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很羡慕现在的年轻人，有这样好的老师，也有多种渠道获得教师教导的机会。
看了幾部老師的影片以後就覺得您講得精彩絕倫而我也聽得津津有味 支持您
阿基里斯确实追不上乌龟，因为每当1/2^n L 小于阿基里斯的步长时，乌龟会被阿基里斯向前踢飞，这样就需要继续追一段了
神评论
按照这个逻辑，活生生踢爆了呢
答錯，踢飛的那種瞬間就已經追到囉。之後每次踢飛都算追到一次。
不能這麼說的你追女神很曖昧快成了她有拉開距離，你再追快追到了她又拉開距離，這怎麼能算追到手了呢
@@CHNCAT 醒醒吧你跟女神不會有曖昧的
其实阿基里斯乌龟的悖论很好理解，换成白话那就是：在你赶超我之前，你将永远无法赶超我。换做数学来说就是：假设阿基里斯在6米处完全追上乌龟，那么可以肯定阿基里斯在0米处到无限接近6米处的距离里，阿基里斯将永远无法超越乌龟。
Totally fake when achilles or some thing chase that turtle it is suppose to get far after or away from the turtle
和我想的一模一样
zw w 再说得直白些，芝诺把无穷接近一个数值的情况等同于了无穷大。假设阿基里斯在t秒和s米追上乌龟，那么阿基里斯无法追上乌龟的情况只局限在t秒和s米以前，在t秒以前的无穷接近t秒的时间内，以及s米之前无穷接近s米的范围内，阿基里斯永远无法赶超乌龟。但是t秒以内和s米以内的无穷接近t秒和s米的这段时间和距离，只是表示比t和s小的时间和长度，但是这并不表示无穷接近t和s就等于无穷大。
这个永远也太短了吧，就像有句话说的，一瞬间就等于永恒。
M Terrance 作用域的问题
我：找了烏龜我：追上烏龜我：推翻數學第二危機
說的不錯，烏龜的問題在於沒數字化，如一顆樹第一年長一公尺，後面每年生長為前年的一半，直接數字化就不是問題，所以烏龜題目最大的問題在於代數是未知的，後面的無限小並不代表不存在，問題只在於能不能觀測的到，如果觀測不到，就算知道存在也只能當不存在。
還以為大主教也被扔進愛琴海XD
所以才有各種數學物理學界的動物出現
哈哈哈
大主教会游泳。。。
用箭射他脚后跟，第二次数学危机就解决了
你这评论差点没把我给笑死
把亚马逊ceo找来打他一顿
此时一位数学垫底的小白路过并看的津津有味.很喜欢老是的讲课风格.干净利落.不拖泥带水.赞赞赞
这是我写的最后一篇解释。感觉李咏乐老师这个视频没做好，好像把大家讲糊涂了。第二次数学危机爆发的原因如下：微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了“极限理论”加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
所以是不是0啊...
@@游水寒 当然不是零，从不能“约分”就说明一切.牛顿在第二步或最后当成零，是因为不需要再处理它了，所以可以当作零.如果还需处理，就不能当零.所以，牛顿用它研究经典物理足够，到量子学就不精确或复杂了.
天天都是我 ∞小可不可以理解为小于一切不等于零的实数
冯恩然 可以 無限小就是你想的到多小他就有多小但他不是個定值而已可以理解為在數線上最靠近0的點但不知道是多靠近
@@黃信維-t3c 是知道有多靠近的，求导就是求有多靠近.
天啊!! 這個在教微積分前就必須要說清楚!!當年我學微積分時就已經從邏輯上分不清自己學什麼最重要 最核心的 就是那個0,無窮小,跟無窮大的概念所以到最後我在工程學到的微積分 全都是死背更記的答考試題目...直到今天幸好工作上應用不了..
好久没听人给delta叫“der塔”了😂 好像回到了初中...
媽咪叔矚目
二者发音有何区别？
@@johnsnow5250 delta讀音是 雕塔
屌他
der他~不是der塔
若學生時期遇到李老師，我想我會更喜歡數學物理吧
哈哈，现在也可以的，加油
同感
我觉得多半还是因为学生时期不好好思考，没有能够好好提问题。当然，我不知道你们老师什么水平，可能我比较幸运，我所遇到的老师们都有解答各种奇妙问题的意愿和热情，从小学到大学，虽然可能单个拎出来没有李老师博学，但是各自在各自的领域，真的是能够完美解答各种问题，第一目标绝对是让你理解，或者指出你提的问题在哪里有问题。
我國中時期曾把空白考卷揉成一球，往老師臉上丟，老師賞我一巴掌後哭的不成人(女老師)，這個時期，老師的教學就是『這個這個跟這個要背，考試不會，一分一下』，所以我是常常被打的那個。順帶一提，英文也是類似情況。高中時候則是數學課堂上睡覺，老師把我搖醒我還把他手打掉，或是把口香糖往黑板上扔，以及公然以巡視外掃區域帶一大票同學蹺課，這個時期，老師的教學就是不停的講他以前台中一中是多好多好的學校，分數是多高多高，他是台中一中畢業的，所以他是腦袋多好多好等等的，實際上講課大概只有20~30幾分鐘吧(一堂50分鐘)。但現在，我在看了視頻後，會想找資料了解測不準定律，白努力定律，普朗克定律，等等其他數學方程式，以及可以使用英語跟西班牙語與人交談，我想，老師很重要，他揹負了啟蒙的任務，挑起學生想要了解的興趣，而不是填鴨式這個那個都要背，這題那題都會考，如果我唸書時，老師都像李教授這樣，全班同學應該都會喜歡上課吧.......
對了，我個人認為無窮小一定不會等於零，會很接近零但不會等於零，例:0. 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001很接近零，但還不是零，因為還是比零再多一點點
关于科学史中，数学问题的演变过程，常常是被忽视的。谢谢你的分享，永乐兄。
好像沒有量子數學
核心就是一句话：把一个有限的数分成无穷份，再组合起来，并不会使得数变成无穷大。
我個人的見解，有關於delta x ，當然不是0，因為任何一個曲線，只要放大無窮多倍之後，就十分接近一條直線，既然是直線，當然可以取任兩點，用[delta y]/[delta x]=斜率，來求其導數。有關放大無限多倍，要以計算的精度來解即可。因為數學的存在，主要目的在求物理現象的解答。如幣值面額假如只到角，那麼最後的金額算到釐或毫，就沒有意義了。所以無限大，或無限小，則依實際需要來定，如計算的數值在100之內，那麼10000就算很大了。反之數值若在1/100以內，那麼1/10000 就算很小了。這是我個人的見解，不代表正解。
没有水印，真实频道
如果明白微分的是时间就好理解了，无限逼近那个超越的时间点，但没有越过那个时间点，然而只有在越过那个时间点才能完成超越，所以，在无限逼近那个时间点之前是永远无法超越的。
積分的進度已經過半，現在聽李老師講數學史，心花怒放🥰
李老师的讲解关键是有来龙去脉，且简洁明了！有别于之前的旁征博引，谈笑风生，这一套视频自成一格，更趋于严谨严肃，非常适合作为科普材料细品。不多说，举手了哈！请李老师来讲一下欧拉公式 e^(π*i)+1=0 这个神奇的公式吧！它提出的前提是啥？这些如此基础的数字能够符合如此简单的关系呢？如何理解这个式子？
ruclips.net/video/N9nME0AuZy4/видео.html
歐拉公式
你要先會泰勒展開式
我學危機分的時後就是糾結在這最後我妥協了因為分數重要
乌龟真皮
這速度我看烏龜爸媽其中一個也是神
逗逼就服你，哈哈哈！
沒辦法，烏龜就是鐵頭娃
我打個比方L=101/2L=51/4L=2.5以此類推最後會得到一個結論，如果他們跑到20(2L)時他便超過烏龜了！
我去跟我朋友說他絕對追不上我，幾秒鐘後，他跑到我旁邊拍了我的肩膀，說追到了
实际运用和理论概念完美之间妥协一下就解决的问题！
老师肩头的粉笔灰。想起了初中时我的数学老师。
哈啊哈哈，老师开始包装了。不错不错。这样帅多了。
公比0
支持李老师
老师25岁的时候讲过之诺悖论，讲得很有意思，印象中还写过关于这个问题的论文。
順便給老師一個建議 影片最後也可以提及YT的頻道 估計從YT看你的觀眾也不少!!!
a1213234 主要是大陆国内不好明说
有和无可是大是大非，完全不同的两个概念了。再怎么无穷小毕竟也是小，再小也是有。所以哲学很重要。
聆聽李永樂老師講數學微積分的發展史問：人們真的無法跑贏烏龜？答：是的，假如他們把一丁點固定成無窮大。----------------------------------------------------------------關於微分和積分的思緒紛飛（作者：一心）微分學的最初研究起源來自於求瞬時速度，即微小時間（遠遠小於一秒鍾）內所行走的路程轉換成單位時間的路程 --- 這就是速度的概念。當時間足夠小，抽象成某一個點，在這一點上行走的速度就是瞬時速度。微分學研究的繼續發展就成為研究物體運動變化和變化率的學問 --- 即導數的概念的引入。簡單言之，路程S與時間T的一階導數就是 （ΔS／ΔT）的極限值（Δ ：表示变化量），即表示瞬時速度V；而路程S與時間T的二階導數 （即：瞬時速度的一階導數（ΔV／ΔT）的極限值，就是研究瞬時速度變化率，即物體運動的加速度。所以高階導數是對前面不同階段的函數的變化率的進一步研究（求導）。積分學的最初起源來自於求曲線下（內）所包圍的面積。比如，由直線所包圍的正方形，長方形，梯形，均可用定量數值進行運算而得出結果。而曲線每一點的數值都是變化的，其下面圍成的每一小塊區域的面積也是變化的，所以不能采用固定的數值計算其總面積，而必須將所包圍的面積分成許多小的面積，然後分段計算每一個小面積，再求出它們的總和，所以，積分學是求和的運算過程。微分與積分是互為逆運算的關系，其實也容易理解，因為路程變化率的研究（即微分）就是瞬時速度，而由瞬時速度所行走過的每一小段路程的和（即積分）就是一段時間內的路程。但是各種不同函數運算的等值數量關系，則由偉大的，天才數學家牛頓和萊布尼茲分別同時發明。有人對微積分公式的推導過程有幾種疑慮：比方說，為什麼表示自變量x的無窮小量Δx在進行運算時，有些時候被看成無窮小量，使得和它相乘的某一個量的乘積可以忽略不計（注意：無窮小量Δx始終不是零）？其實這是一種規定，無法證實為什麼，猶如涉及到無限不循環小數的相關數量運算時，必須選定小數點後面的位數及選擇四舍五入的方法，運算才能得以進行和完成。又比方說，有些時候無窮小量Δx不可以忽略不計，而有時卻不能忽略不計？比如無窮小量Δx在分母的位置，而處於分子位置的因变量變化量Δy卻只能視為不定值，如果Δy與Δx有相同的變化率，則Δy／Δx的值一個常數；如果Δy的變化率比Δx的變化率大之又大（非常大），則Δy／Δx是無窮大；如果Δy的變化比Δx小之又小（非常小），則Δy／Δx是無窮小。我們知道，自變量x的無窮小量Δx不能等於零，而因变量變化量Δy可以為零（即當自變量x發生變化時，因變量y不發生變化），則 Δy／Δx 的值等於 ０。所以，Δy／Δx 的極限值，可以是常數（包括0），也可以是無窮大或無窮小。微積分學的發展，是無數的數學愛好者們，自阿基米徳以來，孜孜不倦地探求物質世界的變化規律而進行的的定性定量的分析與綜合交替的研究過程；是數學家們經過千年之久的徘徊後的一次突飛猛進的發明發現；是人類探索變化的事物及其變化規律的思想成果與智慧結晶。在微積分的應用的過程中，又經曆了眾多數學家們數百年的嚴密化證明的完善過程，微積分的數學基礎才得以堅固，第二次數學危機也得以化解。
這個實驗，只說明了阿基里斯是三秒男，速度的持續性隨著烏龜降低。所以這道題本身就存在著陷阱，算式的建立也存在問題。應該設定為烏龜的速度為T，阿基里斯的速度為2T，既然是比速度就應該以速度做為主軸，而不是以距離長度做為主軸。這不是悖論而是抬槓了。應該是烏龜跟阿基里斯說，你跑的比我快，我們來比個賽，但我是弱的一方，所以可以制定規則，我要求你按照我前進的距離佔比來追我。而阿基里斯同意了。這樣子才有辦法成立這個算式
❤
一个大主教居然喜欢研究数学，而且还能提出这么了不起 的问题，想想今天坐在高位的人都在干什么？真想知道贝克莱是个什么样的人
在数学上的思维来讲，追上乌龟需要无限次迭代，但无限次迭代在数学上可以，但在物理上是不可能的，所以总感觉在某一点上（普朗克长度？），空间其实是离散的，在微观尺度必须要有一个跃变的过程物质才能运动。
Bill Fu 時空是收斂的
Bill Fu 你主張空間是離散的，且有最小尺度（普朗克長度），真的很有趣~
没错
肯定成立的是测不准，细分到一定程度，不可能同时确定动量和位置，也就不能在细分了。
Da Rong Yu 离散或收敛的概念估计也是有作用域这么一说的，就像我们做视频剪辑，观众的眼中画面是连续的，剪辑师眼中画面的一张张间断的。或许物质运动其实是观察者的错觉，而在宇宙更高的位置看上去，时空还真就是离散的。这一瞬间的狗，和下一瞬间的狗根本就是两条不同的狗，每一瞬间都是一张三维的时空切片。
必要时可不为零，无需精确为零带过。按你需要的精确度取你需要的数
要是我中學就有李老師教導 我一定會對數理更有興趣 ~~
喜欢上老师的视频了，不过我是从你之前的段子视频认识老师滴
哈哈，谢谢哈
非常精彩
因為時間也愈分愈小, 最後時間都小到0了, 時間停止不動了, 那當然超不過..
你這回答最讓我看得懂這個題目...
操 学了这么多年这是第一次 终于特别明白了到底什么是导数
導函數說明白了就是函數的斜率
这是你老师的问题吧 youtube上很多国外的博主都讲得很好很清楚 比如3blue1brown professor Leonard等
维基百科之类，只会说得更复杂
那也忒笨了点
你也是真可以
中国跑的最快的是：香港记者。
哈哈，说明够敬业
蛤丝
李永乐老师 老师你还是RUclips逛的少，这是一个梗，是江总说香港记者的
本月槍斃名單了解一下
李老师知道too young too simple 这个梗吗。。。不知道就算了，知道的多了还不能说，只能演哑剧，很难受。
我想看李老师介绍地球磁场的反转，并且说明为啥磁场反转会对人类以及生命造成巨大影响
用x和y去想可能會沒完沒了，不過如果用時間t去當主軸的話，阿基里斯很快就追過烏龜了。
1.無窮指的是一種趨勢 數學上稱之為極限 無窮大 負無窮大 無窮小 都不是指一個數 是指這個數列的變化趨勢 所以無窮小不是實數零 雖然零符合無窮小的定義就好像物理上加速度a指的是速度變化趨勢 所以加速度不是速度一樣2.導數就是數的變化趨勢 當遇到分子分母的極限都趨近於零的時候 可以用羅比達定理 同時對分子分母求導 求導完依然分子分母極限都趨近於零的話 那就繼續對分子分母求導 依此類推ruclips.net/video/J9Jx5IWFI9w/видео.html
常瑞鈞 陈独秀，你坐下
極限值是一個數❤
我是这么理解的：如果需要取一个值，无穷小就是0。不取值，就是个无穷数，自己慢慢算去吧--这其实已经是个哲学问题了，解决方法就是分开跳过了。
讓我想了起一首詩，是這樣寫的...阿基里斯拼命跑就怕名譽地上掃追龜不過好煩惱死要面子從古早 ~節錄自 "岸和田博士-科學的愛情"
李老师 你原来的视频蓬头垢面的 但是说话很自然啊 现在收拾的干干净净 可一脸严肃 不如最开始的视频好
现在生活有压力啊，笑不出来
压力可能来自老婆。须知女人不是数学家或物理学家能够搞定的。
这堂课我们中学高数有上 但不怎么仔细 很棒！
在我還沒超過別人的車之前我就是追不上別人的車
老師有沒有看"咒術迴戰"? 😄
阿基里斯只要超过乌龟不就行了么？为什么一定要在后方追逐呢？阿基里斯的速度优势没转变成距离优势啊。。
仔细想一想，根据量子物理学，距离或说长度单位，也很可能是有最小值的（普朗克长度），之后就不可再分。大家想象中可以用屏幕的像素作对比：屏幕上两个像素点代表阿基里斯和乌龟。当阿基里斯非常接近乌龟的时候，就变成两个相邻像素的距离了（普朗克长度），之后距离如果继续接近，就只能是两者在同一个像素，也就是追上了。
终于看到有共鸣的观点
唉，这个问题其实很简单，人能不能追上乌龟，数学上是求证一个关于距离的不等式，人跑的距离是否大于乌龟跑的距离加初始距离。距离是速度在时间上的积分，如果人的速度大于乌龟的速度，那么在足够长的时间上积分，一定能满足这个不等式。在这个悖论中，时间的积分区间被距离代替，导致时间的积分是有限的，而这个有限区间无穷接近于人追上乌龟的时间。第二个问题，无穷小是否为0，这个问题本身就是错误的，因为在一个微分方程中，一个无穷小是不会单独存在的，一定是或等价是两个无穷小的除法。单独讨论一个无穷小是否等于0是没有意义的。
比喻我看見一個人常常在笑，就向朋友說他是個快樂的人，而我其實根本不知道知道這人因何常常在笑的。
老師。不好意思。能方便做一集有關於代數的視頻(像是酉群，阿貝爾群...
前幾天看了科學史的書，再回頭看一次這個視頻，就明白這個數學危機的本質是什麼，相比第一次看沒啥概念其實
其实我以前也遇到类似这种问题，在班级里跟同学讨论了很久，0.9无限9等不等于1.
AJEX DUDU 无限就等于1
0.9循环 = 0.3循环x3 = 1/3 x 3 = 1， 不要讨论，直接证明
确实数学课没讲这么生动，老师也不会讲这么生动，我们要高考，背公式就行了。。。我都忘了导数怎么来的了，也完全不知道导数有什么意义，但是让我粗略回忆一下，还是能做题。。。应试教育还是有很多问题，我们失去了学习的意义，也失去了学习的兴趣。。。
李老师有没有系统的中学数学，物理的课程？
這是收斂函數 最後時間永不得大於某值
如何畫出數線上1的位置？就算畫到夸克的大小，依然會有誤差，所以數學本身就是抽象的，抽象的事物不能拿來跟物理做比較
老師能拍影片解釋 潛無限與實無限 的差別嗎？謝謝老師
我完全听不懂，但是我还是听完了，这就是一个老师的魅力吧。:-)
人和妖发生爱情会变成人妖
好怀念。本科高数第一课就是阿基里斯追乌龟~~
哈哈
支持。
具体事情具体分析，有时候我们用不到无穷小，我们看具体问题的时候看我们需要精确的到小数点后面多少位就可以了
为什么是悖论，那是因为在这个问题里时间和空间缺乏连续性，所以将连续性加进这个问题的世界观里，这个问题也就得到解决了
一個好問題-比1趨近於0的數直接等於0套用在一些公式上會出現什麼問題
出现了一些牛顿，莱布尼茨这样的狠人。好可怕啊
李老师也是猛人！~
自閉症課程有問題
In English we called limit approach zero not equal to zero. Singularity can exist inside of intergration.
Yeah
可以讲一讲确界定理的证明吗？大学时老师讲的没听懂，我想再听一下
从阿基里斯与乌龟赛跑引申到 lim的基础和后来数学家的运用lim 找出来了函数的斜率 成功的敲开了微积分的大门
过去心不可得，现在心不可得，未来心不可得
乌龟需要时间抬脚的.距离够不够它抬脚出去一步都难说
问题在于这个“永远追不上”里的“永远”说的并不是阿基里斯和乌龟的时间，说的是切片以后用来观察的时间，因为可以无限切片，所以永远无法观察到追上的那一刻。这个问题的本质是个偷换概念的诡辩，但客观上可以用更新的数学理论来解决。
这是我看过所有解释里面，讲的最透彻的！
这要涉及到量子力学了。能量不是连续的，不能无线分割。有一个最小的量。
現實來說語文破了這題1能不能追的到烏龜答案是可以追的到的定義就是那個人事物跑一定距離後另一個人事物才出發距離有縮短就叫追的上。2能不能超過烏龜答案也是可以的。一個每小時跑1公尺與每小時跑100公尺就算距離有9公里之遠也會追上的。3人能跑到烏龜的終點嗎,要看情況，烏龜很長壽人的一生滿短的。如果拿還有300多年的烏龜來測當然是不可能但拿還剩3年可活那就有可能
老师,这个问题困扰我很久. 芝诺悖论到底能不能导出空间和时间是不可以无限细分的?我还思考了数学模型和实际的差别这个问题,什么是模型,什么是实际. 这个看起来是永远追不上,但其实时间在他的分析中是有上界的.
芝诺悖论不能导出空间和时间是不可以无限细分的。
老师可以讲一讲e的由来和作用么？
1个人的战争挑战理工男 挑战科学家群体
老師你好 我有一個問題想請教人們常說點線面體 也就是點構成線 線構成面 面構成體 但是呢 點並沒有長度 那點的累加為什麼會變成有長度的線呢 而線只有長度而沒有寬度 那又如何構成有寬度的面呢？所以想請李老師解釋解釋
阿基里斯悖论其实在告诉我们时间与空间这二者中至少有一项不是连续的，存在一个最小单元。无穷小的概念只是避开了这个基本问题，玩了一个文字游戏。我设这个世界是不连续的，这个最小单元叫x，但我又不说它具体有多小，它可以任意小。看似避开了回答宇宙真相的问题，其实已经向不连续论投降了。
ougen 我们假设这个世界是连续的，那么阿基里斯追赶乌龟的每一个时刻都确实存在。如果你想仔细观察他倒底是怎么样追上乌龟的，根据阿基里斯悖论，你永远都观察不到。但你不可能观察不到一个活生生的、近在咫尺的宏观现实，所以结论只能是世界是不连续的。
0:50 也有可能不是爱情哦~
得儿塔。。。。小时候英语被数学老师们耽误了不少
補充一下3:46 的SA跟TA應該是2L-1*2L/2^n跟2T-1*2T/2^n才對喔
或者是2^n-1
人的步伐無法切分為無限小
所以芝诺的问题在他把阿基里斯未追上乌龟的这段路程无限分割了，比如假设现实中阿基里斯需要10分钟追上乌龟，但芝诺把第10分钟前走的路程无限分割，相当于每段的时间取的越来越小，9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 +0.0009 ...... 永远到不了第10分钟，所以也就永远到不了追上乌龟的时刻。是这样的么？
我想反思一下这个问题，若由2一3距离，甲方用X走完，乙方用Y時間走完，那么用X除Y，就等如甲追乙速度之数，Z！那么由1一2除Z，我们得到一个時間数据T，丅XY就等如2一3的距离，D，D再除X，又得一個新時間丅2⃣️，不断下去，是否就證明甲可以追越乙呢？
本人小學畢業生，士可殺不可辱，筆下留情！
柯西怎么严格证明的无穷小？后续希望补充！！！
吃泡麵，配李老師視頻。
一开始的那个例子放到实际当中就不成立啊，人永远追不上乌龟？怎么可能，还有第二次数学危机最后怎么解决的啊
之前微積分教授在教極限與無限大時，我問了一個問題:有沒有無限小?他就直接說無限小就是0...
神和人的孩子就是英雄，很经典
卧槽！看完这个视频我迷茫了！真的追不上乌龟！？为什么？！为什么？！为什么？！崩溃了！
理论上是跑不过的，以为在前着跑到乌龟位置的时候，乌龟总是跑了一段距离，所以前着总是在追赶那一段距离而达不到
建议换成触摸屏手写面板
这本来是哲学探讨 移动 是不是 连续性的吧？如果是连续性的话就出现永远追不上乌龟的矛盾了。
很羡慕现在的年轻人，有这样好的老师，也有多种渠道获得教师教导的机会。
看了幾部老師的影片以後就覺得您講得精彩絕倫而我也聽得津津有味 支持您
阿基里斯确实追不上乌龟，因为每当1/2^n L 小于阿基里斯的步长时，乌龟会被阿基里斯向前踢飞，这样就需要继续追一段了
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按照这个逻辑，活生生踢爆了呢
答錯，踢飛的那種瞬間就已經追到囉。之後每次踢飛都算追到一次。
不能這麼說的你追女神很曖昧快成了她有拉開距離，你再追快追到了她又拉開距離，這怎麼能算追到手了呢
@@CHNCAT 醒醒吧你跟女神不會有曖昧的
其实阿基里斯乌龟的悖论很好理解，换成白话那就是：在你赶超我之前，你将永远无法赶超我。换做数学来说就是：假设阿基里斯在6米处完全追上乌龟，那么可以肯定阿基里斯在0米处到无限接近6米处的距离里，阿基里斯将永远无法超越乌龟。
Totally fake when achilles or some thing chase that turtle it is suppose to get far after or away from the turtle
和我想的一模一样
zw w 再说得直白些，芝诺把无穷接近一个数值的情况等同于了无穷大。假设阿基里斯在t秒和s米追上乌龟，那么阿基里斯无法追上乌龟的情况只局限在t秒和s米以前，在t秒以前的无穷接近t秒的时间内，以及s米之前无穷接近s米的范围内，阿基里斯永远无法赶超乌龟。但是t秒以内和s米以内的无穷接近t秒和s米的这段时间和距离，只是表示比t和s小的时间和长度，但是这并不表示无穷接近t和s就等于无穷大。
这个永远也太短了吧，就像有句话说的，一瞬间就等于永恒。
M Terrance 作用域的问题
我：找了烏龜
我：追上烏龜
我：推翻數學第二危機
說的不錯，烏龜的問題在於沒數字化，如一顆樹第一年長一公尺，後面每年生長為前年的一半，直接數字化就不是問題，所以烏龜題目最大的問題在於代數是未知的，後面的無限小並不代表不存在，問題只在於能不能觀測的到，如果觀測不到，就算知道存在也只能當不存在。
還以為大主教也被扔進愛琴海XD
所以才有各種數學物理學界的動物出現
哈哈哈
大主教会游泳。。。
用箭射他脚后跟，第二次数学危机就解决了
你这评论差点没把我给笑死
把亚马逊ceo找来打他一顿
此时一位数学垫底的小白路过并看的津津有味.很喜欢老是的讲课风格.干净利落.不拖泥带水.赞赞赞
这是我写的最后一篇解释。感觉李咏乐老师这个视频没做好，好像把大家讲糊涂了。
第二次数学危机爆发的原因如下：
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了“极限理论”加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
所以是不是0啊...
@@游水寒 当然不是零，从不能“约分”就说明一切.
牛顿在第二步或最后当成零，是因为不需要再处理它了，所以可以当作零.
如果还需处理，就不能当零.
所以，牛顿用它研究经典物理足够，到量子学就不精确或复杂了.
天天都是我 ∞小可不可以理解为小于一切不等于零的实数
冯恩然 可以 無限小就是你想的到多小他就有多小
但他不是個定值而已
可以理解為在數線上最靠近0的點
但不知道是多靠近
@@黃信維-t3c 是知道有多靠近的，求导就是求有多靠近.
天啊!! 這個在教微積分前就必須要說清楚!!
當年我學微積分時就已經從邏輯上分不清自己學什麼
最重要 最核心的 就是那個0,無窮小,跟無窮大的概念
所以到最後我在工程學到的微積分 全都是死背更記的答考試題目...
直到今天幸好工作上應用不了..
好久没听人给delta叫“der塔”了😂 好像回到了初中...
媽咪叔矚目
二者发音有何区别？
@@johnsnow5250 delta讀音是 雕塔
屌他
der他~不是der塔
若學生時期遇到李老師，我想我會更喜歡數學物理吧
哈哈，现在也可以的，加油
同感
我觉得多半还是因为学生时期不好好思考，没有能够好好提问题。当然，我不知道你们老师什么水平，可能我比较幸运，我所遇到的老师们都有解答各种奇妙问题的意愿和热情，从小学到大学，虽然可能单个拎出来没有李老师博学，但是各自在各自的领域，真的是能够完美解答各种问题，第一目标绝对是让你理解，或者指出你提的问题在哪里有问题。
我國中時期曾把空白考卷揉成一球，往老師臉上丟，老師賞我一巴掌後哭的不成人(女老師)，這個時期，老師的教學就是『這個這個跟這個要背，考試不會，一分一下』，所以我是常常被打的那個。
順帶一提，英文也是類似情況。
高中時候則是數學課堂上睡覺，老師把我搖醒我還把他手打掉，或是把口香糖往黑板上扔，以及公然以巡視外掃區域帶一大票同學蹺課，這個時期，老師的教學就是不停的講他以前台中一中是多好多好的學校，分數是多高多高，他是台中一中畢業的，所以他是腦袋多好多好等等的，實際上講課大概只有20~30幾分鐘吧(一堂50分鐘)。
但現在，我在看了視頻後，會想找資料了解測不準定律，白努力定律，普朗克定律，等等其他數學方程式，以及可以使用英語跟西班牙語與人交談，我想，老師很重要，他揹負了啟蒙的任務，挑起學生想要了解的興趣，而不是填鴨式這個那個都要背，這題那題都會考，如果我唸書時，老師都像李教授這樣，全班同學應該都會喜歡上課吧.......
對了，我個人認為無窮小一定不會等於零，會很接近零但不會等於零，例:
0. 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
很接近零，但還不是零，因為還是比零再多一點點
关于科学史中，数学问题的演变过程，常常是被忽视的。谢谢你的分享，永乐兄。
好像沒有量子數學
核心就是一句话：把一个有限的数分成无穷份，再组合起来，并不会使得数变成无穷大。
我個人的見解，有關於delta x ，當然不是0，因為任何一個曲線，只要放大無窮多倍之後，就十分接近一條直線，既然是直線，當然可以取任兩點，用[delta y]/[delta x]=斜率，來求其導數。
有關放大無限多倍，要以計算的精度來解即可。因為數學的存在，主要目的在求物理現象的解答。如幣值面額假如只到角，那麼最後的金額算到釐或毫，就沒有意義了。
所以無限大，或無限小，則依實際需要來定，如計算的數值在100之內，那麼10000就算很大了。反之數值若在1/100以內，那麼1/10000 就算很小了。這是我個人的見解，不代表正解。
没有水印，真实频道
如果明白微分的是时间就好理解了，无限逼近那个超越的时间点，但没有越过那个时间点，然而只有在越过那个时间点才能完成超越，所以，在无限逼近那个时间点之前是永远无法超越的。
積分的進度已經過半，現在聽李老師講數學史，心花怒放🥰
李老师的讲解关键是有来龙去脉，且简洁明了！有别于之前的旁征博引，谈笑风生，这一套视频自成一格，更趋于严谨严肃，非常适合作为科普材料细品。不多说，举手了哈！请李老师来讲一下欧拉公式 e^(π*i)+1=0 这个神奇的公式吧！它提出的前提是啥？这些如此基础的数字能够符合如此简单的关系呢？如何理解这个式子？
ruclips.net/video/N9nME0AuZy4/видео.html
歐拉公式
你要先會泰勒展開式
我學危機分的時後就是糾結在這最後我妥協了因為分數重要
乌龟真皮
這速度我看烏龜爸媽其中一個也是神
逗逼就服你，哈哈哈！
沒辦法，烏龜就是鐵頭娃
我打個比方L=10
1/2L=5
1/4L=2.5
以此類推
最後會得到一個結論，如果他們跑到20(2L)時他便超過烏龜了！
我去跟我朋友說他絕對追不上我，幾秒鐘後，他跑到我旁邊拍了我的肩膀，說追到了
实际运用和理论概念完美之间妥协一下就解决的问题！
老师肩头的粉笔灰。想起了初中时我的数学老师。
哈啊哈哈，老师开始包装了。不错不错。这样帅多了。
公比0
支持李老师
老师25岁的时候讲过之诺悖论，讲得很有意思，印象中还写过关于这个问题的论文。
順便給老師一個建議 影片最後也可以提及YT的頻道 估計從YT看你的觀眾也不少!!!
a1213234 主要是大陆国内不好明说
有和无可是大是大非，完全不同的两个概念了。再怎么无穷小毕竟也是小，再小也是有。所以哲学很重要。
聆聽李永樂老師講數學微積分的發展史
問：人們真的無法跑贏烏龜？
答：是的，假如他們把一丁點固定成無窮大。
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關於微分和積分的思緒紛飛（作者：一心）
微分學的最初研究起源來自於求瞬時速度，即微小時間（遠遠小於一秒鍾）內所行走的路程轉換成單位時間的路程 --- 這就是速度的概念。當時間足夠小，抽象成某一個點，在這一點上行走的速度就是瞬時速度。微分學研究的繼續發展就成為研究物體運動變化和變化率的學問 --- 即導數的概念的引入。簡單言之，路程S與時間T的一階導數就是 （ΔS／ΔT）的極限值（Δ ：表示变化量），即表示瞬時速度V；而路程S與時間T的二階導數 （即：瞬時速度的一階導數（ΔV／ΔT）的極限值，就是研究瞬時速度變化率，即物體運動的加速度。所以高階導數是對前面不同階段的函數的變化率的進一步研究（求導）。
積分學的最初起源來自於求曲線下（內）所包圍的面積。比如，由直線所包圍的正方形，長方形，梯形，均可用定量數值進行運算而得出結果。而曲線每一點的數值都是變化的，其下面圍成的每一小塊區域的面積也是變化的，所以不能采用固定的數值計算其總面積，而必須將所包圍的面積分成許多小的面積，然後分段計算每一個小面積，再求出它們的總和，所以，積分學是求和的運算過程。
微分與積分是互為逆運算的關系，其實也容易理解，因為路程變化率的研究（即微分）就是瞬時速度，而由瞬時速度所行走過的每一小段路程的和（即積分）就是一段時間內的路程。但是各種不同函數運算的等值數量關系，則由偉大的，天才數學家牛頓和萊布尼茲分別同時發明。
有人對微積分公式的推導過程有幾種疑慮：
比方說，為什麼表示自變量x的無窮小量Δx在進行運算時，有些時候被看成無窮小量，使得和它相乘的某一個量的乘積可以忽略不計（注意：無窮小量Δx始終不是零）？其實這是一種規定，無法證實為什麼，猶如涉及到無限不循環小數的相關數量運算時，必須選定小數點後面的位數及選擇四舍五入的方法，運算才能得以進行和完成。
又比方說，有些時候無窮小量Δx不可以忽略不計，而有時卻不能忽略不計？比如無窮小量Δx在分母的位置，而處於分子位置的因变量變化量Δy卻只能視為不定值，如果Δy與Δx有相同的變化率，則Δy／Δx的值一個常數；如果Δy的變化率比Δx的變化率大之又大（非常大），則Δy／Δx是無窮大；如果Δy的變化比Δx小之又小（非常小），則Δy／Δx是無窮小。我們知道，自變量x的無窮小量Δx不能等於零，而因变量變化量Δy可以為零（即當自變量x發生變化時，因變量y不發生變化），則 Δy／Δx 的值等於 ０。
所以，Δy／Δx 的極限值，可以是常數（包括0），也可以是無窮大或無窮小。
微積分學的發展，是無數的數學愛好者們，自阿基米徳以來，孜孜不倦地探求物質世界的變化規律而進行的的定性定量的分析與綜合交替的研究過程；是數學家們經過千年之久的徘徊後的一次突飛猛進的發明發現；是人類探索變化的事物及其變化規律的思想成果與智慧結晶。在微積分的應用的過程中，又經曆了眾多數學家們數百年的嚴密化證明的完善過程，微積分的數學基礎才得以堅固，第二次數學危機也得以化解。
這個實驗，只說明了阿基里斯是三秒男，速度的持續性隨著烏龜降低。所以這道題本身就存在著陷阱，算式的建立也存在問題。應該設定為烏龜的速度為T，阿基里斯的速度為2T，既然是比速度就應該以速度做為主軸，而不是以距離長度做為主軸。這不是悖論而是抬槓了。
應該是烏龜跟阿基里斯說，你跑的比我快，我們來比個賽，但我是弱的一方，所以可以制定規則，我要求你按照我前進的距離佔比來追我。而阿基里斯同意了。
這樣子才有辦法成立這個算式
❤
一个大主教居然喜欢研究数学，而且还能提出这么了不起 的问题，想想今天坐在高位的人都在干什么？真想知道贝克莱是个什么样的人
在数学上的思维来讲，追上乌龟需要无限次迭代，但无限次迭代在数学上可以，但在物理上是不可能的，所以总感觉在某一点上（普朗克长度？），空间其实是离散的，在微观尺度必须要有一个跃变的过程物质才能运动。
Bill Fu 時空是收斂的
Bill Fu 你主張空間是離散的，且有最小尺度（普朗克長度），真的很有趣~
没错
肯定成立的是测不准，细分到一定程度，不可能同时确定动量和位置，也就不能在细分了。
Da Rong Yu 离散或收敛的概念估计也是有作用域这么一说的，就像我们做视频剪辑，观众的眼中画面是连续的，剪辑师眼中画面的一张张间断的。或许物质运动其实是观察者的错觉，而在宇宙更高的位置看上去，时空还真就是离散的。这一瞬间的狗，和下一瞬间的狗根本就是两条不同的狗，每一瞬间都是一张三维的时空切片。
必要时可不为零，无需精确为零带过。按你需要的精确度取你需要的数
要是我中學就有李老師教導 我一定會對數理更有興趣 ~~
喜欢上老师的视频了，不过我是从你之前的段子视频认识老师滴
哈哈，谢谢哈
非常精彩
因為時間也愈分愈小, 最後時間都小到0了, 時間停止不動了, 那當然超不過..
你這回答最讓我看得懂這個題目...
操 学了这么多年这是第一次 终于特别明白了到底什么是导数
導函數說明白了就是函數的斜率
这是你老师的问题吧 youtube上很多国外的博主都讲得很好很清楚 比如3blue1brown professor Leonard等
维基百科之类，只会说得更复杂
那也忒笨了点
你也是真可以
中国跑的最快的是：香港记者。
哈哈，说明够敬业
蛤丝
李永乐老师 老师你还是RUclips逛的少，这是一个梗，是江总说香港记者的
本月槍斃名單了解一下
李老师知道too young too simple 这个梗吗。。。不知道就算了，知道的多了还不能说，只能演哑剧，很难受。
我想看李老师介绍地球磁场的反转，并且说明为啥磁场反转会对人类以及生命造成巨大影响
用x和y去想可能會沒完沒了，不過如果用時間t去當主軸的話，阿基里斯很快就追過烏龜了。
1.無窮指的是一種趨勢 數學上稱之為極限 無窮大 負無窮大 無窮小 都不是指一個數 是指這個數列的變化趨勢 所以無窮小不是實數零 雖然零符合無窮小的定義
就好像物理上加速度a指的是速度變化趨勢 所以加速度不是速度一樣
2.導數就是數的變化趨勢 當遇到分子分母的極限都趨近於零的時候 可以用羅比達定理 同時對分子分母求導 求導完依然分子分母極限都趨近於零的話 那就繼續對分子分母求導 依此類推
ruclips.net/video/J9Jx5IWFI9w/видео.html
常瑞鈞 陈独秀，你坐下
極限值是一個數❤
我是这么理解的：如果需要取一个值，无穷小就是0。不取值，就是个无穷数，自己慢慢算去吧--这其实已经是个哲学问题了，解决方法就是分开跳过了。
讓我想了起一首詩，是這樣寫的...
阿基里斯拼命跑
就怕名譽地上掃
追龜不過好煩惱
死要面子從古早
~節錄自 "岸和田博士-科學的愛情"
李老师 你原来的视频蓬头垢面的 但是说话很自然啊 现在收拾的干干净净 可一脸严肃 不如最开始的视频好
现在生活有压力啊，笑不出来
压力可能来自老婆。须知女人不是数学家或物理学家能够搞定的。
这堂课我们中学高数有上 但不怎么仔细 很棒！
在我還沒超過別人的車之前
我就是追不上別人的車
老師有沒有看"咒術迴戰"? 😄
阿基里斯只要超过乌龟不就行了么？为什么一定要在后方追逐呢？阿基里斯的速度优势没转变成距离优势啊。。
仔细想一想，根据量子物理学，距离或说长度单位，也很可能是有最小值的（普朗克长度），之后就不可再分。大家想象中可以用屏幕的像素作对比：屏幕上两个像素点代表阿基里斯和乌龟。当阿基里斯非常接近乌龟的时候，就变成两个相邻像素的距离了（普朗克长度），之后距离如果继续接近，就只能是两者在同一个像素，也就是追上了。
终于看到有共鸣的观点
唉，这个问题其实很简单，人能不能追上乌龟，数学上是求证一个关于距离的不等式，人跑的距离是否大于乌龟跑的距离加初始距离。距离是速度在时间上的积分，如果人的速度大于乌龟的速度，那么在足够长的时间上积分，一定能满足这个不等式。
在这个悖论中，时间的积分区间被距离代替，导致时间的积分是有限的，而这个有限区间无穷接近于人追上乌龟的时间。
第二个问题，无穷小是否为0，这个问题本身就是错误的，因为在一个微分方程中，一个无穷小是不会单独存在的，一定是或等价是两个无穷小的除法。单独讨论一个无穷小是否等于0是没有意义的。
比喻我看見一個人常常在笑，就向朋友說他是個快樂的人，而我其實根本不知道知道這人因何常常在笑的。
老師。不好意思。能方便做一集有關於代數的視頻(像是酉群，阿貝爾群...
前幾天看了科學史的書，再回頭看一次這個視頻，就明白這個數學危機的本質是什麼，相比第一次看沒啥概念其實
其实我以前也遇到类似这种问题，在班级里跟同学讨论了很久，0.9无限9等不等于1.
AJEX DUDU 无限就等于1
0.9循环 = 0.3循环x3 = 1/3 x 3 = 1， 不要讨论，直接证明
确实数学课没讲这么生动，老师也不会讲这么生动，我们要高考，背公式就行了。。。我都忘了导数怎么来的了，也完全不知道导数有什么意义，但是让我粗略回忆一下，还是能做题。。。应试教育还是有很多问题，我们失去了学习的意义，也失去了学习的兴趣。。。
李老师有没有系统的中学数学，物理的课程？
這是收斂函數 最後時間永不得大於某值
如何畫出數線上1的位置？就算畫到夸克的大小，依然會有誤差，所以數學本身就是抽象的，抽象的事物不能拿來跟物理做比較
老師能拍影片解釋 潛無限與實無限 的差別嗎？謝謝老師
我完全听不懂，但是我还是听完了，这就是一个老师的魅力吧。:-)
人和妖发生爱情会变成人妖
好怀念。本科高数第一课就是阿基里斯追乌龟~~
哈哈
支持。
具体事情具体分析，有时候我们用不到无穷小，我们看具体问题的时候看我们需要精确的到小数点后面多少位就可以了
为什么是悖论，那是因为在这个问题里时间和空间缺乏连续性，所以将连续性加进这个问题的世界观里，这个问题也就得到解决了
一個好問題-比1趨近於0的數直接等於0套用在一些公式上會出現什麼問題
出现了一些牛顿，莱布尼茨这样的狠人。好可怕啊
李老师也是猛人！~
自閉症課程有問題
In English we called limit approach zero not equal to zero. Singularity can exist inside of intergration.
Yeah
可以讲一讲确界定理的证明吗？大学时老师讲的没听懂，我想再听一下
从阿基里斯与乌龟赛跑引申到 lim的基础和后来数学家的运用lim 找出来了函数的斜率 成功的敲开了微积分的大门
过去心不可得，现在心不可得，未来心不可得
乌龟需要时间抬脚的.距离够不够它抬脚出去一步都难说
问题在于这个“永远追不上”里的“永远”说的并不是阿基里斯和乌龟的时间，说的是切片以后用来观察的时间，因为可以无限切片，所以永远无法观察到追上的那一刻。
这个问题的本质是个偷换概念的诡辩，但客观上可以用更新的数学理论来解决。
这是我看过所有解释里面，讲的最透彻的！
这要涉及到量子力学了。能量不是连续的，不能无线分割。有一个最小的量。
現實來說語文破了這題
1能不能追的到烏龜答案是可以
追的到的定義就是那個人事物跑一定距離後另一個人事物才出發距離有縮短就叫追的上。
2能不能超過烏龜答案也是可以的。一個每小時跑1公尺與每小時跑100公尺就算距離有9公里之遠也會追上的。
3人能跑到烏龜的終點嗎,要看情況，烏龜很長壽人的一生滿短的。如果拿還有300多年的烏龜來測當然是不可能但拿還剩3年可活那就有可能
老师,这个问题困扰我很久. 芝诺悖论到底能不能导出空间和时间是不可以无限细分的?我还思考了数学模型和实际的差别这个问题,什么是模型,什么是实际. 这个看起来是永远追不上,但其实时间在他的分析中是有上界的.
芝诺悖论不能导出空间和时间是不可以无限细分的。
老师可以讲一讲e的由来和作用么？
1个人的战争
挑战理工男 挑战科学家群体
老師你好 我有一個問題想請教
人們常說點線面體 也就是點構成線 線構成面 面構成體 但是呢 點並沒有長度 那點的累加為什麼會變成有長度的線呢 而線只有長度
而沒有寬度 那又如何構成有寬度的面呢？
所以想請李老師解釋解釋
阿基里斯悖论其实在告诉我们时间与空间这二者中至少有一项不是连续的，存在一个最小单元。无穷小的概念只是避开了这个基本问题，玩了一个文字游戏。我设这个世界是不连续的，这个最小单元叫x，但我又不说它具体有多小，它可以任意小。看似避开了回答宇宙真相的问题，其实已经向不连续论投降了。
ougen 我们假设这个世界是连续的，那么阿基里斯追赶乌龟的每一个时刻都确实存在。如果你想仔细观察他倒底是怎么样追上乌龟的，根据阿基里斯悖论，你永远都观察不到。但你不可能观察不到一个活生生的、近在咫尺的宏观现实，所以结论只能是世界是不连续的。
0:50 也有可能不是爱情哦~
得儿塔。。。。小时候英语被数学老师们耽误了不少
補充一下3:46 的SA跟TA應該是2L-1*2L/2^n跟2T-1*2T/2^n才對喔
或者是2^n-1
人的步伐無法切分為無限小
所以芝诺的问题在他把阿基里斯未追上乌龟的这段路程无限分割了，比如假设现实中阿基里斯需要10分钟追上乌龟，但芝诺把第10分钟前走的路程无限分割，相当于每段的时间取的越来越小，9 + 0.9 + 0.09 + 0.009 +0.0009 ...... 永远到不了第10分钟，所以也就永远到不了追上乌龟的时刻。是这样的么？
我想反思一下这个问题，若由2一3距离，甲方用X走完，乙方用Y時間走完，那么用X除Y，就等如甲追乙速度之数，Z！那么由1一2除Z，我们得到一个時間数据T，丅XY就等如2一3的距离，D，D再除X，又得一個新時間丅2⃣️，不断下去，是否就證明甲可以追越乙呢？
本人小學畢業生，士可殺不可辱，筆下留情！
柯西怎么严格证明的无穷小？后续希望补充！！！
吃泡麵，配李老師視頻。
一开始的那个例子放到实际当中就不成立啊，人永远追不上乌龟？怎么可能，还有第二次数学危机最后怎么解决的啊
之前微積分教授在教極限與無限大時，我問了一個問題:有沒有無限小?他就直接說無限小就是0...
神和人的孩子就是英雄，很经典
卧槽！看完这个视频我迷茫了！真的追不上乌龟！？为什么？！为什么？！为什么？！崩溃了！
理论上是跑不过的，以为在前着跑到乌龟位置的时候，乌龟总是跑了一段距离，所以前着总是在追赶那一段距离而达不到
建议换成触摸屏手写面板
这本来是哲学探讨 移动 是不是 连续性的吧？如果是连续性的话就出现永远追不上乌龟的矛盾了。