Hello, hello aujourd'hui on se retrouve pour un exercice un peu challengeant! Qu'est ce que vous en pensez ?Faisable ou trop compliqué ? Dites moi en commentaires !
Bonjour, dans l'énoncé, on dit que a_0; a_1; .... ; a_n sont des entiers, donc on pourrait prendre 0 comme valeur. p(x) = 0 est une solution simple tout en respectant la consigne.
@@elouan1774 p(x) est de degré 0 et 0 est un nombre entier positif. Donc p(x) = 0 est un polynôme. C'est certes un cas extrême, mais c'est bien un polynôme. Signé un prof de mathématiques. En fait le soucis est dans l'énoncé qui n'exclut pas n = 0.
@@elouan1774 J'ai vérifié, effectivement p(x)=0 est de degré -1 ou -infini. Mais ceci dit, si on lit la consigne, il n'est aucune mention du degré du polynôme. Donc ma réponse est techniquement valable. Gonflée si on veut, mais valable.
Plus généralement si a et b sont des entiers naturels non nuls et que l'on souhaite un polynôme avec des coefficients entiers tel que et sqrt(a)-sqrt(b) soit racine de ce polynôme, alors on peut construire le polynôme suivant de degré 4 P(x) = (x-r1)*(x-r2)*(x-r3)*(x-r4) Avec: r1 = sqrt(a)-sqrt(b) r2 = sqrt(a)+sqrt(b) r3 = -r1 = -sqrt(a)+sqrt(b) r4 = -r2 = -sqrt(a)-sqrt(b) Une autre façon d'écrire notre polynôme est: P(x) = x^4 - 2 (a+b) x^2 +(a-b)^2 Pour info pour a = 7 et b = 3, on retrouve bien P(x) = x^4 - 20 x^2 +16
On peut appliquer un théorème intéressant (on le montre probablement facilement par récurence) dont j’ai oublié le nom mais qui trivialise tous ses types de problèmes: Si on veut qu’une combinaisons linéaires: a_1*sqrt(b_1)+…+a_n*sqrt(b_n) sois racine d’un polynôme à coefficient entier, le polynôme unitaire de degrés minimal qui vérifie cela est: produit(x+-a_1*sqrt(b_1)+-…+-a_n*sqrt(b_n)) et est donc de degré 2n (en supposant que les b_n sont pas des carrés parfait et distincts deux à deux).
Moi j'ai cherché un polynôme qui ait pour racines r7-r3 et r7+r3: x^2 - 2r7 x + 10 Ensuite je le multiplie par x^2 + 2r7 + 10 pour faire sauter la racine: x^4 - 20 x + 16. Si on résout l'équation bicarrée pour vérifier on trouve x = +- r(10 +- r(21)) Et r(10 - r(21)) et bien égal à r7-r3 car positif et même carré. (Et on constate qu'en mettant r7-r3 au carré d'emblée on pouvait aboutir rapidement à la même solution.)
Question bête sans doute, mais rigoureusement, ne devrait-on pas écrire que sqrt7-sqrt3 est racine du polynôme p défini par p(x)=x^4-20x²+16 plutôt que "racine d'une équation"? (cf. la rédaction de la conclusion)
C'est marrant de revenir sur des exos comme ca avec des outils un peu plus poussés. Quand on veut un polynome annulateur de la somme de deux élements algébriques sur Z, on peut faire avec le résultant. On pose P=(X+Y)^2-7 et Q=X^2-3. Le resultant de ces deux polynomes selon X est un polynome qui convient. Ca marche tout le temps pas besoin de faire des calculs(bon y a un determinant 4x4 à calculer mais c'est tout droit)
Vous n'appliquez pas vos propres recommandations (faites dans une autre vidéo) Il faut considérer la quantité conjuguée et savoir que le polynôme X^2-(x1+x2)X+x1x2 a pour racines x1 et x2 On applique cette propriété à x1=sqrt(7)-sqrt(3) et x2=sqrt(7)+sqrt(3) on obtient le polynôme X^2-2sqrt(7)X+4. Après on a que x1,x2 vérifient X^2-2sqrt(7)X+4=0 donc ils vérifient X^2+4=2sqrt(7)X on élève au carré les deux membres et on fait tout passer à gauche et on obtient un polynôme à coefficients entiers dont x1 et x2 sont des racines.
Un autre idée que celles déjà proposées, est d'avoir l'intuition qu'on cherche en faite le polynôme ayant sqrt(7)-sqrt(3), sqrt(7)+sqrt(3), et leurs opposés comme racines (de la même manière qu'on prendrait le conjugué si on veut un polynome dont 1+5i est racine par exemple, là il y a plus de conjugués). Comme les opposés sont racines, le polynôme est pair, pas de termes en x^3 ou x. Il y 6 doubles produits de racines à calculer pour avoir le terme en x^2 (et on déduira le terme constant), c'est assez rapide, on trouve le polynôme souhaité.
Une méthode bien plus simple est juste de considérer x=✓7-✓3 puis de calculer x²=10-2✓21, apres on a donc que x²-10=-2✓21, ce qui nous donne finalement : (x²-10)²=84. On a donc P(X)=(X²-10)²-84 qui est bien à valeurs dans Z et annule ✓7-✓3.
@@thomas984498 S'il s'agit d'être tatillon, un polynôme n'est ni "à valeur" dans R, ni dans quelque autre anneau qu'il soit : le polynôme et la fonction polynomiale sont deux notions différentes :)
il faut considérer x1=sqrt(7)+sqrt(3) et x2=x1=sqrt(7)-sqrt(3) il est immédiat de constater que X^2-2sqrt(7)X+4=0 donc X^2+4=2sqrt(7)X il ne reste plus qu'à élever à gauche et à droite au carré à tout faire repasser à gauche et de développer le tout.
@@TheMathsTailor Haha, merci du ptit message! J'ai pas la memoire de la voix contrairement a toi! Il faudra que j'y jette un oeil apres ces decennies :)
On pose α = sqrt(7)-sqrt(3) α^2=10+2sqrt(21) (α^2-10)/2=sqrt(21) ((α^2-10)/2)^2=21 Donc (α^4-20α^2+100)/4 -21=0 α^4-20α^2+16=0 On en déduit que si on remplace α par X on a un polynôme de Z[X] de racine α.
Hello ! à 5:17 j'arrive à la conclusion qu'il y a deux contraintes pour que l'égalité soit vraie. Donc ça veut dire que j'ai mes trois paramètres (a,b,c) déterminés par deux équations. Dans le concret ça veut dire que je peux en prendre un, par exemple c, lui donner n'importe quelle valeur, et les deux autres suivront. Pourquoi ? Parce qu'il y a une infinité de polynômes qui fonctionnent ! Lesquels ? Regardons : Par exemple si je prends c=32, je trouve a=2 et b=-40. Donc je trouve le polynôme 2x⁴ - 40x²+32=2 (x⁴ - 20x²+16) C'est celui de la vidéo mais fois 2 ! C'est en fait toujours le même polynôme, multiplié par une constante. C'est ça l'infinité de polynômes dont on parle, ils sont en fait tous de la même 'famille'. C'est pour ça qu'on a une certaine liberté pour le choix d'un des paramètres. J'espère que ça aide !
le polynôme nul ! techniquement, comme n est juste un entier et qu'il n'est pas défini comme le degré du polynôme, n est pas négatif (-inf) et il a sqrt(7) - sqrt(3) comme racine bref, la solution du gigachad x,)
@@TheMathsTailor Le Monsieur vient de donner une reponse simple (ok c'est pas equivalent, il a juste mal écrit. J'avais pas fait gaffe mais ca m'a assis. ). Cela dit , ce genre de truc , on peut le rencontrer à droite à gauche comme conséquence d'autre chose. Si on se souvient de la methode , on sait qu'on peut faire joujou avec le polynome bicarré associé très vite. Mon petit doigt me dit que quand on joue avec sin et cos, ca peut aider pour le calcul sur certains angles (que je dirai classiques) J'ai de la bouteille , j'ai deja vu des sommes de 2 racines et ca me les cassait. Peut être passer par "le" polynome associé pouvait donner des réponses. C'est vraiment le genre de "petit truc" à mettre de coté au meme titre que (x^n)-1=(x-1)(1+x+...+x^(n-1)) qui est beaucoup utilisé en continuité par exemple alors que c'est enseigné comme un exercice.
Hello, hello aujourd'hui on se retrouve pour un exercice un peu challengeant! Qu'est ce que vous en pensez ?Faisable ou trop compliqué ? Dites moi en commentaires !
X=sqrt(7)-sqrt(3)
X^2=10-2sqrt(21)
(x^2-10)^2=84
Voilà ton polynôme
Encore mieux
Ça ça sent les structures algébriques
la meilleure solution :)
je viens de faire la même chose de tête aussi avant de lancer la vidéo, je me demande pourquoi la vidéo dure 8 min...
@@heysqualito j'ai même pas vu la vidéo, j'ai juste regardé la miniature et imaginé la contrainte sur Z[X]
Bonjour, dans l'énoncé, on dit que a_0; a_1; .... ; a_n sont des entiers, donc on pourrait prendre 0 comme valeur. p(x) = 0 est une solution simple tout en respectant la consigne.
J'adore :D ! Si à l'oral, à tenter avec le sourire ;)
il faut que p soit de degré positif, ce qui n’est pas le cas de p(x)=0
@@elouan1774 p(x) est de degré 0 et 0 est un nombre entier positif. Donc p(x) = 0 est un polynôme. C'est certes un cas extrême, mais c'est bien un polynôme. Signé un prof de mathématiques.
En fait le soucis est dans l'énoncé qui n'exclut pas n = 0.
@@nicolasbabin90 j’ai appris en math sup que p(x)=0 est de degrés -infini, et que les polynômes de degré 0 sont les polynômes constants non nuls
@@elouan1774 J'ai vérifié, effectivement p(x)=0 est de degré -1 ou -infini. Mais ceci dit, si on lit la consigne, il n'est aucune mention du degré du polynôme. Donc ma réponse est techniquement valable. Gonflée si on veut, mais valable.
Plus généralement si a et b sont des entiers naturels non nuls et que l'on souhaite un polynôme avec des coefficients entiers tel que et sqrt(a)-sqrt(b) soit racine de ce polynôme, alors on peut construire le polynôme suivant de degré 4
P(x) = (x-r1)*(x-r2)*(x-r3)*(x-r4)
Avec:
r1 = sqrt(a)-sqrt(b)
r2 = sqrt(a)+sqrt(b)
r3 = -r1 = -sqrt(a)+sqrt(b)
r4 = -r2 = -sqrt(a)-sqrt(b)
Une autre façon d'écrire notre polynôme est:
P(x) = x^4 - 2 (a+b) x^2 +(a-b)^2
Pour info pour a = 7 et b = 3, on retrouve bien P(x) = x^4 - 20 x^2 +16
On peut appliquer un théorème intéressant (on le montre probablement facilement par récurence) dont j’ai oublié le nom mais qui trivialise tous ses types de problèmes:
Si on veut qu’une combinaisons linéaires:
a_1*sqrt(b_1)+…+a_n*sqrt(b_n) sois racine d’un polynôme à coefficient entier, le polynôme unitaire de degrés minimal qui vérifie cela est: produit(x+-a_1*sqrt(b_1)+-…+-a_n*sqrt(b_n)) et est donc de degré 2n (en supposant que les b_n sont pas des carrés parfait et distincts deux à deux).
Moi j'ai cherché un polynôme qui ait pour racines r7-r3 et r7+r3:
x^2 - 2r7 x + 10
Ensuite je le multiplie par x^2 + 2r7 + 10 pour faire sauter la racine:
x^4 - 20 x + 16.
Si on résout l'équation bicarrée pour vérifier on trouve x = +- r(10 +- r(21))
Et r(10 - r(21)) et bien égal à r7-r3 car positif et même carré.
(Et on constate qu'en mettant r7-r3 au carré d'emblée on pouvait aboutir rapidement à la même solution.)
Question bête sans doute, mais rigoureusement, ne devrait-on pas écrire que sqrt7-sqrt3 est racine du polynôme p défini par p(x)=x^4-20x²+16 plutôt que "racine d'une équation"? (cf. la rédaction de la conclusion)
C'est marrant de revenir sur des exos comme ca avec des outils un peu plus poussés.
Quand on veut un polynome annulateur de la somme de deux élements algébriques sur Z, on peut faire avec le résultant. On pose P=(X+Y)^2-7 et Q=X^2-3. Le resultant de ces deux polynomes selon X est un polynome qui convient.
Ca marche tout le temps pas besoin de faire des calculs(bon y a un determinant 4x4 à calculer mais c'est tout droit)
Vous n'appliquez pas vos propres recommandations (faites dans une autre vidéo) Il faut considérer la quantité conjuguée et savoir que le polynôme X^2-(x1+x2)X+x1x2 a pour racines x1 et x2 On applique cette propriété à x1=sqrt(7)-sqrt(3) et x2=sqrt(7)+sqrt(3) on obtient le polynôme X^2-2sqrt(7)X+4. Après on a que x1,x2 vérifient X^2-2sqrt(7)X+4=0 donc ils vérifient X^2+4=2sqrt(7)X on élève au carré les deux membres et on fait tout passer à gauche et on obtient un polynôme à coefficients entiers dont x1 et x2 sont des racines.
tres propre ta chaine je commente rarement les vidéos mais la l'esthétique de ta vidéo m'a touché , bonne continuation
Merci ça me touche beaucoup!
bonjour , on a aussi par exemple P(x)= x² + 2(racine(3)-racine(7)).x + (racine(3)-racine(7))²
Un autre idée que celles déjà proposées, est d'avoir l'intuition qu'on cherche en faite le polynôme ayant sqrt(7)-sqrt(3), sqrt(7)+sqrt(3), et leurs opposés comme racines (de la même manière qu'on prendrait le conjugué si on veut un polynome dont 1+5i est racine par exemple, là il y a plus de conjugués). Comme les opposés sont racines, le polynôme est pair, pas de termes en x^3 ou x. Il y 6 doubles produits de racines à calculer pour avoir le terme en x^2 (et on déduira le terme constant), c'est assez rapide, on trouve le polynôme souhaité.
Tout a fait, c'est ce que l'on nomme la recherche de polynômes minimaux, la connaissance de Gal(Q(✓7, ✓3) | Q) étant clair, le reste suit !
Une méthode bien plus simple est juste de considérer x=✓7-✓3 puis de calculer x²=10-2✓21, apres on a donc que x²-10=-2✓21, ce qui nous donne finalement : (x²-10)²=84. On a donc P(X)=(X²-10)²-84 qui est bien à valeurs dans Z et annule ✓7-✓3.
Bien joué en effet !
Il n'est pas à valeur dans Z[X] mais a valeur dans R. Ton polynôme est un élément de Z[X] par contre.
@@thomas984498 S'il s'agit d'être tatillon, un polynôme n'est ni "à valeur" dans R, ni dans quelque autre anneau qu'il soit : le polynôme et la fonction polynomiale sont deux notions différentes :)
il faut considérer x1=sqrt(7)+sqrt(3) et x2=x1=sqrt(7)-sqrt(3) il est immédiat de constater que X^2-2sqrt(7)X+4=0 donc X^2+4=2sqrt(7)X il ne reste plus qu'à élever à gauche et à droite au carré à tout faire repasser à gauche et de développer le tout.
@@richardheiville937 oui cette méthode marche aussi !
Tu peux directement exprimer u^4 en fonction de u^2 et pas besoin de poser a, b and c.
Yes, juste pour info j’adore ton pseudo. Je le lis et je l’entends prononcé avec la voix de la télé de l’époque 😂
@@TheMathsTailor Haha, merci du ptit message! J'ai pas la memoire de la voix contrairement a toi! Il faudra que j'y jette un oeil apres ces decennies :)
C'est ce que je croyais que Math Taylor allait faire en voyant le début.
On pose α = sqrt(7)-sqrt(3)
α^2=10+2sqrt(21)
(α^2-10)/2=sqrt(21)
((α^2-10)/2)^2=21
Donc
(α^4-20α^2+100)/4 -21=0
α^4-20α^2+16=0
On en déduit que si on remplace α par X on a un polynôme de Z[X] de racine α.
Merci beaucoup pour la vidéo . Imaginons que votre supposition de c=16 soit fausse. Qu'auriez vous fait?
Ce n’est pas une supposition, toute valeur de c amène une solution ;)
j'ai du mal a comprendre pourquoi tu conclu que c=16? merci d'avance
Hello ! à 5:17 j'arrive à la conclusion qu'il y a deux contraintes pour que l'égalité soit vraie.
Donc ça veut dire que j'ai mes trois paramètres (a,b,c) déterminés par deux équations.
Dans le concret ça veut dire que je peux en prendre un, par exemple c, lui donner n'importe quelle valeur, et les deux autres suivront.
Pourquoi ? Parce qu'il y a une infinité de polynômes qui fonctionnent ! Lesquels ?
Regardons :
Par exemple si je prends c=32, je trouve a=2 et b=-40. Donc je trouve le polynôme
2x⁴ - 40x²+32=2 (x⁴ - 20x²+16)
C'est celui de la vidéo mais fois 2 !
C'est en fait toujours le même polynôme, multiplié par une constante. C'est ça l'infinité de polynômes dont on parle, ils sont en fait tous de la même 'famille'.
C'est pour ça qu'on a une certaine liberté pour le choix d'un des paramètres. J'espère que ça aide !
@@TheMathsTailor OK donc est OK sur le fait qu'il existe une infinité de réel a, b et c tel que l'équation sois vrai (sauf a=0)?
Oui ! Une infinité de groupes de 3 du style (1,-20,16) ; (2,-40,32) ; (1/2,-10,8)… tous des « multiples » de (1,-20,16) ;)
Fonction affine : x - sqrt(7) + sqrt(3) Et voilà!!
Ah non les chefs sont entiers...
Je me suis dit, c'est vraiment trop facile, je n'avais pas lu " avec des coefficients entiers"...
pareil je me suis dit suffit de faire que b= 2sqrt(7) a=1 et après cpour que delta = 3
A coefficient entier, sinon ça n'a pas d'intérêt, attention au titre
Oui mais trop long pour RUclips après je le paie sur le referencement 😅
@@TheMathsTailor legit ;)
P(x) = x - racine de 7 + racine de 3
a coefficients entiers mon gars
le polynôme nul ! techniquement, comme n est juste un entier et qu'il n'est pas défini comme le degré du polynôme, n est pas négatif (-inf) et il a sqrt(7) - sqrt(3) comme racine
bref, la solution du gigachad x,)
Par ailleurs ce nombre est dit algébrique
Merci maître capello
@@EmmaHill_WN de rien. D’ailleurs tu connais certainement l’anagramme de lucerne
@@TheCarlitoCafe belle réplique de ***
Sinon ya le polynôme de degré 1
P(x) = x -(sqrt (7)-sqrt(3)
"with integer coefficients"
@@pierreardouin6441 ah oui exact merci
Bonjour, pour résoudre cet exercice, j’ai procédé comme tel:
Posons x = √7 - √3
x = √7 - √3
⇔ x + √3 = √7
⇔ (x + √3)² = (√7)²
⇔ x² + 2√3x + 3 = 7
⇔ 2√3x = 4 - x²
⇔ (2√3x)² = (4 - x²)²
⇔ 12x² = 16 - 8x² + x⁴
⇔ x⁴ - 20x² + 16 = 0
Joli.
Attention, tel que c'est écrit, les équivalences sont fausses. Il vaut mieux raisonner avec des "donc".
Efficace ! :) Attention en effet aux équivalences avec les mises au carré ;)
@@TheMathsTailor Le Monsieur vient de donner une reponse simple (ok c'est pas equivalent, il a juste mal écrit. J'avais pas fait gaffe mais ca m'a assis. ).
Cela dit , ce genre de truc , on peut le rencontrer à droite à gauche comme conséquence d'autre chose.
Si on se souvient de la methode , on sait qu'on peut faire joujou avec le polynome bicarré associé très vite.
Mon petit doigt me dit que quand on joue avec sin et cos, ca peut aider pour le calcul sur certains angles (que je dirai classiques)
J'ai de la bouteille , j'ai deja vu des sommes de 2 racines et ca me les cassait.
Peut être passer par "le" polynome associé pouvait donner des réponses.
C'est vraiment le genre de "petit truc" à mettre de coté au meme titre que
(x^n)-1=(x-1)(1+x+...+x^(n-1)) qui est beaucoup utilisé en continuité par exemple alors que c'est enseigné comme un exercice.