
Super équation ! Hâte d'avoir la vidéo sur la manipulation des nombres complexes, c'est passionnant !
Franchement un super super prof!
J’adore
Une fois trouvé X=6, on voit que X3+X est strictement croissante dans R (en dérivant par exemple) donc on ne pourra trouver qu'une solution qui ici est X=6. Très bonne vidéo.
J'adore. Vous êtes au top.
Génial tout simplement, merci😊
en toute franchise ,je trouve cet exercice difficile mais merçi de nous faire travailler nos méninges !
et merçi pour votre enthousiame .
Tu es vraiment un pro
Philippe
La fonction réelle f(x) = 2^3x + 2^x est strictement croissante, elle n’atteint donc la valeur 222 qu’une seule fois, lorsque x = 6. Merci pour vos videos !
Pas oublier non plus la continuité !
@Rom_2_RL D'accord, le TVI demande la continuité... qui assure l'existence d'une solution et une seule. Mais ici, on a une solution évidente (X = 6), et la croissance stricte assure l'unicité. Merci pour votre remarque.
X -> X^3 + X - 222 est bijective sur R (strictement croissante car dérivée = 3X²+1), donc une fois qu'on a la solution évidente X=6, inutile de continuer, on sait que c'est la seule solution. Ca court-circuite les trois quarts de l'exo.
Brillant !
Merci bcp pour cette superbe vidéo! A refaire sans modération( j’ai pu le résoudre moi même, quelle satisfaction, jusqu’à 2^x=6 car je ne connais pas encore ln (je suis en début 1ere S)
Il faut utiliser la division euclidienne x³+x+222 par x-6 après avoir vérifier x-6 comme une solution.
Je vous remercie Maître, 🙏
Bonjour, pourquoi ne pas utiliser le log de base 2 à la fin ? C’est plus simple non ?
tres bonne vidéo super intéressant
Pour diviser un polynome par (x-a), je conseille d'utiliser le schéma de Horner (au crayon ou de tête)
Nickel !!! 👍😎🏁🐆
bonjour. je me demande si ça aurait marché en se débarrassant de l' exposant 3 dès le début. se dire 2 exposant 3 le tout exposant x, donc on aurait eu 8 exposant x + 2 exposant x = 222. mais je ne sais pas le faire et surtout je ne sais pas si c' est juste...
Soit x et y deux nombres entiers tels que: 3 exposant x-2y+8=5 exposant x+y-1 Calculer x exposant y.
Bravo
Bonjour je regarde tes vidéos depuis aujourd'hui ça a l'air très bien pour apprendre des choses sur les maths est-ce que vous pourrez me répondre s'il vous plaît j'ai un trouble autistique je n'arrive pas à suivre tout votre technique même si elle est bien est-ce que vous êtes capable de faire des vidéos vous continuez et vous allez pas recommencer bref c'est de expliquer aux gens qu'ils ont des difficultés comme ça ils vont mieux comprendre si tu es vraiment capable comment par exemple j'arrive pas à suivre tous les techniques c'est un peu compliqué pour moi et je voudrais que vous expliquer individuellement pour les gens qui on un troubles autistique ou des difficultés à part l'autisme bref après c'est pas votre métier mais je vous propose c'est tout merci !!!! ❤
J'adore toutes tes vidéos ❤
Mais j'avoue n'avoir pas compris , cette seule fois , tes explications qui m'ont paru très compliqué .
Pour ma part , j'ai directement divisé ( comme une division normale ) X³+X-222 par X-6 puis fait 2exp(x)=6
Enfin voili voilou ...
Ne t'arrête pas, continue comme monsieur 🙏
Ces exercices sont-ils adaptés à quel niveau d'études ?
@@elinael-rr7mkcelui là terminal puisque t’as besoin du ln mais je pense que c’est faisable par un bon élève de première
@@mehdifr9055 d'accord merci
Perso j'ai d'abord factorisé 2^3x + 2^x = 2^x (2^2x + 1)
J'ai ensuite décomposé 222 = 2 * 3 *37 or 37 = 6^2 + 1
Donc 2^x (2^2x + 1) = 2 * 3 * (6^2 + 1)
Par identification on a 2^x = 6 et 2^2x + 1 = 6^2 + 1
x ln2 = ln 6 donc x = ln6/ln2 et 2xln2 = 2 ln6 (on revient à l'autre expression)
Le "par identification" n'est pas correct : il est utilisé pour dire "Hey comme tu m'as filé une équation avec un résultat simple, en décomposant 222 j'ai trouvé où tu voulais m'emmener sans mener de raisonnement". Ca peut-etre un point de départ pour chercher des solutions au brouillon, mais ce n'est pas un raisonnement complet suffisant si la question est de "résoudre l'équation" (c'est à dire "trouver toutes les solutions de l'équation").
En outre, tu as réussi à trouver une solution, mais en aucun cas cette preuve ne te dit que c'est la seule solution réelle, tu en as peut-être manqué (d'ailleurs elle ne te donne pas de piste pour chercher les solutions complexes... et c'est symptomatique d'une méthode de solution lacunaire).
Après, avoir du flair en math est une bonne chose et ce raisonnement est toujours mieux qu'une feuille blanche :D !
@@geogeosgeogeos5569 On est dans R et la fonction 2^3x + 2^x est strictement croissante entre - infini et + infini. Donc une seule solution possible:
On pourrait pas écrire la solution en log base 2 ? Je sais plus si c'est dans le programme...
j'ai parfois l'impression que la chaine s'essaie aussi à la contrepèterie ;-) "un cube connu"
Je trouve la façon de chercher le deuxième facteur par tâtonnements peu efficace.
Du moment qu'on trouve la solution triviale : 6³+6=222, il suffit de remplacer dans l'équation initiale.
x³+x=6³+6
==> (x³-6³)+(x-6)=0
==> (x-6)*(x²+6x+6²)+(x-6)*1=0
==> (x-6)*(x²+6x+37)=0
C'est décidé, je vous porte sur la liste des candidats au diplôme de Bienfaiteur de l'Humanité 😁🎉
2^(3x) + 2^x = 222
que 2^x soit y
y^3 + y = 222
y^3 + y - 222 = 0
(6^3 = 216 et 216 + 6 = 222)
(y - 6) (y2 + 37) = 0
y = 2^x = 6, +/- i ✓37 (pas R)
2^x = 6 => x log 2 = log 6 => x = (log6) / (log2)
j'ai préféré poser la division poly perso ;)
Excellent. J'adore.
Mon problème, toujours le même : il faut se souvenir de trop de choses (en plus d'identifier le bon chemin de recherche, bien sûr).
Se souvenir de la vidéo de (x cube - x² = 18), ouch !!!
Et ne pas oublier qu'un polynome de degré 3 est factorisable par x moins une de ses racines. re-ouch !!
Et de penser à utiliser les ln ... rere-ouch !!!!
🤔
"un polynôme de degré (quelconque) est factorisable par x moins une de ses racines" un peu à cause de la définition d'une racine.
Vu la tête du truc à la fin, les logs sont incontournables. Je ne sais plus en quelle classe (Terminale (1973) ou Math Sup) on arrivait à la fin à exponentielle de pi. 🙂
@@Photoss73 Et oui, une fois qu'on me le rappelle, je m'en souviens 😅.
@@armand4226 on ne peut pas se souvenir de tout, mais la chaine permet de 'réveiller' des souvenirs endormis (qui sont ensuite tentés de s'endormir à nouveau 🙂)
@@Photoss73 Comme tu as raison, et comme tu le dis bien. 👍
je ne sais pas pourquoi mais à partir d'un certain niveau j'aimais bien les résolutions avec changement de variable bien que ce fut costaud parfois. 😅 il faudrait que je regarde s'il n'y a pas quelques calculs d'intégrales avec changement de variable sur votre chaîne. enfin bref, revenons à nos moutons.
encore un exo' bien pensé. je n'ai pas compris pourquoi vous ne parlez plus que de puissances paires à la fin ? 2^3 était un candidat bien qu'il ne fonctionne pas. cela permettait même de définir un encadrement de la valeur (pour x appartenant à un entier naturel) si on le souhaitait. 👍
❤❤❤
A quand le retour des complexes ? Est-ce qu'on aura les solutions de cette équation dans C ?
si on calcule la racine de (36 - 4 x 37) grâce aux complexes, sauf erreur (vieille cervelle 🙂), j'arrive à x = (ln (-3 +/- i * √28)/ ln(2), mais ne sachant plus comment on 'manipule' les log complexes, ai trouvé (pas re-trouvé mais trouvé, souvenirs disparus) que ln(x+yi) = √(x²+y²) + i tan^-1(y/x), il suffit de transformer...
Bonjour j'ai une question pouvez m'aider si on donne le polynôme p(x)= ax^n+1 + bx^n +1 et on nous demande de montrer qu'il est divisible par (x+1)^2 merci d'avance
Bonjour,
Je ne connais pas le niveau, mais je vais supposer qu'il est au moins post bac.
- Il est agréable d'avoir des parenthèses, car de prime à bord, on voit un polynôme qui se simplifie par (a+b) * x^(n) + 2.
Je suppose cependant que l'on parle de P[n](X) = a * X^(n+1) + b * X^(n) + 1. (Je note entre crochet ce qui serait en indice.)
- Il est important de bien définir les variables, parce que pour n=0, ça semble faux pour le polynôme P[n], qui serait P[0](X) = aX + b + 1, non divisible par un polynôme du second degré étant de degré 1 (maximum mais on va dire que a est différent de 0).
- Ensuite, il suffit de connaître le critère de divisibilité d'un polynôme. Attention à savoir si on est dans le corps (ou l'ensemble) des réels ou des complexes.
Si on est dans le cas les polynômes dans le corps des réels :
- Sans l'avoir résolu, je dirai que le plus direct est de procéder par récurrence sur n. De loin, il faudra peut être dissocier les cas n pairs et n impairs.
Bon courage
@@leos.8374non c'est pas post bac et pourquoi vous avez mis p[n] et je précise les n c'est en indice
J'adore vos vidéos mais les équations du 3ème degré c'est un peu trop pour moi ! 😱
Déjà celles du second degré je commence seulement à comprendre le concept car je n'avais jamais entendu parler de "Delta" avant de voir vos vidéos, ayant fait des études plutôt littéraires ! 💡
Mais peu importe, même quand je ne pige que dalle, j'adore regarder vos vidéos car vous avez un côté super sympa et vous expliquez bien ! 😃👍
Oui
@6:16 Combien fait 4x37? ON S'EN FICHE! 🤣😂
Une technique encore plus simple pour trouver la forme factoriser est de poser sous forme de division euclidienne x3 + x - 222 par x -6. On sait que ça tombe juste.
C'est effectivement la méthode que j'aurais également utilisée car plus simple (et systématique). Mais il est vrai qu'il est bon de connaître les deux méthodes, au cas où.
@@mikelenainje la trouve tellement esthétique cette méthode pourtant et beaucoup plus simple.
@@emilien4470 moi de même.
La solution évidente 6 est abusée honnêtement, quasiment personne ne sait que 6^3 = 216
C'est facile à trouver en estimant les ordres de grandeur et en cherchant l'entier le plus proche.
6 x 6 = 36. De tête, 36 x 6 c'est pas trop "compliqué" à calculer (25 x 5 non plus, reste à avoir une idée pour commencer, 1 c'est pas assez, 2 non plus).
7 x 7 = 49, presque 50. Presque 50 x 7 = presque 350, c'est trop. 6 est candidat. 🙂
@@martin.68Si on te dit qu'il y a une solution entière pas trop compliquée, ok. Mais sinon tu vas pas chercher 6 comme solution évidente, en général c'est 0, 1, 2, voire 3, et c'est tout.
@@booli8542 il faut se placer dans le contexte de la chaîne, tous les exercices qu'il propose sont accessibles à un lycéen. Les solutions évidentes sont toujours des entiers.
x^3+x est strictement croissante dans R donc il y a une seul solution je ne suis perso pas passé par la formule quadratique
Certes, la méthode du calcul du discriminant n'est pas applicable. Cependant, pour éviter la recherche de racines évidentes (qui peuvent ne pas être trouvées), la méthode de Tartaglia/Cardano permet de trouver le résultat de cette équation. Ainsi ...
2^3x + 2^x = 222
(2^x)^3 + 2^x = 222
soit X = 2^x
X^3 + X = 222
X^3 + X - 222 = 0
----- application de la méthode et de la formule de TARTAGLIA/CARDANO -----
X^3 + X - 222 = 0 est basé sur le modèle X³ + pX + q = 0 avec:
p = 1
q = -222
note (rappel): la racine cubique de n = n^(1/3)
X = [-q/2 + √(q²/4 + p³/27)]^(1/3) +
[-q/2 - √(q²/4 + p³/27)]^(1/3)
X = [-(-222)/2 + √((-222)²/4 + (1)³/27)]^(1/3) +
[-(-222)/2 - √((-222)²/4 + (1)³/27)]^(1/3)
X = 6
X = 2^x = 6 => log(2^x) = log(6) => x·log(2) = log(6) => x = log(6)/log(2) = 2,58496...
x = log(6)/log(2) = 2,58496...
Dans le cadre d'un cours de terminale, la méthode de Tartaglia n'est pas connue (bien qu'on pourrait envisager de la faire découvrir en td ou dm).
Merci. Votre remarque est pertinente. Quant à faire découvrir la méthode Tartaglia/Cardano avant le bac, cela aurait effectivement l'avantage de montrer qu'il existe un "outil" pour résoudre toute équation et pas seulement celles dont le cas particulier est d'avoir une racine entière évidente à deviner. 🙂@@mikelenain
@@mikelenainil me semble qu’elle est pas mal utilisée pour introduire les nombres complexes😁 c’était le cas pour moi et pas mal de personnes de ma prépa également
@@mehdifr9055 j'ai appris les nombres complexes en terminale ^^
Log2 pas ln c’est bien mieux et pour tous ceux qui font de l’info on utilise que le log2 car on manipule des nombres binaires.
Je trouve le ln plus naturel à manipuler. Ce n'est peut-être que par habitude ;)
@@mikelenain je trouve que c’est simple on sait 2**3=8 donc log2(8)=3 ce qui donne par exemple 2**x=25 donc x=log2(25)
❤❤❤❤❤❤🎉🎉🎉🎉🎉
(2^x)^3+(2^x)-222=0
X=2^x
Ln je m'appelle ln,
Je suis une méthode.
Comme les autres.
^^
first
?
1er commentaire
commentaire positif, neutre, négatif ? La technique utilisée vous convient ? Vous avez mieux, plus rapide, voire "rusée" ?
Mais que c'est laborieux ce qu'il nous a encore fait le monsieur avec ses méthodes de galérien...
La fonction f définie sur R par f(x)=x^3+x est continue et strictement monotone sur son ensemble de définition, ce qui nous assure que pour tout A, l'équation f(x)=A admet AU PLUS une solution.
On en a trouvé une, on a FINI.
Et si on n'a aucun bagage d'analyse, on dit ça à la place :
Si x0 on voit que x/6 et (x²+1)/37 sont simultanément plus petits que 1 pour x6. Donc 6 est la seule solution.
C'est bien vrai.
Après je n'ai pas entendu parler de fonction monotone continue, voire injective sur la chaîne.
Bien sûr qu'il y a toujours une astuce, mais ici je pense que le but est de travailler sur les polynômes et pas les fonctions. Si le polynôme n'était pas associé à une fonction bijective de R dans R, le calcul aurait quand même été obligatoire. L'équation initiale aurait pu avoir un ensemble des solutions de cardinal entre 2 et 3.
Même si la division du polynôme X^3 + X - 222 par X - 6 est laborieuse dans la vidéo, il n'a peut être pas développé la division euclidienne des polynômes auparavant, et passer par l'identification aurait demandé plus de place sur le tableau blanc.
Je ne défends pas forcément la vidéo, je pense que l'identification valait le coup, mais c'est compréhensible.
Non non la méthode du prof est parfaitement cohérente. C'est accessible à quelqu'un qui n'a pas nécessairement étudié les fonctions. Son raisonnement est logique, utiliser une étude de fonction rendrait la vidéo incompréhensible pour une grande partie du public qu'il vise.
@@martin.68 Alors déjà l'histoire que quand on a une racine a d'un polynôme, on peut factoriser par X-a, on voit ça - ou en tout cas on le démontre - en Maths Sup, alors que les études de fonctions c'est dès la Première S. Donc si j'ai le droit de factoriser par X-6 je considère que j'ai le droit de sortir les outils d'analyse. Soit dit en passant je n'ai pas le souvenir d'avoir eu une seule équation du troisième degré à résoudre en Première S (en tout cas pas sans être guidé).
Mais bon admettons, on fait la division euclidienne et on tombe donc sur l'équation x²+6x+37=0. Pour x>0 tous les termes du premier membre sont >0 donc on ne peut pas avoir de solution et pour x
@@italixgaming915 la division par x-a est facile à comprendre et à démontrer même en première. Sinon au pire on l'utilise en tant que règle admise. L'idée des vidéos est de viser le plus large possible dans un temps limité. Il y a forcément des compromis à trouver. Mais je trouve ses choix assez pertinents.
@@italixgaming915 La division par x - a d'un polynôme est apprise en 3ème. Que ça soit la factorisation par Horner ou la division euclidienne d'un polynôme sous forme de calcul écrit. Quant aux changements de variables, c'est introduit en Seconde via les équations bicarrées.
Pour prouver algébriquement qu'une fonction est strictement croissante, il faudrait calculer sa dérivée et établir le tableau de signes de sa dérivée. Or, ce n'est vu qu'en Première.
Par conséquent, la méthode utilisée par ce professeur est accessible AVANT de parler de croissance d'une fonction. Votre méthode est également ok, mais je préfère celle du professeur. Elle est plus scolaire.
D'ailleurs, je ne vois pas pourquoi utiliser le discrimant réduit doit être un automatisme. Je ne l'ai jamais utilisé, je n'ai jamais vu l'un de mes profs l'utiliser (que ça soit en Seconde, en Première, en Terminale ou durant mes études), et je n'ai jamais vu un élève l'utiliser. D'ailleurs, je ne vois même pas ce qu'il est censé apporter.
Oui, oui, ça m'a plu !