Starkes Gesetz großer Zahlen: Notwendige Bedingung

Das auf A.N. Kolmogorov zurückgehende starke Gesetz großer Zahlen ist eines der Hauptergebnisse der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Ist X_1, X_2, ... eine auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum definierte Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, so besagt das starke Gesetz großer Zahlen von Kolmogorv, dass die Folge der arithmetischen Mittel der ersten n dieser Zufallsvariablen genau dann beim Grenzübergang n gegen Unendlich gegen eine Zufallsvariable X konvergiert, wenn der Erwartungswert von X_1 existiert. In diesem Fall ist X mit Wahrscheinlichkeit eins gleich E(X_1). In diesem Video wird gezeigt, dass die Existenz von E(X_1) eine notwendige Bedingung für die fast sichere Konvergenz der arithmetischen Mittel ist. Der Beweis verwendet das Lemma von Borel-Cantelli (siehe • Das Lemma von Borel-Ca... ), das Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov sowie eine Darstellungsformel für den Erwartungswert siehe • Erwartungswert: Darste... )..