Решите уравнение ➜ sinx+cosx=1 ➜ 2 способа решения
HTML-код
- Опубликовано: 21 окт 2024
- Формула дополнительного угла здесь ➜ • Формула дополнительног...
Valery Volkov / valeryvolkov
@arinablog наш семейный канал
/ @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
так же можно было проговорить , что синус и косинус это проэкция на оси oy и ox,отсюда получаем уравнение x+y=1 , построив этот график функции на тригонометрической окружности видим , что он пересекает точки с координатами 0 + 2пn,n e Z ; и п/2 + 2пn , n e Z.
1 способ:
sin x + cos x = 1
(sin x + cos x)² = 1
1 + 2sin x * cos x = 1
sin 2x = 0
2x = π + πk, k e Z
x = π/2 + πk/2, k e Z
Так как мы возводили в квадрат, то проверим корни
x = π - не устраивает
x = 3π/2 - не устраивает
Следовательно, x = π/2 и 0 нас устраивают, а это серии корней:
x = 2πk, k e Z
x = π/2 + 2πk, k e Z
2 способ:
sin x + cos x = 1
(sin x + cos x)² = 1
1 + 2sin x * cos x = 1
1) sin x = 0 => cos x = 1
x = 2πk, k e Z
2) cos x = 0 => sin x = 1
x = π/2 + 2πk, k e Z
3 способ:
sin x = u
cos x = v
Система:
u + v = 1
u² + v²= 1
u + v = 1
(u + v)² - 2uv = 1
u + v = 1
u = 0
Или
v = 0
Системы:
u = 0
v = 1
Или
u = 1
v = 0
Значит,
системы:
sin x = 0
cos x = 1
Или
sin x = 1
cos x = 0
В итоге,
x = 2πk, k e Z
Или
x = π/2 + 2πk, k e Z
4 способ:
sin x + cos x = sin²x + cos²x
sin x * (1 - sin x) = cos x (cos x - 1)
sin x = u
cos x = v
u * (1- u) = v * (v - 1)
- u * (u - 1) - v * (v - 1) = 0
u² - u + v² - v = 0
Мы знаем, что u² + v² = 1 =>
Система:
u + v = 1
u² + v²= 1
u + v = 1
(u + v)² - 2uv = 1
u + v = 1
u = 0
Или
v = 0
Системы:
u = 0
v = 1
Или
u = 1
v = 0
Значит,
системы:
sin x = 0
cos x = 1
Или
sin x = 1
cos x = 0
В итоге,
x = 2πk, k e Z
Или
x = π/2 + 2πk, k e Z
5 способ:
sin² x + cos²x = 1
sin x = ±√(1-cos²x)
1) √(1-cos²x) + cos x = 1
Система:
1 - cos²x = 1 - 2 cos x + cos²x
cos x ≤ 1
2cos²x - 2 cos x = 0
cos x * (cos x - 1) = 0
Значит,
cos x = 0
Или
cos x = 1
2) При возведении в квадрат минус уйдёт и получится точно так же, как и в 1 случаи
В итоге, мы получаем системы:
sin x = 0
cos x = 1
Или
sin x = 1
cos x = 0
Значит,
x = 2πk, k e Z
Или
x = π/2 + 2πk, k e Z
6 способ:
Вспомнинаем метод вспомогательного угла
a * sin x + b * cos x = √(a² + b²) * sin (x + f), где f = arcsin (b/√(a² + b²))
f = arcsin ( 1/√(1² + 1²)) = arcsin (√2/2) = π/4 =>
sin x + cos x = √(1² + 1²) * sin (x + π/4)
sin x + cos x = √2 * sin (x + π/4)
√2 * sin (x +π/4) = 1
sin (x + π/4) = √2/2
1) x + π/4 = π/4 + 2πk, k e Z
x = 2πk, k e Z
2) x + π/4 = 3π/4 + 2πk, k e Z
x = π/2 + 2πk, k e Z
7 способ:
sin x + sin(π/2 - x) = 1
2 * sin (π/4) * cos (x - π/4) = 1
cos (x - π/4) = √2/2
x - π/4 = ±π/4 + 2πk, k e Z
x = π/4 ± π/4 + 2πk, k e Z
Я тоже так в уме решил, не понимаю, зачем так усложнять, как автор ролика.
Можно проще. Из 1 + 2sin x * cos x = 1 следует sin x * cos x = 0 и значит либо sin x = 0 либо cos x = 0. То есть либо sin x = 0 и cos x = 1 либо sin x = 1 и cos x = 0. Это дает нужные нам ответы.
@@DmitriyFinozhenok ну само собой, я так и решил
То же самое
Ну, в уме я не решил, но согласно знаменитой теореме Арнольда, для такого решения мне хватило бумаги размером с трамвайный билет.
Я решил другим способом. Возвел обе части в квадрат. Сумма квадратов синус и косинус это единица. Осталось 2 синус на косинус равно нулю. Или sin 2х =0. Имеем решения. Затем проверил корни на минус (в квадрат возводили).... это решение самое простое по формулам. !!
Обожаю Тригонометрические уравнения .Спасибо Валерий за полезное видео.
Поучительная задача! Спасибо Вам большое!
Спасибо за 2 способа решения.
Спасибо. Прочитал все комментарии. Не нашёл! (Где мои семнадцать лет? ) . Предлагаю уравнение в Вашем стиле : (0) [sin(x)]^2020+ [cos(x)]^2021=1. (гадкое число 2022 использовать не хочу) .Очевидно , что и синус и косинус - неотрицательны. Тогда тождественно по икс : (1) [sin(x)]^2>=[sin(x)]^2020 и (2) [cos(x)]^2>=[cos(x)]^2021. Складываем (1) и (2) , получаем тождество : (3) 1>=[sin(x)]^2020+[cos(x)]^2021 . Уравнение (0) и тождество (3) возможны ТОЛЬКО , если в (1) и (2) - ТОЧНЫЕ РАВЕНСТВА !! (Иначе в (3) будет строгое неравенство). Получаем : уравнение (0) РАВНОСИЛЬНО системе двух : (4) [sin(x)]^2=[sin(x)]^2020 и (5) [cos(x)]^2=[cos(x)]^2021 , что очевидно равносильно СИСТЕМЕ двух ОБЪЕДИНЕНИЙ : { sin(x)=0; sin(x)=1; sin(x)=-1 } и {cos(x)=0 ; cos(x)=1 }. Получаем : x=(pi)/2+(pi)*n и x=2*(pi)*n ; n -целое. Ваше «простенькое» уравнение можно решить аналогично , только тождественные неравенства (2) и (3) будут противоположены написанным . С уважением, lidiy27041943
Слишком сложные способы, можно проще и короче. ОДЗ синуса и косинуса от -1 до 1, значит чтобы получить единицу в сумме, то обе функции должны быть больше либо равны 0. Так как числа положительные, то можем обе части уравнения возвести в квадрат без потери отрицательных корней. Слева раскладываем по квадрату суммы, справа остается единица. Sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1, но по основному триг.тождеству сумма квадратов уже единица, значит произведение 2sinxcosx=0 и рассматриваем оба случая. получаем те же пары решений, но без лишних тригонометрических формул.
да, только не забыть проверить корни на неотрицательность
Вы считаете, что ваш легче?)
Можно еще найти производную левой части, которая равна cosx-sinx, нарисовать окружность и увидеть, что на промежутках от [p/4 +2pn; 5p/4 +2pn] ф-я убывает и принимает значения от sqrt(2) до -sqrt(2), на этом интервале единственная точка p/2 +2pn решение и ф-я равна 1. Аналогично на [5p/4 +2pn; 9p/4 +2pn] ф-я возрастает и принимает значения от -sqrt(2) до sqrt(2), на этом интервале единственная точка 2pn где значение 1.
Спасибо вам, за очень доступное обьяснение
Можно также совсем прикольно сделать - графически, где cos(x) - ocь абсцисс, sin(x) - ось ординат
тригонометрическая окружность (по умолчанию, из-за тригонометрической единицы)
и прямая sin(x)=-cos(x)+1, выдадут 2 точки пересечения, (1;0) и (0;1)
или они же Pi/2+2*k*Pi и 2*k*Pi
С помощью тригонометрической окружности и определений синуса и косинуса решено устно сразу.
Возводим уравнение в квадрат:
(sin x)^2 + (cos x)^2 + 2 (sin x) (cos x) = 1
Отсюда, согласно тригонометрическому тождеству:
2 (sin x) (cos x) = 0
4 решения (с периодом 2pi), выбираем из них 2 подходящих (2 других удовлетворяют уравнению (sin x) + (cos x) = -1)
В военное время значения синуса может достигать четырёх.
Во втором способе можно сразу представить 1 справа как sin²(x/2) + cos²(x/2) и получить однородное уравнение. Далее стандартный метод решения: т.к. cos(x/2) ≠ 0 (иначе было бы sin (x/2) = 0, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству), то обе части можно разделить на cos²(x/2) и получить простое уравнение относительно tg(x/2), решая которое, получаем, что tg(x/2) равен либо 0, либо 1. Дальше просто.
X=2пn, и x=п/2+2пn можно было угадать, начертив тригонометрическую окружность.
а чем первый способ концептуально отличается от метода вспомогательного угла?
Кстати говоря, когда во втором способе получилось cos(x÷2)=sin(x÷2), можно было сразу приравнять их к корню из 2 пополам, а потом к минус корню из 2 пополам. Не надо было делить на косинус или приравнивать к 0.
Второй способ более доступен. Тригонометрия проще развязывается.
sin x +sin(90-x)=1
Дальше раскрываем по формуле суммы синусов.Получаем :
2sin45*cos(x-45)=1
Sin 45=√2/2 ,подставим и получим
cos(x-45)=1/√2.
x-45=+-arccos 1/√2+2Пn .arccos1/√2=П/4
Подставим это и ,место 45 подставим П/4 и получим ответ.
метод вспомогательного угла
Первое что приходит на ум просто возвести в квадрат и получить 2sin(x)cos(x)=0
Отсюда получаем
1) sin(x)=0 -> cos(x)=1
x=2pik
2) cos(x)=0 -> sin(x)=1
x=pi/4 + 2pik
А зачем возводить в квадрат
Если и так вроде понято, что-нибудь нужна комбинация синх =1 косх =0
Либо наоборот
Других вариантов получиььь такой ответ нет
если 1) sin(x)=0 -> cos(x)=+-1 (плюс - минус 1), хитро вы неправильный корень выкинули....
@@vitalius7351 я подставил в начальное уравнение.
Формально
sin(x)=0 и sin(x)+cos(x)=1 -> cos(x)=1
@@imhandsome7339 ну вообще нет. Откуда вы знаете, что на участке (0, pi/4) не найдется еще одного корня. Таки там сумма 2 величин, каждая из которых (0,1), и которая, в теории, может быть 1.
2sinxcosx=sin2x
Sin2x=0
Не?
В квадрат же можно обе части возвести.
Я не силён в тригонометрических уравнениях, но первое что приходит на ум - это sin0 = 0, а cos0 = 1. И меня удивило, почему 0 не присутствует в ответе.
Есть ещё метод:
sinx + cosx = 1;
sinx = v; cosx = u;
v + u = 1; v^2 + u^2 = 1 (осн. триг. тожд.);
v = 1 - u;
(1 - u)^2 + u^2 = 1; 2u^2 - 2u = 0;
u^2 - u = 0; u(u - 1) = 0;
1) u = 0; v = 1;
cosx = 0; sinx = 1;
x = pi/2 + 2*pi*n, n - целое;
2) u = 1; v = 0;
cosx = 1; sinx = 0;
x = 2*pi*n, n - целое.
Super.
Здравствуйте, покажите решение неравенства:
x^(x+1) > (x+1)^x
Я уже писал вам, вы даже лайкнули, но не ответили..
@@AndrejDorozhkin привет, это решается теми же способами, что и pi^e versus e^pi. У поступашек и на англоязычном ютубе очень много решений таких проблем, решается через логарифмирование, сравнения до e и после e (до 3 и после 3)
Я получил такой же ответ другим способом. Сумма квадратов синуса и косинуса всегда равна единице. Значит, нужно найти такой X, чтобы для него синус и синус квадрат (и, соответственно, косинус и косинус квадрат) были равны. А это будет, только если синус равен единице, а косинус нулю, или наоборот. Что и даёт соответствующие два варианта.
Даже никаких уравнений решать не пришлось.
Можно выразить синус из основного тригонометрического тождества. Понятно, что синус и косинус в данном уравнении не могут быть отрицательными.
Можно обозначить через u и v синус и косинус и решать задачу для симметрических многочленов.
Решил в уме просто представив графики синуса и косинуса, а так же знанием, что сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет гармоническим колебанием с той же частотой.
Проще есть намного
sinx+cosx=1
sin²x+cos²x=1 по осн тожд
sin²x+2sinxcosx+cos²x=1
2sinxcosx=0
sinx=0 cos=0
П/2+Пн/2
Или
2sinxcosx=sin2x=0
2x=П+Пн
х=П/2+Пн/2
tan(x/2)=t, тогда sin(x)=2t/(1+t^2) и cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2) => t(t-1)=0 , t=0 и t=1. x=2pi*n и x=pi/2 +2pi*n.
Есть ещё два способа: 1) по правилу приведения cos&+sin&=Cos&+cos(90*-&)=V2cos(&-П/4)=1.... 2) Через универсальную подстановку всё выражаем через tg(&/2): получим tg(&/2)=0 или tg(&/2)=1 ...
Но ведь это - уравнение окружности единичного радиуса. По идее, равенство должно выполняться при любых х. Как это согласуется с полученными результатами?
Так в общем случае (sinx)**n + (cosx)**n = 1 будет иметь ровно такие же корни (ибо будет 1**n + 0**n=1 или 0**n + 1**n=1), n - натуральное нечетное. Для четного n - корни х= Пи/2 *k и только для n=2 х-любой , забавно. Даже более того, n может быть действительным положительным, а не только натуральным, кроме четных n.🙃
Слышал, что есть геометрическое решение данного уравнения, было бы интересно узнать если оно, конечно, есть
Первый способ - частный случай дополнительного аргумента.
А про возведение обеих частей в квадрат уже писали...
Помню, что в школе применяли 6 способов решения этого ур-я.
В какой программе вы пишите ?
Как решить неравенство: sin(x) + cos(x) больше 0 ?
Рассмотрим функцию cas(x)
Определим cas(x) = sin(x) + cos(x)
d(cas(x))/dx = cas(-x)
cas(x) = √2*sin(x+π/4)) = √2*cos(x-π/4)
cas(A+B) = cas(A)cos(B) + cas(-A)sin(B)
cas(A+B) = cas(A)cas(B) + cas(A)cas(-B) - cas(A)cos(-B) + cas(-A)sin(B)
cas(A+B) = 1/2*(cas(A)cas(B) + cas(A)cas(-B) + cas(-A)cas(B) - cas(-A)cas(-B))
Вывод можно проверить
Это, прости господи, уравнение решается графически по щелчку пальцев.
Я решил через основное тригонометрическое тождество.
Используем формулы тангенса половинного угла (для удобства положим x/2 = z):
2tg(z)/(1+tg^2(z))+(1-tg(z))/(1+tg(z))=1
2tg(z)+1-tg(z)=1+tg^2(z)
2tg^2(z)-2tg(z)=0
tg(z)*(tg(z)-1)=0
Совокупность [
tg(z)=0 → sin(z)=0 → sin(x/2)=0 →
→ x/2 = pi*k → x=2pi*k, k є Z.
tg(z)=1 → tg(x/2)=1 → x/2 = pi/4 +pi*k →
→ x=pi/2 +2pi*k, k є Z.
Классно
sinx=1-cosx подставляем в отт -2cosx+2cos^2x=0 cosx(cosx-1)=0
Смотрим на уравнение. Вспоминаем основные значения этих функций. sin 0=0 cos0 = 1. Итак, самое видимое решение найдено, х=0.
Затем вспомним, что такое синус и что такое косинус, так сказать, в природе - это значения х и у радиуса единичной окружности. А вся окружность составляет 360 градусов или 2п радиан. Так что сколько ты не умножай 2п на число n - все равно ты окажешься в пределах указанных значений, т.к. просто будешь "наматывать круги". Угол в 390 градусов - это угол в 10 градусов если острый или в 370 градусов если тупой - смотря откуда смотреть. Такая вот она, тригонометрия.
Но это слишком просто, поэтому автору вновь лайк и респект за умение драть гланды через задний проход! Жонглирование числами и математическими функциями - это, автор, самое главное и самое шЫкарное, что мне нравится на вашем канале.
Почему бы просто не допустить что Х=0, тогда sin0 = 0, а cos0 = 1, а 0+1=1?
Можно решить графически
cosx=X sinx=Y
X²+Y²=1
X+Y=1
Вы квадраты в задании забыли)
В квадрат тоже возвёл обе части.
при двух значениях Х выполняется равенство Х=0 и Х=90
Про период Вы забыли.
Просто интересуюсь спросить автора, ручку хотелось расписать? Где sin|cos = 0 или 1 в курсе? ВСЁ! Ну и + период.
Валера, если так излагать школьникам материал как в видео, так они же с ума сойдут. Да, такие методы существуют, но зачем усложнять, есть можно ЗДЕСЬ просто 3 секунды подумать об этих ф-циях, у где 0 и 1.
Вообще тут даже очевидное решение. Лучше что-нибудь посложнее...
Второй способ лучше, понятнее
Зачем все это? Я понял уже все с теоремы Пифагора.
Я бы обе части в квадрат возвел бы
ну те же ответы можно получить логически подумать, хоть это и будет необоснованное решение
sin x + cos x = 1
sin x + sin(π/2 - x) = 1
2sin((x + π/2 - x)/2) * cos((x - π/2 + x)/2) = 1
2sin(π/4) * cos(x - π/4) = 1
cos(x - π/4) = √2/2
x - π/4 = ±π/4 + 2πn
x = π/4 ±π/4 + 2πn
можно сказать что синус равен нулю, а косинус автоматически равен 1, дальше косинус приравниваем к нулю, синус равен 1 вот и все
X={0°; 90°; 360°}
Это я еще в 15 лет решал
kласический способ более легкий
x = 0
А почему нельзя возвести обе части в квадрат, чтобы получить слева в итоге преобразований 1+sin2x, а потом решить sin2x=0?
Можно вроде
В таком случае мы можем получить лишние корни, при которых sinx + cosx = -1
Тут хитрые корни из разряда x=pi еще нужно отсеять. Формально sin(2pi)=0, но x=pi не подходит.
Х=0
Ахахаахахаахахахааааапхпхахааапхпаа
Ответ: π*(n/2+[n/2]), n ∈ ℤ.