저에게 큰 격려가 되는 댓글을 많이 달아 주셨네요. 정말 힘이 납니다.^^ 감사합니다. 많은 설명을 마구잡이로 하면 오히려 도움이 안 될 것이라고 생각하고 있어서, 설명을 여러 번 손질하고 동영상을 만들고 있습니다. 그래서 자주, 빠르게 영상을 올리지 못하는 점에 대해서 양해 부탁드립니다. 다시 한번 댓글과 격려에 감사드립니다.
영상 너무 감사합니다. 이번에 처음으로 대각선 논법을 접하게 되었는데요. 증명 과정을 보다가 "왜 인위적으로 숫자를 변경해야 하지?" 라는 의문점이 들면서 계속 고민했었어요. 예를 들면, 동영상 9:11 에서 "대각선으로 나열된 숫자들을 굳이 1을 더하지?" "그냥 기존에 나열된 대각선 숫자를 써도 되지 않나?" 이런 생각을 계속 했었거든요. 근데 강의 영상을 계속 보면서 대각선에 나열된 숫자들을 인위적으로 변경하지 않고 그냥 쓰면... "대각선에 나열된 숫자" 와 기존에 "자연수와 1 대 1 대응한 똑같은 실수" 가 있을 수 있겠구나 라고 생각이 들었습니다. (제가 이해한 게 맞는지 모르겠네요.. ㅎㅎ) 너무나도 감사합니다. 혹시 시간 괜찮으시다면 유리수 관련해서도 영상 올려주실 수 있을까요? 지금 Calkin-Wilf sequence 가 이해가 너무 안되가지구.. 집합론 너무 어렵습니다.
도움이 되었다는 말씀에 보람을 느낍니다. 말씀하신 그런 내용들에 대해서, 수학자들이 당연히 알겠거니 하고 별 설명이 없이 넘어가는 경우가 많아서, 자칫 이해가 걸리는 분들은 곤혹을 치르죠. 지금 요청이 들어온 내용들이 몇 개 있는데, 대학교에서 강의도 하고 또 연구 프로젝트에도 참여하는 일이 많아서 동영상을 빨리 만들어 올리지를 못합니다. 이 점 양해해 주세요ㅜㅜ
아직 수학을 제대로 배우진 않아서 그냥 사소하게 질문을 하나 해봐도 될까요? 만약에 대각선으로 각자리 (무한자리수겠죠) 에 1을 더하면 대응시키지 않았던 실수 한개가 생겨나는 것에 대해서는 이해가 되는데, 만약에 자연수에도 같은 원리를 작용하면 자연수도 대응 시키지 않았던 자연수 한개가 더 생겨나지 않을까...? 라는 생각이 들었습니다. 유한자리수가 무한자리수 자연수와 숫자가 일치 할 일은 없으니 자연수가 무한자리 수까지 간 범위에서, 똑같이 각 자릿수에 대각선으로 1씩 더하면 실수와 같은 경우가 되지는 않을까요..? 이미 증명된 논법에 반론을 하자하니 제가 틀린게 분명하긴 하지만, 왜 자연수에 같은 원리를 적용시키지 못하는지, 감히 답변을 구해봅니다.. ㅜ
답글이 늦어서 죄송합니다. 요지는, 무한 소수들을 늘어 놓은 것이 아니라 자연수들을 늘어 놓고, 거기에서 각 자리에 1을 더하는 것을 생각하시는 것으로 이해했습니다. (이게 제대로 이해한 거라고 생각하고 설명하겠습니다.) 그러면, 0.123412.... 0.123414.... 0.12423.... 이렇게 열거된 것(칸토어의 경우)가 아니라. 1 2 3 ... 이렇게 열거된 경우가 될 것입니다. 여기서 두 가지 경우를 생각해야 할 듯 합니다. (1) 만약 1이나 2에 어떤 값을 더해서 다른 수를 만드는 것이라면(예를 들어 2에 어떤 값을 더한다면) 그 수는 이미 (아래로) 열거된 무한 배열 속에 있을 가능성이 있습니다. 하지만 칸토어의 경우에는 그 가능성이 없습니다. (2) 만약 1을 1.00000... 으로 보고 그 중의 한 자리를 바꾼다면(예를 들어, 1.0010... 으로) 이것은 칸토어의 생각과 다를 바가 없는 것입니다. 정리하자면, 자연수에 같은 원리를 적용하지 못하는 이유는, 자연수에 적용했을 때 (1)의 경우처럼, 새로 만들어진 수가 이미 열거된 수에 포함되어 있을 가능성을 배제할 수 없기 때문입니다. 물론 열거되지 않은 수가 나올 수도 있죠. 하지만 열거된 수가 나올 수도 있잖아요. 이렇게 잘 알 수 없다면, 증명이 된 것은 아닙니다. 반면에 무한 소수의 경우에는, 반드시 아래로 무한히 열거된 수에 포함되지 않았음이 확실한 수가 생성된다는 것이 핵심입니다. 수학 공부를 위해서는 우문을 해 보는 것이 중요합니다. 저는 학생들에게 항상 '바보같은 질문을 하라!'라고 주문합니다. 우문이 우문이 아닌 것이죠. 지금 질문하신 것에 대해서 대답이 되었는지 모르겠는데, 다른 사람들이 다 알지만 나만 모르는 것에 대해서, 두려워하지 않고 질문하셔야 합니다. 그래야 진짜 수학 공부가 됩니다. 최소한 이 채널에서는 그렇게 하셔도 됩니다.^^
@@TV-py9os 아 그 경우를 생각하지 못했네요.. 답변해주셔서 잘 이해했어요 감사합니다!! 요즘 학원에서는 눈치보여서 질문을 자주 못할 때가 많은데 그렇게 말해주시니까 마음이 잡아지네요,, 또 한번 감사드려요 학교.학원에서 배우는 것 외의 수학에 대한 궁금증이 생기면 채널 자주 볼게요!!
일단 분수의 개수가 자연수의 개수와 같다는 점을 이해해야 합니다. 그래서 님이 말씀하신 것처럼 논리를 진행하면 분수와 같아지는지, 그보다 많아지는지가 애매해집니다. 그래서 증명이 되었다고 하기 어려울 듯 합니다. 사실상, 지금까지 모든 수학자들이 알고 있기로는, 더 큰 무한집합이 있다는 것을 증명하는 유일한 방법은 대각선논법입니다.
![[집합론] 유리수 집합에 대각선 논법 써 보기](http://i.ytimg.com/vi/CHTDztnyQHI/mqdefault.jpg)
![[집합론] 유리수 집합에 대각선 논법 써 보기](/img/tr.png)
교수님 이건 첨 보는 건데요, 어제 보다 더 어렵네요.얼마전 시인 이 상의 시를 봤는데 환자의 사망선고 같은 시였어요.이거 시처럼 보여요..ㅠㅠ 진짜 어렵네요.안돼겠어요. 오늘 또 영상을 반복해서 보고 생각을 많이 해봐야 할것 같아요
참고로 어제 본 자연수와 정수의 개수의 동영상은 아주 서서히 머릿속에 거부감이 없어지는 듯 합니다.교수님 답변 감사합니다!
영상 너무 재밌습니다. ’차원이 다른 무한히 큰 두개의 크기는 다르다‘라는 깨달음을 얻었습니다.
댓글 감사드립니다.^^
이건 제 설명 방식인데, 참고로만 하세요. 정확한 내용은, 재미가 좀 없고 어렵더라도, 수학 책에 있는 내용을 그대로 외우는 것이 좋습니다.
그래도 제 설명이 틀렸다는 생각은 아직 들지는 않아요.^^
이해가 되었습니다. 감사합니다.^^
감사합니당❤
5:30
이해 잘됐어요😊
댓글 감사합니다. 이해를 돕는 것이 이 채널의 일입니다.^^
간단한 댓글이라도, 댓글 주실 때마다 힘이 납니다.
좋은 영상 감사합니다! 무척 흥미롭고 재밌네요 ㅎㅎ
감솨함돠.^^
제가 수학을 0점 받은적도 있었는데 왜 학교 다닐때 이런 참맛을 몰랐을까요 이해는 안되지만 뭔가 신기하고 재미있습니다 ㅎㅎ 감사합니다
칭찬에 크게 감사드립니다.^^
대각선논법 너무 궁금했는데
이거보고이해했습니다~!!!
도움이 되었다니 기분이 좋네요.^^
저에게 교수님의 강의는 사막에서있는 저에게 오아시스와 같은 강의입니다. 너무도 세심한 강의에 감사드립니다
저에게 큰 격려가 되는 댓글을 많이 달아 주셨네요.
정말 힘이 납니다.^^ 감사합니다.
많은 설명을 마구잡이로 하면 오히려 도움이 안 될 것이라고 생각하고 있어서, 설명을 여러 번 손질하고 동영상을 만들고 있습니다.
그래서 자주, 빠르게 영상을 올리지 못하는 점에 대해서 양해 부탁드립니다.
다시 한번 댓글과 격려에 감사드립니다.
영상 너무 감사합니다. 이번에 처음으로 대각선 논법을 접하게 되었는데요.
증명 과정을 보다가 "왜 인위적으로 숫자를 변경해야 하지?" 라는 의문점이 들면서 계속 고민했었어요.
예를 들면, 동영상 9:11 에서 "대각선으로 나열된 숫자들을 굳이 1을 더하지?"
"그냥 기존에 나열된 대각선 숫자를 써도 되지 않나?" 이런 생각을 계속 했었거든요.
근데 강의 영상을 계속 보면서 대각선에 나열된 숫자들을 인위적으로 변경하지 않고 그냥 쓰면...
"대각선에 나열된 숫자" 와 기존에 "자연수와 1 대 1 대응한 똑같은 실수" 가 있을 수 있겠구나 라고
생각이 들었습니다. (제가 이해한 게 맞는지 모르겠네요.. ㅎㅎ)
너무나도 감사합니다.
혹시 시간 괜찮으시다면 유리수 관련해서도 영상 올려주실 수 있을까요? 지금 Calkin-Wilf sequence 가 이해가 너무 안되가지구..
집합론 너무 어렵습니다.
도움이 되었다는 말씀에 보람을 느낍니다.
말씀하신 그런 내용들에 대해서, 수학자들이 당연히 알겠거니 하고 별 설명이 없이 넘어가는 경우가 많아서, 자칫 이해가 걸리는 분들은 곤혹을 치르죠.
지금 요청이 들어온 내용들이 몇 개 있는데, 대학교에서 강의도 하고 또 연구 프로젝트에도 참여하는 일이 많아서 동영상을 빨리 만들어 올리지를 못합니다. 이 점 양해해 주세요ㅜㅜ
교수님 만세!!! 영상을 돌려서 봤는데요 방금 뭔가 아주 조금 이해가 갈 것 같아요!!!! ㅎㅎㅎㅎㅎㅎ 교수님은 저 같은 수학 무뇌아들의 구세주! 메시아!! 감사합니다!!!
아직 수학을 제대로 배우진 않아서 그냥 사소하게 질문을 하나 해봐도 될까요?
만약에 대각선으로 각자리 (무한자리수겠죠) 에 1을 더하면 대응시키지 않았던 실수 한개가 생겨나는 것에 대해서는 이해가 되는데, 만약에 자연수에도 같은 원리를 작용하면 자연수도 대응 시키지 않았던 자연수 한개가 더 생겨나지 않을까...? 라는 생각이 들었습니다. 유한자리수가 무한자리수 자연수와 숫자가 일치 할 일은 없으니 자연수가 무한자리 수까지 간 범위에서, 똑같이 각 자릿수에 대각선으로 1씩 더하면 실수와 같은 경우가 되지는 않을까요..? 이미 증명된 논법에 반론을 하자하니 제가 틀린게 분명하긴 하지만, 왜 자연수에 같은 원리를 적용시키지 못하는지, 감히 답변을 구해봅니다.. ㅜ
답글이 늦어서 죄송합니다.
요지는, 무한 소수들을 늘어 놓은 것이 아니라 자연수들을 늘어 놓고, 거기에서 각 자리에 1을 더하는 것을 생각하시는 것으로 이해했습니다. (이게 제대로 이해한 거라고 생각하고 설명하겠습니다.)
그러면,
0.123412....
0.123414....
0.12423....
이렇게 열거된 것(칸토어의 경우)가 아니라.
1
2
3
...
이렇게 열거된 경우가 될 것입니다. 여기서 두 가지 경우를 생각해야 할 듯 합니다.
(1) 만약 1이나 2에 어떤 값을 더해서 다른 수를 만드는 것이라면(예를 들어 2에 어떤 값을 더한다면) 그 수는 이미 (아래로) 열거된 무한 배열 속에 있을 가능성이 있습니다. 하지만 칸토어의 경우에는 그 가능성이 없습니다.
(2) 만약 1을 1.00000... 으로 보고 그 중의 한 자리를 바꾼다면(예를 들어, 1.0010... 으로) 이것은 칸토어의 생각과 다를 바가 없는 것입니다.
정리하자면,
자연수에 같은 원리를 적용하지 못하는 이유는, 자연수에 적용했을 때 (1)의 경우처럼, 새로 만들어진 수가 이미 열거된 수에 포함되어 있을 가능성을 배제할 수 없기 때문입니다. 물론 열거되지 않은 수가 나올 수도 있죠. 하지만 열거된 수가 나올 수도 있잖아요. 이렇게 잘 알 수 없다면, 증명이 된 것은 아닙니다.
반면에 무한 소수의 경우에는, 반드시 아래로 무한히 열거된 수에 포함되지 않았음이 확실한 수가 생성된다는 것이 핵심입니다.
수학 공부를 위해서는 우문을 해 보는 것이 중요합니다. 저는 학생들에게 항상 '바보같은 질문을 하라!'라고 주문합니다.
우문이 우문이 아닌 것이죠.
지금 질문하신 것에 대해서 대답이 되었는지 모르겠는데, 다른 사람들이 다 알지만 나만 모르는 것에 대해서, 두려워하지 않고 질문하셔야 합니다. 그래야 진짜 수학 공부가 됩니다.
최소한 이 채널에서는 그렇게 하셔도 됩니다.^^
@@TV-py9os 아 그 경우를 생각하지 못했네요.. 답변해주셔서 잘 이해했어요 감사합니다!! 요즘 학원에서는 눈치보여서 질문을 자주 못할 때가 많은데 그렇게 말해주시니까 마음이 잡아지네요,, 또 한번 감사드려요 학교.학원에서 배우는 것 외의 수학에 대한 궁금증이 생기면 채널 자주 볼게요!!
@@도연이-n3h 저도 지속적으로 영상을 올릴게요.^^
'바보같은 질문이 중요하다' - 이건 세계적인 학자들이 하는 말이니까, 질문을 가지고 있음 자체를 자랑스럽게 생각하세요.^^
저도 이분과 같은생각을 했는데요
그렇다면 자연수가아니라 정수라면 실수와 같은크기의 무한이되나요?
아니면 위에 설명하신 그대로 대응이 안될까요 자연수에 대응시키고 새로 생기는 실수들은 음수에 대응하면 될거같은데 음수도 역시 모두 이미 대응된상태일까요?
그냥 아주 쉽게 자연수 n에 대해서, n+0.1 n+0.2...이렇게 무수히 존재하는 실수가 있으니, 당연히 더 크다고 쉽게 증명할 수 있지 않나요
일단 분수의 개수가 자연수의 개수와 같다는 점을 이해해야 합니다. 그래서 님이 말씀하신 것처럼 논리를 진행하면 분수와 같아지는지, 그보다 많아지는지가 애매해집니다. 그래서 증명이 되었다고 하기 어려울 듯 합니다.
사실상, 지금까지 모든 수학자들이 알고 있기로는, 더 큰 무한집합이 있다는 것을 증명하는 유일한 방법은 대각선논법입니다.