Борис, добрый день! Я - Ваш коллега из Горно-Алтайска, всегда рекомендую Ваш канал как школьникам, так и студентам. Более того, Ваш канал теперь смотрят и учителя математики нашего горного края, которым я в данный момент читаю курсы повышения квалификации. Желаю Вам здравия, сил и неиссякаемого оптимизма. Всегда приятно Вас послушать. Приезжайте с Алексеем Савватеевым к нам в гости. Мои студенты хотят вас видеть. 🙂 Красоты нашей природы покажем. 👍
@@almaska82 ну количество шагов зависит от мозга слушателя. Кому и один как 10, а кому и 100 как один :) На курсах матанализа в универе пару страниц могли и пропускали со словами "Очевидно что....". Это значило поищи сам и найди. Ну для особо тупых можно было задать вопрос поле занятий :) Саватеева смотрел он не так сложно расказывает. Нужно просто поставить на паузу и немного пошевелить мозгом иногда. Это очень полезно.
@@smarthedgehog3185Солидарен(меня самого ругают в школе, потому-что опускаю несколько шагов), но тем не менее, не думаю что стоит необоснованно указывать человеку на его умственные способности
Как кто-то говорил, все функции непрерывно дифференцируемые, кроме тех, которые придумали на мехмате МГУ ) "Среднестатистический" школьник, которому надо просто решить задание номер 12, от таких примеров сойдёт с ума. Поэтому, наверное, и приходится что-то упрощать, что-то недоговаривать. Вообще школьные "начала анализа" - это такая сделка с совестью для учителей математики и авторов учебников. Если всё объяснять строго и последовательно, то получится Фихтенгольц. Если теория объясняется на уровне размахивания руками, то и такие объяснения, как у Шарифова, относительно приемлемы. Можно сделать оговорку, что не все функции "хорошие", но в ЕГЭ вам они не попадутся. Как и бесконечные десятичные дроби ) Но вообще здесь возникает более глубокий вопрос. А нужны ли "кастрированные" начала анализа в школе? Тех, кто идёт в вуз, потом всё равно переучивают, а тем, кто не будет учить математику углублённо, хоть как объясняй, они это забудут уже через неделю. Может, стоит больше внимание уделять геометрии или ещё каким-нибудь математическим областям?
Кто пойдёт в вуз, но не на математика, а на физика, инженера или программиста, вряд ли когда-нибудь столкнётся с патологическими контрпримерами вроде той разрывно дифференцируемой функции, что на видео. Да даже математик-прикладник вряд ли столкнётся. Так что нормально всё с "началами анализа", они вполне применимы для реальных задач в духе "заткнись и считай".
@@maxlevs, ну особо ничего преступного он там не наговорил. По сути даже не противоречит видео БВ по схожей теме, просто, очень нематематично говорит и есть риск, что его неправильно поймут. Возможно, он не подразумевал, что его слова должны воспринимать всерьёз, когда он говорил, что что-то деленное на ноль равно бесконечности, потому как это можно воспринимать как некоего рода шутку, или обывательское пояснение, к математике неимеющее отношения прямого, но дающее интуитивное представление что происходит в бесконечно малых и больших функциях в пределах. Может, кому-то это даже было бы полезно. А так он вроде даже сказал, что эта самая бесконечность совсем даже не число, не конкретный объект и что с ним нельзя работать в вычислениях. Ему бы стоило сказать, что подобная запись характерна при решении пределов, где ноль - на самом деле не ноль, а бесконечно малая. Конечно, есть проблема в том, что подобные высказывания могут привести к заблуждениям, что можно прям таки брать и делить на ноль. Стоило ему больше разобраться в теме и показать, почему операция деления на ноль не может проводиться в рамках общепринятой математики. Интересно было бы почитать на тему арифметики и прочей условно школьной математики литературу, где подобные вещи расписывались бы математическим языком, но подобного пока не находил.
БВ, отличное видео. Даже не знаю как сформулировать просьбу. Очень часто в ваших видео появляются очень красивые функции, которые раньше даже нигде не встречал. Хотелось бы побольше такого.
Есть такая книжка называется "контпримеры в анализе". Нам ее на первом курсе очень советовали. В ней полно всяких "монстров" с неожиданными свойствами. В частности, такой пример там есть на странице 50 (издание 1967 года)
Класс, самая любимая рубрика! После неё я на Ваш канал и подсел, хотя казалось бы, 28 лет, инженер, выпускник Бауманки, а смотрю как ЕГЭ решать да пределы вспоминаю😅
Очень интересный пример функции. Для такого случая можно предложить следующий способ поиска локального минимума: необходимо найти две функции, между которыми гарантированно колеблется функция, для которой ищем локальный минимум: u(x)
Очень интересно конечно и понятно, что важнее понимать смысл понятия, чем действовать по выработанному алгоритму. Но пример слишком из ряда вон выходящий и потому слабо иллюстрирует важность понятия локальных экстремумов. Тем не менее, проблема поднята важная (за что спасибо), а именно важно не терять причинную связь: не из понятия локального минимума делается предположение о знаке производной, а наоборот, исследование производной даёт информацию о поведении функции. Мне кажется на этих словах следует в данном случае делать особый акцент🙇🏻♀️💕💕
"Натаскать на ЕГЭ" страшная фраза ибо с такой подготовкой (натаскиванием), знания после ЕГЭ просто улетучатся и какой тогда был в этом смысл? Меня ещё очень удивляет когда кто то просто ЗУБРИТ решение определенной задачи, решает таких сотню, а затем на экзамене получает чуть видоизмененную задачу и всё, ступор... Тоже проблема связана с натаскиванием на егэ, аля "Вот вам тысяча и одна формул к егэ, пожалуйста, учите. Понимать задачи не нужно, просто подставляйте и считайте".
Elon Musk Извините, а можете привести пример такой задачи? Сколько я задач из школьной математики вспоминаю, то там если прорешать сотню, то должно придти понимание того как это решается правильно. Я себе отлично отдаю отчёт в том что моё мнение сейчас скорее всего подверженно когнитивному искажению, так как я уже знаю как решать школьные задачи и мне поэтому это может казаться очень простым и логичным.
@@MyMrdmitry 17 задача егэ профильной математики. Учителя дают базовый набор формул и призывают всех учеников оперировать только ими в следвстие чего пропадает понимание самой сути задачи и когда они получают чуть измененную задачу, то всё, формулы уже не работают а как решать мы не знаем. Ну или же 15 задание в дружбе с методом рационализации. Как она работает и зачем ее применять нам не говорят (ну мы поголовно ее и применяем), а когда задача решается без нее, то школьники этого не видят в следствие чего путаются и как итог не понимают, что они сделали не так ибо "мы же выучили все те формулы, что давал учитель". Надеюсь, наглядные примеры
а мы с вами как раз недавно беседовали про необходимые и достаточные условия ;-) Необходимое условие существования экстремума: если х = х0 - точка экстремума, то f '(x0) =0 или f '(x0) не существует Достаточное условие существования экстремума: если функция y=f(x) непрерывна в точке х = х0 и ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки, и производная при переходе через точку х = х0 меняет свой знак, то функция имеет экстремум при х = х0. если понимать разницу между необходимо и достаточно, то жить в математике легче. Но вопрос, приведите пример такой функции, что ... - на мой взгляд, годится для 1й сессии, но не для 11 класса.
Обычная математика, которая "не противоречит здравому смыслу", часто ломается, если на пути встречается каким-то образом бесконечность. В данном случае бесконечность спряталась в (частоте) количестве "периодов" (полных колебаний) на любом даже бесконечно малом промежутке. У данной функции переменный "период колебаний" стремится к 0, а это говорит о бесконечно большой частоте колебаний.
Помню на первом курсе у нас была теорема о существовании всюду непрерывной нигде не диффиринцируемой функции, после этого я уже ничему не удивляюсь :))
@@boulderrush5233 ну нельзя ратовать за строгость, а через 30 секунд несколько раз повторять "функция дергается". У меня после третьего повторения глаз задергался вместе с функцией.
Добрый день Борис. В школьных учебниках даётся теорема достаточного условия того, что стационарная точка является точкой экстремума. Я сам начинаю только работать в старших классах и боюсь что-либо неверно рассказать детям и всё чаще за информацией иду на ваши видео уроки)
Данное условие называется " необходимо, но не достаточно". Обсудите отдельной темой. Многие школьники, да и студенты, плохо понимают. А этот пример именно про эти условия экстремума и знака производной у непрерывной функций.
а давайте уж сразу возьмем exp(-1/(x*x)) * (sin(1/x) + 2). все то же самое, но существуют производные всех порядков! Тут видимо в ЕГЭ говорят только про аналитические функции, то есть - совпадающие со своим рядом Тейлора.
Можно еще проще: y = C имеет бесконечно много локальных минимумов и максимумов. Вот только это не будет работать, если считать локальным минимум точки которые строго меньше или больше (как для моей функции, так для твоей).
Для чего было придумывать функцию, которую необходимо доопределять в нуле? Совершенно понятно, что осциллирующие функции не изучают в школах (обычных). Возмущаться этим - то же, что и возмущаться на фразу "из минус 1 нет корня", и начинать рассказывать про комплексные числа. Понятно, что речь идет всего лишь о действительных числах, которыми ограничивается школа. Ну и если даже принять ваше замечание, Борис, что нужно действовать строго от определения (с интервалом), то не могли бы вы предъявить такой интервал для вашей функции в точке 0, раз уж вы утверждаете, что это локальный минимум. Спасибо, действительно интересно получить ответы на свои вопросы.
Так вроде бы на любом интервале, какой ни взять, значение во всех точках больше чем в 0 (в 0 ноль, во всех остальных точках положительно), или вопрос в другом?
@@Mag_matematiki Во-первых, i не определяется как корень из (-1), а говорится, что i это такое число, что i^2=-1, или это можно вывести, если определить умножение комплексных чисел. Во-вторых, когда в школе говорят, что уравнение x^2+1=0 не имеет решений, то имеется ввиду отсутствие решений в поле действительных чисел. Поэтому это верно и придраться не к чему. Шарифов же говорил то, что не верно в общем случае, при этом он не сказал, что рассматривает конкретную, "хорошую" функцию. Значит, он не прав. Отчасти я согласен с Вами, доводить математику в обычной школе до аксиоматически строго уровня бессмысленно, хотя бы потому, что не все дети интересуются математикой. Я считаю, что школьникам в первую очередь нужно показать красоту математики, а не сложность и занудность некоторых её разделов (например, матлогики). Многие школьники вообще начинают увлекаться математикой при встрече с геометрией. Она нравится им тем, что в отличие от других разделов школьной математики, её утверждения доказывают, а не принимают на веру, ну и конечно тем, что она очень красива! Но и это можно довести до абсурда! Доказывать любой, даже самый очевидный факт. Например, нужно будет доказывать, что если концы отрезка лежат по одну сторону от прямой, то он целиком лежит по эту же сторону. В школе вообще обычно говорят, что прямая - неопределяемое понятие. Но это не так! Прямую можно строго определить через преобразования афинных пространств! Доказательства такой степени строгости лишь убивают красоту геометрии, а у школьника вообще может пропасть интерес к математике. Поэтому я считаю, что школьникам можно рассказывать некоторые сложные факты или теоремы без доказательства, но этом эти утверждения должны быть ВЕРНЫМИ. Рассказывать ложь, даже не уточняя при этом, что речь идет только о каких-то частных случаях-просто преступление! А в целом вообще не понятно, для чего в обычную школьную программу и ЕГЭ начали включать начала анализа. Детям, профессия которых в будущем не будет требовать математических знаний это не пригодится. Тем, кому пригодится (например, инженерам, программистам) матанализ расскажут в любом техническом вузе. В серьезных же матшколах, где дети всецело одержимы математикой и планируют в будущем планируют стать математиками, матанализ рассказывают на вузовском уровне строгости а также изучают разделы математики, о которых обычные дети, может быть, даже и не слышали: теорию групп, линейную алгебру, тфкп, теорию чисел, топологию и т.д.
Вот как раз, для приведённой вами функции, определение локального минимума (и максимума) как точки, в которой меняется знак производной вполне подходит - при приближении к нулю производная действительно всё чаще меняет знак, но каждая такая перемена приходиться на соответствующий локальный минимум или максимум, они просто становятся всё более "локальными". И даже в нуле, если взять производную, для х стремящегося к нулю от минус бесконечности, она будет отрицательная, а если для х стремящегося к нулю от плюс бесконечности, то положительная, и равная нулю в точке самого минимума.
В ролике говорилось, что у данной функции у точки ноль нет окрестности такой, что слева от нуля производная отрицательна, а справа положительна, в ролике было доказано, что это верно
Огромное спасибо за эту информацию!!! Только под конец понял о чём идёт речь! Теперь буду знать, что не следует так говорить своим ученикам о локальном макс., и мин.
Видео интересное, но являясь просто репетитором, который готовит к ЕГЭ, вряд ли буду говорить об этом школьникам. я стараюсь более честно проговаривать некоторые вещи, но будет у них матан на первом курсе - они многое еще узнают. а 90 процентов детей про пределы даже не слышали.
Я же не предлагаю это все рассказывать в школе. Главное, чтобы там не было откровенно ложных утверждений. Что мешает честно сказать: "Если непрерывная функция убывает, а потом возрастает, то это будет точкой минимума, а обратное, неверно. Бывают функции, у которых точка минимума устроена сложнее, но в школе мы такие функции изучать не будем".
Вы так-то полностью правы и, может быть явно не акцентируют, но «фишка» с тем, что функция убывает слева от точки х0 и возрастает справа от точки х0, то тогда x0 это минимум (при непрерывности и дифференцируемости) в том, что это *достаточное* условие. Понятное дело, если знать собственно теорему или примерную формулировку этого факта, то должны быть и есть примеры, где это условие не выполняется, но минимум есть. Вы отличный пример как раз привели. По этому, мне кажется, здесь нет никакого лукавства в том, что рассказывают этот метод для того, чтобы доказать, что точка минимум. Возможно, ошибка в том, что это дают за определение - тогда да.
Просто зайти в эксель да и проверить, думаю в школе учили рисовать графики функций. Если умнее то зайди на сайт вольфрам альфа, там интереснее. Эхх как помог мне этот вольфрам решать всякую дичь на матане
График функции можно построить с помощью преобразования элементарных функций. (в данном примере это затруднительно) Либо исследованием функции. Второй способ тут то и нужен, но там и теория пределов и 1 и 2 производная, вообщем вроде как не школьный уровень. Однако понять продвинутому школьнику алгоритм не особо сложно будет думаю
происходит поточечное умножение или сложение, "в зависимости от". Это бывает не так тривиально как в этом видео. Можно поиграться с этим на сайте desmos calculator, он по заданной функции строит график
Нас в школе ругали за употребление термина минимум/максимум без эпитета локальный, если речь не идёт о глобальном минимуме, да да, в то время ЕГЭ ещё не было))
Я конечно полностью поддерживаю, это ошибка полагать, что у функции, пусть даже непрерывно дифференцируемой локальный минимум "окружен монотонностью". Но посыл ведь правильный, скажем для С1 функции с изолированным локальным минимумом (например у производной просто конечное число нулей) или для аналитической (раскладывающейся в ряд) это уже и правда. Да и вообще, обычно, беря производную мы просто видим где она убывает, а где растет. Просто для всей строгости нужно все оговаривать!
@@altfq5237 Да, то есть если производная непрерывна и не принимает значение 0 ни в какой точке из (x0 - e, x0 + e) кроме х0, то ей остается иметь на интервалах (x0 - e, x0) и (x0, x0 + e) только постоянный знак.
Дядя Борис,Вы топ как и дикий математик вы оба топ.Прошу, дайте совет.Я хочу подготовиться к олимпиаде,хотя ни разу не участвовал. Дайте пожалуйста сове ,как начать готовиться,что для этого нужно,как вы научились решать Олимпиаду по математике.Прошу дайте совет!!!
так это пример не гладкой функции - нарушается непрерывность производной в районе точки ноль. А Шарипов говорит про конкретно гладкую функцию. Так то вообще можно до любого докопаться
Еще бы в школе было строго определение "гладкой функции". Его и во "взрослой" математике нет. Ну, давайте подправим функцию: exp(-1/(x*x)) * (sin(1/x) + 2). Все хорошо, есть все производные, все непрерывны, а картинка такая же.
@@evgenypopov1707 Шарипов говорит чушь, даже в случае гладкой функции это не верно. x^4 * (sin(1/x)+2) - гладкая, можете построить ее график и график ее производной в desmos. Если эту функцию доопределить в 0 значением 0, то производная в 0 существует, равна 0 и непрерывна.
Что мне особенно нравиться у Бориса, всегда приятный голос, вежливый тон, улыбка и главное чувство уверенности в сказанном что передаётся слушателю! Спасибо за канал.
Борис, последние 2 минуты видео надо развернуть в отдельный ролик. Назвать его "Необходимое и Достаточное условия". Тема не менее сложная для школьника чем производные.
Я хорошенько подумал над этим видео и вот к чему я пришел: 1) Функция примерно выглядить как синус на маленьких интервалах и приблизительно имеет максимум и минимум в точках соприкосновениях с x^2 e 3x^2 (чем ближе к 0, тем точнее), причем они как раз с характерным изгибом. 2) Предел функции g'(x) при x -> 0 неопределен и может бить от -1 до 1 (что равно предели от -cos(1/x)). Чтобы предел был равен 0, нужно приближаться к 0 через приблизительно через последовательность x = 1 / (pi n + pi / 2), то есть через те самые приблизительные минимумы и максимумы. Из чего делается вывод что в точке x = 0 как раз должен быть изгиб подобен изгибам в остальних точках, так как это единсвенный способ достичь минимума в точке x = 0, иначе функция была бы между x^2 e 3x^2 и никогда не нулем, но при этом были бы точки рядом которые к нулю ближе. Я предполагаю, что функция в x = 0 должна быть похожа на |x| но только с "гладким" переходом в x = 0 и с бесконечним наклоном (практически вертикальная) в маленькой окрестности от 0, то есть она убывает и возрастает на бесконечно маленьком интервале. Другими словами, если функция колеблеться бесконечно раз вокруг точки x = a и имеет глобальний минимум в этой точке, то она должна переходить из убывающей к возрастающей на всех точках с локальным минимумом (так как она колеблиться) и наименьший локальный минимум как раз должен совпадать с глобальным минимумом и соотвественно иметь изгиб . Это сложно обьяснить, но думаю надеюсь что все понятно.
Я вообще считаю, что все каналы, готовящие только к ЕГЭ- это чистая профанация математики в целом. То есть тебя учат не математике, а как решать задачки из егэ. А зная сколько ненужного бреда дают в школе, Артур все правильно сделал, что дал только то что НУЖНО знать. Зачем давать человеку который просто хочет сдать экзамен столько ненужной информации? Он просто запутается и все. Если он потом захочет изучить это более подробно, он изучит
Если 0 это глобальный минимум и функция непрерывна, то каким-то образом слева от 0 функция должна спуститься до 0. Да она будет то возрастать то убывать, но по итогу постепенно спускаться. Буквально перед точкой 0 и до неё функция должна убывать чтобы достичь нуля и также должна после нуля возрастать чтобы покинуть минимум. Опровержение какое-то не опровергающее получилось, по итогу все равно перед локальным минимумом функция убывает, а после возрастает.
Данная функция даёт бесконечное число локальных экстремумов. В точке 0 глобальный минимум, ниже этой точки, значений функций нет. Значит, по любому есть окресность этой точки в которых производные меняют знак. У этой функции не только локальные минимумы, но и максимумы. А вот говорить о том, что если у функции призводная равна 0 то она меняет знак нельзя. Просто ораторы бегут впереди паравоза.
Однозначно плюс. Очень круто. Меня всегда удивляло, почему в школе не показывают: a^2 + b^2 = c^2 делим на c^2 (a^2/c^2 )+ (b^/c^2) =1 основное тригонометрическое тождество 🙃
В школе, насколько я помню, не вводят понятие окрестности точки. Соответственно, нельзя ввести и правильное определение экстремума функции. Мне кажется, поэтому появляются такие заблуждения, как в этом видео. Достаточное условие выдают за необходимое. И, в принципе, на школьных функциях, оно выполняется всегда.
дело не в окрестности. дело в излишней фантазии учителя. теорема - если есть точка экстремума, то в ней производная равна нулю. А то, что "значит справа была меньше, а слева стала больше или наоборот" - это уже фантазия.
@@MichailLLevin Производная в экстремуме может быть не определена. Но допустим, что у нашей функции производная определена везде. Все равно, мне непонятно, как тебе поможет эта теорема в задаче нахождения экстремумов? То, что в точке производная равна нулю, еще не значит, что там есть экстремум.
Ну я пока в школе был, никогда понятия окрестности не видел. Возможно я тогда не очень хорошо учился, но, скорее всего, оно(определение) было просто не надо. Классное видео!
Надо быть честнее-кое в чём Шарифов прав.Существует 3 достаточных условия того, что какое-то значение функции является локальным минимумом или максимумом.Они есть в учебнике Садовничего по мат анализу(юрайт)
Ребята, ещё раз посмотрите формулировку достаточного условия локального экстремума для функции одной переменной (например, В.С. Шипачёв "Высшая математика", с. 142-143): пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой delta-окрестности точки x_0 (в самой точке x_0 может быть и не дифференцируемой). Тогда, если f'(x) > 0 (f'(x) < 0) для всех x из (x_0 - delta, x_0), а f'(x) < 0 (f'(x) > 0) для всех x из (x_0, x_0 + delta), то в точке x_0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум); если же f'(x) во всей delta-окрестности точки x_0 (x != x_0) имеет один и тот же знак, то в точке x_0 локального экстремума нет. При доказательстве используется теорема Лагранжа, где вылезает знак производной в точке из окрестности x_0. В нашем случае в любой окрестности нуля производная меняет свой знак => данное достаточное условие применять нельзя. Вот и всё.
Всё здорово, очень интересно) как я понял этот пример специально был придуман, чтоб проиллюстрировать неполноту использования определения локального минимума в учебных материалах. А можно обратный случай привести хотя бы один? Когда предлагается учащимся разобрать функцию, которая вот так же не имеет убывающей и возрастрающей части по разные стороны от экстремума? Специльную функцию подобрать под своё видео это дело одно, а показать как это знание полезно - совсем другое
Очень редкий случай, да и то сомнительный. Тут функция делится на 3 части, средняя из которых имеет нулевую производную, маскируясь под локальный минимум. Я, вот, не уверен, что это законно.
Здравствуйте, Борис, если для вас не составит труда ответить на вопрос: при подстановке в ваше уравнение при 0 числа -0 получится отрицательная производная, а при подстановке +0 положительная, не является ли это доказательством обратного?(пс я не претендую на правду. Думаю, что я где-то ошибаюсь)
При всём уважении, пример мне кажется каким-то неубедительным :) g(x)= x^2(sin(1/x)+2) нельзя определить в точке x=0, поэтому просто обозначили эту точку равной нулю. А могли бы и другим числом? Скажем, g(0) = 1? Эта точка как какая-то дискретная затычка - конечно, там исследовать на экстремум как-то по-другому надо :) UPD Посмотрел вторую часть, идея стала понятнее, но пример не стал убедительнее :)
Борис, более простой контрпример, понятный любому школьнику - это функция корень из х. У неё производная больше нуля для всех х>0, то есть нет смены знака производной с минуса на плюс при переходе через точку ноль, но, тем не менее, х=0 по определению это точка минимума. Можно построить и другие примеры На практике для элементарных функций из школьной программы почти всегда точка минимума - это смена знака производной с - на +, поэтому с методических позиций, чтобы это отложилось в сознании школьника, на этом внимание и заостряют, но и говорить про исключения, уточнения и прочее, тоже, конечно надо. Ваш пример очень симпатичен
Корень из Х совершенно не подходит в качестве примера. Школьники прекрасно понимают, что экстремумы могут быть на границах функций и проверяют эти точки в первую очередь, а только потом берут производные.
Функция не для школьников. Обычно f'(x0)=0. А около этой точки есть окрестность, где производная монотонная. А не проверив этот факт, как ещё выбрать точки для проверки знака. А для этой функции не найти такого интервала. Если пытаться найти производную в 0 через формулу cos(1/x) так вообще получится, что она должна была отсутствовать. Как-то сложно представить непрерывность производной. Выходит что есть сколь угодно близкие точки к оси OY в диапазоне -1,1. То есть значение производной в точке 0 есть, но вот предел функции с этим значением не совпадает. Предела нет.
А что по поводу предела слева/справа (так сказать знак производной в окрестности)? Они разве не должны около нуля нам эти минус и плюс производной показать?
1. Локальный минимум это значение функции в точке локального минимума. Точка локального минимума - это такая внутренняя точка области определения, что существует эпсилон-окрестность этой точки что для всех x из этой окрестности(кроме самой точки) выполняется f(эта точка)≤f(x)
Я не помню точно, как у нас формулировали в школе, но, кажется, так и говорили, что это достаточное условие существования локального экстремума, а не необходимое. Интересно также узнать верно ли что локальный экстремум может (но не должен) быть найден только в точках разрыва функции, точках, в которых производная меняет знак или сама терпит разрыв. И ещё интересно узнать, как называется такой разрыв. Из курса матана я помню, что есть разрыв первого рода, когда слева и справа пределы конечные, но в самой точке функция не определена или не равна хотя бы одному из этих пределов. Есть разрыв второго рода, когда один из пределов в точке бесконечен, а как называется такой разрыв, как здесь: когда один из пределов не конечен, не бесконечен, а просто не существует? А вообще, конечно, приятно наблюдать, как вы рвёте школьные шаблоны)
Хороший пример на то, что условие разности знаков производной в полуокрестностях слева и справа от точки являются лишь ДОСТАТОЧНЫМ, но не необходимым условием существования локального экстремума.
Не очень понятно: если точка 0 является точкой минимума, значит соседние с ней точки имеют большее значение. Сколько нужно брать соседних точек чтобы считать, что находящаяся между ними точка считалась локальным минимумом в определении минимума ведь не указано
После этого видео я понял, что математика - это способ сделать простое сложным. Уже по внешнему виду g(x) явно видно, что в x=0 локальный экстремум, т.к. g(0)=0 меньше чем любой g(x) при х не равном 0.
@@MyMrdmitry Для детей школьного возраста математика, прежде всего, должна быть понятной. Если бы меня в школе так загрузили, как в этом видео (половиной теории пределов, наверное), то я бы ни за что на отделение информатики не поступал (я сейчас преподаватель, если что:)) )
Денис Грунев Так я же и говорю, что здесь очевиден минимум. Все остальное нужно, чтобы строго обосновать, что здесь нет «функция сначала убывает, а потом возрастает». Все это не нужно так подробно рассказывать всем школьникам, но как показывают комментарии учителей, даже они этого часто не понимают.
@@trushinbv Всем школьникам? Половина школьников не понимает, зачем вообще нужен синус с натуральным логарифмом,и вообще считает, будто ЕГЭ придумано для того, чтобы им испортить жизнь (я в колледже преподаю и вижу, что многие туда идут, потому что боятся даже базового ЕГЭ)
Денис Грунев Я считаю, что лучше выбрать только некоторые темы и рассказать про них (пусть и нестрого) без вранья, чем пробежаться по верхам всех тем, и в каждой из них рассказать враньё. Какой в этом смысл. Зачем про факт, который верен только в одну сторону, говорить, что он верен и в другую?
Ну естественно это не будет работать, если функция периодическая. А периодической она может быть если зависимость функции так или не иначе от тригонометрических параметров.
@@trushinbv Вот такой вот вопрос дана функция y=27(x^3-X^2)/4-4 Найти точки экстремума и точки перегиба Правильно ли говорить, что данная функция не определенна и таких точек не существует ???
Может надо было вначале показать множество {(-1)^n/n, где n - натуральное} и спросить знак у "у самой ближней" к нулю точки. Потому-что, похоже, много кому в комментариях выносит мозг бесконечная смена знака производной в окрестности нуля.
Ранний Шарифов время от времени лажал. Но со временем, он стал гораздо внимательнее относиться к тому что говорит. В последнее время в его видео мало к чему можно придраться.
@@trushinbv Не только поэтому. Я наблюдал за Шарифовым практически от самого его зарождения. Будучи достаточно въедливым человеком, я писал ему коммент каждый раз как видел что он в чем-то лажает. При этом я со временем отметил падение частоты моих комментов, оно почти свелось к нулю (без падения моего уровня въедливости). И это было еще в период когда он выпускал подобные видео. Еще хочу отметить что Артур довольно честно говорит о том, что он не является экспертом в разбираемым вопросах. А на милион подписчиком он выпустил видео с разбором своих ошибок. ruclips.net/video/NyPVAYy5UAo/видео.html
![Kodak Black - Catch Fire [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/A4ch-olIuZo/mqdefault.jpg)
Борис, добрый день! Я - Ваш коллега из Горно-Алтайска, всегда рекомендую Ваш канал как школьникам, так и студентам. Более того, Ваш канал теперь смотрят и учителя математики нашего горного края, которым я в данный момент читаю курсы повышения квалификации. Желаю Вам здравия, сил и неиссякаемого оптимизма. Всегда приятно Вас послушать. Приезжайте с Алексеем Савватеевым к нам в гости. Мои студенты хотят вас видеть. 🙂
Красоты нашей природы покажем. 👍
Савватеев не умеет объяснять. Он думает 10-шаговыми действиями когда пытается объяснить. И берёт нереальные задачи. Я отписался от него :)
@@almaska82 ну количество шагов зависит от мозга слушателя. Кому и один как 10, а кому и 100 как один :) На курсах матанализа в универе пару страниц могли и пропускали со словами "Очевидно что....". Это значило поищи сам и найди. Ну для особо тупых можно было задать вопрос поле занятий :)
Саватеева смотрел он не так сложно расказывает. Нужно просто поставить на паузу и немного пошевелить мозгом иногда. Это очень полезно.
@@smarthedgehog3185 Там реально не очень сложно, хотя я тугодум
@@smarthedgehog3185Солидарен(меня самого ругают в школе, потому-что опускаю несколько шагов), но тем не менее, не думаю что стоит необоснованно указывать человеку на его умственные способности
Пусть лучше школьник узнает это от мамы с папой, чем от мальчишек во дворе!
Ни**я себе должны быть родители (которые не учились на матан)
Я бы сказал: нибуя себе мальчишки во дворе! 😂😂😂
Пусть учатся у Трушина и математика МГУ.😁
Ахахахаха!!!! +100000000
Я так давно не смеялся!
нет, лучше ему в подъезде скажет дядя Борис.
Как кто-то говорил, все функции непрерывно дифференцируемые, кроме тех, которые придумали на мехмате МГУ )
"Среднестатистический" школьник, которому надо просто решить задание номер 12, от таких примеров сойдёт с ума. Поэтому, наверное, и приходится что-то упрощать, что-то недоговаривать. Вообще школьные "начала анализа" - это такая сделка с совестью для учителей математики и авторов учебников. Если всё объяснять строго и последовательно, то получится Фихтенгольц. Если теория объясняется на уровне размахивания руками, то и такие объяснения, как у Шарифова, относительно приемлемы. Можно сделать оговорку, что не все функции "хорошие", но в ЕГЭ вам они не попадутся. Как и бесконечные десятичные дроби )
Но вообще здесь возникает более глубокий вопрос. А нужны ли "кастрированные" начала анализа в школе? Тех, кто идёт в вуз, потом всё равно переучивают, а тем, кто не будет учить математику углублённо, хоть как объясняй, они это забудут уже через неделю. Может, стоит больше внимание уделять геометрии или ещё каким-нибудь математическим областям?
Лучше бы давали подробнее теорию вероятностей, это куда более наглядно и приближено к реальности)
Кто пойдёт в вуз, но не на математика, а на физика, инженера или программиста, вряд ли когда-нибудь столкнётся с патологическими контрпримерами вроде той разрывно дифференцируемой функции, что на видео. Да даже математик-прикладник вряд ли столкнётся.
Так что нормально всё с "началами анализа", они вполне применимы для реальных задач в духе "заткнись и считай".
@@bogdanlevi Да дело же не в том, столкнётся он или нет!
Дело в том, чтобы научить его не путать необходимое условие и достаточное.
Тогда уже сразу говоить про комплексные числа, потому что, если дискриминант меньше нуля, то корни как бы есть, а в школе обычно говорят, что нет.
@@lexcheshir6416 но мы же говорим, что работаем в вещественных числах, а не абы где, а в вещественных числах действительно нет
Бедный Артур, наговорил по молодости фегни, теперь до старости вспоминать будут
Пранкер)
Ох уж этот видос про деление на 0...
Ох уж тот видос про опыт с щелями и фотонами ...
@@maxlevs, ну особо ничего преступного он там не наговорил. По сути даже не противоречит видео БВ по схожей теме, просто, очень нематематично говорит и есть риск, что его неправильно поймут. Возможно, он не подразумевал, что его слова должны воспринимать всерьёз, когда он говорил, что что-то деленное на ноль равно бесконечности, потому как это можно воспринимать как некоего рода шутку, или обывательское пояснение, к математике неимеющее отношения прямого, но дающее интуитивное представление что происходит в бесконечно малых и больших функциях в пределах. Может, кому-то это даже было бы полезно. А так он вроде даже сказал, что эта самая бесконечность совсем даже не число, не конкретный объект и что с ним нельзя работать в вычислениях. Ему бы стоило сказать, что подобная запись характерна при решении пределов, где ноль - на самом деле не ноль, а бесконечно малая. Конечно, есть проблема в том, что подобные высказывания могут привести к заблуждениям, что можно прям таки брать и делить на ноль. Стоило ему больше разобраться в теме и показать, почему операция деления на ноль не может проводиться в рамках общепринятой математики. Интересно было бы почитать на тему арифметики и прочей условно школьной математики литературу, где подобные вещи расписывались бы математическим языком, но подобного пока не находил.
@@viktor_borodin, "может быть", "возможно".
БВ, отличное видео. Даже не знаю как сформулировать просьбу. Очень часто в ваших видео появляются очень красивые функции, которые раньше даже нигде не встречал. Хотелось бы побольше такого.
Есть такая книжка называется "контпримеры в анализе". Нам ее на первом курсе очень советовали. В ней полно всяких "монстров" с неожиданными свойствами. В частности, такой пример там есть на странице 50 (издание 1967 года)
@@murmol444 спасибо. Обязательно посмотрю
Класс, самая любимая рубрика! После неё я на Ваш канал и подсел, хотя казалось бы, 28 лет, инженер, выпускник Бауманки, а смотрю как ЕГЭ решать да пределы вспоминаю😅
Я хоть егэ сдал и теперь факишник, но до сих пор смотрю ваши видео. До сих пор интересно разбирать такие задачки)
Очень интересный пример функции.
Для такого случая можно предложить следующий способ поиска локального минимума: необходимо найти две функции, между которыми гарантированно колеблется функция, для которой ищем локальный минимум: u(x)
Очень интересно конечно и понятно, что важнее понимать смысл понятия, чем действовать по выработанному алгоритму. Но пример слишком из ряда вон выходящий и потому слабо иллюстрирует важность понятия локальных экстремумов. Тем не менее, проблема поднята важная (за что спасибо), а именно важно не терять причинную связь: не из понятия локального минимума делается предположение о знаке производной, а наоборот, исследование производной даёт информацию о поведении функции. Мне кажется на этих словах следует в данном случае делать особый акцент🙇🏻♀️💕💕
Обожаю ваши видео также как обожаю изучать математику
"Натаскать на ЕГЭ" страшная фраза ибо с такой подготовкой (натаскиванием), знания после ЕГЭ просто улетучатся и какой тогда был в этом смысл? Меня ещё очень удивляет когда кто то просто ЗУБРИТ решение определенной задачи, решает таких сотню, а затем на экзамене получает чуть видоизмененную задачу и всё, ступор... Тоже проблема связана с натаскиванием на егэ, аля "Вот вам тысяча и одна формул к егэ, пожалуйста, учите. Понимать задачи не нужно, просто подставляйте и считайте".
Илон Маск какими судьбами? Но если серьезно вы правы. Учить формулы не понимая просто бесполезно.
@@altfq5237 вот как бывает, жизнь так сказать занесла
@@elonmusk8578 Да уж)
Elon Musk Извините, а можете привести пример такой задачи? Сколько я задач из школьной математики вспоминаю, то там если прорешать сотню, то должно придти понимание того как это решается правильно. Я себе отлично отдаю отчёт в том что моё мнение сейчас скорее всего подверженно когнитивному искажению, так как я уже знаю как решать школьные задачи и мне поэтому это может казаться очень простым и логичным.
@@MyMrdmitry 17 задача егэ профильной математики. Учителя дают базовый набор формул и призывают всех учеников оперировать только ими в следвстие чего пропадает понимание самой сути задачи и когда они получают чуть измененную задачу, то всё, формулы уже не работают а как решать мы не знаем. Ну или же 15 задание в дружбе с методом рационализации. Как она работает и зачем ее применять нам не говорят (ну мы поголовно ее и применяем), а когда задача решается без нее, то школьники этого не видят в следствие чего путаются и как итог не понимают, что они сделали не так ибо "мы же выучили все те формулы, что давал учитель". Надеюсь, наглядные примеры
Всё-таки для преподавания нужен талант. И у БВ он есть. Спасибо за уроки.
Борис, невероятно доходчиво объясняете материал! Приятно слушать и понимать)
Спасибо )
а мы с вами как раз недавно беседовали про необходимые и достаточные условия ;-)
Необходимое условие существования экстремума: если х = х0 - точка экстремума, то f '(x0) =0 или f '(x0) не существует
Достаточное условие существования экстремума: если функция y=f(x) непрерывна в точке х = х0 и ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, кроме, быть может, самой точки, и производная при переходе через точку х = х0 меняет свой знак, то функция имеет экстремум при х = х0.
если понимать разницу между необходимо и достаточно, то жить в математике легче.
Но вопрос, приведите пример такой функции, что ... - на мой взгляд, годится для 1й сессии, но не для 11 класса.
Ну это вы загнули, про вторую производную и когти льва пусть узнают в институте 🔐
Обычная математика, которая "не противоречит здравому смыслу", часто ломается, если на пути встречается каким-то образом бесконечность.
В данном случае бесконечность спряталась в (частоте) количестве "периодов" (полных колебаний) на любом даже бесконечно малом промежутке.
У данной функции переменный "период колебаний" стремится к 0, а это говорит о бесконечно большой частоте колебаний.
Чем больше смотрю эти видео , тем больше желание и время которое я трачу на математику
Спасибо за ролик!
Помню на первом курсе у нас была теорема о существовании всюду непрерывной нигде не диффиринцируемой функции, после этого я уже ничему не удивляюсь :))
Хорошая рубрика. Нужно приучать к математической строгости этих невежд) Б.В. вы крут )
"Функция сильно дёргается" - эталон строгости, как иначе.
@@ShowoffFantasy "в окрестности нуля совершает колебания с ограниченной амплитудой, но бесконечно возрастающей частотой" звучит сильно зануднее :)
@@boulderrush5233 ну нельзя ратовать за строгость, а через 30 секунд несколько раз повторять "функция дергается". У меня после третьего повторения глаз задергался вместе с функцией.
Добрый день Борис. В школьных учебниках даётся теорема достаточного условия того, что стационарная точка является точкой экстремума. Я сам начинаю только работать в старших классах и боюсь что-либо неверно рассказать детям и всё чаще за информацией иду на ваши видео уроки)
Но необходимое условие не формулируется в учебниках) Всё честно.
@@ГлебЛысенко-ч5ч Необходимое условие формулируется!
Вы очень хороший учитель.Все понятно, я 9 а все понял.
Данное условие называется " необходимо, но не достаточно". Обсудите отдельной темой. Многие школьники, да и студенты, плохо понимают. А этот пример именно про эти условия экстремума и знака производной у непрерывной функций.
Блин. Это идеальный препод.
Все от непонимания разницы необходимого и достаточного условий
кратко:"стрелочка в другую сторону не поворачивается"
Просто супер.
Лучший учитель !
а давайте уж сразу возьмем exp(-1/(x*x)) * (sin(1/x) + 2). все то же самое, но существуют производные всех порядков!
Тут видимо в ЕГЭ говорят только про аналитические функции, то есть - совпадающие со своим рядом Тейлора.
Можно еще проще: y = C имеет бесконечно много локальных минимумов и максимумов. Вот только это не будет работать, если считать локальным минимум точки которые строго меньше или больше (как для моей функции, так для твоей).
Да, неплохая подводка к различию между классами бесконечно дифференцируемых и аналитических функций.
Для чего было придумывать функцию, которую необходимо доопределять в нуле?
Совершенно понятно, что осциллирующие функции не изучают в школах (обычных).
Возмущаться этим - то же, что и возмущаться на фразу "из минус 1 нет корня", и начинать рассказывать про комплексные числа. Понятно, что речь идет всего лишь о действительных числах, которыми ограничивается школа.
Ну и если даже принять ваше замечание, Борис, что нужно действовать строго от определения (с интервалом), то не могли бы вы предъявить такой интервал для вашей функции в точке 0, раз уж вы утверждаете, что это локальный минимум.
Спасибо, действительно интересно получить ответы на свои вопросы.
Так вроде бы на любом интервале, какой ни взять, значение во всех точках больше чем в 0 (в 0 ноль, во всех остальных точках положительно), или вопрос в другом?
@@БорисЛисович-к3ш да, здесь я в спешке не додумал, спасибо
@@Mag_matematiki Как можно написать полстраницы текста, не додумав?
@@andynaz7044 я задал вопрос и получил ответ, для этого вопросы и нужны
На первый абзац никто так и не ответил
@@Mag_matematiki Во-первых, i не определяется как корень из (-1), а говорится, что i это такое число, что i^2=-1, или это можно вывести, если определить умножение комплексных чисел. Во-вторых, когда в школе говорят, что уравнение x^2+1=0 не имеет решений, то имеется ввиду отсутствие решений в поле действительных чисел. Поэтому это верно и придраться не к чему. Шарифов же говорил то, что не верно в общем случае, при этом он не сказал, что рассматривает конкретную, "хорошую" функцию. Значит, он не прав. Отчасти я согласен с Вами, доводить математику в обычной школе до аксиоматически строго уровня бессмысленно, хотя бы потому, что не все дети интересуются математикой. Я считаю, что школьникам в первую очередь нужно показать красоту математики, а не сложность и занудность некоторых её разделов (например, матлогики). Многие школьники вообще начинают увлекаться математикой при встрече с геометрией. Она нравится им тем, что в отличие от других разделов школьной математики, её утверждения доказывают, а не принимают на веру, ну и конечно тем, что она очень красива! Но и это можно довести до абсурда! Доказывать любой, даже самый очевидный факт. Например, нужно будет доказывать, что если концы отрезка лежат по одну сторону от прямой, то он целиком лежит по эту же сторону. В школе вообще обычно говорят, что прямая - неопределяемое понятие. Но это не так! Прямую можно строго определить через преобразования афинных пространств! Доказательства такой степени строгости лишь убивают красоту геометрии, а у школьника вообще может пропасть интерес к математике. Поэтому я считаю, что школьникам можно рассказывать некоторые сложные факты или теоремы без доказательства, но этом эти утверждения должны быть ВЕРНЫМИ. Рассказывать ложь, даже не уточняя при этом, что речь идет только о каких-то частных случаях-просто преступление! А в целом вообще не понятно, для чего в обычную школьную программу и ЕГЭ начали включать начала анализа. Детям, профессия которых в будущем не будет требовать математических знаний это не пригодится. Тем, кому пригодится (например, инженерам, программистам) матанализ расскажут в любом техническом вузе. В серьезных же матшколах, где дети всецело одержимы математикой и планируют в будущем планируют стать математиками, матанализ рассказывают на вузовском уровне строгости а также изучают разделы математики, о которых обычные дети, может быть, даже и не слышали: теорию групп, линейную алгебру, тфкп, теорию чисел, топологию и т.д.
Вот как раз, для приведённой вами функции, определение локального минимума (и максимума) как точки, в которой меняется знак производной вполне подходит - при приближении к нулю производная действительно всё чаще меняет знак, но каждая такая перемена приходиться на соответствующий локальный минимум или максимум, они просто становятся всё более "локальными". И даже в нуле, если взять производную, для х стремящегося к нулю от минус бесконечности, она будет отрицательная, а если для х стремящегося к нулю от плюс бесконечности, то положительная, и равная нулю в точке самого минимума.
В ролике говорилось, что у данной функции у точки ноль нет окрестности такой, что слева от нуля производная отрицательна, а справа положительна, в ролике было доказано, что это верно
Огромное спасибо за эту информацию!!! Только под конец понял о чём идёт речь! Теперь буду знать, что не следует так говорить своим ученикам о локальном макс., и мин.
Борис Викторович, интро - бомба!!!)))))
Видео интересное, но являясь просто репетитором, который готовит к ЕГЭ, вряд ли буду говорить об этом школьникам. я стараюсь более честно проговаривать некоторые вещи, но будет у них матан на первом курсе - они многое еще узнают. а 90 процентов детей про пределы даже не слышали.
Я же не предлагаю это все рассказывать в школе. Главное, чтобы там не было откровенно ложных утверждений. Что мешает честно сказать: "Если непрерывная функция убывает, а потом возрастает, то это будет точкой минимума, а обратное, неверно. Бывают функции, у которых точка минимума устроена сложнее, но в школе мы такие функции изучать не будем".
Вы так-то полностью правы и, может быть явно не акцентируют, но «фишка» с тем, что функция убывает слева от точки х0 и возрастает справа от точки х0, то тогда x0 это минимум (при непрерывности и дифференцируемости) в том, что это *достаточное* условие. Понятное дело, если знать собственно теорему или примерную формулировку этого факта, то должны быть и есть примеры, где это условие не выполняется, но минимум есть. Вы отличный пример как раз привели. По этому, мне кажется, здесь нет никакого лукавства в том, что рассказывают этот метод для того, чтобы доказать, что точка минимум. Возможно, ошибка в том, что это дают за определение - тогда да.
Если честно, то мне нечего написать, но написать надо, для продвижения ролика, ну вообщем уже написал)
Не могли бы вы снять как работает процесс умножения и сложения функций? (тип что с ними происходит когда например sinx + x^2 или с умножение похожее)
@@Костя-ъ6н1г ну что значит "интуитивно"? Каждый человек рождается и тут же знает, как выглядят графики произведения элементарных функций?
Просто зайти в эксель да и проверить, думаю в школе учили рисовать графики функций. Если умнее то зайди на сайт вольфрам альфа, там интереснее. Эхх как помог мне этот вольфрам решать всякую дичь на матане
График функции можно построить с помощью преобразования элементарных функций. (в данном примере это затруднительно) Либо исследованием функции. Второй способ тут то и нужен, но там и теория пределов и 1 и 2 производная, вообщем вроде как не школьный уровень. Однако понять продвинутому школьнику алгоритм не особо сложно будет думаю
происходит поточечное умножение или сложение, "в зависимости от". Это бывает не так тривиально как в этом видео. Можно поиграться с этим на сайте desmos calculator, он по заданной функции строит график
@@Zagosya Смотри область значений sin(1/x) [-1;1], sin(1/x)+2 [1; 3] если эту функцию помножить на x^2 очевидно что область значений будет [x^2, 3x^2]
Нас в школе ругали за употребление термина минимум/максимум без эпитета локальный, если речь не идёт о глобальном минимуме, да да, в то время ЕГЭ ещё не было))
Нас кстати тоже ругали, а выпустилась я в 2015. Думаю, все таки от преподавателя зависит
Я за 20 лет после окончания школы не помню какие были термины
Так, значит, ну во-первых лайк. Во-вторых, "БВ как всегда прав" - тоже подошло бы как название этой рубрике
Начала у всех видео Бориса лучшее😅
Я конечно полностью поддерживаю, это ошибка полагать, что у функции, пусть даже непрерывно дифференцируемой локальный минимум "окружен монотонностью". Но посыл ведь правильный, скажем для С1 функции с изолированным локальным минимумом (например у производной просто конечное число нулей) или для аналитической (раскладывающейся в ряд) это уже и правда. Да и вообще, обычно, беря производную мы просто видим где она убывает, а где растет. Просто для всей строгости нужно все оговаривать!
Изолированная точка это такая что существует окрестность которая имеет пересечение с множеством равное этой точке?
@@altfq5237 Да, то есть если производная непрерывна и не принимает значение 0 ни в какой точке из (x0 - e, x0 + e) кроме х0, то ей остается иметь на интервалах (x0 - e, x0) и (x0, x0 + e) только постоянный знак.
Чудове відео!
Дядя Борис,Вы топ как и дикий математик вы оба топ.Прошу, дайте совет.Я хочу подготовиться к олимпиаде,хотя ни разу не участвовал. Дайте пожалуйста сове ,как начать готовиться,что для этого нужно,как вы научились решать Олимпиаду по математике.Прошу дайте совет!!!
Можно подготавливаться по книгам.Могу посоветовать если хотите.
@@altfq5237 Ну,давайте-с
@@thefrenkiking2266 В каком вы классе?
@@altfq5237 я 10 класс)
так это пример не гладкой функции - нарушается непрерывность производной в районе точки ноль. А Шарипов говорит про конкретно гладкую функцию. Так то вообще можно до любого докопаться
Но Шарифов говорил про любые функции, значит и про не "гладкие" функции
Еще бы в школе было строго определение "гладкой функции". Его и во "взрослой" математике нет. Ну, давайте подправим функцию: exp(-1/(x*x)) * (sin(1/x) + 2). Все хорошо, есть все производные, все непрерывны, а картинка такая же.
@@altfq5237 Неправда! см ссылку под видео Трушина. Шарипов сразу говорит о непрерывности производной.
@@MichailLLevin Производная этой функции также неопредилена в 0)
@@evgenypopov1707 Шарипов говорит чушь, даже в случае гладкой функции это не верно. x^4 * (sin(1/x)+2) - гладкая, можете построить ее график и график ее производной в desmos. Если эту функцию доопределить в 0 значением 0, то производная в 0 существует, равна 0 и непрерывна.
Что мне особенно нравиться у Бориса, всегда приятный голос, вежливый тон, улыбка и главное чувство уверенности в сказанном что передаётся слушателю! Спасибо за канал.
Спасибо!
Борис, последние 2 минуты видео надо развернуть в отдельный ролик. Назвать его "Необходимое и Достаточное условия". Тема не менее сложная для школьника чем производные.
Ну вообще нам в школе рассказывали про "точки интереса" - в которых производная ровна нулю или не определена...
Я хорошенько подумал над этим видео и вот к чему я пришел:
1) Функция примерно выглядить как синус на маленьких интервалах и приблизительно имеет максимум и минимум в точках соприкосновениях с x^2 e 3x^2 (чем ближе к 0, тем точнее), причем они как раз с характерным изгибом.
2) Предел функции g'(x) при x -> 0 неопределен и может бить от -1 до 1 (что равно предели от -cos(1/x)). Чтобы предел был равен 0, нужно приближаться к 0 через приблизительно через последовательность x = 1 / (pi n + pi / 2), то есть через те самые приблизительные минимумы и максимумы.
Из чего делается вывод что в точке x = 0 как раз должен быть изгиб подобен изгибам в остальних точках, так как это единсвенный способ достичь минимума в точке x = 0, иначе функция была бы между x^2 e 3x^2 и никогда не нулем, но при этом были бы точки рядом которые к нулю ближе. Я предполагаю, что функция в x = 0 должна быть похожа на |x| но только с "гладким" переходом в x = 0 и с бесконечним наклоном (практически вертикальная) в маленькой окрестности от 0, то есть она убывает и возрастает на бесконечно маленьком интервале. Другими словами, если функция колеблеться бесконечно раз вокруг точки x = a и имеет глобальний минимум в этой точке, то она должна переходить из убывающей к возрастающей на всех точках с локальным минимумом (так как она колеблиться) и наименьший локальный минимум как раз должен совпадать с глобальным минимумом и соотвественно иметь изгиб . Это сложно обьяснить, но думаю надеюсь что все понятно.
Красиво и по факту
Трушин рулит, это вам как репетитор говорю))
Вы оказывается топ
Я вообще считаю, что все каналы, готовящие только к ЕГЭ- это чистая профанация математики в целом. То есть тебя учат не математике, а как решать задачки из егэ. А зная сколько ненужного бреда дают в школе, Артур все правильно сделал, что дал только то что НУЖНО знать. Зачем давать человеку который просто хочет сдать экзамен столько ненужной информации? Он просто запутается и все. Если он потом захочет изучить это более подробно, он изучит
Годно!
Молодец
Если 0 это глобальный минимум и функция непрерывна, то каким-то образом слева от 0 функция должна спуститься до 0. Да она будет то возрастать то убывать, но по итогу постепенно спускаться. Буквально перед точкой 0 и до неё функция должна убывать чтобы достичь нуля и также должна после нуля возрастать чтобы покинуть минимум. Опровержение какое-то не опровергающее получилось, по итогу все равно перед локальным минимумом функция убывает, а после возрастает.
Нет, она может "колебаться" в любой сколь угодно малой окрестности нуля
@@trushinbv скоро все научпоп математики на Ютубе будут бояться этой функции с sin(1/x)
Ваше видео пригодилось студентам НМУ)
в НМУ изучают вещи по сложнее, помоему
Как раз недавно вспомнил необходимые и достаточные условия функции
Построил графики на компьютере - действительно захватывающее зрелище. Всем советую.
Отличный пример, спасибо!
Данная функция даёт бесконечное число локальных экстремумов. В точке 0 глобальный минимум, ниже этой точки, значений функций нет. Значит, по любому есть окресность этой точки в которых производные меняют знак. У этой функции не только локальные минимумы, но и максимумы. А вот говорить о том, что если у функции призводная равна 0 то она меняет знак нельзя. Просто ораторы бегут впереди паравоза.
Интересное видео для досуга)
Однозначно плюс. Очень круто. Меня всегда удивляло, почему в школе не показывают:
a^2 + b^2 = c^2 делим на c^2
(a^2/c^2 )+ (b^/c^2) =1 основное тригонометрическое тождество 🙃
А откуда оно по вашему взялось? )
Теорема Пифагора, ОТТ, длина вектора, уравнение окружности -- это один и тот же факт
@Борис Трушин 1, 2, 3, 4, 5, 6...
1, 2, 3, 4, 5...
1, 2, 3, 4...
2*2=4=3+1
3*3=9=5+3+1
🤔 извините, чуть чуть не ровно получилось. 😜
В школе, насколько я помню, не вводят понятие окрестности точки. Соответственно, нельзя ввести и правильное определение экстремума функции. Мне кажется, поэтому появляются такие заблуждения, как в этом видео. Достаточное условие выдают за необходимое. И, в принципе, на школьных функциях, оно выполняется всегда.
дело не в окрестности. дело в излишней фантазии учителя. теорема - если есть точка экстремума, то в ней производная равна нулю. А то, что "значит справа была меньше, а слева стала больше или наоборот" - это уже фантазия.
@@MichailLLevin Производная в экстремуме может быть не определена.
Но допустим, что у нашей функции производная определена везде. Все равно, мне непонятно, как тебе поможет эта теорема в задаче нахождения экстремумов? То, что в точке производная равна нулю, еще не значит, что там есть экстремум.
Замените слово окрестность фразой "интервал, содержащий точку" и будет совсем по-школьному
Ну я пока в школе был, никогда понятия окрестности не видел. Возможно я тогда не очень хорошо учился, но, скорее всего, оно(определение) было просто не надо.
Классное видео!
Замените на "интервал, содержащий точку" и будет совсе по-школьному )
Как раз сегодня хотел по больше узнать про экстремимум и тут видео. Хм...
Почему так много дизлайков?! Неужели фанаты Артура налетели...
86 дизлайков ... зашибись налёт
Скорее всего, кто смотрел это видео засыпали, но если рассказывал Саватеев, они по другому отнеслись.
Понятно?
ВОООБЩЕ НЕЕТ.
Топ заставка
Да это почти для меня интересная новинка- как говорять " будте осторожнв" вас могуть облашполить. Спасиба!!!
Борис, ну этому видео Артура лет 5, мы ж уже проходили, что старые видео не в счёт! :D
А вот это достойно!
О! Борис снова кого-то разбирает на функции/члены/определения )))
Чай и бутерброды готовы... Смотрим!!!
Разбирает на функции? Это как?
Занятная функция!
Надо быть честнее-кое в чём Шарифов прав.Существует 3 достаточных условия того, что какое-то значение функции является локальным минимумом или максимумом.Они есть в учебнике Садовничего по мат анализу(юрайт)
Ну, он явно не об этом говорит )
Ребята, ещё раз посмотрите формулировку достаточного условия локального экстремума для функции одной переменной (например, В.С. Шипачёв "Высшая математика", с. 142-143): пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой delta-окрестности точки x_0 (в самой точке x_0 может быть и не дифференцируемой). Тогда, если f'(x) > 0 (f'(x) < 0) для всех x из (x_0 - delta, x_0), а f'(x) < 0 (f'(x) > 0) для всех x из (x_0, x_0 + delta), то в точке x_0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум); если же f'(x) во всей delta-окрестности точки x_0 (x != x_0) имеет один и тот же знак, то в точке x_0 локального экстремума нет. При доказательстве используется теорема Лагранжа, где вылезает знак производной в точке из окрестности x_0. В нашем случае в любой окрестности нуля производная меняет свой знак => данное достаточное условие применять нельзя. Вот и всё.
А никто и не применял данное условие. Вполне возможно, что существуют и другие условия существования.
Шипачёв хороший учебник, но в аннотации автором написано, что книга для технарей-инженеров, физиков, но не для математиков
@@andreychandr9930 Это не означает, что теорема не верна :)
в интернете опять кто-то не прав 1-1+1..-1=1=0=1/2
не надо, это не относится к теме подобных роликов
И что
@@dopamine4411 что, что: не относится данная тема к теме серии таких видео
Погуглите "суммирование по Чезаре"
@@denish.5066 я не тебе это говорил...
Всё здорово, очень интересно) как я понял этот пример специально был придуман, чтоб проиллюстрировать неполноту использования определения локального минимума в учебных материалах.
А можно обратный случай привести хотя бы один? Когда предлагается учащимся разобрать функцию, которая вот так же не имеет убывающей и возрастрающей части по разные стороны от экстремума? Специльную функцию подобрать под своё видео это дело одно, а показать как это знание полезно - совсем другое
Нет просмотров. Да я в первом ряду
Очень редкий случай, да и то сомнительный. Тут функция делится на 3 части, средняя из которых имеет нулевую производную, маскируясь под локальный минимум. Я, вот, не уверен, что это законно.
Ля, я начал смотреть Вас на первом курсе, когда уже все это знаю и черт, жалко, что так поздно
UPD с середины видео: почти все это знаю
очень ценная и нужная всем информация! как тебя в вуз-то взяли?
Здравствуйте, Борис, если для вас не составит труда ответить на вопрос: при подстановке в ваше уравнение при 0 числа -0 получится отрицательная производная, а при подстановке +0 положительная, не является ли это доказательством обратного?(пс я не претендую на правду. Думаю, что я где-то ошибаюсь)
Тут фишка в том что интервал указать не получится. Получится типа при интервале стремящемся к нулю производная меняет знак.
Я бы не обвинял сильно Шарифова, ибо и у меня в шк учитель говорит именно так, как Шарифов
И других тоже
@@SuperAndryuxaМожно ли верить учителям?
@@altfq5237 верить - никому, доверять - много кому можно
При всём уважении, пример мне кажется каким-то неубедительным :)
g(x)= x^2(sin(1/x)+2) нельзя определить в точке x=0, поэтому просто обозначили эту точку равной нулю. А могли бы и другим числом? Скажем, g(0) = 1? Эта точка как какая-то дискретная затычка - конечно, там исследовать на экстремум как-то по-другому надо :)
UPD Посмотрел вторую часть, идея стала понятнее, но пример не стал убедительнее :)
О, Шарифов на картинке, врубаю)
Борис, более простой контрпример, понятный любому школьнику - это функция корень из х. У неё производная больше нуля для всех х>0, то есть нет смены знака производной с минуса на плюс при переходе через точку ноль, но, тем не менее, х=0 по определению это точка минимума. Можно построить и другие примеры
На практике для элементарных функций из школьной программы почти всегда точка минимума - это смена знака производной с - на +, поэтому с методических позиций, чтобы это отложилось в сознании школьника, на этом внимание и заостряют, но и говорить про исключения, уточнения и прочее, тоже, конечно надо. Ваш пример очень симпатичен
Корень из Х совершенно не подходит в качестве примера. Школьники прекрасно понимают, что экстремумы могут быть на границах функций и проверяют эти точки в первую очередь, а только потом берут производные.
x = 0 это не точка минимума, функция должна быть определена в некоторой окрестности этой точки, а это не так
@@altfq5237 почему она не определена? Эта функция определена и непрерывна
@@АртёмКрашенинникФункция корень x при x
@@altfq5237 это да, я думал речь про исходную функцию из видео.
Ох уж этот Интернет
Отсношал попсу)) Восхитительный ум! Смотреть одно удовольствие. "Шарифовы" для подростков, а Трушин для мужчин.
Функция не для школьников. Обычно f'(x0)=0. А около этой точки есть окрестность, где производная монотонная. А не проверив этот факт, как ещё выбрать точки для проверки знака.
А для этой функции не найти такого интервала. Если пытаться найти производную в 0 через формулу cos(1/x) так вообще получится, что она должна была отсутствовать. Как-то сложно представить непрерывность производной. Выходит что есть сколь угодно близкие точки к оси OY в диапазоне -1,1.
То есть значение производной в точке 0 есть, но вот предел функции с этим значением не совпадает. Предела нет.
А что по поводу предела слева/справа (так сказать знак производной в окрестности)?
Они разве не должны около нуля нам эти минус и плюс производной показать?
1. Локальный минимум- это (самый большой) минимум на определенном отрезке, а
1. Локальный минимум это значение функции в точке локального минимума.
Точка локального минимума - это такая внутренняя точка области определения, что существует эпсилон-окрестность этой точки что для всех x из этой окрестности(кроме самой точки) выполняется f(эта точка)≤f(x)
@@altfq5237 1. Самое меньшее значение этой функции в этой области/локации?
@@magbear3205 Да все правильно
@@altfq5237 👍
@@magbear3205 Только я знак перепутал(но уже исправил)
Я не помню точно, как у нас формулировали в школе, но, кажется, так и говорили, что это достаточное условие существования локального экстремума, а не необходимое. Интересно также узнать верно ли что локальный экстремум может (но не должен) быть найден только в точках разрыва функции, точках, в которых производная меняет знак или сама терпит разрыв. И ещё интересно узнать, как называется такой разрыв. Из курса матана я помню, что есть разрыв первого рода, когда слева и справа пределы конечные, но в самой точке функция не определена или не равна хотя бы одному из этих пределов. Есть разрыв второго рода, когда один из пределов в точке бесконечен, а как называется такой разрыв, как здесь: когда один из пределов не конечен, не бесконечен, а просто не существует?
А вообще, конечно, приятно наблюдать, как вы рвёте школьные шаблоны)
Оу да это уже серьёзные дела
Хороший пример на то, что условие разности знаков производной в полуокрестностях слева и справа от точки являются лишь ДОСТАТОЧНЫМ, но не необходимым условием существования локального экстремума.
Но школьникам-то зачем перегружать этим голову? Придут в вуз и там всё узнают.
Не очень понятно: если точка 0 является точкой минимума, значит соседние с ней точки имеют большее значение.
Сколько нужно брать соседних точек чтобы считать, что находящаяся между ними точка считалась локальным минимумом в определении минимума ведь не указано
После этого видео я понял, что математика - это способ сделать простое сложным. Уже по внешнему виду g(x) явно видно, что в x=0 локальный экстремум, т.к. g(0)=0 меньше чем любой g(x) при х не равном 0.
Денис Грунев к сожалению это необходимо, чтобы исключить неверное трактование. :( Математика должна быть строгой.
@@MyMrdmitry Для детей школьного возраста математика, прежде всего, должна быть понятной. Если бы меня в школе так загрузили, как в этом видео (половиной теории пределов, наверное), то я бы ни за что на отделение информатики не поступал (я сейчас преподаватель, если что:)) )
Денис Грунев
Так я же и говорю, что здесь очевиден минимум. Все остальное нужно, чтобы строго обосновать, что здесь нет «функция сначала убывает, а потом возрастает». Все это не нужно так подробно рассказывать всем школьникам, но как показывают комментарии учителей, даже они этого часто не понимают.
@@trushinbv Всем школьникам? Половина школьников не понимает, зачем вообще нужен синус с натуральным логарифмом,и вообще считает, будто ЕГЭ придумано для того, чтобы им испортить жизнь (я в колледже преподаю и вижу, что многие туда идут, потому что боятся даже базового ЕГЭ)
Денис Грунев
Я считаю, что лучше выбрать только некоторые темы и рассказать про них (пусть и нестрого) без вранья, чем пробежаться по верхам всех тем, и в каждой из них рассказать враньё. Какой в этом смысл.
Зачем про факт, который верен только в одну сторону, говорить, что он верен и в другую?
Ну естественно это не будет работать, если функция периодическая. А периодической она может быть если зависимость функции так или не иначе от тригонометрических параметров.
03:21 Ещё бы откопал как Артур пранкером был.
Да ну
@@altfq5237 не так давно между прочим ruclips.net/video/gtVmvnPL648/видео.html
Борис , расскажите про свёртку функций .
Что это?
@@altfq5237 , операция в мат.анализе ,применяемая к двум функциям , для получения из них третьей .
БВ, я верно понимаю, что основная проблема состоит в том, что люди путают определение и достаточное условие?
Да верно
Типа того
Что такое бв
@@the.artik.channel Борис Викторович
@@trushinbv Вот такой вот вопрос
дана функция y=27(x^3-X^2)/4-4
Найти точки экстремума и точки перегиба
Правильно ли говорить, что данная функция не определенна и таких точек не существует ???
Может надо было вначале показать множество {(-1)^n/n, где n - натуральное} и спросить знак у "у самой ближней" к нулю точки. Потому-что, похоже, много кому в комментариях выносит мозг бесконечная смена знака производной в окрестности нуля.
Vadim Grecheskiy
Почти про это был в предыдущем видео про асимптоту.
Им это не поможет.
Борис, покажите, пожалуйста, как выглядит этот фрагмент локального минимума наглядно на графике. А так он прикрыт "дёрганьем" и формулами.
Можешь нарисовать его в онлайн построителях графиков, типо geogebra
Ранний Шарифов время от времени лажал. Но со временем, он стал гораздо внимательнее относиться к тому что говорит. В последнее время в его видео мало к чему можно придраться.
Это потому, что он бросил записывать учебные видео )
@@trushinbv Не только поэтому. Я наблюдал за Шарифовым практически от самого его зарождения. Будучи достаточно въедливым человеком, я писал ему коммент каждый раз как видел что он в чем-то лажает. При этом я со временем отметил падение частоты моих комментов, оно почти свелось к нулю (без падения моего уровня въедливости). И это было еще в период когда он выпускал подобные видео.
Еще хочу отметить что Артур довольно честно говорит о том, что он не является экспертом в разбираемым вопросах. А на милион подписчиком он выпустил видео с разбором своих ошибок.
ruclips.net/video/NyPVAYy5UAo/видео.html