Das schwache Gesetz großer Zahlen

Es sei X_1,X_2, ... eine Folge von Zufallsvariablen auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum. Gesetze großer Zahlen machen Aussagen über die stochastische bzw. die fast sichere Konvergenz der Folge der arithmetischen Mittel von X_1,...,X_n beim Grenzübergang n gegen Unendlich. In diesem Video wird zunächst gezeigt, dass unter schwachen Voraussetzungen, die ohne die stochastische Unabhängigkeit und die gleiche Verteilung der Zufallsvariablen auskommen, obiges arithmetische Mittel gegen den Erwartungswert von X_1 konvergiert, wenn alle Zufallsvariablen den gleichen, als existent vorausgesetzten Erwartungswert besitzen. Als Spezialfall ergibt sich mit dem schwachen Gesetz großer Zahlen von Jacob Bernoulli das Hauptresultat der 1713 veröffentlichten Ars Conjectandi, der "Kunst des Vermutens". Im zweiten, technisch anspruchsvolleren Teil des Videos werden für den Fall, dass X_1, x_2, ... stochastisch unabhängig und identisch verteilt sind, notwendige und hinreichende Bedingungen für die stochastische Konvergenz des arithmetischen Mittels gegen eine Konstante angegeben und bewiesen, dass diese Bedingungen hinreichend sind. Diese Bedingungen sind schwächer als die Existenz des Erwartungswertes von X_1, die ja nach dem starken Gesetz großer Zahlen von Kolmogorov die fast sichere Konvergenz der Folge der arithmetischen Mittel nach sich zöge.
DOI: 10.5445/IR/1000137318
publikationen....