en vrai la première partie est, je trouve, assez redondante avec les récurrences, j'aurais aimé quelque chose de plus ouvert au niveau des suites (le problème 3 par contre est à un tout autre lvl)
texte en latex : \begin{center} \textbf{CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES} \end{center} \begin{center} \textbf{SESSION DE 2024} \end{center} \begin{center} \textbf{MATHÉMATIQUES} \end{center} \begin{center} \textbf{Problème 1: étude d'une suite} \end{center} Pour tout réel $\alpha \geqslant 0$, on appelle suite associée à $\alpha$ la suite $(u_n)$ définie par $u_{0}=\alpha$ et \begin{center} $u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}+\sqrt{u_{n}}$ pour tout entier $n \geqslant 0$ \end{center} \begin{center} \textbf{Partie 1: Généralités} \end{center} \begin{enumerate}[label=\arabic*)] \item Soit $\alpha$ un réel positif. Démontrer que la suite $(u_n)$ associée à $\alpha$ vérifie $u_{n}\geqslant 0 $, pour tout entier $n\geqslant 0$ \item Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $0 \leqslant \alpha \leqslant \beta $ .On note $(u_{n})$ la suite associée à $\alpha$ et $(v_{n})$ la suite associé à $\beta$. Démontrer que $u_n \leqslant v_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$. \item On note $(w_n)$ la suite associée à 0. Démontrer que $w_n \geqslant 1$, pour tout entier $n \geqslant 1$. \item Soit $\alpha$ un réel positif ou nul. On suppose que la suite $(u_{n})$ associée à $\alpha$ converge vers un réel $\ell$ . Déterminer la valeur de $\ell$. \item Soit $\alpha$ un réel tel que $\alpha > \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$. Justifier que la suite associée à $\alpha$ est strictement décroissante. Que peut-on en déduire en terme de convergence?
Si j’ai bien compris pour alpha compris entre 0 et (3+rac(5))/2, la suite Un est aussi décroissante strictement mais seulement à partir d’un certain rang, en fait à partir du moment où un terme est > (3+rac(5))/2.
J’ai une question pour le question 4 partie 1. Es que c’est nécessaire de démontrer grâce à la question deux et trois à la fois, ou bien la une des deux suffit
Pour la question 5, j'ai prouvé la contraposée : (Un) croissante => α= U(1)>=U(0) Il suffit alors de résoudre U(1)>=U(0) soit √α + 1 >= α Or √(3+√5 /2) + 1 = 3+√5 /2 Donc 3+√5 /2 est le plus petit reel tel que U(1)>=U(0)
et vous avez réussi les autres questions ? D'ailleurs si quelqu'un a une idée pour la dernière , je suis preneur, je viens de la regarder et je n'ai pas encore trouvé ...
@@maths-lycee alors je sais pas si c'est juste mais j'ai généralisé le raisonnement suivie dans la partie 2 : et j'ai posé une suite s_n = n(u_n -1) et je démontre qu'elle tend vers 2 en démontrant une inégalité puis théorème de gendarmes, comme dans la partie II mais je généralise a toute suite u_n pas seulement un cas particulier et puis après la limite est plutôt simple a calculé on multiplie par n en haut et en bas et trouve qu'elle tend vers zero le plus dur c'est surtout de démontrer que la suite s_n tend vers 2 c'est pour ça que la 9 est avant la 10 puisqu'on a besoin de savoir que u_n converge vers 1
@@lyroarpall1787 pour la question 7, Tu a déjà l'encadrement de la question 6 : 1+ 2/n ≤ (Tn) ≤ 1 + 3/n on peut remarquer que que comme 1 + 3/n ≤ (2/n) × (1 + 3/n) + 1 On a un nouvelle encadrement plus large : 1+ 2/n ≤ (Tn) ≤ (2/n) × (1 + 3/n) + 1 D'ou : 2/n ≤ (Tn) - 1 ≤ (1/n) × (2 + 6/n) 2 ≤ n((Tn) - 1) ≤ 2 + 6/n 2 ≤ (Sn) ≤ 2 + 6/n
@@ThetaMathspour le 6 , une démonstration par récurrence avec des études de signe et des mises au m^me dénominateur . Pour la 7 , j'ai une solution je crois mais elle m'oblige à démarrer la récurrence à n=4, et donc à calculer s1,s2,s3 et s4 et vérifier l'encadrement. Il doit y avoir plus simple , je cherche ;)
Je suis embêté pour ces inégalités a cause des racines carrées, pour la question 6 je viens de réussir à démontrer l encadrement supérieur a l aide d une récurrence commençant a n=3 et en utilisant une inégalité de convexité sur la racine carré. Je me demande si il y avait moyen de faire autrement et comment faire pour l inégalité inférieure, je vais continuer a chercher
en vrai la première partie est, je trouve, assez redondante avec les récurrences, j'aurais aimé quelque chose de plus ouvert au niveau des suites (le problème 3 par contre est à un tout autre lvl)
Oui vraiment le 3 hardcore
j'ai publié le (début du) corrigé de l'exercice 3. La suite est à venir très prochainement 😉
Bonjour tout le monde,
Qui sait faire l'exo 2 du CG, notamment la Partie 3 ?
Exos 1 et 3 Kool, mais le 2 Partie 3 ???
texte en latex :
\begin{center} \textbf{CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES} \end{center}
\begin{center} \textbf{SESSION DE 2024} \end{center}
\begin{center} \textbf{MATHÉMATIQUES} \end{center}
\begin{center} \textbf{Problème 1: étude d'une suite} \end{center}
Pour tout réel $\alpha \geqslant 0$, on appelle suite associée à $\alpha$ la suite $(u_n)$ définie par $u_{0}=\alpha$ et
\begin{center} $u_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}+\sqrt{u_{n}}$ pour tout entier $n \geqslant 0$ \end{center}
\begin{center} \textbf{Partie 1: Généralités} \end{center}
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item Soit $\alpha$ un réel positif. Démontrer que la suite $(u_n)$ associée à $\alpha$ vérifie $u_{n}\geqslant 0 $, pour tout entier $n\geqslant 0$
\item Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $0 \leqslant \alpha \leqslant \beta $ .On note $(u_{n})$ la suite associée à $\alpha$ et $(v_{n})$ la suite associé à $\beta$.
Démontrer que $u_n \leqslant v_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$.
\item On note $(w_n)$ la suite associée à 0. Démontrer que $w_n \geqslant 1$, pour tout entier $n \geqslant 1$.
\item Soit $\alpha$ un réel positif ou nul. On suppose que la suite $(u_{n})$ associée à $\alpha$ converge vers un réel $\ell$ .
Déterminer la valeur de $\ell$.
\item Soit $\alpha$ un réel tel que $\alpha > \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$. Justifier que la suite associée à $\alpha$ est strictement décroissante.
Que peut-on en déduire en terme de convergence?
Si j’ai bien compris pour alpha compris entre 0 et (3+rac(5))/2, la suite Un est aussi décroissante strictement mais seulement à partir d’un certain rang, en fait à partir du moment où un terme est > (3+rac(5))/2.
J’ai une question pour le question 4 partie 1. Es que c’est nécessaire de démontrer grâce à la question deux et trois à la fois, ou bien la une des deux suffit
Pour la question 5, j'ai prouvé la contraposée : (Un) croissante => α= U(1)>=U(0)
Il suffit alors de résoudre U(1)>=U(0)
soit √α + 1 >= α
Or √(3+√5 /2) + 1 = 3+√5 /2
Donc 3+√5 /2 est le plus petit reel tel que U(1)>=U(0)
je suis surpris, le sujet est beaucoup plus simple qu'à notre époque (année 2015)
Tu dois voir l’exercice 3 … vraiment incompréhensible
Regarde l’exercice 3 😂
L’exercice 1 oui…
@@pio5168j'ai publié le (début du) corrigé de l'exercice 3. La suite est à venir très prochainement 😉
@@wizzzy5185j'ai publié le (début du) corrigé de l'exercice 3. La suite est à venir très prochainement 😉
je suis dégouté j'avais pas réussi la 5 et la 9 du problème 1 quand j'ai fait le concours général jeudi enfaite c'étais tout con. merci pour la vidéo
et vous avez réussi les autres questions ? D'ailleurs si quelqu'un a une idée pour la dernière , je suis preneur, je viens de la regarder et je n'ai pas encore trouvé ...
C’est la même réponse que pour la 8 il me semble
@@maths-lycee alors je sais pas si c'est juste mais j'ai généralisé le raisonnement suivie dans la partie 2 : et j'ai posé une suite s_n = n(u_n -1) et je démontre qu'elle tend vers 2 en démontrant une inégalité puis théorème de gendarmes, comme dans la partie II mais je généralise a toute suite u_n pas seulement un cas particulier et puis après la limite est plutôt simple a calculé on multiplie par n en haut et en bas et trouve qu'elle tend vers zero le plus dur c'est surtout de démontrer que la suite s_n tend vers 2 c'est pour ça que la 9 est avant la 10 puisqu'on a besoin de savoir que u_n converge vers 1
Comment as-tu fait pour la question 7 ?
@@lyroarpall1787 pour la question 7,
Tu a déjà l'encadrement de la question 6 :
1+ 2/n ≤ (Tn) ≤ 1 + 3/n
on peut remarquer que que comme
1 + 3/n ≤ (2/n) × (1 + 3/n) + 1
On a un nouvelle encadrement plus large :
1+ 2/n ≤ (Tn) ≤ (2/n) × (1 + 3/n) + 1
D'ou :
2/n ≤ (Tn) - 1 ≤ (1/n) × (2 + 6/n)
2 ≤ n((Tn) - 1) ≤ 2 + 6/n
2 ≤ (Sn) ≤ 2 + 6/n
Dans la description c'est le sujet 2023 ???
pour la question 1 on était vraiment obligé de faire par récurrence ? Parce qu'on pouvait justifier que c'est que des termes positifs donc >0
ouais mais c'est moins beau
en gros j'ai juste dit que 1/n+1 c'est toujours > 0 et racine de Un aussi du coup
Mais de cette manière tu n as pas justifié que la suite est bien définie, enfin c est pas 100% irréprochable même si ce que tu dis est évidemment vrai
Merci pour cette vidéo, seulement, je crois que vous vous êtes un peu embêté sur la question 5, vous avez répondu à la question 9 en même temps
je viens de m'en rendre compte, mais ça me parait bizarre, on pouvait conclure directement ...
J'ai hâte de voir comment justifier les questions 6-7-10, je n ai pas trouvé comment obtenir ces encadrements même en y ayant passé beaucoup de temps
@@ThetaMaths J'étais dans la même situation, j'ai cherché mais incapable de démontrer ces encadrements.
@@ThetaMathspour le 6 , une démonstration par récurrence avec des études de signe et des mises au m^me dénominateur . Pour la 7 , j'ai une solution je crois mais elle m'oblige à démarrer la récurrence à n=4, et donc à calculer s1,s2,s3 et s4 et vérifier l'encadrement. Il doit y avoir plus simple , je cherche ;)
Je suis embêté pour ces inégalités a cause des racines carrées, pour la question 6 je viens de réussir à démontrer l encadrement supérieur a l aide d une récurrence commençant a n=3 et en utilisant une inégalité de convexité sur la racine carré. Je me demande si il y avait moyen de faire autrement et comment faire pour l inégalité inférieure, je vais continuer a chercher