영상 너무 잘봤습니다!! 다른 댓글에 무한차원벡터를 소거하는 과정이 엄밀하지 않다는 의견들이 있는데, 그냥 미분을 이해하는 방식 중 하나로 저렇게 안티시메트릭한 매트릭스를 쓸 수 있구나 하는 정도로 보면 된다고 생각합니다. 새로운 시각을 볼 수 있게 되어 진심으로 감사드립니다!! 여담이지만, 2:03에 are not commute 라는 문장에 문법적 오류가 있습니다. do not commute 혹은 matrices are not commutative 로 수정하는게 영상의 완성도를 높이는데 도움이 될 것 같습니다!!
제가 생각해본 것을 이야기해 보겠습니다 코멘트 부탁드립니다. 1:24에서 저는 양쪽항에 벡터만 남기기 위해, 이 영상의 유튜버님이 가정하신대로 d/dx가 Matrix라고 가정한뒤 이의 역행렬을 양쪽항에 곱하여 벡터만 남겨보려 했습니다. 그렇다면 이 Matrix 역행렬이 존재하여야 하는데 우측항의 눈에 보이는 단 5길이 Vector에 대한 Matrix는 Column vector들간에 독립적이지 않습니다. 따라서 full rank가 아니라 역행렬이 존재하지 않는데요. 그런데 곰곰히 생각해보아야 할 것은 f(xi-n) 에서 f(x+n); n-> infinite. 일때의 Matrix는 역행렬이 존재 할 것인가 아닌가?에 대한 증명이 필요하다는 것입니다. (7x7, 9x9 늘려가면서 해봤는데 만약 무한하다면 full rank 같습니다 ->역행렬이 존재합니다.) 만약 x 정의역이 정해져 있다면 즉 n -> finite 인 경우에는 아까처럼 full rank가 아니게 될 것이라 봅니다. 그런데 미분가능함수는 폐구간, 개구간에 대해서도 정의가능합니다. ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84 문제는 Matrix form의 역행렬이 존재하기를 바라는데 폐구간에 대해서는 이게 깨진다는 점입니다. 하지만 n->infinite이고 x정의역이 -infinite에서 +infinite 이면 Matrix의 역행렬을 곱하여 우측의 벡터가 서로 같다는 것이 증명 가능합니다. 따라서 벡터를 소거하여도 상관 없습니다. 왜냐하면 방금 이 조건 하에서는 d/dx는 위 Matrix form으로 전개될 수 있기 때문입니다. 이렇게 다시 서술 할 수도 있습니다. d/dx는 x의 정의역이 -infinite에서 infinite인 개구간에서 모든 x의 치역에 대해 그것의 미분값(기울기)을 계산하는 선형변환(i.e., Matrix)으로 나타낼 수 있다. 걍 선형변환으로 표현한것 뿐인가?... 어?... 그런데 한편으로는 이러한 시각을 갖는게 매우 편리합니다. 이렇게 되면 DMT PARK님이 서술하신대로 d/dx의 전치행렬이란 표현도 이해 가능합니다. d/dx는 선형변환이나 다름 없으니까요!
양자역학 공부할 때 물리량을 차례로 1.물질파(복소함수 연산으로 주어진 파동함수에 대한 편미분방정식), 2.연산자(선형연산으로 주어진 고유함수에 대한 고윳값 문제), 3. 행렬(행렬연산으로 주어진 연산자행렬에 대한 시간미분방정식) 등으로 다양하게 표현할 수 있는 논리를 배워나가는데, 그것이 수학적으로 표현될 수 있는 강력한 근거와 연결되므로 너무나 놀라운 통찰을 제시하네요! 감사합니다
제가 학부이상 수준의 수학을 몰라서 드는 생각일 수도 있는데, 영상 초반의 f'(x_i)=lim(h->0)[{f(x_(i+1))-f(x_(i-1))}/(2h)]는 함숫값 f(x_i)에 대한 조건이 없으므로 미분계수의 정의가 아니죠. 따라서 미분은 행렬이라는 명제를 설명하는데에 부적절하지 않을까요.
@:짜장T manim은 배우기는 어려워도, 수학이나 과학영상을 만드는데 있어 다른 프로그램에서는 할 수 없는 무언가를 자유롭게 해볼 수 있다는 장점이 있습니다. 때문에 저도 이 영상을 시작으로 열심히 배워보려고 했는데, 이것저것 하다보니 아직 제자리네요...;;; 혹시 관심있으시면 유튜브 채널 'Theorem of Beethoven ( ruclips.net/channel/UCxiWCEdx7aY88bSEUgLOC6A )'을 참조 해 보세요. 어렵긴해도, manim 사용법을 가장 상세히 설명해 놓은 채널입니다.
미분은 변화율입니다. 함수(선험적개념)는 인간이 알고 싶어하는 인간세계의 진리관계이고, 경험으로 관찰된 변화율(미분)을 통해 함수(진리관계)를 추정할 수 있죠. 미분이 메트릭스라기 보다는 메트릭스가 미분을 표현하는 하나의 방법이 아닐까 생각합니다. 메트릭스는 계수만으로 함수를 대표해서 편리하게 연산이 가능하다는 장점이 있는 것 같습니다.
d/dx를 나타내는 행렬에서 행렬의 값이 단순히 1이 아니라 미분해주는 함수의 정의역 공간이 x공간으로 변환될 때 공간이 압축/확장되는 비율, 즉 야코비안이 스케일 팩터로 들어가야 더 일반적이지 않을까요?? 미분 기호 d/dx에서 x라는 변수가 있는데 모두 같은 행렬로 퉁치는건 이상하니까여
마지막에 양쪽의 벡터를 소거하는 것은 잘못된 소거법으로 생각됩니다. 양쪽의 식이 같다고, 양쪽의 벡터를 함부로 지우면 문제겠지요. 왼쪽은 벡터의 미분이고, 오른쪽은 matrix에 벡터가 곱해져 있는 형식으로 만들어져 있습니다. 양쪽의 똑같은 부분이라고 그냥 소거하는 것은 아니라 생각되네요. 양변의 항등식에서, 양쪽을 소거하기 위해서는 양쪽의 역을 서로 같이 곱해 소거 해야는데, 지금 쓴 것은 양쪽이 같기때문에 소거한 것이지, 양쪽에 역을 곱해 소거한 것이 아닙니다. 이런 수식은 논리적인 필요 충분조건이 만족하지 않습니다. 하나의 예를 들어 들입니다. Ax= c x라는 식을 보면, A가 mxm matrix이고, x가 mx1 column vector인경우, c를 상수라고 합시다. 이 식에서, 양쪽의 x는 같은 mx1 column vector이기에 양쪽을 그냥 scalar 숫자 소거하듯 소거한다면(수학적으로 불가능하지만) , mxm matrix A가 상수 c 와 같다는 잘못된 논리가 나오게 됩니다. 만약 여기에 나온 수식을 일반화하여 생각하면 모든 matrix는 상수다라는 말이 나올 수 있습니다. 하지만, Matrix는 상수가 아닙니다. 다만 이 수식을 소거하지 않고 이와 같은 내용을 이용하여 다양한 문제를 풀때 사용합니다. 위의 미분을 통한 저와 같은 관계식은 고차 미분방정식을 1차 matrix 방정식을 이용해 해를 구하는 방법으로 여러가지 컴퓨터를 이용한 시뮬레이션에서 많이 사용할 때 이용하는 방법으로 쓰입니다.
상세한 코멘트 주셔서 대단히 감사합니다. 제가 '행렬은 미분이다'는 개념을 생각하게 된것은, 양자역학에서 운동량연산자의 conjugate를 취한다는 개념을 이해하기 위함이었습니다. 즉, 'd/dx의 전치행렬은 -d/dx'라는 사실을 이해하기 위함이었는데, 우선 'd/dx의 전치행렬'이라는 것 자체가 이해되지 않았고, 앞에 마이너스가 나온다는 것은 더더욱 이해할 없었습니다. 하지만 d/dx를 영상에서 보인것과 같이 놓으면 전치행렬을 취한다는 것도 이해되고, 그 앞에 마이너스 부호도 매우 자연스럽게 나오게 됩니다. 미분계수를 정의하는 방법자체가 여러가지 이기 때문에 저 행렬의 행태도 다양할 것이고, 중간에 말씀하신 소거하는 부분에서도 엄밀한 수학으로 따지자면 틀린 부분이 있을지 모르겠습니다. 저는 그렇게까지 엄밀하게 따져보지는 않았습니다. 하지만, 물리를 하면서는 수학적 엄밀함 보다는 개념적 이해를 우선시 하는 경우가 많습니다. 사실, 코멘트 주신 말씀을 제가 바로 이해는 하지 못했는데, 한번 꼼꼼히 읽어보고 생각해 보겠습니다. 상세한 지적주셔서 다시한번 감사드립니다. 앞으로도 많은 관심 부탁드립니다.
소거를 할때 반드시 양쪽의 역을 곱해서 소거하지는 않습니다... 예를 들어 정수의 집합에서 한정해서... 2x=6이라는 식이 있을때... 우리는 정수에서는 2의 역원이 없으므로... 양변에 2의 역원을 곱할 수 없습니다... 그렇지만 2×3=6임을 우리는 알고 있고... 2x=6이 되는 정수 x는 여럿 있을 수 없다는 것을 알고 있으므로... 2x=2×3이라는 식에서... 왼쪽의 2를 양변에서 각각 소거해서 x=3을 얻습니다. 이것을 정수 집합의 Cancellation Law라고 하고 Abstract Algebra가 우리에게 알려 주는 것입니다. 요약해서 말씀드리자면... 식의 양변에서 뭔가를 소거할때... 역원의 존재를 항상 필요로 하는 것은 아닙니다.
그러므로 위의 식을 쉽게 Dx=Mx라고 요약해서 D는 미분연산자이고 M은 행렬이라고 하몀 모든 x에 대해서 성립하는 항등식입니다. 이 경우에 Dx=Mx가 모든 x에 대해서 성립하는 M은 하나 뿐임을 알 수 있습니다. 만약 M외에 다른 N이 존재해서 모든 x에 대하여 Dx=Nx가 성립한다면... 0=Dx-Dx=Mx-Nx=(M-N)x 이고, 모든 x에 대하여 이 식이 성립하려면 누가 보아도 M=N일 수밖에 없고... 따라서 M이 유일합니다... 그러므로 D에 대응하는 행렬 M은 하나밖에 없고 행렬과 선형사상은 같은 것이라는 철학에 따라 D와 M은 같은 것이라고 보아도 논리적 결함이 없습니다.
대댓글 읽다가 발견했는데, 양쪽의 벡터를 소거하기에는 수학적으로도 물리적으로도 오류가 있는 것 같습니다. 시간 독립형 슈방의 경우에 Hψ=Eψ라고 쓰지만, 양변의 벡터를 지워서 H=E라고 쓰는 경우는 없으니까요. dagger operator의 개념을 이해하시기 위해서는 부분적분의 계산 과정을 이용하시면 수학적으로 오류 없이 이해가 될 수 있지 않을까요?
그렇다면 운동량 operator도 p=-hbar*i*d/dx 이고 양쪽에 파동함수가 없으니 그 자체가 오류라고 할 수 있는건가요? 또한, practical하게 수치미분을 한다면 - '미분을 한다'는 행위는 어떤 digit number들로 이루어진 벡터에 행렬로 표현된 미분연산자를 가하는 과정에 해당합니다. 그러한 상황에서는 '미분'이라는 행위가 '행렬'로 나타내어 지는 것이죠. 저는 아직 수학적으로 엄밀히 따졌을때 어떤 문제가 있을지는 잘 모르겠지만, 미분이 그런 행렬형태가 되면 안될 이유가 무엇인지 잘 모르겠습니다. 물론 부분적분을 통해서 d/dx의 dagger를 정의하고 이해할 수 있습니다. 모든 교과서에서 그렇게 하고 있고, 거기에는 아무 문제가 없습니다. 하지만 저의 의문은 '행렬에 대해서 하는 transpose라는 것을 어떻게 미분연산자에 대해서 할 수 있나?' 하는 것입니다. 물론 부분적분을 하는 식으로 그렇게 정의한것이니 그걸로 끝이라하면 받아들이고 딱히 따질것도 없지만, 저는 그것이 행렬에 대해서 사용하는 notation이기 때문에 분명히 행렬로 나타낼 수 있을것이라는 예상을 가졌던 것이죠. 그런데 이렇게 간단한 분석으로도 transpose의 개념이 명확히 이해되고 마이너스부호도 자연스럽게 나온다는 것은 너무나 일관성있어서 놀랍고 재미있었습니다. 관심가져주시고 질문주셔서 감사드립니다.
@@DMTPARK 뭔가 서로 소통의 부재가 있었단 것 같습니다. 제가 말씀드린 부분은 단순히 operator를 정의해서는 안 된다! 이게 아니라, 방정식에서 벡터를 약분해내는 방식으로 연산자를 이끌어내서는 안 된다는 의미였습니다. 그래서 해밀토니안에 대한 고윳값 방정식으로 설명을 했던 것이구요. H=... 이렇게 정의하는 것은 충분히 수학적으로 납득할만 합니다만, 고윳값 방정식 Hf=Ef에서 양변의 함수 f를 약분하는 방식으로 연산자를 정의하는 것에는 오류가 있다는 설명이었습니다. 말씀하신대로, 일반적인 대수적 연산자를 행렬로 표현할 수 있는가에 대한 부분은 매우 흥미롭고 지혜로운 시도라고 생각합니다. 그러나 (물리적으로는 허용이 되어도) 수학적인 측면에서 허용될 수 없는 오류가 있다는 점에서 과연 모든 연산자에 있는 미분을 행렬로 대체하여 표현할 수 있는가에 대한 고민 또한 필요해 보입니다. 예를 들어 에렌페스트의 정리에 따라 해밀토니안에 있는 이계미분연산자를 행렬로 치환할 수 있는가, 조화진동자의 사다리 연산자 등을 행렬로 바꾸어 계산할 때 논리적인 오류가 없는가 등등에 대한 고찰을 조심스레 말씀드려봅니다. 혹시나 행렬로 치환할 수 있는 기가막힌 방법이 떠오르시면 저도 같이 개꿀빨 수 있도록 꼭 알려주세요(__)❤️ 저의 얕은 지식에나마 답변을 해주심에 감사드립니다.
그 경우엔 psi가 임의의 벡터가 아니라 eigenvector라서 나눌 수 없지만, 이분은 임의의 벡터에 대해 시작했으니 가능함. 그리고 영상에서 벡터를 소거한건 엄밀한 수학적 과정이라기보단 아니고 불연속적인 좌표계에서 미분에 대응하는 연산자를 정의하는 과정인듯. 불연속적인 좌표계에서 해밀토니안이 매트릭스인걸 생각해보면 당연히 가능한일이라고 봅니다
x_i와 x_(i+1) 사이에는 무수히 많은 수가 있습니다. 사이에 있는 수 중 임의의 수 a를 갖고 와도 xi와 a 사이에는 여전히 무수히 많은 수가 있습니다. 따라서 이 모든 사이의 수를 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]와 같은 행렬로는 포함할 수가 없습니다. 그러므로 f(x)와 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]를 상호변환할 수는 없을 것 같습니다.
@@DMTPARK f(x)의 정의역은 실수 집합이고, 열벡터 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]의 원소 개수는 정수 집합의 원소 개수입니다. 그런데 실수 집합과 정수 집합 사이의 일대일대응은 존재하지 않습니다. 정수 집합에서 실수 집합으로의 대응을 만들 때, 모든 정수는 실수 하나에 유일하게 대응시킬 수 있지만, 그 어떤 정수와도 대응되지 않는 실수가 항상 존재하게 됩니다. 따라서 x를 x_i에 대응시킬 때, x_i의 간격을 아무리 작게 해도, 대응되는 x_i가 없는 x가 존재하게 됩니다. 그러므로 f(x)를 열벡터 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]의 꼴로 나타낼 수 없지 않을까 생각합니다.
@@DMTPARK 연속은 실수에서 정의되는 개념입니다. 위 영상은 실함수 f의 정의역의 적당한 개구간을 n개로 등간격 분할함을 가정하고 있습니다. 개구간이 (a, b) 라고 합시다. a, b는 모두 실수 입니다. 개구간의 길이는 b-a이고 이를 자연수 n개로 등간격 분할하면 각 분할의 길이는 (b-a)/n 입니다. 이제 [1,n-1] 의 원소인 자연수 k에 대해 (b-a)*k/n을 고려해 봅시다. 이는 영상에서 보여주신 ..., x_(i-1), x_(i), x_(i+1), ... 에 해당됩니다. 임의의 자연수 n에 대해, x_(i-1)과 x_(i) 사이에는 실수가 무수히 많이 존재합니다. (실수의 연속성) 즉 n이 아무리 커도 해당 사이에 존재하는 실수들에서 함숫값이 존재합니다. 이는 알레프제로와 시그마의 측도 차이에 관한 부분으로 예상됩니다. 따라서 이 부분은 측도론이 필요한 것 같습니다.
음 좋은데 이런식으로 하면 좀 그러네요. 그냥 교환자로 설명하는게 좋았을것 양자역학의 미분은 교환자이기 때문이죠. 사실 이건 오차가 무조건 생기는데 오차항은 어디가신것 같습니다.(농담입니다) 오해를 줄 수있는듯합니다. 유한차분법과 양자역학의 연산자가 같은가요?아닙니다. 양자역학은 플랑크상수만큼의 양자세계를 말하는것에 있습니다. 그렇기 때문에 교환자를 통해서 연산자가 미분적인 역할도하고 그게 불확실성을 만든다고 하는게 좋지 않을까요. 왠지 이건 유한차분법의 오차가 꼭 불확실성을 만든다는 것처럼 보입니다. 오늘도 마니 배우고 갑니다. From. 물리아저씨
![Seungmin "그렇게, 천천히, 우리(As we are)" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/kAzmhLHePqU/mqdefault.jpg)
오. 생각도 못했는데 놀랍고 멋집니다. 뭔가 중요한 영감을 주는 영상입니다.
대단합니다 슈레징거방정식과 하이젠베르그 매트릭스가 같은 것이 이해되었습니다
ㅆ공감......
전율감을 느낌니다.
슈래딩거
하이젠베르크
대박이네요... 너무 쉽게 이해가 가요... 너무 신기하고 놀랍네요... 충격입니다.
와... 너무 고급진 영상 감사합니다 ㅜㅠㅜㅜ
영상 너무 잘봤습니다!!
다른 댓글에 무한차원벡터를 소거하는 과정이 엄밀하지 않다는 의견들이 있는데, 그냥 미분을 이해하는 방식 중 하나로 저렇게 안티시메트릭한 매트릭스를 쓸 수 있구나 하는 정도로 보면 된다고 생각합니다. 새로운 시각을 볼 수 있게 되어 진심으로 감사드립니다!!
여담이지만, 2:03에 are not commute 라는 문장에 문법적 오류가 있습니다.
do not commute 혹은 matrices are not commutative 로 수정하는게 영상의 완성도를 높이는데 도움이 될 것 같습니다!!
(이 영상의 내용이 무엇인지 이해하지 못하고 쳐 감상만 하고 있는 1인)
무한차원이 엄밀하지 않은 이유는 이게 물리학이기때문..
수학은 확실히 매니아적인 예술인듯
제가 생각해본 것을 이야기해 보겠습니다 코멘트 부탁드립니다.
1:24에서 저는 양쪽항에 벡터만 남기기 위해, 이 영상의 유튜버님이 가정하신대로 d/dx가 Matrix라고 가정한뒤 이의 역행렬을 양쪽항에 곱하여 벡터만 남겨보려 했습니다.
그렇다면 이 Matrix 역행렬이 존재하여야 하는데 우측항의 눈에 보이는 단 5길이 Vector에 대한 Matrix는 Column vector들간에 독립적이지 않습니다. 따라서 full rank가 아니라 역행렬이 존재하지 않는데요. 그런데 곰곰히 생각해보아야 할 것은 f(xi-n) 에서 f(x+n); n-> infinite. 일때의 Matrix는 역행렬이 존재 할 것인가 아닌가?에 대한 증명이 필요하다는 것입니다. (7x7, 9x9 늘려가면서 해봤는데 만약 무한하다면 full rank 같습니다 ->역행렬이 존재합니다.)
만약 x 정의역이 정해져 있다면 즉 n -> finite 인 경우에는 아까처럼 full rank가 아니게 될 것이라 봅니다.
그런데 미분가능함수는 폐구간, 개구간에 대해서도 정의가능합니다. ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84
문제는 Matrix form의 역행렬이 존재하기를 바라는데 폐구간에 대해서는 이게 깨진다는 점입니다. 하지만 n->infinite이고 x정의역이 -infinite에서 +infinite 이면 Matrix의 역행렬을 곱하여 우측의 벡터가 서로 같다는 것이 증명 가능합니다. 따라서 벡터를 소거하여도 상관 없습니다. 왜냐하면 방금 이 조건 하에서는 d/dx는 위 Matrix form으로 전개될 수 있기 때문입니다.
이렇게 다시 서술 할 수도 있습니다. d/dx는 x의 정의역이 -infinite에서 infinite인 개구간에서 모든 x의 치역에 대해 그것의 미분값(기울기)을 계산하는 선형변환(i.e., Matrix)으로 나타낼 수 있다.
걍 선형변환으로 표현한것 뿐인가?... 어?...
그런데 한편으로는 이러한 시각을 갖는게 매우 편리합니다. 이렇게 되면 DMT PARK님이 서술하신대로 d/dx의 전치행렬이란 표현도 이해 가능합니다. d/dx는 선형변환이나 다름 없으니까요!
양자역학 공부할 때 물리량을 차례로 1.물질파(복소함수 연산으로 주어진 파동함수에 대한 편미분방정식), 2.연산자(선형연산으로 주어진 고유함수에 대한 고윳값 문제), 3. 행렬(행렬연산으로 주어진 연산자행렬에 대한 시간미분방정식) 등으로 다양하게 표현할 수 있는 논리를 배워나가는데, 그것이 수학적으로 표현될 수 있는 강력한 근거와 연결되므로 너무나 놀라운 통찰을 제시하네요! 감사합니다
모든 선형사상은 행렬로 나타낼 수 있다(선형대수학의 기본정리)
미분은 선형적이다((f+g)', (af)', f(x)=0)
따라서 미분은 행렬로 나타낼 수 있다
근데 실제로 보니까 신기하네요 ㅎㄷㄷ
훌륭한 영상입니다.. numerical analysis에 관심있는 사람이라면 꼭 봐야할 영상이라고 생각해요.
정말 너무 대단해요!
이렇게 아름답게 이해가 술술 되다니….
수학은 예술이다!
그저 놀라울 뿐이네요~~
미분을 행렬로 표현할 수 있다니 수학의 세계는 정말 아름다운 것 같습니다.
참. 정의상, 등식 왼쪽의 벡터안의 함수갯수보다 오른쪽 벡터 함수갯수가 늘 2개 더 많이 정의되어야 하는데,,, 함수갯수를 무한대로 늘리면.. 물리적으로는 모르겠지만,, 수학적으로도 동일벡터가 되어서 소거에 아무런 문제가 없게되나요?
고등학교 수학.. 행렬과 미적분의 얼개만 겨우 기억하고 있는데, 영상 보고 메시지를 바로 이해했습니다. 좋은 영상 만들어주셔서 감사합니다.
미분과 불확정성 원리라... 공간도메인과 푸리에 도메인이 서로 불확정성 관계에 있는게 생각마는군요. 푸리에변환은 미분을 곱셈식으로 변경해 주기도 하죠.
남들이 다 알겠다고 대단하다고하니까 저도일단 대단하고 놀랍다고 할게요!
훌륭하네요!!
교수님들이 좋아할 법한 채널 ㄹㅇㅋㅋ
전설의 시작 영상 ~!~!~!!~!~
수학너무멋잇어...
영상 기술이 엄청나시네요.
아름답다.
물질이 실제하려면 연속이 아니라 이산이어야 합니다.
이산일때 f(n+1) f(n) f(n-1).. 수열로 기술 할 수 있고, 미분은 행렬로 표현할 수 있네요.
양자화 자체가 불확정성을 내포하는 것 같네요.
와 교수님 ㄷㄷ
제가 학부이상 수준의 수학을 몰라서 드는 생각일 수도 있는데,
영상 초반의 f'(x_i)=lim(h->0)[{f(x_(i+1))-f(x_(i-1))}/(2h)]는 함숫값 f(x_i)에 대한 조건이 없으므로 미분계수의 정의가 아니죠. 따라서 미분은 행렬이라는 명제를 설명하는데에 부적절하지 않을까요.
정리하자면 미분은 행렬이라는 명제를 설명하려면 미분계수의 정의에서부터 논의가 진행되어야 하는데 저것은 미분계수의 정의가 아니므로 올바른 설명이 될 수 없지않냐는 말입니다.
미분은 행렬로 표현가능하다가 맞을 듯!
연산자만으로 이루어진 물리공식은 첨봅니다. 저렇게해도 물리량이 맞아떨어지나부죠?
너무 깔끔하게 설명해주시네요 ㅎㅎ
빨간약을 먹으면 된다는 뜻이죠?
Simple is the best는 항상 맞네요..
미적분+확률과 통계
눈에 들어온다. 우주는 행렬이다. 그리고 매트릭스다. 결국, 가상현실 증명
대단한 영상이군요. 영상을 보자마자 구독을 안누를 수 없군요.
이사람들 대단하다,…..
Matrix 보다 linear operator로 표현하는것이 깔끔한듯하네요. Matrix의 dimension은 finite해서... 그리고 실제로 derivative은 linear operator이니 ㅎ
굳
matrix를 infite size로 보면문제없을것같습니다. basis의 선택이 중요하긴하겠으나 matrix=linear map 이 선형대수학의 큰철학이니까요
유튜브 하면서 처음으로 댓글 달아봅니다. 이런 명확한 설명을 해주셔서 감사합니다. 바로 구독 및 알람설정 하고 갑니다. 더 좋은 영상 기대하겠습니다.
오 최근영상에 쓰였던거다.... 영상미가 정말 무섭게 발전했네요
와 진짜 멋있네요..👏👏👏
미분이 행렬이라니.... 충격이네요 ㄷㄷㄷ
3B1B도 그렇고 이런 영상들 보면 신기해서 보고 있는데용
이런 영상은 어떤 툴로 제작하시는거에요??
3B1B가 파이썬을 기반으로하여 만든 'manim'이라는 프로그램을 사용했습니다.
저도 이 영상을 만들면서 처음 배워봤는데요, 그냥 개인이 사용할 용도로 만든거라 제3자가 사용하기 아주 어려운 편에 속합니다.
@@DMTPARK 계속 궁금했었는데
3B1B는 영어 채널이라 못 물어보고 있었어요 ㅠㅠ
영상 잘 보고 있습니다 ㅎㅎ
@:짜장T manim은 배우기는 어려워도, 수학이나 과학영상을 만드는데 있어 다른 프로그램에서는 할 수 없는 무언가를 자유롭게 해볼 수 있다는 장점이 있습니다.
때문에 저도 이 영상을 시작으로 열심히 배워보려고 했는데, 이것저것 하다보니 아직 제자리네요...;;;
혹시 관심있으시면 유튜브 채널 'Theorem of Beethoven ( ruclips.net/channel/UCxiWCEdx7aY88bSEUgLOC6A )'을 참조 해 보세요.
어렵긴해도, manim 사용법을 가장 상세히 설명해 놓은 채널입니다.
@@DMTPARK 오 슬쩍 봤는데 만만치 않네요 ㅋㅋㅋㅋ 감사합니다 ~~
@@DMTPARK 존경스럽네요
미분은 변화율입니다. 함수(선험적개념)는 인간이 알고 싶어하는 인간세계의 진리관계이고, 경험으로 관찰된 변화율(미분)을 통해 함수(진리관계)를 추정할 수 있죠. 미분이 메트릭스라기 보다는 메트릭스가 미분을 표현하는 하나의 방법이 아닐까 생각합니다. 메트릭스는 계수만으로 함수를 대표해서 편리하게 연산이 가능하다는 장점이 있는 것 같습니다.
양자역학 책에서 물리량을 연산자로, 연산자를 행렬로 표현하는 근거를 제공하는 설명인듯 합니다
학교에서 함수에서 미분을 계산하는 교육을 받았지만 현실 세계에서는 미분에서 함수를 추정(적분)해야 되는 군요
아니 무슨 말인지는 알아야 보고 있쥐ㅣㅇ
"행렬은 미분이다" 사실 엄밀함 측면에서 수학자들이 좋아할만한 발언은 아니네요 하지만 해밀토니안 등 연산자를 빈번하게 사용하는 이론 물리학자들은 좋아할만한 개념인거 같습니다. 물리학적 시선과 순수 수학적인 시선이 다름을 영상에 언급해 주시면 더 좋을 것 같습니다.
미분은 결국 linear operator 로 볼수있기때문에 matrix로 이해하는것은 수학적으로봐도 틀린말은아닙니다. matrix=linear map으로 이해하는게 선형대수학의 큰철학입니다
와... 아이디어...
d/dx를 나타내는 행렬에서 행렬의 값이 단순히 1이 아니라 미분해주는 함수의 정의역 공간이 x공간으로 변환될 때 공간이 압축/확장되는 비율, 즉 야코비안이 스케일 팩터로 들어가야 더 일반적이지 않을까요??
미분 기호 d/dx에서 x라는 변수가 있는데 모두 같은 행렬로 퉁치는건 이상하니까여
brilliant!!
경이롭다....
근데 d/dx는 함수아닌가요? f(x)=nx 꼴을 x를 없애어
f( )=n로 표현 불가하잖아요.
영상에서 나온
d/dx(A)=NA으로 있는 N,A행렬
f(A)=d/dx(A),
f(A)=NA,
f=N 이렇게 칭해도 되는건지
마지막에 양쪽의 벡터를 소거하는 것은 잘못된 소거법으로 생각됩니다. 양쪽의 식이 같다고, 양쪽의 벡터를 함부로 지우면 문제겠지요. 왼쪽은 벡터의 미분이고, 오른쪽은 matrix에 벡터가 곱해져 있는 형식으로 만들어져 있습니다. 양쪽의 똑같은 부분이라고 그냥 소거하는 것은 아니라 생각되네요. 양변의 항등식에서, 양쪽을 소거하기 위해서는 양쪽의 역을 서로 같이 곱해 소거 해야는데, 지금 쓴 것은 양쪽이 같기때문에 소거한 것이지, 양쪽에 역을 곱해 소거한 것이 아닙니다. 이런 수식은 논리적인 필요 충분조건이 만족하지 않습니다. 하나의 예를 들어 들입니다. Ax= c x라는 식을 보면, A가 mxm matrix이고, x가 mx1 column vector인경우, c를 상수라고 합시다. 이 식에서, 양쪽의 x는 같은 mx1 column vector이기에 양쪽을 그냥 scalar 숫자 소거하듯 소거한다면(수학적으로 불가능하지만) , mxm matrix A가 상수 c 와 같다는 잘못된 논리가 나오게 됩니다. 만약 여기에 나온 수식을 일반화하여 생각하면 모든 matrix는 상수다라는 말이 나올 수 있습니다. 하지만, Matrix는 상수가 아닙니다. 다만 이 수식을 소거하지 않고 이와 같은 내용을 이용하여 다양한 문제를 풀때 사용합니다. 위의 미분을 통한 저와 같은 관계식은 고차 미분방정식을 1차 matrix 방정식을 이용해 해를 구하는 방법으로 여러가지 컴퓨터를 이용한 시뮬레이션에서 많이 사용할 때 이용하는 방법으로 쓰입니다.
상세한 코멘트 주셔서 대단히 감사합니다.
제가 '행렬은 미분이다'는 개념을 생각하게 된것은, 양자역학에서 운동량연산자의 conjugate를 취한다는 개념을 이해하기 위함이었습니다. 즉, 'd/dx의 전치행렬은 -d/dx'라는 사실을 이해하기 위함이었는데, 우선 'd/dx의 전치행렬'이라는 것 자체가 이해되지 않았고, 앞에 마이너스가 나온다는 것은 더더욱 이해할 없었습니다. 하지만 d/dx를 영상에서 보인것과 같이 놓으면 전치행렬을 취한다는 것도 이해되고, 그 앞에 마이너스 부호도 매우 자연스럽게 나오게 됩니다.
미분계수를 정의하는 방법자체가 여러가지 이기 때문에 저 행렬의 행태도 다양할 것이고, 중간에 말씀하신 소거하는 부분에서도 엄밀한 수학으로 따지자면 틀린 부분이 있을지 모르겠습니다. 저는 그렇게까지 엄밀하게 따져보지는 않았습니다. 하지만, 물리를 하면서는 수학적 엄밀함 보다는 개념적 이해를 우선시 하는 경우가 많습니다.
사실, 코멘트 주신 말씀을 제가 바로 이해는 하지 못했는데, 한번 꼼꼼히 읽어보고 생각해 보겠습니다. 상세한 지적주셔서 다시한번 감사드립니다. 앞으로도 많은 관심 부탁드립니다.
1줄 읽고 그만둠
그냥 역행렬곱해서 I로 바꾼걸 생략했다고 해도 되지 않나요? 제가 무식해서 죄송합니다ㅜㅜ
소거를 할때 반드시 양쪽의 역을 곱해서 소거하지는 않습니다...
예를 들어 정수의 집합에서 한정해서...
2x=6이라는 식이 있을때...
우리는 정수에서는 2의 역원이 없으므로...
양변에 2의 역원을 곱할 수 없습니다...
그렇지만 2×3=6임을 우리는 알고 있고...
2x=6이 되는 정수 x는 여럿 있을 수 없다는 것을 알고 있으므로...
2x=2×3이라는 식에서...
왼쪽의 2를 양변에서 각각 소거해서
x=3을 얻습니다.
이것을 정수 집합의 Cancellation Law라고 하고 Abstract Algebra가 우리에게 알려 주는 것입니다.
요약해서 말씀드리자면...
식의 양변에서 뭔가를 소거할때...
역원의 존재를 항상 필요로 하는 것은 아닙니다.
그러므로 위의 식을 쉽게
Dx=Mx라고 요약해서
D는 미분연산자이고 M은 행렬이라고 하몀
모든 x에 대해서 성립하는 항등식입니다.
이 경우에 Dx=Mx가 모든 x에 대해서
성립하는 M은 하나 뿐임을 알 수 있습니다.
만약 M외에 다른 N이 존재해서
모든 x에 대하여 Dx=Nx가 성립한다면...
0=Dx-Dx=Mx-Nx=(M-N)x
이고, 모든 x에 대하여 이 식이 성립하려면
누가 보아도 M=N일 수밖에 없고...
따라서 M이 유일합니다...
그러므로 D에 대응하는 행렬 M은 하나밖에 없고 행렬과 선형사상은 같은 것이라는 철학에 따라 D와 M은 같은 것이라고 보아도 논리적 결함이 없습니다.
720p 이상으로 재업로드 가능하시면 해줄 수 있나요
대댓글 읽다가 발견했는데, 양쪽의 벡터를 소거하기에는 수학적으로도 물리적으로도 오류가 있는 것 같습니다. 시간 독립형 슈방의 경우에 Hψ=Eψ라고 쓰지만, 양변의 벡터를 지워서 H=E라고 쓰는 경우는 없으니까요. dagger operator의 개념을 이해하시기 위해서는 부분적분의 계산 과정을 이용하시면 수학적으로 오류 없이 이해가 될 수 있지 않을까요?
그렇다면 운동량 operator도 p=-hbar*i*d/dx 이고 양쪽에 파동함수가 없으니 그 자체가 오류라고 할 수 있는건가요?
또한, practical하게 수치미분을 한다면 - '미분을 한다'는 행위는 어떤 digit number들로 이루어진 벡터에 행렬로 표현된 미분연산자를 가하는 과정에 해당합니다. 그러한 상황에서는 '미분'이라는 행위가 '행렬'로 나타내어 지는 것이죠. 저는 아직 수학적으로 엄밀히 따졌을때 어떤 문제가 있을지는 잘 모르겠지만, 미분이 그런 행렬형태가 되면 안될 이유가 무엇인지 잘 모르겠습니다.
물론 부분적분을 통해서 d/dx의 dagger를 정의하고 이해할 수 있습니다. 모든 교과서에서 그렇게 하고 있고, 거기에는 아무 문제가 없습니다. 하지만 저의 의문은 '행렬에 대해서 하는 transpose라는 것을 어떻게 미분연산자에 대해서 할 수 있나?' 하는 것입니다. 물론 부분적분을 하는 식으로 그렇게 정의한것이니 그걸로 끝이라하면 받아들이고 딱히 따질것도 없지만, 저는 그것이 행렬에 대해서 사용하는 notation이기 때문에 분명히 행렬로 나타낼 수 있을것이라는 예상을 가졌던 것이죠. 그런데 이렇게 간단한 분석으로도 transpose의 개념이 명확히 이해되고 마이너스부호도 자연스럽게 나온다는 것은 너무나 일관성있어서 놀랍고 재미있었습니다.
관심가져주시고 질문주셔서 감사드립니다.
@@DMTPARK 뭔가 서로 소통의 부재가 있었단 것 같습니다.
제가 말씀드린 부분은 단순히 operator를 정의해서는 안 된다! 이게 아니라, 방정식에서 벡터를 약분해내는 방식으로 연산자를 이끌어내서는 안 된다는 의미였습니다. 그래서 해밀토니안에 대한 고윳값 방정식으로 설명을 했던 것이구요. H=... 이렇게 정의하는 것은 충분히 수학적으로 납득할만 합니다만, 고윳값 방정식 Hf=Ef에서 양변의 함수 f를 약분하는 방식으로 연산자를 정의하는 것에는 오류가 있다는 설명이었습니다.
말씀하신대로, 일반적인 대수적 연산자를 행렬로 표현할 수 있는가에 대한 부분은 매우 흥미롭고 지혜로운 시도라고 생각합니다. 그러나 (물리적으로는 허용이 되어도) 수학적인 측면에서 허용될 수 없는 오류가 있다는 점에서 과연 모든 연산자에 있는 미분을 행렬로 대체하여 표현할 수 있는가에 대한 고민 또한 필요해 보입니다. 예를 들어 에렌페스트의 정리에 따라 해밀토니안에 있는 이계미분연산자를 행렬로 치환할 수 있는가, 조화진동자의 사다리 연산자 등을 행렬로 바꾸어 계산할 때 논리적인 오류가 없는가 등등에 대한 고찰을 조심스레 말씀드려봅니다.
혹시나 행렬로 치환할 수 있는 기가막힌 방법이 떠오르시면 저도 같이 개꿀빨 수 있도록 꼭 알려주세요(__)❤️
저의 얕은 지식에나마 답변을 해주심에 감사드립니다.
그 경우엔 psi가 임의의 벡터가 아니라 eigenvector라서 나눌 수 없지만, 이분은 임의의 벡터에 대해 시작했으니 가능함. 그리고 영상에서 벡터를 소거한건 엄밀한 수학적 과정이라기보단 아니고 불연속적인 좌표계에서 미분에 대응하는 연산자를 정의하는 과정인듯. 불연속적인 좌표계에서 해밀토니안이 매트릭스인걸 생각해보면 당연히 가능한일이라고 봅니다
해당 식은 방정식이 아니라 항등식이므로... 양변의 벡터를 소거하는 것에 문제가 없습니다...
Ax=Bx가 어떠한 x에 대해서 다 성립하면 A=B인 것이 당연합니다.
@@DMTPARK 댓답 봐도 모르겠음... 암튼 훌륭한 유툽
이거 3Blue1Brown랑 상당히 비슷해 보이는데, 이런 애니메이션을 만드는 프로그램이 있는 것인가요?
manim이라는 python library가 있습니다
@@user-es9ui3cc3x 아 그렇네요. 감사합니다.
와 duality는 항상 충격적이네요
으.....다들 이해된다는데 난 왜 안되는거야 ㅜㅜ
안되는게 정상이에요ㅋㅋㅋ 저분들은 전공생이시거나 물리에 빠지신 분들일뿐ㅋㅋㅋ
지금 와서 이 영상을 다시 보니 왜 이런 영상을 만들었는지 왜 많은 지적이 있는지 양쪽이 모두 이해가 되네요 수학을 다루는 방법에 대한 물리학자와 수학자의 시각차이가 재미있습니다
사실 미분뿐만 아니라 적분도 메트릭스 겠네요
고등학생이지만 고급수학을 한탓에 행렬을 아는데 미분이 행렬로 저렇게 정의될수 있군요..
3blue1brown 형맞지? 언제 한국말 배웠어?!
다른분임
지렸다…
첫영상이었던것...
그렇군요...
오아...
혹시 영상제작 어떤 프로그램으로 만들었는지 알 수 있을까요?? 3Blue1Brown 채널과 제작방식이 비슷한거 같아서 여쭈어봅니다. 그리고 영상 감사합니다. 한번에 이해되네요 ㅎ
아 밑에 같은 질문 댓글 찾았습니다.감사합니다.
함수 f는 연속이므로 f(x)를 행렬 [...; f(xi-1); f(xi); f(xi+1); ...]로 나타내는 건 비약인 것 같습니다.
x_i와 x_(i+1) 사이에는 무수히 많은 수가 있습니다. 사이에 있는 수 중 임의의 수 a를 갖고 와도 xi와 a 사이에는 여전히 무수히 많은 수가 있습니다. 따라서 이 모든 사이의 수를 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]와 같은 행렬로는 포함할 수가 없습니다.
그러므로 f(x)와 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]를 상호변환할 수는 없을 것 같습니다.
f(x)를 다른 방식의 벡터로 표현해야 할 것 같습니다.
x_i 들의 간격을 무한히 작게하면 f(x)는 연속입니다.
@@DMTPARK f(x)의 정의역은 실수 집합이고, 열벡터 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]의 원소 개수는 정수 집합의 원소 개수입니다. 그런데 실수 집합과 정수 집합 사이의 일대일대응은 존재하지 않습니다. 정수 집합에서 실수 집합으로의 대응을 만들 때, 모든 정수는 실수 하나에 유일하게 대응시킬 수 있지만, 그 어떤 정수와도 대응되지 않는 실수가 항상 존재하게 됩니다.
따라서 x를 x_i에 대응시킬 때, x_i의 간격을 아무리 작게 해도, 대응되는 x_i가 없는 x가 존재하게 됩니다.
그러므로 f(x)를 열벡터 [...; f(x_(i-1)); f(x_i); f(x_(i+1)); ...]의 꼴로 나타낼 수 없지 않을까 생각합니다.
@@DMTPARK 연속은 실수에서 정의되는 개념입니다.
위 영상은 실함수 f의 정의역의 적당한 개구간을 n개로 등간격 분할함을 가정하고 있습니다.
개구간이 (a, b) 라고 합시다. a, b는 모두 실수 입니다.
개구간의 길이는 b-a이고 이를 자연수 n개로 등간격 분할하면 각 분할의 길이는 (b-a)/n 입니다.
이제 [1,n-1] 의 원소인 자연수 k에 대해 (b-a)*k/n을 고려해 봅시다.
이는 영상에서 보여주신 ..., x_(i-1), x_(i), x_(i+1), ... 에 해당됩니다.
임의의 자연수 n에 대해, x_(i-1)과 x_(i) 사이에는 실수가 무수히 많이 존재합니다. (실수의 연속성)
즉 n이 아무리 커도 해당 사이에 존재하는 실수들에서 함숫값이 존재합니다.
이는 알레프제로와 시그마의 측도 차이에 관한 부분으로 예상됩니다.
따라서 이 부분은 측도론이 필요한 것 같습니다.
만물행렬론 ㄷㄷㄷㄷ
잠이 잘 와용
역행렬과 역함수를 알아야겠네요
재미있었습니다
먼 뜻이냐...하!
와 신기해
2가 분모 h에 곱해진 이유가 뭐죠? 그냥 h여도 되잖아요
Xn과 Xn+1의 거리를 h라고 했을 때, (Xn,f(Xn))에서의 접선의 기울기를 (Xn-1,f(Xn-1))과 (Xn+1,f(Xn+1)) 사이 직선으로 표현하고 이 직선의 x축 변화량이 2h가 돼요.
미분방정식과 행렬에 관한 영상을 보니 훨씬 이해하기 쉽더군요.
ruclips.net/video/Vtijyyo5fKI/видео.htmlsi=0_1VtcyvPHMSXxNx
음 좋은데 이런식으로 하면 좀 그러네요. 그냥 교환자로 설명하는게 좋았을것 양자역학의 미분은 교환자이기 때문이죠. 사실 이건 오차가 무조건 생기는데 오차항은 어디가신것 같습니다.(농담입니다) 오해를 줄 수있는듯합니다. 유한차분법과 양자역학의 연산자가 같은가요?아닙니다. 양자역학은 플랑크상수만큼의 양자세계를 말하는것에 있습니다. 그렇기 때문에 교환자를 통해서 연산자가 미분적인 역할도하고 그게 불확실성을 만든다고 하는게 좋지 않을까요. 왠지 이건 유한차분법의 오차가 꼭 불확실성을 만든다는 것처럼 보입니다. 오늘도 마니 배우고 갑니다. From. 물리아저씨
오호 -_-
오....
뭐라는건지 설명해줄분?
어우 여기는 댓글 수준이 너무 높네 ㅋㅋㅋㅋㅋ
와 이해할뻔...
오 이해했다.
@헤헤헤 미분의 정의랑 (고2수준)
선형대수학 행렬파트 공부하시면 알 듯
봐도 모르겠다
???
ㄴㅇㅁㅇㄱ
시이발 잘못들어왔네...
Cd3b
그래도 지구는 평평하다.
농담입니다.
3blue1brown 너무 배끼신거 아니에요?;