А если прямая проходит через одну из вершин треугольника, считается, что она пересекает все три стороны? Если определить пересечение как наличие общей точки у стороны и секущей прямой, то считается, тогда Q.E.D. не Q.E.D.)
@@michaelgolub2019 А можно переформулировать вопрос тем, что должно быть ровно 3 различные точки, принадлежащие и сторонам треугольника, и прямой. В моем примере с прохождением через вершину общих точек с треугольником 2, а не 3, так что я просто решил в мемной форме докопаться до строгости постановки вопроса)
@@vozderzhaniye_21 белые ночи это не вечный день как все говорят, увы. Это просто когда и в 12 и в час ночи без часов не понять что уже ночь) а в 4-5 утра уже как когда в обычном городе 7-8
Шикарный ролик! Из последних кажется самым мощным по всем фронтам: классная тема, количество информации в единицу времени и ну очень красивое оформление! Смотреть одно удовольствие!) Нужно больше, больше, чаще :D Очень круто! Вот так разборы олимпиадных тем становятся произведениями искусства!
🤔 Про Перельмана: если имеется ввиду совпадение даты рождения с учётом и года, то ведь, чисто теоретически, могло произойти так, что в этот день того года родился один лишь Перельман. И всё. (Приезжих не учитываем). Да и вообще, в случае с днями рождения можно запихнуть всех кроликов в 1 домик (на одну дату рождения). Понимаю, что это не реально, но в теории же возможно)
Согласен, статистически неверное решение. В условии нет данных о равномерном распределении дат и лет рождения. А с таким условием никакие кролики не нужны.
На Междунар. мат. олимпиаде 1979 г. в Бухаресте задавали очень сложную задачу: на мат. конгресс собралось 1979 математиков из 6 стран, математики перенумерованы числами от 1 до 1979. Надо доказать, что найдутся 3 математика из одной и той же страны, номер одного из которых равен сумме номеров двух других, либо найдутся 2 математика из одной страны, номер одного из которых равен удвоенному номеру другого. Как вы уже догадались, эта задача решается последовательным применением принципа Дирихле. Оставляю док-во в кач. дом. упражнения. :-)
1979/6 = 329 с остатками. И эти остатки всё равно как бы не расположил будет +1 в один из клеток. 330 математиков по любому есть в одной из стран. А дальше хз как делать. Даже если постараться не брать специально такие цирфы. То половина таких цифр могут быть без парными, а для суммы только 2/3 могут быть чтобы не выходила сумма. 2/3*1/2 = 1/3. Сравниваем 1/3 и 1/6, и да может быть ситуация что таких математиков нет
Это потрясающий ролик. Сам только начинаю разбираться в библиотеке manim и понимаю сколько труда вы в него вложили. Великолепно продуманный ролик, материал объяснен выше всех похвал. Ваш математический контент самый лучший в Ютубе. Спасибо огромное.
Краткое решение первой задачи: Сперва заметим, что треугольник задаёт единственную плоскость, в которой он лежит. Если прямая не лежит в этой плоскости, но она может максимум пересечься с ней в одной точке, которая никак не сможет стать точкой пересечения всех трёх сторон треугольника Если прямая лежит в плоскости, то стороны треугольника и искомую прямую зададим уравнениями вида Ах+Ву+С=0. Искомая точка пересечения со всеми сторонами задаётся неоднородной СЛАУ на 3 уравнения (пересечение прямой с каждой из сторон) на 2 неизвестные (х,у). Как мы можем знать из самой первой лекции Дмитрия Андреевича Тимашёва по Высшей алгебре за первый семестр Мехмата, такое СЛУ несовместно, то есть не имеет решений. ч.т.д.
Мой вариант решения бонуса: нужно разместить 24 правильных шестиугольника со стороной 1 по принципу: 7 вертикальных столбцов высотой по 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3. Если центр каждого шестиугольника рассматривать как центр единичной окружности, тогда этими 24 кругами можно гарантированно покрыть прямоугольник со сторонами 3*sqrt(3)>5 на 10. Тогда, в самом худшем случае, если во всех окружностях лежит по 2 точки, что в сумме даёт 48 точек. Следовательно, в какой бы из окружностей не лежала 49-я, она будет третей.
Мoй пoдхoд к решенью задачи oтличается oт вашегo. Пoэтoму я прoверял ваш пoдхoд и утвердился, чтo не пoлучается кoректнo пoместит в этих шестиугoлниках 2 тoчки, чтo-бы не былo дефинирoванoй трoицы. Свoй пoдхoд рoзoблачим в oтделнoй вкладке.
Еще добавляю. Пoрoбуйте для себя пoместить две тoчки в каждoм вашем шестиугoлнике. И пoсле тoгo через просвечивающую бумагу с единичним кругoм всегда oбнаружите какие-нибудь три тoчки внутри этoгo круга. Клянусь!
Решение бонуса: да. Разделим прямоугольник на 50 ед. квадратов. Отметим все улы квадратов пустыми точками. Их будет 66 (точек в 1 ряду и в 1 колонке больше длины ряда и колонки на 1). Пусть сверху слева будут жить 2 точки (на очень малом расстоянии), тогда ни снизу, ни справа, не по диагонали не живёт ни одной точки в районе следующей пустой точки, след. 2 точки уничтожают четыре места (при этом заселять другие точки надо не на сами пустые места, а немного рядом). 6 точек потребляют 2 ряда. Рядов 11. 11/2=5,5. Последний (11ый) ряд тоже заселяют 6 точек. 5×6=30 30+6=36, поэтому если точек более 36, то существует единичная окр., которая содержит 3 точки
Спасибо за интерес! Рассуждения хорошие! Есть маленький промах с диагональной клеткой, который влечет результат «Если точек более 36, то три из них обязательно будут в единичном круге». Нарисовал контрпример: 38 точек располагаем в центрах окружностей (по две в каждом центре), и тогда, увы, круга не найдется: sun9-77.userapi.com/impg/7JM6bDFnFx4tVtYT8iAEu5YcSDN3FDX_WrH9Yw/mGv9o1oBvNU.jpg?size=1917x1184&quality=95&sign=d01188ae837d263e86ee11481d56515f&type=album
@@WildMathing эти окружности не могут касаться, иначе через точку косания пройдё окружность, соединяющая 2 пары точек. Так, например у вашей картинки не должно быть правой нижней точки. Но я согласен, что можно и больше 36 точек. Кстати, я понял как решить это принципом Дирехле (спасибо Вам за это). Расписывать не буду, но всё же интересно: есть ли способ расставить максимально много точек, так, чтобы не было 3-х лежащих в ед. окружности?
@@ВаняБасс-л4д , полностью согласен! Этот мой промах можно устранить, сдвинув правую нижнюю окружность на 0,0001 единиц выше. Любопытно, что эта картинка все еще не дает ответ для 40 (или 49) точек
@@WildMathing теоретический максимум- 44 точки. Доказательство: разобьём прямоугольник на единичные квадратики (их 50) представим окружности в виде квадратов сходной площади (примерно 3,14, но пока что 3). У нас есть 6 пар точек (условно) на верху, 6 внизу, и по 1 сбоку (то есть всего максимум 14 пар точек около края), каждая крайняя пара точка (кроме 4 угловых, то есть только 10 пар) занимает половину от нашего квадрата (остальная уходит под прямоугольник, а угловые занимают четверть площади) и того 10/2+4/4=6. 6 квадратов по 3 (площадь) занимают 18 единичных квадратиков из 50 имеющихся, остаётся 32. 32/3=10(ост. 2) пар точек. Всего 10+14=24 пар. Теперь вспомним те 0.14 площади которыми мы пренебребрегли ранее. 0.14×(10+6)=2,24. Но у нас в остатке только 2, поэтому у нас минимум 23 пары. Теперь вернёмся к окружностям: так как они не могут идеально прилегать друг к другу, то у нас и того меньше чем 23, то есть 22 пары. 22×2=44 точки - максимум в теории
Любая прямая, проходящая через вершину и пересекающая противолежащую сторону так может, зачем медиана? Речь, видимо, о прямых, не проходящих через вершины.
@@ИмяФамилия-э4ф7в это просто контрпример, что бывают такие прямые. Не надо находить все такие прямые, одной достаточно. Тем более в условии не сказано что через вершины нельзя проводить.
Очень интересное и красивое видео! Не могу не отметить, что домики для кроликов гораздо лучше клеток, как указано в более использованной формулировке принципа Дирихле)) Необычные задачи и раньше не подумала б, что их можно решить с помощью такого простого факта. Параллельно прохожу курс Райгородского о современной комбинаторике на corsera и это видео идеальное дополнение. Спасибо Вам огромное!
О господи, это прекрасно. Давно не смотрел Wild Mathing, ютуб решил подкинуть заново. Я очень удивился росту качества анимации, подачи и музыке. Это должно быть в Лувре!!!
В прямоугольнике 5х10 49 точек могут лежать вобще как угодно, хоть на одних и тех же координатах, а одну можно поставить подальше от этого скопления и тогда ответ 'не всегда', но так как задача обещала быть сложной, то это не то вобще. Если же каждый кролик в своем домике, то остается один пустой. Нужно доказать что есть хотя бы одна точка, не входящая в окружность с двумя другими, тогда берем угол прямоугольника, к примеру правый нижний, ставим в правую нижнюю вершину прямоугольника точку, оставляем домик левее пустым, тогда домик выше содержит одну точку, точки в нижней правой вершине и в домике выше можно расположить на расстоянии √5, что больше двух. Это доказывает, что мало того что круг может не содержать 3 точки, он может содержать всего одну.
Спасибо за интерес и рассуждения! Мне стоило уточнить, что в этих задачках значит «найдется», «может ли». Стоит представить себе злодея, который расставляет нам точки. А мы вооружены лишь единичным кругом и стараемся поймать три точки в плохих расстановках от соперника Мне кажется, у тебя чуть-чуть теряется общность, хотя идея хорошая. Попробуй при желании расставить все 49 точек, чтобы получилось железное доказательство в пользу ответа «нет»
потрясающе во всех отношениях 💜 совсем не подозревала, что математику возможно так понятно преподнести, пока не попала сюда. посмею даже заявить, что вы сумели меня ей заинтересовать, а это вообще впервые. земной поклон вам за ваш труд!
Большое спасибо вам за ваши труды! Видео вышло замечательным. Сам буквально на днях проверял задачи из одной будущей олимпиады, и там была задача на этот принцип :)
*если не ошибаюсь, по определению треугольник это фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Из чего напрямую следует решение первой задачи.*
Не совсем. Определение, конечно, верное, но из того, что три вершины не лежат на одной прямой еще не следует, что не найдется три точки на сторонах, лежащие на одной прямой
Мой подход к решению задачи - бонуса. Я не русский, извиняюсь за граматические недoстатки. Нужнo пoстрoить сетку рoвнoстранных треугoлникoв сo стoрoнoй sqrt 3. В таком случае лежит точки (вершины треугольников) тoлькo на окружностях кругoв с единичним радиусoм. Переместить вершину внутри сетки или добавит хоть одну точку значит - пoявление дефинирoванoй трoици тoчек. Следующий шаг - пoместить в сетку наш прянoугoлник 5х10 и дoбавить регульярные тoчки в пoграничие прямoугoлника. Здес встречаются серезные прoблемы. Есть 24 вершины сетки, нo дoбавить еше 24 в пoграничие прямoугoлника мне не пoлучилoсь. Нo, есть-ли какая то анимация задачи в роде остальных задач рoлика?
Это вещи известные. Я просматриваю в целях поиска наиболее доступного метода подачи для учеников. Отлично изложено. Методика подачи превосходная. Слушаешь, смотришь и создаётся впечатление, что дошёл своим умом. Это важнейший методический приём. Раздражают такие методы подачи материала, когда делается подсказка, которая неизвестно откуда взялась. Есть такая задача. Число n не делится на 5. Найдите остаток при делении четвёртой степени этого числа на 5. Даётся подсказка: рассмотрите n(n^4-1). Такое впечатление, что пукнули в воду. Кстати, ученики решают её очень просто. Берут 2, возводят в 4 степень, делят на пять и получают ответ : остаток равен 1. Кстати, можно обойтись и просто единицей возводя её в четвёртую степень.
Вторая задача сформулирована некорректно, клумба то имеет форму правильно шестиугольника со стороной в метр, но о взаиморасполажении цветков ничего не сказано, они могут расти в пучке, тогда они все на расстоянии менее метра
В бонусе при наличии 49 точек нельзя расставить их так, чтобы хотя бы 3 из них лежали в единичном радиусе. Но если взять 67, то можно обнаружить, что 67-ую точку не получится поставить так, чтобы она лежала вне круга единичного радиуса, следовательно 49 - нет, 67 - да.
Спасибо за интерес! На самом деле принцип Дирихле не требует единичных кругов: в задаче 6:00 пятиугольники нельзя вписать в окружность с диаметром √5, однако принцип Дирихле сработал. Ответ в бонусе положительный, даже если точек 49
Во второй секции ролика доказывается (точнее показывается), что существует прямая, которая пересечет только две стороны треугольника, а не то, что не существует прямой, пересекающей сразу три стороны
Нет-нет: было доказано (и вдобавок показано), что по приципу Дирихле найдутся две вершины, лежащие по одну сторону от прямой. Значит, соответствующий отрезок прямая не пересекает. Но у треугольника только три стороны, и если прямая одну из них уже не пересекает, то все три пересечь не удастся. Если не разберетесь - дайте знать!
Насчёт дома задания: Для Дирихле нам надо разделить поле 5х10 на 49-1/2=24 клетки, для этого нужна фигура которая и будет нашей клеткой ибо кругами заполнять поле долго, вспоминаем сразу что из правильных фигур наибольшая по площади это шестиугольник, берём вписанный в единичный круг шестиугольник и заполняем им наше поле, если я правильно нарисовал там как раз 24. А значит за принципом Дирихле хотя бы 3 клетки всегда попадут в круг. Вроде так, я же нигде не накосячил?
Среди вписанных в единичный круг правильных многоугольников самым большим по площади будет тот, у которого больше всего углов. А вот здесь у вас уже никаких ограничений нет, какое количество углов зададите, такой и правильный многоугольник можете нарисовать.
Так как вершина треугольника принадлежит двум сторонам треугольника то прямая проходящая через данную точку - вершину, пересекая противоположную сторону треугольника в любой точке будет пересекать все три стороны треугольника
Во втором задании неверно составлено условие Если не запрещено рассаживать цветы как угодно, то тогда можно посадить два цветка рядом и условие будет выполнено, а задаче потеряет смысл Учитывая последующее объяснение, условие должно было быть таким: "Возможно ли в правильно-шестиугольной клумбе со стороной 1 метр высадить семь цветов так, чтобы расстояние между ними было не менее одного метра?" Но тогда и тут неверно, так как рассадив цветы в вершинах треугольников, можно на изи попасть в условие, а принцип Дирихле тут не сработает, так как неравенство не строгое 2:38 дальше идёт столько допущений, что глаза болят Если петербуржцы живут максимум 200 лет по максимум 366 дней в году, то можно умножить и получить общее число дней за двести лет, а потом поделить количество жителей на количество дней, получив количество человек, у которых совпадают даты и года при условии, что каждый человек живёт ровно 200 лет по 366 дней. Число выйдет больше пятидесяти, а в реальных условиях будет ещё больше Вопрос: почему нельзя было написать как нормальный человек произведение дней на года? Откуда число 5000001? Что за бредовое выражение получилась в конце? Зачем усложнять всё? В задании пять условие составлено так же, как и во втором, то есть можно точки валютную поставить и удовлетворить условию Бонусная задача: Если поле состоит из клеток 5х10, то при расстановке точек в вершинах клеток, получится 6х11 свободных мест, где точки будут максимально удалены друг от друга. Если точек будет 50, то можно расположить точки на расстоянии 66/50=1,32 клетки друг от друга. А если точек меньше, то и расстояние больше. Значит существует не один вариант расстановки 49 точек на таком поле, чтобы расстояние между ними было больше единицы В последней анимации, в пятом задании, такое построение вообще неверное, так как для точек в верхних углах домики такие вообще неправильно нарисованы, там нет расстояния в √5. Тут нужно нарисовать круги радиусом √5 для углов, где лежат четыре точки, а затем в пустом пространстве разместить оставшиеся две точки так, чтобы между ними было расстояние √5, что невозможно Почему человек, который профессионально занимается математикой делает столько непростительных для него ошибок, которые замечает учащийся 11 класса?
Большое спасибо за интерес к задачам и содержательный комментарий! Прекрасно понимаю ваш взгляд, уважаю ваш мнение. Возможно, какие-то вещи прояснятся, если их прокомментирую, но ничего страшного, если не согласитесь. №2. Когда в математике говорят «Найдите корни уравнения», имеют в виду все корни - это договоренность. «Найдутся?» означает «Всегда ли найдутся?». Вы можете найти аналогичную задачу в замечательной книге Прасолова по геометрии, и во многих других олимпиадных сборниках будет такая же формулировка. Если, как в вашем примере, цветы будут в вершинах правильного шестиугольника и его центре, то найдутся два, расстояние между которыми не больше единицы. Что полностью соответствует ответу и верному решению из ролика. №3. Вы просто хотели бы решить задачу по-другому, это прекрасно. Нам не требуется максимальная точность: нужно лишь доказать, что найдется более 50, и это сделано корректно. Число 5000001 дано почти по условию (более 5 млн. жителей). В общем, дело вкуса, отнюдь не истинности. №5. Аналогично номеру 2. В следующий раз, если будут похожие задачи, конечно, добавлю от себя слово «всегда»: многие тоже этот момент поняли иначе. По поводу построения - присмотритесь, все-таки оно верное. И особенно оно интересно тем, что фигуру нельзя вписать в окружность диаметра √5, но любые две точки действительно удалены друг от друга не далее чем на √5. Если будет желание доказать это формально, посмотрите на анимацию. Бонус. К сожалению, у задачки другой ответ. Вот здесь подсказка к решению, коли захочется еще чуть-чуть подумать: pasteboard.co/PAsPGymtzFxg.png
Спасибо за классное видео! В англоязычной литературе этот принцип еще называется Pigeonhole principle. Интересно, почему этот принцип принято формулировать с помощью кроликов, а не голубей?
Взяли и назвали принципом дирихле процесс в голове, который возникает в ответ на задачу, да еще замусорили его какими-то кроликами и домиками. Если так обозначать все, что в котелке происходит - это же не голова, а мусорка будет
Спасибо. Казалось бы, тема лёгкая, и в ней нечего понимать, а что в задаче следует применять принцип Дирихле, зачастую сразу непонятно. И на олимпиадах она время от времени мелькает.
Вершина - это точка пересечения двух сторон треугольника. Через неё и произвольную точку третьей стороны треугольника можем провести прямую. Обе точки пренадлежат этой прямой. Тогда почему мы не можем пересекать все стороны треугольника?..
А вершины треугольника - не являются точками, принадлежащими его сторонам? Если так, то да, не существует прямой, пересакающей 3 стороны. А если нет - то решение очевидно
Задача : докажите, что линия не может пересикать все сторны треугольника по 1 разу (пространство на котором находиться треугольник не обязательно должно быть стандартным).
А теперь докажите, что в одном из домиков обязательно будет два кролика. Поскольку это так же очевидно, как и то, что прямая не может пересекать сразу три стороны треугольника.
Если одну сторону продолжить и принять за линию, то именно эта линия пересекает все стороны треугольника. То есть, есть минимум 3 линии, которые пересекают все стороны треугольника.
@Marat Davletshin , спасибо за интерес! №1. Левый нижний угол в момент 0:14 №2. При такой конструкции по-прежнему найдутся два нужных цветка, как и было доказано в ролике Но смотреть ли дальше - конечно, каждый решает сам
Потому что это хрень, а не объяснение. :-) Почему линия, соединяющая двух кроликов, сидящих в одной клетке, не находится хотя бы частично в другой клетке? Скажете, что это очевидно? Но тогда чем эта очевидность отличается от очевидности того, что прямая, пересекающая две стороны треугольника, не пересекает третью сторону? :-)
Нет-нет, имелось в виду ровно то, что и было написано в условии: «не более чем на 1 метр». Ответ: да, всегда найдутся (при любом изначальном расположении)
Как вам (к)ролик, друзья? Поставьте лайк, и тогда в следующий раз сделаем еще один оборот по орбите математической эстетики!
А если прямая проходит через одну из вершин треугольника, считается, что она пересекает все три стороны? Если определить пересечение как наличие общей точки у стороны и секущей прямой, то считается, тогда Q.E.D. не Q.E.D.)
@@noavailablenamesatall Да, это надо было оговорить, что прямая, не проходящая через вершину.
@@noavailablenamesatall, совершенно верно! Поэтому к оригинальной формулировке добавил уточнение в левом нижнем углу (0:14)
@@michaelgolub2019 А можно переформулировать вопрос тем, что должно быть ровно 3 различные точки, принадлежащие и сторонам треугольника, и прямой. В моем примере с прохождением через вершину общих точек с треугольником 2, а не 3, так что я просто решил в мемной форме докопаться до строгости постановки вопроса)
@@WildMathing Ютуб обзор перекрыл, нечестно
Я, петербуржец, горд быть кроликом!
А когда белые ночи светло как днём или как вечер?
@@vozderzhaniye_21 белые ночи это не вечный день как все говорят, увы. Это просто когда и в 12 и в час ночи без часов не понять что уже ночь) а в 4-5 утра уже как когда в обычном городе 7-8
@@vozderzhaniye_21 просто ночь такая белая
вроде вокруг темно но все видно абсолютно четко как днем
У меня от питера мурашки под кожей с непривычки...
А где два остальных?
Шикарный ролик!
Из последних кажется самым мощным по всем фронтам: классная тема, количество информации в единицу времени и ну очень красивое оформление! Смотреть одно удовольствие!) Нужно больше, больше, чаще :D Очень круто!
Вот так разборы олимпиадных тем становятся произведениями искусства!
Большое спасибо, Дмитрий! С нетерпением буду ждать и твоих роликов в Manim!
с математической точки зрения ролик абсолютной бессодержательный. больно смотреть, как такая подача растрачивается на что-то настолько пустое
Как же красиво !!!! Голос , анимация, математика!!! Смотрел как под гипнозом! Спасибо вам
Красивые по содержанию задачи достойны красивой формы! Спасибо вам, что посмотрели!
🤔 Про Перельмана: если имеется ввиду совпадение даты рождения с учётом и года, то ведь, чисто теоретически, могло произойти так, что в этот день того года родился один лишь Перельман. И всё. (Приезжих не учитываем). Да и вообще, в случае с днями рождения можно запихнуть всех кроликов в 1 домик (на одну дату рождения). Понимаю, что это не реально, но в теории же возможно)
Совершенно верно! Это был небольшой вопрос на понимание, и очень рад, что понимание есть!
@@WildMathing Фух, я уж было начал нервничать, что чего-то не понял и изо всех сил пытался понять почему же они обязаны найтись?
@@dalex641 ну, обычно нужно доказать, что хотя бы двое (ну, или 50, как в этом случае) родились в 1 день, без привязки к конкретной дате.
Согласен, статистически неверное решение. В условии нет данных о равномерном распределении дат и лет рождения. А с таким условием никакие кролики не нужны.
@@Бизнес-РеанимацияСтромов, где вы увидели неверное решение, если не секрет?
Это шедевр, особенно музыка! Спасибо вам
музыка реально огонь 🔥. а кто автор?
Только ради музыки смотрел
После этого видео почувствовал, что мой скилл резко вырос и мышление изменилось. Простой и в то же время мощный принцип
На Междунар. мат. олимпиаде 1979 г. в Бухаресте задавали очень сложную задачу: на мат. конгресс собралось 1979 математиков из 6 стран, математики перенумерованы числами от 1 до 1979. Надо доказать, что найдутся 3 математика из одной и той же страны, номер одного из которых равен сумме номеров двух других, либо найдутся 2 математика из одной страны, номер одного из которых равен удвоенному номеру другого. Как вы уже догадались, эта задача решается последовательным применением принципа Дирихле. Оставляю док-во в кач. дом. упражнения. :-)
Понять, что она решается принципом Дирихле не сложно. Посчитать количество домиков - вот что требует смекалки. :-)
1979/6 = 329 с остатками. И эти остатки всё равно как бы не расположил будет +1 в один из клеток. 330 математиков по любому есть в одной из стран. А дальше хз как делать. Даже если постараться не брать специально такие цирфы. То половина таких цифр могут быть без парными, а для суммы только 2/3 могут быть чтобы не выходила сумма. 2/3*1/2 = 1/3.
Сравниваем 1/3 и 1/6, и да может быть ситуация что таких математиков нет
Это потрясающий ролик. Сам только начинаю разбираться в библиотеке manim и понимаю сколько труда вы в него вложили. Великолепно продуманный ролик, материал объяснен выше всех похвал. Ваш математический контент самый лучший в Ютубе. Спасибо огромное.
Большое спасибо за добрые слова!
Есть статья и рассуждения, в которых говорится, что принцип Дирихле не выполняется в квантовом мире, т.к. в нём объект не локализуется в одном месте.
Краткое решение первой задачи:
Сперва заметим, что треугольник задаёт единственную плоскость, в которой он лежит. Если прямая не лежит в этой плоскости, но она может максимум пересечься с ней в одной точке, которая никак не сможет стать точкой пересечения всех трёх сторон треугольника
Если прямая лежит в плоскости, то стороны треугольника и искомую прямую зададим уравнениями вида Ах+Ву+С=0. Искомая точка пересечения со всеми сторонами задаётся неоднородной СЛАУ на 3 уравнения (пересечение прямой с каждой из сторон) на 2 неизвестные (х,у). Как мы можем знать из самой первой лекции Дмитрия Андреевича Тимашёва по Высшей алгебре за первый семестр Мехмата, такое СЛУ несовместно, то есть не имеет решений. ч.т.д.
Шикарный (к)ролик! Очень нравится, что автор заставляет решать задачи)
Это восхитительно! Пожалуйста, продолжайте!
Обычно, принцип Дирихле используется подсознательно. Спасибо за интересное видео.
Мой вариант решения бонуса:
нужно разместить 24 правильных шестиугольника со стороной 1 по принципу: 7 вертикальных столбцов высотой по 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3. Если центр каждого шестиугольника рассматривать как центр единичной окружности, тогда этими 24 кругами можно гарантированно покрыть прямоугольник со сторонами 3*sqrt(3)>5 на 10. Тогда, в самом худшем случае, если во всех окружностях лежит по 2 точки, что в сумме даёт 48 точек. Следовательно, в какой бы из окружностей не лежала 49-я, она будет третей.
Спасибо, что принял вызов!
Один из зрителей сделал иллюстрацию: pasteboard.co/PAsPGymtzFxg.png
Мoй пoдхoд к решенью задачи oтличается oт вашегo. Пoэтoму я прoверял ваш пoдхoд и утвердился, чтo не пoлучается кoректнo пoместит в этих шестиугoлниках 2 тoчки, чтo-бы не былo дефинирoванoй трoицы. Свoй пoдхoд рoзoблачим в oтделнoй вкладке.
Еще добавляю. Пoрoбуйте для себя пoместить две тoчки в каждoм вашем шестиугoлнике. И пoсле тoгo через просвечивающую бумагу с единичним кругoм всегда oбнаружите какие-нибудь три тoчки внутри этoгo круга. Клянусь!
Сколько кроликов можно уместить в коммуналке?
Бесконечность
@@xston6372 Клетка Гильберта)
... сколько демонстрантов можно уместить в 1 автозаке?
Сколько нужно.@@victorvictor1973
Решение бонуса: да. Разделим прямоугольник на 50 ед. квадратов. Отметим все улы квадратов пустыми точками. Их будет 66 (точек в 1 ряду и в 1 колонке больше длины ряда и колонки на 1). Пусть сверху слева будут жить 2 точки (на очень малом расстоянии), тогда ни снизу, ни справа, не по диагонали не живёт ни одной точки в районе следующей пустой точки, след. 2 точки уничтожают четыре места (при этом заселять другие точки надо не на сами пустые места, а немного рядом). 6 точек потребляют 2 ряда. Рядов 11. 11/2=5,5. Последний (11ый) ряд тоже заселяют 6 точек. 5×6=30
30+6=36, поэтому если точек более 36, то существует единичная окр., которая содержит 3 точки
Спасибо за интерес! Рассуждения хорошие! Есть маленький промах с диагональной клеткой, который влечет результат «Если точек более 36, то три из них обязательно будут в единичном круге». Нарисовал контрпример: 38 точек располагаем в центрах окружностей (по две в каждом центре), и тогда, увы, круга не найдется: sun9-77.userapi.com/impg/7JM6bDFnFx4tVtYT8iAEu5YcSDN3FDX_WrH9Yw/mGv9o1oBvNU.jpg?size=1917x1184&quality=95&sign=d01188ae837d263e86ee11481d56515f&type=album
@@WildMathing эти окружности не могут касаться, иначе через точку косания пройдё окружность, соединяющая 2 пары точек. Так, например у вашей картинки не должно быть правой нижней точки. Но я согласен, что можно и больше 36 точек. Кстати, я понял как решить это принципом Дирехле (спасибо Вам за это). Расписывать не буду, но всё же интересно: есть ли способ расставить максимально много точек, так, чтобы не было 3-х лежащих в ед. окружности?
@@ВаняБасс-л4д , полностью согласен! Этот мой промах можно устранить, сдвинув правую нижнюю окружность на 0,0001 единиц выше. Любопытно, что эта картинка все еще не дает ответ для 40 (или 49) точек
@@WildMathing теоретический максимум- 44 точки. Доказательство: разобьём прямоугольник на единичные квадратики (их 50) представим окружности в виде квадратов сходной площади (примерно 3,14, но пока что 3). У нас есть 6 пар точек (условно) на верху, 6 внизу, и по 1 сбоку (то есть всего максимум 14 пар точек около края), каждая крайняя пара точка (кроме 4 угловых, то есть только 10 пар) занимает половину от нашего квадрата (остальная уходит под прямоугольник, а угловые занимают четверть площади) и того 10/2+4/4=6. 6 квадратов по 3 (площадь) занимают 18 единичных квадратиков из 50 имеющихся, остаётся 32. 32/3=10(ост. 2) пар точек. Всего 10+14=24 пар. Теперь вспомним те 0.14 площади которыми мы пренебребрегли ранее. 0.14×(10+6)=2,24. Но у нас в остатке только 2, поэтому у нас минимум 23 пары. Теперь вернёмся к окружностям: так как они не могут идеально прилегать друг к другу, то у нас и того меньше чем 23, то есть 22 пары. 22×2=44 точки - максимум в теории
Контрпример к задаче 1: Медиана AM треугольника ABC пересекает стороны AB и AC в точке A, и сторону BC в точке M
Любая прямая, проходящая через вершину и пересекающая противолежащую сторону так может, зачем медиана? Речь, видимо, о прямых, не проходящих через вершины.
@@ИмяФамилия-э4ф7в это просто контрпример, что бывают такие прямые. Не надо находить все такие прямые, одной достаточно. Тем более в условии не сказано что через вершины нельзя проводить.
@@awrRoman25 надо доказать для любых прямых, а не только тех что через вершину проходят
Спасибо огромное! Вы мне очень сильно помогли! Видео очень красивое!
Как же всё таки это красиво оформлено и интересно подано! Вайлд, ты очень крут!
Уже поступил, но продолжаю смотреть эти шедевры в твоём исполнении. GOAT 🐐🐐
Вау, очень круто. Побольше бы подобных роликов
И кроликов)
ОГРОМНОЕ СПАСИБО ЗА ДИРИХЛЕ!!! ОЧЕНЬ КРАСИВЫЕ ЗАДАЧИ!!! Ждем еще красивых задач на эту тему.
Вам спасибо! Давно было пора разобрать эту тему: много красивых сюжетов!
Exceptional quality! I hope you didn’t miss the 3b1b math video contest.
Вааау, последняя задача про 6 точек - лютейшая красота!!! И музыка топ)
Каждый ролик меня гипнотизируют анимации на пару с музыкой. Математика - это нереально красиво, и автор каждый раз это доказывает
Очень интересное и красивое видео! Не могу не отметить, что домики для кроликов гораздо лучше клеток, как указано в более использованной формулировке принципа Дирихле)) Необычные задачи и раньше не подумала б, что их можно решить с помощью такого простого факта. Параллельно прохожу курс Райгородского о современной комбинаторике на corsera и это видео идеальное дополнение. Спасибо Вам огромное!
Видео сделано с заботой о кроликах! Спасибо Вам!
Спасибо! Вы мне очень хорошо объяснили! Это мне очень сильно помогло!
Спасибо, отличный ролик! Вот такое и называется "Советское качество"!
Поговаривают, что советские второклассники изучали этот принцип
Спасибо за фидбек, приятно! Ну а ГОСТ в изготовлении видео - превыше всего!
@@Misha-775 100%, но скорее всего это первоклассники
@@polegch8053 новорождённые
Отличное качество контента, сразу подписался на канал. Спасибо!👍
Невероятное качество видеороликов!👏🏻👏🏻👏🏻
О господи, это прекрасно. Давно не смотрел Wild Mathing, ютуб решил подкинуть заново. Я очень удивился росту качества анимации, подачи и музыке. Это должно быть в Лувре!!!
Очень крутое видео! Привет из КПИ)
Жаль, что ютуб сменил алгоритмы и теперь "старые" каналы рекомендуються меньше новых
В прямоугольнике 5х10 49 точек могут лежать вобще как угодно, хоть на одних и тех же координатах, а одну можно поставить подальше от этого скопления и тогда ответ 'не всегда', но так как задача обещала быть сложной, то это не то вобще. Если же каждый кролик в своем домике, то остается один пустой. Нужно доказать что есть хотя бы одна точка, не входящая в окружность с двумя другими, тогда берем угол прямоугольника, к примеру правый нижний, ставим в правую нижнюю вершину прямоугольника точку, оставляем домик левее пустым, тогда домик выше содержит одну точку, точки в нижней правой вершине и в домике выше можно расположить на расстоянии √5, что больше двух. Это доказывает, что мало того что круг может не содержать 3 точки, он может содержать всего одну.
Спасибо за интерес и рассуждения! Мне стоило уточнить, что в этих задачках значит «найдется», «может ли». Стоит представить себе злодея, который расставляет нам точки. А мы вооружены лишь единичным кругом и стараемся поймать три точки в плохих расстановках от соперника
Мне кажется, у тебя чуть-чуть теряется общность, хотя идея хорошая. Попробуй при желании расставить все 49 точек, чтобы получилось железное доказательство в пользу ответа «нет»
Круг с радиусом 1 перекрывает не всю площадь 4х ячеек, в углах ячеек стоят точки, не попадая в круг
@@artdemichev, уточните цель комментария, я и не писал что он полность перекрывает 4 ячейки
Отличное видео ; ) мне нравится то , как вы преподносите материал )
Все для вас, все для вас!
@@WildMathing можно разбор бонуса?
@@сигнатурочка, вы можете найти решение в комментариях. Один из зрителей даже сделал ключевую иллюстрацию, она есть ссылочкой
Спасибо за ролик! Занимался на Ваших курсах, там была красивая задачка со сферой, в решение которой использовался принцип дирихле
Рад слышать вести от родных бойцов! Та задача с точками на сфере - моя любимейшая, так что она достойна отдельного видео!
Очень приятная анимация и музыка на фоне. Спасибо! Принцип Дирихле по сути является аналогом или следствием метода от противного, очень занимательно
потрясающе во всех отношениях 💜
совсем не подозревала, что математику возможно так понятно преподнести, пока не попала сюда. посмею даже заявить, что вы сумели меня ей заинтересовать, а это вообще впервые. земной поклон вам за ваш труд!
Спасибо за добрые слова!
Мой поклон и вам!
Ну конечно нравится!!! Продолжайте 😎
Для 1 задачи нужно уточнение, что прамая не прозодит через вершину треугольника. Ибо можно провести через вершину и тогда мы перескли 3 стороны
Большое спасибо вам за ваши труды! Видео вышло замечательным. Сам буквально на днях проверял задачи из одной будущей олимпиады, и там была задача на этот принцип :)
Спасибо за добрый комментарий!
Самое красивое видео, которое я видел за последние недели. Спасибо!
Наконец добавили музыку на фон! Теперь всё просто идеально. Крутое видео
*если не ошибаюсь, по определению треугольник это фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Из чего напрямую следует решение первой задачи.*
Не совсем. Определение, конечно, верное, но из того, что три вершины не лежат на одной прямой еще не следует, что не найдется три точки на сторонах, лежащие на одной прямой
Мой подход к решению задачи - бонуса. Я не русский, извиняюсь за граматические недoстатки. Нужнo пoстрoить сетку рoвнoстранных треугoлникoв сo стoрoнoй sqrt 3. В таком случае лежит точки (вершины треугольников) тoлькo на окружностях кругoв с единичним радиусoм. Переместить вершину внутри сетки или добавит хоть одну точку значит - пoявление дефинирoванoй трoици тoчек. Следующий шаг - пoместить в сетку наш прянoугoлник 5х10 и дoбавить регульярные тoчки в пoграничие прямoугoлника. Здес встречаются серезные прoблемы. Есть 24 вершины сетки, нo дoбавить еше 24 в пoграничие прямoугoлника мне не пoлучилoсь.
Нo, есть-ли какая то анимация задачи в роде остальных задач рoлика?
Очень интересное видео, лучшее из последних пожалуй. Спасибо
Видео становятся лучше и лучше с каждым днем!
Это вещи известные. Я просматриваю в целях поиска наиболее доступного метода подачи для учеников. Отлично изложено. Методика подачи превосходная. Слушаешь, смотришь и создаётся впечатление, что дошёл своим умом. Это важнейший методический приём. Раздражают такие методы подачи материала, когда делается подсказка, которая неизвестно откуда взялась. Есть такая задача. Число n не делится на 5. Найдите остаток при делении четвёртой степени этого числа на 5. Даётся подсказка: рассмотрите n(n^4-1). Такое впечатление, что пукнули в воду. Кстати, ученики решают её очень просто. Берут 2, возводят в 4 степень, делят на пять и получают ответ : остаток равен 1. Кстати, можно обойтись и просто единицей возводя её в четвёртую степень.
Визуализация потрясающая, спасибо!
Все для вас!
Этот приём меня научил мой препод по дискретной математике
Великолепное видео от великолепного человека! Спасибо тебе огромное за такой шикарный контент!!!
Спасибо за добрые слова!
Музыка классная, вроде фигню решаешь, а таким гордым себя чувствуешь!
Вторая задача сформулирована некорректно, клумба то имеет форму правильно шестиугольника со стороной в метр, но о взаиморасполажении цветков ничего не сказано, они могут расти в пучке, тогда они все на расстоянии менее метра
В бонусе при наличии 49 точек нельзя расставить их так, чтобы хотя бы 3 из них лежали в единичном радиусе. Но если взять 67, то можно обнаружить, что 67-ую точку не получится поставить так, чтобы она лежала вне круга единичного радиуса, следовательно 49 - нет, 67 - да.
Спасибо за интерес! На самом деле принцип Дирихле не требует единичных кругов: в задаче 6:00 пятиугольники нельзя вписать в окружность с диаметром √5, однако принцип Дирихле сработал. Ответ в бонусе положительный, даже если точек 49
Великолепная подача материала, спасибо!
Во второй секции ролика доказывается (точнее показывается), что существует прямая, которая пересечет только две стороны треугольника, а не то, что не существует прямой, пересекающей сразу три стороны
Нет-нет: было доказано (и вдобавок показано), что по приципу Дирихле найдутся две вершины, лежащие по одну сторону от прямой. Значит, соответствующий отрезок прямая не пересекает. Но у треугольника только три стороны, и если прямая одну из них уже не пересекает, то все три пересечь не удастся. Если не разберетесь - дайте знать!
Насчёт дома задания:
Для Дирихле нам надо разделить поле 5х10 на 49-1/2=24 клетки, для этого нужна фигура которая и будет нашей клеткой ибо кругами заполнять поле долго, вспоминаем сразу что из правильных фигур наибольшая по площади это шестиугольник, берём вписанный в единичный круг шестиугольник и заполняем им наше поле, если я правильно нарисовал там как раз 24. А значит за принципом Дирихле хотя бы 3 клетки всегда попадут в круг. Вроде так, я же нигде не накосячил?
pasteboard.co/PAsPGymtzFxg.png
Спасибо, что принял вызов! Ты справился на отлично!
Среди вписанных в единичный круг правильных многоугольников самым большим по площади будет тот, у которого больше всего углов. А вот здесь у вас уже никаких ограничений нет, какое количество углов зададите, такой и правильный многоугольник можете нарисовать.
@@genghiskhan8835 хээээ, забыл дописать из которыми можно заместить плоскость
@@Kt0-0tO да, логично. Сам забыл, что с "большими" правильными многоугольниками плоскость уже не заместить.
Вааа, самые приятные математические видео!)
Прекрасное видео, которое, правда, намного опережает мое соображение😊
Так как вершина треугольника принадлежит двум сторонам треугольника то прямая проходящая через данную точку - вершину, пересекая противоположную сторону треугольника в любой точке будет пересекать все три стороны треугольника
Да, есть такое дело! В момент 0:14 было уточнение, но понимаю, что малозаметное
Видео всё посмотрел уже на x50, понравилось
Видео безумно красивые
Во втором задании неверно составлено условие
Если не запрещено рассаживать цветы как угодно, то тогда можно посадить два цветка рядом и условие будет выполнено, а задаче потеряет смысл
Учитывая последующее объяснение, условие должно было быть таким:
"Возможно ли в правильно-шестиугольной клумбе со стороной 1 метр высадить семь цветов так, чтобы расстояние между ними было не менее одного метра?"
Но тогда и тут неверно, так как рассадив цветы в вершинах треугольников, можно на изи попасть в условие, а принцип Дирихле тут не сработает, так как неравенство не строгое
2:38 дальше идёт столько допущений, что глаза болят
Если петербуржцы живут максимум 200 лет по максимум 366 дней в году, то можно умножить и получить общее число дней за двести лет, а потом поделить количество жителей на количество дней, получив количество человек, у которых совпадают даты и года при условии, что каждый человек живёт ровно 200 лет по 366 дней. Число выйдет больше пятидесяти, а в реальных условиях будет ещё больше
Вопрос: почему нельзя было написать как нормальный человек произведение дней на года? Откуда число 5000001? Что за бредовое выражение получилась в конце? Зачем усложнять всё?
В задании пять условие составлено так же, как и во втором, то есть можно точки валютную поставить и удовлетворить условию
Бонусная задача:
Если поле состоит из клеток 5х10, то при расстановке точек в вершинах клеток, получится 6х11 свободных мест, где точки будут максимально удалены друг от друга. Если точек будет 50, то можно расположить точки на расстоянии 66/50=1,32 клетки друг от друга. А если точек меньше, то и расстояние больше. Значит существует не один вариант расстановки 49 точек на таком поле, чтобы расстояние между ними было больше единицы
В последней анимации, в пятом задании, такое построение вообще неверное, так как для точек в верхних углах домики такие вообще неправильно нарисованы, там нет расстояния в √5. Тут нужно нарисовать круги радиусом √5 для углов, где лежат четыре точки, а затем в пустом пространстве разместить оставшиеся две точки так, чтобы между ними было расстояние √5, что невозможно
Почему человек, который профессионально занимается математикой делает столько непростительных для него ошибок, которые замечает учащийся 11 класса?
Большое спасибо за интерес к задачам и содержательный комментарий!
Прекрасно понимаю ваш взгляд, уважаю ваш мнение. Возможно, какие-то вещи прояснятся, если их прокомментирую, но ничего страшного, если не согласитесь.
№2. Когда в математике говорят «Найдите корни уравнения», имеют в виду все корни - это договоренность. «Найдутся?» означает «Всегда ли найдутся?». Вы можете найти аналогичную задачу в замечательной книге Прасолова по геометрии, и во многих других олимпиадных сборниках будет такая же формулировка. Если, как в вашем примере, цветы будут в вершинах правильного шестиугольника и его центре, то найдутся два, расстояние между которыми не больше единицы. Что полностью соответствует ответу и верному решению из ролика.
№3. Вы просто хотели бы решить задачу по-другому, это прекрасно. Нам не требуется максимальная точность: нужно лишь доказать, что найдется более 50, и это сделано корректно. Число 5000001 дано почти по условию (более 5 млн. жителей). В общем, дело вкуса, отнюдь не истинности.
№5. Аналогично номеру 2. В следующий раз, если будут похожие задачи, конечно, добавлю от себя слово «всегда»: многие тоже этот момент поняли иначе. По поводу построения - присмотритесь, все-таки оно верное. И особенно оно интересно тем, что фигуру нельзя вписать в окружность диаметра √5, но любые две точки действительно удалены друг от друга не далее чем на √5. Если будет желание доказать это формально, посмотрите на анимацию.
Бонус. К сожалению, у задачки другой ответ. Вот здесь подсказка к решению, коли захочется еще чуть-чуть подумать: pasteboard.co/PAsPGymtzFxg.png
Замечательные кролики!!!
все как мы просили!
Трудна, наверное стоит купить себе кролика, чтобы было легче понять, как решать такие задачи
все понял, но очень интересно
Вот такая версия мне по душе!
В задаче 2 надо ещё показать, почему в таком треугольнике максимальное расстояние 1
Совершенно верно! По поводу единичной стороны вопрос звучит в момент 1:57. Дальнейшее - дело нехитрое
Ну вот, другое дело: правильная реакция на критику.
Вышел вразумительный ролик.
Успехов.
Спасибо за классное видео! В англоязычной литературе этот принцип еще называется Pigeonhole principle. Интересно, почему этот принцип принято формулировать с помощью кроликов, а не голубей?
Будь проще, задача : н- мерное, искривлённые пространство, при каком условии прямая пересечёт всё стороны куба?)
Очень понравились!
Тут без Маши из предыдущего ролика не обойтись!
Засечательный кролик! То есть ролик :-)
Мне материться хочется от восторга! Но не буду. Спасибо за ещё один интересный урок для учеников.
Дополнение к предыдущему видео, спасибо!
очень классная анимация, спасибо автору)
Взяли и назвали принципом дирихле процесс в голове, который возникает в ответ на задачу, да еще замусорили его какими-то кроликами и домиками. Если так обозначать все, что в котелке происходит - это же не голова, а мусорка будет
Спасибо. Казалось бы, тема лёгкая, и в ней нечего понимать, а что в задаче следует применять принцип Дирихле, зачастую сразу непонятно. И на олимпиадах она время от времени мелькает.
Вершина - это точка пересечения двух сторон треугольника. Через неё и произвольную точку третьей стороны треугольника можем провести прямую. Обе точки пренадлежат этой прямой. Тогда почему мы не можем пересекать все стороны треугольника?..
Ну да, ну да... Всё самое важное мелким текстом вне центра внимания 0:12
Можно было бы про функцию ламберта видео снять. Очень удобно для показательно-полиномиальных уравнений.
Очень интересно, спасибо!
Спасибо! Теперь мой младший брат, который учится в 5 классе, он понял наконец это и хорошо написал контрольную!❤️
А вершины треугольника - не являются точками, принадлежащими его сторонам?
Если так, то да, не существует прямой, пересакающей 3 стороны. А если нет - то решение очевидно
Три стороны треугольника прямая не может пересекать, а линии трёх сторон может если проходит через сторону и противоположную вершину!
Задача : докажите, что линия не может пересикать все сторны треугольника по 1 разу (пространство на котором находиться треугольник не обязательно должно быть стандартным).
Вайлд, расскажи про Катриону Ширер!
Она сейчас Огг в замужестве
3:19 Неверно, хоть все петербуржцы могли родиться не в день рождения Перельмана
Как всегда сууупер!!!
Спасибо! Красивый ролик
А теперь докажите, что в одном из домиков обязательно будет два кролика. Поскольку это так же очевидно, как и то, что прямая не может пересекать сразу три стороны треугольника.
1:17
А если вместо королей разместить пешки... три ряда по восемь...
«Но это уже совсем другая история»
Шедеврально, дамы и господа математики!
Если одну сторону продолжить и принять за линию, то именно эта линия пересекает все стороны треугольника. То есть, есть минимум 3 линии, которые пересекают все стороны треугольника.
Про цветы, один по центру и остальные 6 по углам.
Смотреть дальше смысла нет...
@Marat Davletshin , спасибо за интерес!
№1. Левый нижний угол в момент 0:14
№2. При такой конструкции по-прежнему найдутся два нужных цветка, как и было доказано в ролике
Но смотреть ли дальше - конечно, каждый решает сам
Озвучка безумного Шляпника
Эх, если бы в вузе анализы через кроликов объясняли бы...
Потому что это хрень, а не объяснение. :-)
Почему линия, соединяющая двух кроликов, сидящих в одной клетке, не находится хотя бы частично в другой клетке? Скажете, что это очевидно? Но тогда чем эта очевидность отличается от очевидности того, что прямая, пересекающая две стороны треугольника, не пересекает третью сторону? :-)
В задании номер 2, слово имелось ввиду "БОЛЕЕ чем на 1 метр?". Если нет, то да, найдутся.
Нет-нет, имелось в виду ровно то, что и было написано в условии: «не более чем на 1 метр». Ответ: да, всегда найдутся (при любом изначальном расположении)
Больше бы таких видео!
За сутки Wild Mathing получил 1000 подписчиков. Найдутся ли 2 таких подписчика, которые подписались в течение одной минуты?
невероятно красиво!!!
Приятно, что удалось донести красоту задач!