안녕하세요 항상 많은 도움이 되고 있습니다. 274번의 오일러 코시 ODE 치환을 통해 상수 계수 ODE로 만들어 푸는 문제에 질문이 있습니다. 미분 연산의 관계를 이용해서 y'과 y''을 t에관하여 새롭게 정의 해준것은 이해가 가는데 y는 어떠한 처리없이 그대로 써줘도 되는건가요? 그 이유가 궁금합니다!
그렇게 푸셔야 합니다. 물론 치환계수내림이라는 다른 방법도 있기는 하지만 양변에 x곱해서 x^2 y'' + xy' = 0의 오일러 코시 방정식 만들고 풀이를 진행하는게 가장 간편하겠습니다. (특성방정식 적으실때 m앞에 계수는 a-1 이고 현재 a=1이므로 m앞의 계수는 0이 됩니다. -> m^2=0 -> m=0 (중근))
1. m계수가 짝수일때 사용하는 짝수공식입니다. 공식을 직접 유도해보시고 활용하시는것을 추천드립니다. 2. 분수 고치지 않고 사용하셔도 됩니다. 최종 결과는 같습니다. 3. 분수를 댓글로 표현할때 사용하시는 "/" 의 경우 (분자)/(분모) 입니다. 1/2 은 2분의 1 입니다. 질문자님께서는 2/-a 라고 적으셨는데 -a/2 입니다.
아뇨, 오타는 아니고 오일러 코시 방정식 풀이법 중에서 y=x^m을 대입해서 특성방정식을 구하는 풀이 외에도 x=e^t를 대입해서 상수계수ODE로 만든 후 상수계수 ODE를 풀어서 답을 구하는 풀이도 있습니다. 다양한 풀이 방식을 소개하기 위해 274, 275번은 직접 x=e^t로 치환해서 문제를 풀어보는것을 추천합니다.
g드라이브에서 "질의응답19.pdf"파일을 참조해주세요. 해당 파일에서 274번 풀이법을 적어두었습니다. 치환 후 dt와 dx관계를 이용하여 y', y''을 구하고 대입해서 푸는 방식입니다. 처음에는 어려워보이지만 자세히 보시면 미분연산 관계만을 이용해서 식을 풀어가는 과정이므로 어렵게 생각하지 말고 천천히 이해해보려고 하세요.
![공학수학(1) [13강] 2계ODE - 론스키안 (Wronskian), 해의 독립 판단 (2023년 Ver.)](http://i.ytimg.com/vi/9ygxzA1muu0/mqdefault.jpg)
![공학수학(1) [13강] 2계ODE - 론스키안 (Wronskian), 해의 독립 판단 (2023년 Ver.)](/img/tr.png)
![[미분방정식] 10편. '비제차 상미분방정식', 왜 '제차'의 해까지 구해줘야 할까?](http://i.ytimg.com/vi/_-1t9sSpoJE/mqdefault.jpg)
13:30에서 x^m1 입니다.
이분아니었으면 공학수학 C맞고 장렬히 전사했을듯
혹시 천사신가요?
사랑해요
감사합니다. 지난 강의를 잘 이해했으면 이번 내용은 쉽네요.
22:54 i는 생략하는것인가요?
i 생략이 아니고 지수와 로그 성질에 의해서 허수를 정리 할 수 있는 것입니다. 16:09 부분부터 천천히 들어보세요.
11:04 y1을 가지고 y2를 구하는데 있어서 y1은 c1x^m이 맞는거 아닌가요?
y1은 x^(m1) 입니다.
일반해 y는 각 기저들의 선형합으로 표현합니다.
y=c1 y1 + c2 y2
10:41 p(x)의 값이 왜 a/x인지 설명 해주실 수 있나요?
x^2y''+axy'+by=0의 ODE에서
p(x)는 y'' 의 계수가 1일때의 y'의 계수입니다.
지금 y''의 계수가 x^2이니 ODE의 양변을 모두 x^2으로 나누어주시면
y''+(a/x)y'+(b/x^2)y=0 이 되겠죠.
따라서 p(x)=a/x 입니다.
오일러코시 방정식의 y'항이 없는경우 (즉 a=0 인 경우)에 특성방정식의 m의 계수는 -1인가요 아니면 특성방정식의 m항이 존재하지 않는건가요?
m의 계수는 -1입니다.
x^2y''+axy'+by=0의 오일러방정식에서 m의 계수는 (a-1)입니다.
@@ODE_PDE 그럼 오일러방정식이 x^2y’’ + by라고 주어진 경우에도 특성방정식은 m^2 -m +b=0 인건가요?
네 맞습니다. 특성방정식은 m^2 -m +b=0입니다.
반대로 만약 x^2y’’ + xy'+ by =0이 식이라면
특성방정식은 m^2+b=0이 되겠죠.
네 감사합니다 다음주 월요일 시험인데 덕분에 다맞을수있을거 같아요 감사합니다!
안녕하세요 항상 많은 도움이 되고 있습니다.
274번의 오일러 코시 ODE 치환을 통해 상수 계수 ODE로 만들어 푸는 문제에 질문이 있습니다.
미분 연산의 관계를 이용해서 y'과 y''을 t에관하여 새롭게 정의 해준것은 이해가 가는데 y는 어떠한 처리없이 그대로 써줘도 되는건가요?
그 이유가 궁금합니다!
y(x)를 y라고 적어주고 y(t)를 y라고 적어주어서 마치 y에 아무런 처리를 하지 않은것 처럼 보이는데
y(x) 를 치환해서 y(t)가 된것입니다.
20:39 에 오일러코시 중근일때 e^m1x가 아니라 X^m1 아닌가요? 항상 잘 보고 있습니다 감사합니다!
x^m1이 맞습니다. 실수네요.
선생님 273번을 풀어보면 답이 틀린것 같습니다. 특성방정식을 풀었을 경우 허수근이 나오게 되는데 답은 중근을 가졌을 때 처럼 표현되어있습니다. 확인 한번 부탁드리겠습니다.!
2x+3=t로 치환하면
y'=dy/dx = (dy/dt)(dt/dx)= 2(dy/dt) 입니다.
즉, y', y'' 앞에 2, 4가 곱해져서 최종적으로 복소근이 아닌 중근이 나옵니다.
@@ODE_PDE 아 치환할때 x앞에 계수때문에 바뀌네요 너무너무 감사합니다!! 깨달아버렸습니다
xy''+y' =0 형태에 대해서는 각각 x를 곱해서 코시오일러형태로 만들어서 풀수없나요?
그렇게 푸셔야 합니다.
물론 치환계수내림이라는 다른 방법도 있기는 하지만 양변에 x곱해서
x^2 y'' + xy' = 0의 오일러 코시 방정식 만들고 풀이를 진행하는게 가장 간편하겠습니다.
(특성방정식 적으실때 m앞에 계수는 a-1 이고 현재 a=1이므로 m앞의 계수는 0이 됩니다. -> m^2=0 -> m=0 (중근))
@@ODE_PDE 계수가 0이도길래 맞는건가 했네요 감사합니다
M^1과M^2를 구분하는방법이 있나요? 아니면 둘다c로 곱해져있기때문에 구분디을필요가 없는건가요?
구분할 필요 없습니다. 두 근 순서 바뀌어도 최종답은 같습니다.
274, 275 번은 x를 e^t로 치환해서 풀 수 있다고 하셨는데 어떤 경우에 치환해서 푸는지 궁금합니다
오일러코시 방정식 형태라면 모두 가능합니다. 다만, y=x^m 대입해서 특성방정식 구하는 풀이가 훨씬 빠릅니다.
274번과 275번은 이해했는데 오히려 271번부터 273번까지가 이해가 안되네요 한문제만 g드라이브에 올려주시면 안될까요..?
만약 식이 x^2y''+y=0 이라면 특성방정식이 m^2 -m+1이 되는게 맞나요 아니면 m^2 +1 이렇게 되는게 맞는건가요?
m^2 -m+1 입니다.
x^2y''+axy'+by=0에서 a=0인 case이죠.
특성방정식은 m^2+(a-1)m+b=0 입니다.
@@ODE_PDE 감사합니다!
예제1(3)번 판별식 사용하실때 조금 다른거 같은데 m^2앞에 4가 있어서 다른식과는 다른건가요? 분수를 안고치고 바로 2/-a플마루트a^2-4b에 대입해서 풀어도 정답이 나오는데 잘못된 풀이인가요?
1. m계수가 짝수일때 사용하는 짝수공식입니다. 공식을 직접 유도해보시고 활용하시는것을 추천드립니다.
2. 분수 고치지 않고 사용하셔도 됩니다. 최종 결과는 같습니다.
3. 분수를 댓글로 표현할때 사용하시는 "/" 의 경우 (분자)/(분모) 입니다. 1/2 은 2분의 1 입니다.
질문자님께서는 2/-a 라고 적으셨는데
-a/2 입니다.
@@ODE_PDE 넵 감사합니다!
혹시 y'' 앞에 x계수가 2차가아니라 1차면 어떻게되나요? ex) xy''-(x+1)y'+y=x^2 이런식으로요
해당 ODE는 오일러코시방정식이 아닙니다.
272번에 x-1=t로 치환하고 푼 다음 다시 t를 x관한 식으로 바꿔주는 부분에서 ln이 왜 나오는지 궁금합니다!
다른교재의 문제중에서 오일러코시 방정식에서 초기값이 y(-1) =2가 주어졌는데 lnx에 -1을 대입하면 성립이 안하는거아닌가요? 어떻게 풀어야하나요?
1. 초기값 오타이거나
2. ln|x| 이여서 정의역 범위가 0을 제외한 실수 전체일 수 있습니다.
@@ODE_PDE 문제가 4x^2y" + y =0 이고 초기값이 y(-1) = 2, y'(-1) = 4입니다 여기서 초기값 -1,2가 정의될수있나요?
루트도 있고 해서 -1은 대입하는 것은 적절하지 않아보이네요. 문제에 오타가 있지 않을까 싶네요. y(1)이였을 수도 있고요.
그냥 y''앞에 x^2을 다 나누어 준 뒤에 공식계수내림을 써도 괜찮나요?
공식계수내림은 하나의 해를 아는 경우인데
오일러코시방정식에서는
x^2 y''+axy'+by=0은 하나의 해가 주어지지 않습니다.
물론 y=x^m 이라는 형태일 것은 알지만 그 m값을 구체적으로 모르니 y=x^m 을 대입해서 특성방정식을 통해 m을 구하자는 것입니다.
274,275번은 x=e^t이 안쓰이는 것 같은데 문제오타인가요?
아뇨, 오타는 아니고 오일러 코시 방정식 풀이법 중에서 y=x^m을 대입해서 특성방정식을 구하는 풀이 외에도
x=e^t를 대입해서 상수계수ODE로 만든 후 상수계수 ODE를 풀어서 답을 구하는 풀이도 있습니다.
다양한 풀이 방식을 소개하기 위해 274, 275번은 직접 x=e^t로 치환해서 문제를 풀어보는것을 추천합니다.
266번 y가 아니라 4y 이여야 할 것 같습니다!
266번의 경우 제가 다시 확인해봤는데 y가 맞습니다.
질문자님께서는 왜 4y가 맞다고 생각되시나요?
@@ODE_PDE 9x^2 y'' +3xy'+y=0에서 9를 나누면 x^2 y''+1/3 xy'+1/9=0이고, 여기서 특성 방정식을 세우면 m^2- 2/3 m+1/9=0으로 m=1/3(중근)이 나와 문제의 답 처럼 x^(2/3)이 못나온다고 생각했습니다
아하 이제보니 영상이랑 강의자료랑 답이 다르네요!
전 예제풀이까지만 보고 자료를 풀었다보니 그런거 같습니다
23.11.14. 02:02
273번에 특성 방정식이 4m^2-2m+1=0 이 나옵니다... y'과 y''을 구할때 속미분도 빼먹지 않고 다 했는데 어디서 틀렸는지 잘 모르겠습니다.
문제와 답 모두 수정했습니다. 감사합니다.
274 275번 치환 후 상수계수로 푼다는 게 무슨 소리인지 모르겠어요. 시간 써가며 계속 붙잡고 있어도 상수계수로 만들 방법이 보이지가 않는데;;
g드라이브에서 "질의응답19.pdf"파일을 참조해주세요. 해당 파일에서 274번 풀이법을 적어두었습니다. 치환 후 dt와 dx관계를 이용하여 y', y''을 구하고 대입해서 푸는 방식입니다.
처음에는 어려워보이지만 자세히 보시면 미분연산 관계만을 이용해서 식을 풀어가는 과정이므로 어렵게 생각하지 말고 천천히 이해해보려고 하세요.
감사해요 이렇게 푸는 거였군요
이걸 왜 생각 못했을까;;
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