La condizione per l'esistenza della circonferenza non me l'avevano mai spiegata. Un altro tassello che grazie a questi video trova il suo posto. Grazie professore per il suo prezioso lavoro
prof. Paolo, Grazie per le sue spiegazioni; tuttavia non ho compreso perché ,nel caso della equazione della circonferenza "degenere", che collassa nel punto C di simmetria del cerchio, si sia risalito ad una formula con 5 termini al primo membro. Da dove si è partiti per ottenere quella equazione di 5 termini '? Fino ad oggi sapevo che ogni polinomio con 3 termini e più sia generano da un prodotto di binomi. In questo caso, come si ottiene quel +13 al primo membro? Che significa da quale ipotesi geometrica siamo partiti per trovare un punto? Grazie se avrò un riscontro:🧐🤔 Cordialità li, 5/5/22.
Ciao, ti rispondo facendo riferimento a quanto riportato al minuto 10:07. L'equazione della circonferenza degenere è: x² + y² -6x -4y + 13 = 0 Tale equazione può essere riscritta seguendo il metodo del completamento dei quadrati nel seguente modo: x² + y² -6x -4y + 9 + 4 = 0 x² -6x + 9 + y² -4y + 4 = 0 (x - 3)² + (y - 2)² = 0 Una somma di due quadrati (in campo reale), quindi due quantità sempre non negative, risulta essere zero se e soltanto se sono nulli contemporaneamente i suoi due addendi quindi in questo caso: (x - 3)² = 0 ⋀ (y - 2)² = 0 Tale sistema di equazioni è risolto unicamente per x = 2 ⋀ y = 3 che sono le coordinate del centro della circonferenza degenere. Ecco il legame tra i 5 termini dell'equazione e il risultato geometrico/analitico ottenuto. Spero di aver risposto alla tua domanda. In caso contrario non aver timore a scrivere nuovamente nei commenti. Buon pomeriggio 🤗 Ciao ciao 😊 Prof Paolo 🤓
@@profpaolomate Lei è il Maestro che avrei voluto avere quando da piccolo non comprendevo il mondo dei numeri applicato alla geometria.La sua soluzione è una parte di un problema di terzo grado di cui non mi rammenta o e che mi ero copiato da un video qui sul Web. Appena arrivo a casa lo rivedo e le mando la mia interpretazione ( la soluzione è del prof. Che però non aveva approfondito).🤔😊a presto.
@@profpaolomate Buona sera Prof.Paolo, Come le avevo preannunciato ho riesaminato la formula con i 5 termini ,ma prima di procedere : guardi cosa mi ha suggerito la sua formula : un numero primo dai tre coefficienti ;6-4-13, sommando 6+13=19(NP); 4+13=17(NP) e (6+4+13)=23 ed infine (10+17+23)=59(NP). Mi sono detto che il problema poteva proporre qualche scoperta!. Infatti: ho proceduto così, ma non per dimostrare alcunché ma per scoprire qualcosa. intanto la formulona è la somma algebrica di due formule di due parabole con determinante =0 Esse sono:[ X^2-3X+9=0] e [ Y^2-4Y+4=0]; la prima offre solo una sola soluzione>> (x=3) la seconda una sola soluzione e vale (y=2) Come lei ha indicato ,questa coppia di numeri indica un punto singolare C ,centro di una circonferenza "degenerata" perché non abbiamo l'informazione riguardo al raggio . Tuttavia la circonferenza esiste ed interseca la "parabola" con asse parallelo all'asse X la cui equazione vale (Y^2-4Y+4=0) Per scoprirlo ho dovuto restituire graficamente verificando analiticamente il valore delle coordinate dei punti appartenenti alla parabola. Una volta disegnate scopro che non si intersecano ed anzi sono ben distanziate ma il ramo destro di essa interseca l'asse X del sistema degli assi cartesiani nel punto di coordinata X=4 ,che è il termine noto dell'equazione, mentre il suo vertice si trova alla coordinata y=2 ; Ho notato che tutte e due le parabole hanno il fuoco a 0,25-unità- dal vertice i punti simmetrici al fuoco sui due rami dx e sin ,si trovano distanti 1 (unità); la successiva coppia dei punti in corrispondenza di X=1 ,raddoppiano la loro distanza( =2),le terza coppia alla coordinata X=2,25 si trovano alla distanza =3;infine alla coordinata X=4 la coppia si trova alla distanza (=4) che corrisponde al valore del terzo termine dell'equazione ma anche al valore del coefficiente -( b)=4. Mi sono detto" ma guarda un po' se unisco questa coordinata al centro C (degenerato)del cerchio che si era nascosto lo ritrovo fra un po". Infatti,prolungo il segmento che diventa diametro (= 2√5) poi lo prolungo ancora fino ad intersecare l'asse ( Y ) del sistema cartesiano e interseco il punto di coordinata y=8. Ed ecco che scopro che si è formato un triangolo retto i cui cateti sono uno la metà dell'altro. Come sappiamo da questa configurazione si perviene a 𝞅,ma qui non ci interessa per ora. Mi sono detto: centro in C con compasso co raggio che intersechi la coordinata X=4 e capisco che la circonferenza deve passare da quel punto. Infatti essa ha raggio r=√5 ( con Pitagora ) applicato al triangolo retto (cateti 1 e 2) Ma non solo interseca quel punto (X=4) ma anche il suo simmetrico sull'altro ramo e poi la coppia alla coordinata X=1. Come dicono i ragazzi d'oggi "ho fatto Bingo" Infine, mi sono detto: "vuoi vedere che c'è anche la tripla di Pitagora da qualche parte?" Infatti ho già trovato le lunghezze 3 e 4 e devo solo trovare quella di 5 che ha punti in comune con quelle due. In effetti ce ne sono due ,uno per ogni parabola ma le segnalo quella con asse parallelo all'asse Y dove alla coordinata y=9 c'è l coppia di punti a distanza d=3, poi tracciando una retta che passa per il punto (3;9)sul ramo ascendente destro, e la coordinata del punto (0,0 ; 5) e si scopre che la distanza(= 4 )si trova per differenza fra (9-5)=4 così abbiamo il cateto lungo mentre l' ipotenusa è il segmento che unisce i due punti e vale 5 come è ovvio ma per sovramercato interseca anche l'asse Y della parabola alla coordinata X=1,5 E senza rammentare la formula del fuoco ecco che essa si materializza per intersezione fra asse della parabola e l'ipotenusa (Fp)[1,5 ; 7] Già che siamo qui ho puntato il compasso con raggio 2,5 nel fuoco della parabola con termine noto =9 e ho tracciato la circonferenza ,che guarda un po' passa per il termine noto(=9 ) della parabola ( X^2-3X+9) e per una coppia di punti simmetrici che hanno coordinate X= 0 e =3 che è il coefficiente b orse vogliamo la radice del termine noto (9). In buona sostanza il centro C era esplicitato nella formula ma il raggio bisognava trovarlo passando per la geometria dei nostri Maestri antichi e per il signor Descartes. Se lei non mi avesse risposto non sarei arrivato a nulla ma la sua soluzione mi ha fatto intravedere il seguito.(la Ringrazio). Complimenti : mi sento in dovere di seguirla con più continuità. Cordialità Joseph (pitagorico) li, 7/5/22.
professore, perchè si considera anche la condizione (3) uguale a zero come circonferenza, se rappresenta solo un punto ? non basta mettere la condizione (3) maggiore di zero ? sarebbe come dire che la retta è una circonferenza di raggio infinito quando sappiamo che una retta non può essere curva. mi sembrano disquisizioni cervellotico-filosofiche senza alcun senso pratico...
Eccomi, provo a spiegarti brevemente. La condizione (3) con il simbolo di uguaglianza è quella che viene detta condizione degenere (o caso degenere), ovvero una circonferenza "particolare" di raggio nullo, quindi che degenera in un punto ovvero il suo centro. In questo specifico contesto può sembrare, come dici tu una "disquisizione cervellotico-filosofica senza alcun senso pratico" 😋, ma in realtà, come spesso (in realtà quasi sempre) accade in matematica anche le condizioni più "bizzarre" hanno una loro praticità. Le circonferenze degeneri, per esempio, sono considerate nel metodo dei fasci (di circonferenze) per risolvere alcuni problemi nei quali viene chiesto di trovare l'equazione della circonferenza che soddisfa determinate condizioni assegnate. Questo è solo un esempio che solitamente viene considerato alle scuole superiori, ma che dà un senso alle circonferenze di raggio nullo! 😇 Spero di aver risposto, anche se brevemente, al tuo dubbio! 🤗 Per qualsiasi cosa non avere timore a contattarmi. Buon pomeriggio Ciao Prof Paolo 🤓
@@profpaolomate Grazie professore, lei è un prezioso faro per illuminare e guidare la mente delle nuove generazioni e spero possa continuare per molto tempo la sua opera di divulgazione in questo modo lineare, rapido, conciso e familiare. 🙂
@@renzoguida2984 il tuo apprezzamento mi lusinga, non penso di meritare tutti questi elogi! 🤗 Cerco solo di aiutare i "miei" studenti, di scuola e non solo, a mettere un po' in ordine le idee. Le lezioni a scuola spesso, per non dire sempre, non filano lisce come previsto, ma ben venga il dinamismo e la partecipazione attiva (a volte fin troppo) delle nostre classi. Tornato a casa mi piace provare a tirare le somme facendo un po' di ordine e cercando di spiegare in modo lineare e possibilmente conciso le parti essenziali della lezione, eventualmente integrandole con parti tralasciate o su cui ci siamo soffermati meno. Ovviamente il tutto contornato da almeno un esempio numerico, che solitamente dà la svolta all'intera spiegazione! 😋 L'idea, tempo permettendo, è di continuare in questa direzione; tanto il materiale pronto in attesa di essere sistemato e altrettanto, anzi molto di più, è al momento solo scritto sulla lista delle "cose da fare"! 😊 Buon proseguimento e grazie ancora del bellissimo commento! Ciao ciao Prof Paolo 🤓
Molto chiaro. Grazie mille
Grazie mille!!! 😎
Ripassare con questi video è un vero piacere
🤗
La condizione per l'esistenza della circonferenza non me l'avevano mai spiegata. Un altro tassello che grazie a questi video trova il suo posto. Grazie professore per il suo prezioso lavoro
😉🤗
Grazie prof, grandissimo!
Grazie mille 🤗
💪🏻💪🏻💪🏻
Grazie mille!!! 😎
Tutto perfetto
😇🤗
Bravissimo, continua così
Grazie mille! 🤗
Bravissimo professore 😊
Grazie mille
prof. Paolo, Grazie per le sue spiegazioni; tuttavia non ho compreso perché ,nel caso della equazione della circonferenza "degenere", che collassa nel punto C di simmetria del cerchio, si sia risalito ad una formula con 5 termini al primo membro.
Da dove si è partiti per ottenere quella equazione di 5 termini '?
Fino ad oggi sapevo che ogni polinomio con 3 termini e più sia generano da un prodotto di binomi.
In questo caso, come si ottiene quel +13 al primo membro? Che significa da quale ipotesi geometrica siamo partiti per trovare un punto?
Grazie se avrò un riscontro:🧐🤔
Cordialità
li, 5/5/22.
Ciao,
ti rispondo facendo riferimento a quanto riportato al minuto 10:07.
L'equazione della circonferenza degenere è:
x² + y² -6x -4y + 13 = 0
Tale equazione può essere riscritta seguendo il metodo del completamento dei quadrati nel seguente modo:
x² + y² -6x -4y + 9 + 4 = 0
x² -6x + 9 + y² -4y + 4 = 0
(x - 3)² + (y - 2)² = 0
Una somma di due quadrati (in campo reale), quindi due quantità sempre non negative, risulta essere zero se e soltanto se sono nulli contemporaneamente i suoi due addendi quindi in questo caso:
(x - 3)² = 0 ⋀ (y - 2)² = 0
Tale sistema di equazioni è risolto unicamente per
x = 2 ⋀ y = 3
che sono le coordinate del centro della circonferenza degenere.
Ecco il legame tra i 5 termini dell'equazione e il risultato geometrico/analitico ottenuto.
Spero di aver risposto alla tua domanda.
In caso contrario non aver timore a scrivere nuovamente nei commenti.
Buon pomeriggio 🤗
Ciao ciao 😊
Prof Paolo 🤓
@@profpaolomate Lei è il Maestro che avrei voluto avere quando da piccolo non comprendevo il mondo dei numeri applicato alla geometria.La sua soluzione è una parte di un problema di terzo grado di cui non mi rammenta o e che mi ero copiato da un video qui sul Web. Appena arrivo a casa lo rivedo e le mando la mia interpretazione ( la soluzione è del prof. Che però non aveva approfondito).🤔😊a presto.
@@profpaolomate
Buona sera Prof.Paolo,
Come le avevo preannunciato ho riesaminato la formula con i 5 termini ,ma prima di procedere :
guardi cosa mi ha suggerito la sua formula :
un numero primo dai tre coefficienti ;6-4-13, sommando
6+13=19(NP); 4+13=17(NP) e (6+4+13)=23 ed infine (10+17+23)=59(NP).
Mi sono detto che il problema poteva proporre qualche scoperta!.
Infatti: ho proceduto così, ma non per dimostrare alcunché ma per scoprire qualcosa.
intanto la formulona è la somma algebrica di due formule di due parabole con determinante =0
Esse sono:[ X^2-3X+9=0] e [ Y^2-4Y+4=0];
la prima offre solo una sola soluzione>> (x=3)
la seconda una sola soluzione e vale (y=2)
Come lei ha indicato ,questa coppia di numeri indica un punto singolare C ,centro di una circonferenza "degenerata" perché non abbiamo l'informazione riguardo al raggio .
Tuttavia la circonferenza esiste ed interseca la "parabola" con asse parallelo all'asse X
la cui equazione vale (Y^2-4Y+4=0)
Per scoprirlo ho dovuto restituire graficamente verificando analiticamente il valore delle coordinate dei punti appartenenti alla parabola.
Una volta disegnate scopro che non si intersecano ed anzi sono ben distanziate ma il ramo destro di essa interseca l'asse X del sistema degli assi cartesiani nel punto di coordinata X=4 ,che è il termine noto dell'equazione, mentre il suo vertice si trova alla coordinata y=2 ;
Ho notato che tutte e due le parabole hanno il fuoco a 0,25-unità- dal vertice
i punti simmetrici al fuoco sui due rami dx e sin ,si trovano distanti 1 (unità); la successiva coppia dei punti in corrispondenza di X=1 ,raddoppiano la loro distanza( =2),le terza coppia alla coordinata X=2,25 si trovano alla distanza =3;infine alla coordinata X=4 la coppia si trova alla distanza (=4) che corrisponde al valore del terzo termine dell'equazione ma anche al valore del coefficiente -( b)=4.
Mi sono detto" ma guarda un po' se unisco questa coordinata al centro C (degenerato)del cerchio che si era nascosto lo ritrovo fra un po".
Infatti,prolungo il segmento che diventa diametro (= 2√5) poi lo prolungo ancora fino ad intersecare l'asse ( Y ) del sistema cartesiano e interseco il punto di coordinata y=8.
Ed ecco che scopro che si è formato un triangolo retto i cui cateti sono uno la metà dell'altro. Come sappiamo da questa configurazione si perviene a 𝞅,ma qui non ci interessa per ora.
Mi sono detto: centro in C con compasso co raggio che intersechi la coordinata X=4 e capisco che la circonferenza deve passare da quel punto.
Infatti essa ha raggio r=√5 ( con Pitagora ) applicato al triangolo retto (cateti 1 e 2)
Ma non solo interseca quel punto (X=4) ma anche il suo simmetrico sull'altro ramo e poi la coppia alla coordinata X=1.
Come dicono i ragazzi d'oggi "ho fatto Bingo"
Infine, mi sono detto: "vuoi vedere che c'è anche la tripla di Pitagora da qualche parte?"
Infatti ho già trovato le lunghezze 3 e 4 e devo solo trovare quella di 5 che ha punti in comune con quelle due.
In effetti ce ne sono due ,uno per ogni parabola ma le segnalo quella con asse parallelo all'asse Y dove alla coordinata y=9 c'è l coppia di punti a distanza d=3, poi tracciando una retta che passa per il punto (3;9)sul ramo ascendente destro, e la coordinata del punto (0,0 ; 5) e si scopre che la distanza(= 4 )si trova per differenza fra (9-5)=4 così abbiamo il cateto lungo mentre l' ipotenusa è il segmento che unisce i due punti e vale 5 come è ovvio ma per sovramercato interseca anche l'asse Y della parabola alla coordinata X=1,5
E senza rammentare la formula del fuoco ecco che essa si materializza per intersezione fra asse della parabola e l'ipotenusa (Fp)[1,5 ; 7]
Già che siamo qui ho puntato il compasso con raggio 2,5 nel fuoco della parabola con termine noto =9 e ho tracciato la circonferenza ,che guarda un po' passa per il termine noto(=9 ) della parabola ( X^2-3X+9) e per una coppia di punti simmetrici che hanno coordinate X= 0 e =3 che è il coefficiente b orse vogliamo la radice del termine noto (9).
In buona sostanza il centro C era esplicitato nella formula ma il raggio bisognava trovarlo passando per la geometria dei nostri Maestri antichi e per il signor Descartes.
Se lei non mi avesse risposto non sarei arrivato a nulla ma la sua soluzione mi ha fatto intravedere il seguito.(la Ringrazio).
Complimenti : mi sento in dovere di seguirla con più continuità.
Cordialità
Joseph (pitagorico)
li, 7/5/22.
professore, perchè si considera anche la condizione (3) uguale a zero come circonferenza, se rappresenta solo un punto ? non basta mettere la condizione (3) maggiore di zero ?
sarebbe come dire che la retta è una circonferenza di raggio infinito quando sappiamo che una retta non può essere curva.
mi sembrano disquisizioni cervellotico-filosofiche senza alcun senso pratico...
Eccomi, provo a spiegarti brevemente.
La condizione (3) con il simbolo di uguaglianza è quella che viene detta condizione degenere (o caso degenere), ovvero una circonferenza "particolare" di raggio nullo, quindi che degenera in un punto ovvero il suo centro.
In questo specifico contesto può sembrare, come dici tu una "disquisizione cervellotico-filosofica senza alcun senso pratico" 😋, ma in realtà, come spesso (in realtà quasi sempre) accade in matematica anche le condizioni più "bizzarre" hanno una loro praticità.
Le circonferenze degeneri, per esempio, sono considerate nel metodo dei fasci (di circonferenze) per risolvere alcuni problemi nei quali viene chiesto di trovare l'equazione della circonferenza che soddisfa determinate condizioni assegnate.
Questo è solo un esempio che solitamente viene considerato alle scuole superiori, ma che dà un senso alle circonferenze di raggio nullo! 😇
Spero di aver risposto, anche se brevemente, al tuo dubbio! 🤗
Per qualsiasi cosa non avere timore a contattarmi.
Buon pomeriggio
Ciao
Prof Paolo 🤓
@@profpaolomate Grazie professore, lei è un prezioso faro per illuminare e guidare la mente delle nuove generazioni e spero possa continuare per molto tempo la sua opera di divulgazione in questo modo lineare, rapido, conciso e familiare. 🙂
@@renzoguida2984 il tuo apprezzamento mi lusinga, non penso di meritare tutti questi elogi! 🤗
Cerco solo di aiutare i "miei" studenti, di scuola e non solo, a mettere un po' in ordine le idee.
Le lezioni a scuola spesso, per non dire sempre, non filano lisce come previsto, ma ben venga il dinamismo e la partecipazione attiva (a volte fin troppo) delle nostre classi.
Tornato a casa mi piace provare a tirare le somme facendo un po' di ordine e cercando di spiegare in modo lineare e possibilmente conciso le parti essenziali della lezione, eventualmente integrandole con parti tralasciate o su cui ci siamo soffermati meno. Ovviamente il tutto contornato da almeno un esempio numerico, che solitamente dà la svolta all'intera spiegazione! 😋
L'idea, tempo permettendo, è di continuare in questa direzione; tanto il materiale pronto in attesa di essere sistemato e altrettanto, anzi molto di più, è al momento solo scritto sulla lista delle "cose da fare"! 😊
Buon proseguimento e grazie ancora del bellissimo commento!
Ciao ciao
Prof Paolo 🤓