미국에서 수학을 가르치는 사람입니다. 늘 이상엽 선생님 영상 감동하며 보고 배우는 일인입니다. 열심히 수학을 가르쳐서 이 놀라운 '수학'을 즐겁게 이해하고 응용할수 있는 학생들을 많이 많이 배출하는것이 제 소망입니다. 주옥같은 강의들 늘 감사 드립니다. 보스턴에 사는데 언제 보스턴에 오실 일이 있으시면 연락 주세요. 꼭 맛있는 랍스터 사 들이겠습니다!!!
정리) 서로소인 자연수 a, b에 대하여 원주율을 a/b라고 가정했을 때 두 다항함수 f(x)=(x^n*(a-bx)^n)/n!, F(x)=∑[k=0~n]((-1)^n*(d/dx)^n·f(x))에서 F(0)+F(π)=∫[0~π]f(x)sinxdx는 정수이고 lim[n->∞](1/(n!)*(aπ/4)^n)=0이므로 0초과 1미만의 정수 F(0)+F(π)은 존재하지 않으므로 모순이 발생 즉, 원주율은 유리수가 아니다.
정말 너무너무 멋있네요. 저는 사실 수학자를 목표로 하고있는데 좌절할 것만 같은 천재성들이에요 정말. 어떻게 이렇게 중등교육과정의 내용들만으로, 한페이지만으로 파이의 무리성을 밝혀낼 수가 있는걸까요. 처음 들어보는 수학자분조차 이렇게 위대한 업적을 남기고 계셨구나 싶은 생각이 드네요. 이런 좋은 내용 쉽고 재미있게 소개해주셔서 정말 감사합니다 ㅜㅜㅜㅜ
선생님 질문잇습니다. 'pi=a/b 라고 쓸 수 있는 a, b가 존재한다' 라는 가정에서 증명이 시작되는데요, 이런 논리의 흐름이라면 증명 전체에서 pi자리에 pi가 아닌 아무 수나 다 집어넣어도 다 말이 되는거 아닌가요? 가령 무리수e 같은것이요.. 그럼에도 이 증명이 정당한 이유는 중간에 삼각함수 sin이랑 적분구간에서의 pi를 포함해서라고 봐도 될까요?
그리고 37:08 에서 굳이 F(0)+F(파이)둘러싼 부등식에 샌드위치 정리를 적용하면 양쪽 부등식이 0이 되고 안쪽 F(0)+F(파이)는 정수라고 했으니까 그대로 정수가 되죠. 그리고 샌드위치 정리에서는 부등호에 등호가 없어도 극한을 붙이면 등호를 쓰잖아요, 그래서 해당 범위에 포함되는 F(0)+F(파이) 중 정수는 0 으로 존재한다고 이야기할 수 있지 않나요?
해당부분의 샌드위치 정리는 n이 양의 무한대일때의 pi/n!*(a*pi/4)^n의(이하 A로 통칭) 극한값이 0이상이다를 보여주게 됩니다.(정확히는 0이상 M(알파/베타+1)^n-베타이하) 그러나 마지막 부분에서의 대소비교에서 A의 n값은 A의값이 1보다 작게되는 임의의 정수를 넣은 값으로 해당 값은 양수임이 자명합니다. (양수들의 곱) 또한 F(0)+ F(pi)는 0보다 크고( f(x)sinx가 0에서 pi까지 0보다 큰 값을 가진 다항함수임으로 해당 구간 적분 값도 양수) A의 값보다는 크지않다는 것도 자명합니다. (함수의 최댓값과 정적분값의 관계) 따라서 0< F(0) + F(pi)
헐 저 파이가 왜 순환되지 않는지 계속 계산을 해나가다보면 순환되는걸 발견할수도 있지 않을까 생각했었는데 왜 그런얘기가 없는지 궁금했는데 알려주셔서 감사합니다!! (나누기에서 순환되는 수의 규칙이 있지않을까 순환소수가 나타나는 과정을 역순으로 보면 뭔가 공식이 나오지 않을까 이거 공식 발견하면 대박나서 수학자로 먹고사는건가 기대했는데...그럴리없죠.....(ㅜ))
지나가는 문돌이의 모자란 질문.... 초월수는 유리수를 계수로 갖는 n차 방정식의 해(대수적 수)가 아닌 수라고 하는데, 가끔 올린 동영상들을 보면... 어떤 함수들의 값을 계산한 값이 2분의 루트 파이, 6분의 파이 같은 간결한 답이 나오기도 하는데, 함수의 값이 파이로 표현된다는 것과 함수의 값을 0으로 만드는 해가 파이가 된다는건 다른 소리인거죠? 당연히...?
15:30에서 -1이 계속 튀어나오는 이유가 이게 맞을까요 y=f(u) u=x-π 라고 식을 두면 d^(k)y/du^(k) × du^(k)/dx^(k) 가 되는데(이게 성립할지는 모르겠습니다) d^(k)y/du^(k)=f^(k)(u)=f^(k)(x-π) 이 되고 뒤에있던 du^(k)/dx^(k)=(du/dx)^(k) 로 묶이고(묶일수있는지는 모르겠습니다 애초에 저k가 du와 dx를 제곱한걸로 알고있어서;;) du/dx=(-x+π)'=-1 이니 du^(k)/dx^(k) 부분은 (-1)^k 가 되어서 (이건 좀 아닌것 같지만;;) (-1)^kf^(k)(π-x)가 되는걸까요..? 이 부분이 잘 이해가 안돼서 물어봅니다!
y = f(u), u = π-x라 하면, dy/dx = dy/du · du/dx = f'(u) · (-1) = -f'(π-x)입니다. 여기서 y₁ = -f'(u)라 하면 마찬가지로 dy₁/dx = dy₁/du · du/dx = -f''(u) · (-1) = f''(π-x)입니다. 같은 방법으로 계속하면, y_k 즉, f(π-x)의 k계도함수는 홀수일 때 -f^(k)(π-x)이고, 짝수일 때 f^(k)(π-x)임을 알 수 있습니다. 이때, -1의 홀수 제곱은 -1이고, 짝수 제곱이 1인 것을 이용해서, 홀짝으로 나뉘어진 두 케이스를 (-1)^k f^(k)(π-x)라고 한번에 표현할 수 있는겁니다.
N이 꼭 Lemma 3에서 나타낸 수열(정확히 말하자면, 그 수열에 '파이'를 곱한 또다른 수열)을 1보다 작게 만드는 값이 아니라, '그렇게 될 수밖에 없는 값'입니다. 왜냐하면 n이 양의 무한대로 발산할 때 Lemma 3에서 나타낸 수열의 극한값이 0이기 때문에, n에 충분히 큰 수 N을 대입한 그 수열이 당연히 '0보다 크거나 1보다 작은 범위' 내에 존재합니다. 물론 "0보다 크거나 2 이상의 자연수보다 작다."라고 표현할 수 있지만(실제로 Lemma 3에서 나타낸 수열에 파이를 곱한 또다른 수열은 0보다 크거나 파이만큼 작을 수 있으므로 직관적으로 "0보다 크거나 4만큼 작다"라고 설정할 수 있음), "파이를 유리수라고 가정했을 때 만들어낸 3개의 Lemma가 서로 모순을 이룬다."라는 것을 밝혀내기 위해 일부러 "0보다 크고 1보다 작다."라고 설정한 겁니다.
물론 1보다 크게 잡을 수도 있는데, "1보다 작게 만들도록 N을 잡는 것이 가능하다" 라는 게 증명 포인트입니다. 충분히 크지 않은 N에 대해선 1보다 커지지만, 저 값을 1로 만들기에 충분히 큰 N을 잡을 수 있으니까 저런 결론을 낼 수 있는 겁니다. 질문하신 내용을 비유를 하자면 "충분히 큰 n에 대해선 n>5이다" 라는 걸 n이 1,2,3 같은 수이면 만족하지 않지 않나요? 라고 질문하신 것과 비슷한 거라고 생각하시면 될 듯 합니다
일단 설명 해주셔서 감사합니다!! 그런데도 이해가 안가서요ㅠㅠㅜㅜㅜㅜㅜㅜ (답글로 하기는 죄송해서 보시는분 계시면 답해주시면 감사하겠습니다) 일단 처음에 For n 포함 N (왼쪽편 위에서2번째줄) 이면 그냥 자연수 범위에 속하는 어떤 n에 대해서 함수를 정의하는거니까 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는게 아니지 않나요?? 그리고 A s.t. B면 B를 만족하는 A 라고 해석하잖아여 그니까 오른쪽 위에서 뒤에 부등식 조건을 만족하는 자연수 범위에 속하는 N이 존재한다는 것이고 다시말하면, (A뒤집어놓은기호)N이 아니라 (E뒤집어놓은기호)N이니까 어떤 N에 대해서만 성립하는 거잖아요ㅜㅜ 저 부등식을 만족하지 않는 n에 대해 계산하면 그래서 N값에 따른 a,b가 결정될거라고 생각하는거에요ㅜㅜ 다시 말하면 일단 n이 모든 자연수값에 대하여 성립해야하는지, 그렇다면 왜 성립해야하는지가 궁금합니다.(처음n을 정의할때 그둘의 기호에 대한 설명) (그렇다면 이하의 내용에 대해서는 설명이 필요없을거 같습니다) 그렇지 않다면, s.t. 이하의 부등식을 만족하지 않는 N에 대해서는 왜 고려해볼 필요가 없는지, 그런 N에 대해서 식을 해석해보면 그거에 따른 a,b가 왜 안나오는지가 궁금합니다. 장문 읽어주시느라 고생하셨습니다 ㅜㅜ
![[지식in] e란 무엇인가? / [Eng sub] What is constant e ?](http://i.ytimg.com/vi/ELArhsyt4MA/mqdefault.jpg)
![[지식in] e란 무엇인가? / [Eng sub] What is constant e ?](/img/tr.png)
![[수학史] 음수의 의미와 수학 정착기](http://i.ytimg.com/vi/KtZ5ufQFG2s/mqdefault.jpg)
![[강연] 세상을 바꾼 5명의 수학자들](http://i.ytimg.com/vi/AXN8b9PCwNQ/mqdefault.jpg)
영상이 깁니다. 1.5배속 시청을 추천 드리고, 쉬엄쉬엄 봐 주세요 ^^
본문에 아이반 니븐의 증명파일도 첨부해 놓았습니다.
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
본인 영상을 배속으로 들으라고 권장하는 유튜버가 있다?? 무적권 배속없이 갑니다!
중간부터 1.25로 봤어요ㅠ
미국에서 수학을 가르치는 사람입니다. 늘 이상엽 선생님 영상 감동하며 보고 배우는 일인입니다. 열심히 수학을 가르쳐서 이 놀라운 '수학'을 즐겁게 이해하고 응용할수 있는 학생들을 많이 많이 배출하는것이 제 소망입니다. 주옥같은 강의들 늘 감사 드립니다. 보스턴에 사는데 언제 보스턴에 오실 일이 있으시면 연락 주세요. 꼭 맛있는 랍스터 사 들이겠습니다!!!
선생님 궁금한개 있습니다. 적분을 할때 실수범위를 허수범위로 바꿔서 적분을 해도 되나요?
예: sin(x)=e^(it)+e^(-it)
cos(x)dx=~~~dt
혹은
예:2cos(x)=e^(ix)+e^(-ix)
이런식으로요
@@이신범-o5n 두 식이 같으므로 허수범위의 값은 나오지 않습니다. 정의역이 실수라는 전제하에
아 확실히 이해됬어요 감사합니다!!
선생님의 정리가 너무 감탄스러워 댓글을 남기고자 하였으나 여백이 부족하여 다 표현하지 못하고 갑니다
이현일 오오...현일이의 ㅁr지막정리...
현일이의 마지막 댓글
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
미친놈드랔ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 진짜면 어떻게하게?
@@진리퍼플이 페르마의 마지막 정리는 죽기 전 마지막으로 남긴게 아니고 마지막까지 증명되지 못한거에용
정리)
서로소인 자연수 a, b에 대하여 원주율을 a/b라고 가정했을 때
두 다항함수 f(x)=(x^n*(a-bx)^n)/n!, F(x)=∑[k=0~n]((-1)^n*(d/dx)^n·f(x))에서
F(0)+F(π)=∫[0~π]f(x)sinxdx는 정수이고
lim[n->∞](1/(n!)*(aπ/4)^n)=0이므로
0초과 1미만의 정수 F(0)+F(π)은 존재하지 않으므로 모순이 발생
즉, 원주율은 유리수가 아니다.
와... 엄밀한 증명이라길래 얼마나 엄밀한 걸까 하고 들어왔는데 영상길이 40분 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
프사 진짜 '켓'이네ㅋㅋㅋㅋ
40분인줄 모르고 계속 넋놓고 보고있다가 얼마나 봤는지 보니까 18분봄 ㄷㄷ
ㅋㅋㅋㅋ 40분 다봤다는줄
반전ㅋㅋㅋ
37:20 내가 모순이라는걸 직감적으로 느낀 시간
저 과정 자체를 직감적으로 느껴서 증명한 사람 진짜 사람맞나 싶네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
파이를 한번에 다 먹는 건 무리다요.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 이게 왜 웃기지 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
최준석 오예스 검색 추천
여기에 Q.E.D 만쓰시면 당신은 이제 아벨상 후보입니다.
정말 너무너무 멋있네요. 저는 사실 수학자를 목표로 하고있는데 좌절할 것만 같은 천재성들이에요 정말. 어떻게 이렇게 중등교육과정의 내용들만으로, 한페이지만으로 파이의 무리성을 밝혀낼 수가 있는걸까요. 처음 들어보는 수학자분조차 이렇게 위대한 업적을 남기고 계셨구나 싶은 생각이 드네요. 이런 좋은 내용 쉽고 재미있게 소개해주셔서 정말 감사합니다 ㅜㅜㅜㅜ
전부 고등학교 때 배우는 것들이라 생소한 내용도 없고
증명이 너무 술술 흘러가니까 머리가 저절로 끄덕거려짐ㅋㅋㅋ
수열이 1보다 작을 수 있다는 말씀하실 때 저도 모르게 탄성이 나왔네요. 엄청 재밌게 봤습니다. 감사합니다.
와 진짜 감탄만 나오네요
증명 내용도 최대 고등학교 수준으로 쉽고 도대체 어떻게 저런 아이디어를 냈는지도 대박이고 깔끔한 증명을 위한 사전 설계도 대박입니다
물론 물흐르듯 자연스러운 선생님 강의도 정말 좋구요
덕분에 40분 순삭했습니다 ㅋㅋ
4:00 실증명 시작
정말 고등학생도 이해할수 있을만큼 친절한 설명에 감탄하고 갑니다!
혹시 기회가 되시면 파이가 초월수임을 설명해 주실수 있나요?
ㅋㅋㅋㅋ산넘어 산이네요~저도 이생각했는데
와 ㄹㅈㄷ 40분을 꾹참고 시청 끝에 엄청난 지적 쾌락을 느꼈습니다!
간단할 줄 알았는데 생각보다 여러단계를 거쳐서 좁혀 나가네요. 여러 복선들이 완벽하게 회수 되는 영화를 보는 거 같은 짜릿함이 있음
증명을 보면서 드는 생각인데 수학자들은 이러한 증명을 구성하는 아이디어를 어떻게 생각해내는 건지... ㄷㄷ
그저 존경스러울 따름이네요
영상 보는데 정말 깔끔하게 정리 잘하시고 내용들이 머릿속에 잘 들어왔어요!
감사합니다 :)
저도 가끔 느끼는 건데 문제를 이해하고 다른 일을 하다보면 증명문제들이 풀리는 경우가 많더라고요
1년전 영상임에도 알고리즘의 은총으로 갑자기 파이가 떡상하는 군요!
당연히 물이니까수지
와 ㅋㅋ 이해하는데 3초는 걸렸다 ㅋㅋㅋㅋㅋ
물이水 ㅋㅋㅋ
무리수 던지시네..
'실수'하시네
ㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋ웬만한 추리영화도 이것보다 꿀잼일 수 없다
원주율데이에 걸맞는 고급강의였습니다. 감사합니다. 대학 졸업 후에나 겨우 보는군요.
예비중도 이해시키는 놀라운 동영상입니다
왠만해선 제가 좋아요 잘 안누르는데 좋아요 눌렀습니다.
대단하십니다
내 같은 년배 국민학교 동급생들도 이 영상보고 이해했소
나는 브라질 사람이고 한국 비디오는 수학을 대학에 적용할 수 있을 만큼 수학을 이해하는 데 도움이 됩니다. 당신들은 모두 정말 훌륭합니다. 칭찬을 쓸 수 있기를 바랍니다 :)
수학 전공자인데 오랜만에 증명 표현들 보니 반갑네요. 재미있게 잘 봤습니다!
3:08 현 고3이라는 사실에 처음으로 조금이나마 기분이 좋아지네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
이제 수학과로 오십쇼!
@@초코바-d8q ???
적분으로 증명하니까 훨씬 미적분학스럽고 좋네 ㅋㅋㅋㅋ
맨날 p/q 는 유리수라고가정 p,q는 서로소 이렇게만 여태까지 증명해왔지 저렇겐안했었으니까. 잘보고갑니데이
p/q 꼴로 두고 그에 맞춰서 증명되게끔 f(x) 를 잡았잖아요....... 영상 보고 말하는게 맞습니까?......
해석학x 미적분학o
@@김희철-h1j 쟤 말은 루트2같은 수들은 항상 p, q가 서로소여야 한다는 사실에서 모순을 이끌어냈는데 여기에서는 다른 방법으로 모순을 이끌어냈다는거 아님?
@@물고기-p4f 걍 귀류법 안쓴거~
무리수중에서도 초월수를 다루고 있는 증명이라서 일반적인 실수의 연산만으로는 해결되기 힘들기때문에 유리수라고 가정하는 방법을 쓰지 못하는 겁니당
좋아요 누르고 시청할게요 ㅋㅋ
오 이번건 고등학교 내용만 알아도 되는거라 좋네요
증명이 무지길긴하지만 ㅋㅋ
이렇게 재미있는 영상은 오래간만이네요. 정말 감사합니다.
선생님의 놀라운 설명에 감탄을 금치 못하고 갑니다!
친절한 강의 감사합니다.
진짜 컨텐츠 짱좋다
단편영화같은 느낌을 받았음 해석학을 땡겨와서 대수학 놈을 설명하는것도 재밌고
선생님 시간 가는 줄 모르고 다 봐버렸습니다. 함수열에 관련된 풀이일거라고 생각했는데 아니였네요
와 내가 태어나서 이런걸 이해할수있을진 몰랐다.. 감탄나오네 이래서 수학하는거구나
40분동안 너무재밌어서 시간이 순삭되었네요
고1때부터 궁금했던 내용을 드디어...
훌륭합니다. 공대 졸업한 사람으로서 취미로 시간날때 보니 무지 흥미롭고, 재미있네요.
대학원 시절 공대 논문들 보다가 수학실력이 달려 애먹은 적이 많아서, 수학잘하는 사람 보면 그저 부럽습니다.
와 걍 쩐다 ㄷㄷ 40분(몇 배속 하긴 했지만) 순삭 ㅡ 완전 꿀잼이네
초한수라는 사실을 얼마전에 알게됐습니당 ㅠㅠ 잘보고 가요 쌤!!! 감사해용 헤헿
구독 좋아요 눌렀습니다
정말 도움이 많이 되었습니다^^
다음엔 람베르트의 증명도 올려주시면 감사하겠습니다^^
람베르트의 증명은 찾아도 없더라구요
이거 이해할려고 몇시간 쏟아부었다
어우 부분적분을 아직 안배워서 인터넷 뒤져가면서 찾아봤네
부분적분을 안배웠는데 아무리 인터넷을 뒤져가면서 찾아봐도 저게 몇시간만에 이해가 된다고요?
머니게임보고 여기까지 왔다...
파이의 무리성... 몇수앞을 내다본거노... ㄷㄷ
뒤돌아서면 잊을 것 같지만..! 정말 재미있게 봤습니다 감사합니다 :)
알 수 없는 알고리즘으로 인해 봤는데 덕분에 잘 잤습니다 asmr 너무 좋네요 구독 누르고 갈게요
파이의 날 기념해서 쭉 보았습니다ㅎㅎ
항상 좋은 영상 감사합니다!
감탄만 나오네요
f와 F가 주어질 경우 증명의 난이도는 수시 논술전형 문제로 출제되도 충분하다고 개인적으로 느껴지네요.
다만 마지막 수열의 극한에서 입실론은 1/pi로 둔 것은 고등학생도 이해하게끔 설명해서 주어야겠지요
맞습니다~~ 상위 대학의 수시 및 논술에서 출제되는 문제들은 대학 과정의 논의에서 힌트 몇개를 주고 풀리는 경우가 허다하죠^^ 그렇기 때문에 입시에서 대학 수학, 특히 해석학 쪽의 개념들의 숙지는 큰 도움이 됩니다~~
지나가는 문과 1:10 여기서부터 막혔습니다. 그냥 지나가겠습니다
잘못들었습니다?
??????
오늘두 좋은 강의 감사드립니다~^^
새벽 4시에 잠 안와서 보니까 재밌네요 ㅎㅎ
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628342117067982148파이데이를 맞아 여기까지 외워보았습니다. 파이데이까지 300자리 외우는게 목표!!
영어단어 한개 더외우는걸 추천
이왕이면 314자리까지!
거짓말안하고 완강했습니다 감사합니다ㅜㅜ
2:40
남자수학자 세명 표정이 :( 이거야 ㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
가우스나 오일러 데카르트,뉴턴같은 사람들은 대단한걸 넘어서서 경이롭다
감사합니다~재미있게 봤습니다!
언제부턴가 가로세로 비율이 스마트폰에 꽉 차는 비율로 됬네요?ㅎㅎ 넘나 좋자너
너무 엄밀해요... 더 배워서 오겠습니다
와 고1인데도 놀랍다
와... 제 졸업논문중의 일부였습니다 선생님 :)
0초과 나올때 아차!싶었네요 Z에 속하지 않음을 증명하는 마지막 수단이 이산성일줄이야(변화를 다루는 해석학과 이산적인 상황 유도의 조화 멋집니다)
아닛... 분명이 이해는 완벽히 되는데 도대체 어떻게 이런 생각을 한건지가 전혀 감이 안잡히네요
선생님 질문잇습니다. 'pi=a/b 라고 쓸 수 있는 a, b가 존재한다' 라는 가정에서 증명이 시작되는데요, 이런 논리의 흐름이라면 증명 전체에서 pi자리에 pi가 아닌 아무 수나 다 집어넣어도 다 말이 되는거 아닌가요? 가령 무리수e 같은것이요.. 그럼에도 이 증명이 정당한 이유는 중간에 삼각함수 sin이랑 적분구간에서의 pi를 포함해서라고 봐도 될까요?
pi 가 아니면 f(x)sinx 를 x=0 to pi에서 정적분할 때 저렇게 딱 떨어지는 식이 안나옴
애초에 가정이 모순이라는 귀류법의 결론을 이끌어내기 위해서 다양한 식들과 Lemma를 끌어낸거니 pi가 아니면 저 증명의 일련의 과정들이 불필요하고 의미가 없어지지 않을까요?
@@icedjin1763 그쵸 이게 맞는것같네요 감사감사
상엽샘 영상이 요새 잘 안올라와서 , 그리워요. 수학의 마법.
???: 내가 3살때부터 계속 적어보고 있는데 끝이 없더라 무리수임
정말 깔끔하고 친절한 설명이네요! 좋은 설명 감사합니다
근데 혹시 원주율 증명 과정에서 보조 정리가 필요한 근본적인 이유도 알 수 있을까요?
고2문과라 서로소인 자연수 이후로 더이상 보지 못하고 멈추었습니다 ...
상엽쌤 목소리 넘 좋아요ㅋㅋ
고3 수학만으로 이렇게 길게 나가는 증명... 이 영상 완독하면 한국 고교생 수학두뇌 업그레이드 될듯..
난 내 무지성을 증명할 수 있다
1+1=기요미
그리고 37:08 에서 굳이 F(0)+F(파이)둘러싼 부등식에 샌드위치 정리를 적용하면 양쪽 부등식이 0이 되고 안쪽 F(0)+F(파이)는 정수라고 했으니까 그대로 정수가 되죠. 그리고 샌드위치 정리에서는 부등호에 등호가 없어도 극한을 붙이면 등호를 쓰잖아요, 그래서 해당 범위에 포함되는 F(0)+F(파이) 중 정수는 0 으로 존재한다고 이야기할 수 있지 않나요?
해당부분의 샌드위치 정리는 n이 양의 무한대일때의 pi/n!*(a*pi/4)^n의(이하 A로 통칭) 극한값이 0이상이다를 보여주게 됩니다.(정확히는 0이상 M(알파/베타+1)^n-베타이하)
그러나 마지막 부분에서의 대소비교에서 A의 n값은 A의값이 1보다 작게되는 임의의 정수를 넣은 값으로 해당 값은 양수임이 자명합니다. (양수들의 곱)
또한 F(0)+ F(pi)는 0보다 크고( f(x)sinx가 0에서 pi까지 0보다 큰 값을 가진 다항함수임으로 해당 구간 적분 값도 양수) A의 값보다는 크지않다는 것도 자명합니다. (함수의 최댓값과 정적분값의 관계)
따라서 0< F(0) + F(pi)
@@syy7626 저도 영상의 해당 부분이 의아해서 댓글을 한참 찾고있었는데, 덕분에 이해하고 갑니다! 감사합니다:)
@@hanbinlee524 위 설명에 오타가 조금 있긴 한데, 설명이 이해하시는데 도움이 되었다니 다행이네요
@@syy7626 선생님 상세한 답변에 다시 또 감탄하고 감사드립니다..
나도한번 들어볼까? 하다가 5:18 미분이라는 단어 듣고 조용히 껐습니다 ㅜㅜ
수포자는 오늘도 웁니다..
반대로 말하면 미적분만 제대로 할줄 안다면 수학을 즐길 수 있다는거!
밥먹는데 보기 좋네요 ㅎㅎ
좋은영상잘봤습니다
파이는 무리수이자 초월수이죠. 그래서 초코파이를 먹으면 먹을수록 칼로리가 한계를 초월하죠. 무리무리.
빨리 어른이 되고 싶은 이유가 하나 늘었군요 ㅎ
e는 맥클로린 급수로 쉽게 보일 수 있는데, ㅠ는 어렵네요..
사실 중간에 푸리에급수 form이 좀 보인 것 같은..ㅋㅋ 아마 Niven이라는 분도 급수에서 모티브를 얻으신 것 같아요. 분모가 n!인 것도 그렇고.
증명 한쪽을 이해하기 위해 35분을 썼다...
이것이 수학이라는 기호인 것인가...
저걸 처음 고안한 사람은 ㄹㅇ... 수학자와 과학자들은 천재만 할 수 있는 직업인 듯
증명법이 지겨우신 분들은
37:07 결론 먼저 들으시고
보면 됨
어질 어질😅
22:22초에 적분에서 [-F (x)cosx]에서 0대입할때 cos0 =1이니까 -F(0)으로나와야 되는거 아닌가요?
왜 +F (0)으로 나오는거에요?
0이 아래에 있기 때문에 부호가 반대로 나옵니다.
헐 저 파이가 왜 순환되지 않는지 계속 계산을 해나가다보면 순환되는걸 발견할수도 있지 않을까 생각했었는데 왜 그런얘기가 없는지 궁금했는데 알려주셔서 감사합니다!!
(나누기에서 순환되는 수의 규칙이 있지않을까 순환소수가 나타나는 과정을 역순으로 보면 뭔가 공식이 나오지 않을까 이거 공식 발견하면 대박나서 수학자로 먹고사는건가 기대했는데...그럴리없죠.....(ㅜ))
그것만으로 당신은 이미 쁘띠수학자 b
언젠가는 설명을 따라갈 수 있는 날이 오겠징.. ㅠ ㅠ
긱블 보고 왔습니다
잘 보았습니다
보조정리 3 증명하는 부분은,
상수 a에 대해 e^a 가 수렴함을 이용해서 e^a 무한급수의 일반항인 a^n/n! 이 0으로 수렴함을 이용하면 더 쉽게 증명할 수 있을 것 같아요.
어떤 무한 급수가 수렴하면 각 항이 0으로 수렴함을 이용한 건가요? 생각치도 못했네요 ㄷㄷㄷ
테일러 급수는 고등학교 교육과정 아닙니다~
지나가는 문돌이의 모자란 질문....
초월수는 유리수를 계수로 갖는 n차 방정식의 해(대수적 수)가 아닌 수라고 하는데,
가끔 올린 동영상들을 보면...
어떤 함수들의 값을 계산한 값이 2분의 루트 파이, 6분의 파이 같은 간결한 답이 나오기도 하는데,
함수의 값이 파이로 표현된다는 것과
함수의 값을 0으로 만드는 해가 파이가 된다는건 다른 소리인거죠? 당연히...?
n차 방정식이면 유한번 더해져야죠. 답이 ㅠ와 관련된 식들은 무한번 더해졌거나, 다항함수가 아니거나 할겁니다.
함수의 값이 ㅠ인 것과 함수의 근이 ㅠ인게 다른 말이기도 하지요
주입식교육이 가끔은 필요한 이유
목소리 엄청 좋네용
파워무비 : 루트 파이
1.77245385090551602729816748334114518279754945...
π가 무리수니 π^(1/2)도 무리수이다(자명)
@@ABCDE-y4t 그건 아니죠
@@chltjgus0612
자명한거 맞아요
a가 유리수라면 제곱한 b도 유리수
대우를 취해주면 a를 제곱한 b가 무리수면 a는 무리수
단 a와 b는 실수
15:30에서 -1이 계속 튀어나오는 이유가 이게 맞을까요
y=f(u)
u=x-π
라고 식을 두면
d^(k)y/du^(k) × du^(k)/dx^(k)
가 되는데(이게 성립할지는 모르겠습니다)
d^(k)y/du^(k)=f^(k)(u)=f^(k)(x-π)
이 되고 뒤에있던
du^(k)/dx^(k)=(du/dx)^(k)
로 묶이고(묶일수있는지는 모르겠습니다 애초에 저k가 du와 dx를 제곱한걸로 알고있어서;;)
du/dx=(-x+π)'=-1
이니
du^(k)/dx^(k)
부분은
(-1)^k
가 되어서 (이건 좀 아닌것 같지만;;)
(-1)^kf^(k)(π-x)가 되는걸까요..?
이 부분이 잘 이해가 안돼서 물어봅니다!
y = f(u), u = π-x라 하면, dy/dx = dy/du · du/dx = f'(u) · (-1) = -f'(π-x)입니다.
여기서 y₁ = -f'(u)라 하면 마찬가지로 dy₁/dx = dy₁/du · du/dx = -f''(u) · (-1) = f''(π-x)입니다.
같은 방법으로 계속하면, y_k 즉, f(π-x)의 k계도함수는 홀수일 때 -f^(k)(π-x)이고, 짝수일 때 f^(k)(π-x)임을 알 수 있습니다.
이때, -1의 홀수 제곱은 -1이고, 짝수 제곱이 1인 것을 이용해서, 홀짝으로 나뉘어진 두 케이스를 (-1)^k f^(k)(π-x)라고 한번에 표현할 수 있는겁니다.
@@doubledeltas 감사합니다!!
@@김도윤-y2w1c 이해되셨다니 다행입니다. 추가로 위에 d^(k)y/du^(k) × du^(k)/dx^(k)는 성립하지 않습니다. 반례로 y=u^2, u=x^2, k=2가 있겠네요.
이상엽쌤 혹시 초등학생 대상으로 교육해본적 있으신가요? ㅋㅋ
왠지 제가 어렸을때 다녔던 학원에서 잠시 근무하신 선생님과 인상이 너무 비슷해서요ㅋㅋ 목소리도 이런 느낌이었는데... 죄송합니다. 아마 아닐겁니다ㅋㅋ
저 증명도 상당히 길고 직감적으로 증명 가능하다는걸 느끼고 정리할때까지 상당히 오래 걸리고
증명량이 2배면 거의 난이도는 거의 제곱인데
A4용지 100장만한 증명은 사람의 직감으로 가능한건가요??
천재라면 가능하겠죵
좋아요!
36:34 여기서 N을 왜 꼭 저 값이 1보다 작게 만드는 값으로 잡아야 하는지 모르겠습니다. 저게 1보다 작으면 모순이라는걸 알겠는데 만약 1보다 큰 값으로 잡으면 모순이 아니고 그거에 따른 a,b가 나오는거 아닌가요?? 설명해주실분 계세여??ㅜㅜ
0보다 큰수라면 얼마건 잡을수있으니 1보다 큰수로 잡는다고해도 1일 가능성이 무조건 존재하잖아요 1보다 큰수로 잡을수있다고해서 모순이안되는건 아니에요
최민영 모든 자연수에서 성립해야 되니까요
N이 꼭 Lemma 3에서 나타낸 수열(정확히 말하자면, 그 수열에 '파이'를 곱한 또다른 수열)을 1보다 작게 만드는 값이 아니라, '그렇게 될 수밖에 없는 값'입니다. 왜냐하면 n이 양의 무한대로 발산할 때 Lemma 3에서 나타낸 수열의 극한값이 0이기 때문에, n에 충분히 큰 수 N을 대입한 그 수열이 당연히 '0보다 크거나 1보다 작은 범위' 내에 존재합니다. 물론 "0보다 크거나 2 이상의 자연수보다 작다."라고 표현할 수 있지만(실제로 Lemma 3에서 나타낸 수열에 파이를 곱한 또다른 수열은 0보다 크거나 파이만큼 작을 수 있으므로 직관적으로 "0보다 크거나 4만큼 작다"라고 설정할 수 있음), "파이를 유리수라고 가정했을 때 만들어낸 3개의 Lemma가 서로 모순을 이룬다."라는 것을 밝혀내기 위해 일부러 "0보다 크고 1보다 작다."라고 설정한 겁니다.
물론 1보다 크게 잡을 수도 있는데, "1보다 작게 만들도록 N을 잡는 것이 가능하다" 라는 게 증명 포인트입니다. 충분히 크지 않은 N에 대해선 1보다 커지지만, 저 값을 1로 만들기에 충분히 큰 N을 잡을 수 있으니까 저런 결론을 낼 수 있는 겁니다. 질문하신 내용을 비유를 하자면 "충분히 큰 n에 대해선 n>5이다" 라는 걸 n이 1,2,3 같은 수이면 만족하지 않지 않나요? 라고 질문하신 것과 비슷한 거라고 생각하시면 될 듯 합니다
일단 설명 해주셔서 감사합니다!! 그런데도 이해가 안가서요ㅠㅠㅜㅜㅜㅜㅜㅜ (답글로 하기는 죄송해서 보시는분 계시면 답해주시면 감사하겠습니다)
일단 처음에 For n 포함 N (왼쪽편 위에서2번째줄) 이면 그냥 자연수 범위에 속하는 어떤 n에 대해서 함수를 정의하는거니까 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는게 아니지 않나요??
그리고 A s.t. B면 B를 만족하는 A 라고 해석하잖아여 그니까 오른쪽 위에서 뒤에 부등식 조건을 만족하는 자연수 범위에 속하는 N이 존재한다는 것이고 다시말하면, (A뒤집어놓은기호)N이 아니라 (E뒤집어놓은기호)N이니까 어떤 N에 대해서만 성립하는 거잖아요ㅜㅜ 저 부등식을 만족하지 않는 n에 대해 계산하면 그래서 N값에 따른 a,b가 결정될거라고 생각하는거에요ㅜㅜ
다시 말하면 일단 n이 모든 자연수값에 대하여 성립해야하는지, 그렇다면 왜 성립해야하는지가 궁금합니다.(처음n을 정의할때 그둘의 기호에 대한 설명) (그렇다면 이하의 내용에 대해서는 설명이 필요없을거 같습니다)
그렇지 않다면, s.t. 이하의 부등식을 만족하지 않는 N에 대해서는 왜 고려해볼 필요가 없는지, 그런 N에 대해서 식을 해석해보면 그거에 따른 a,b가 왜 안나오는지가 궁금합니다.
장문 읽어주시느라 고생하셨습니다 ㅜㅜ
무리수라는 이유가 이거라는 점에서 주입식 교육의 장점을 알 수 있습니다
선생님 ~~강의 잘듣고 있습니다
램지의 정리도 한번 다뤄주세요
색깔이 2개,3개,4개등 일반화되는 식 알고싶습니다
몸이 예전보다 벌크업 되셨네요.
고대에는 파이값을 어떻게 측정했나요?? 둘레를 알면 반지름이 무한소수고 반지름을 알면 둘레가 무한소수일텐데 그냥 근사값으로 밖에 접근하지않았나요??
정n다각형을 삼각형으로 분해할 수 있으면 돼요.
근사로 접근했습니다ㅋㅋ 파피루스에서는 지름이 9인 원의 넓이를 한 변이 8인 정사각형의 넓이와 같다고 했을거예요
초등학교 들어가기 전인데 이해가 된다 함..
초코파이(pie) 는 파이(pi) 와 이(e) 두 대표적인 무리수의 결합으로!!
Good!!!