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数学を数楽にする高校入試問題81amzn.to/3l91w2Kオンライン個別指導をしています。sites.google.com/view/kawabatateppei数学Tシャツ販売中suzuri.jp/suugaku
動画ありがとうございます。今回の図形を4個用意し、点A同士をくっ付けて重ならないようにすると、大きな正方形ができます。この大きな正方形の一辺の長さは 3+3√3 になります。点Aは大きな四角形の中心です。ここまで分かれば、点Aと点Cの長さは 1対1対√2 の比を使って計算出来ました。
ACで切って三角形ABCの辺ABが辺ADにくっつくように回転移動させると、3√3＋3の√2分の1倍で出ます。これ、中学入試問題の動画で見ました。
トレミー知らなかったです。いつもすごい勉強になります。
同じく、知りませんでした。
Aを中心とし同じ図形を四つ組み合わせると大きな正方形となるので三平方の定理を用いて一辺の長さを出し、対角線の長さを求めて2で割り解きました。
同じ
同じです。
別解にある、トレミーの定理を使って解きました。辺の比も上手く利用できる良い問題でした
Aを通りCDに平行な直線を引いて長方形ECDFを描いてEBAとFADが合同な直角三角形になることからAE=DF=a、EB=FA=bとしてa=b+3、a+b=3√3としてaを求めて、AECが直角二等辺三角形になることからｘ＝a×√2で解きました。知識もひらめきもないのでチカラワザ。
同じく！（笑）同じ解き方で解いた人がいてほっとしました。
トレミーの定理なんて昔は高校でも出てきませんでした。初等幾何が軽視された時代で、扱う定理はほんの少し、その代わりに平面幾何の公理的構成という、わけの分からない項目がありましたなw
ズルいやり方ですが円の中心Oとして△AOCは頂角150°の二等辺三角形あとは15°75°90°の辺の比は4:√6+√2:√6−√2を使って答え求めました
同じく△OACで解きました。03:22 までは川端先生の説明のとおり(1)これまでの説明でBDは四角形ABCDの外接円の直径となるので、その半径は3。(2)BDの中点をOとすると円周角と中心角の関係から∠AOCは∠ADCの倍の150°となる。(3)OAとOCは外接円の半径なので長さは3となる。(4)「(2)」と「(3)」より△OACは底角15°斜辺が3の二等辺三角形となる。以上より、底角が15°の二等辺三角形の斜辺対底辺の比は 1:(√6+√2)/2 であるので AC = 3(√6+√2)/2となる。
同じく。
△ＡＢＣの頂点Ａにピンを刺し、反時計回りに△ＡＢＣを９０度回転させると、直角二等辺三角形の出来上がり。
一番シンプルで好きです
@@豪商 返信有り難うございます。この問題に関しては、これが一番簡単な解法だと思います。
トレミーの定理なんて昭和の頃はやらなかったような気がする
AB＝AD＝r (半径)となるような円Aを書くと、△ABD４つで正方形ができる。ということは、点Aを中心にして90°ずつの回転移動を繰り返せば、点Cと点Cが移動した点でさらに大きな正方形がつくれる。するとACは、大きな正方形の対角線の半分になる。
ギミックは使わずに、外接円でスタンダードに解くという素晴らしい解答だと敬服しました。 次、小数と分数の有名なのは覚えよ、分母が８ばかりだが。
BC=3 CD=3√3 AB=AD=3√2トレミーの定理により、3×3√2+3√3×3√2=6×AC 9√2+9√6=6AC AC=(3√2+3√6)/2
円周角の定理を使わず、ゴリ押しで解いてしまいました・・・。直角三角形BCDの斜辺BDの中点をHをとると、BC=BH=CH=3 また、点Hは、直角二等辺三角形の中点でもあるので、AH=BH=3そのため、△ACHは、AH=CHの二等辺三角形∠AHB=90°、∠AHC=60°であり、△ACHが二等辺三角形であるため、ACとBDの交点をFとして、∠HAF=∠HBF=15°△BCHは正三角形なので、∠BCF=∠BCH-∠HCF=45°また△ABHは直角二等辺三角形なので、∠BAF=∠HAB-∠HAF=30°以上より、三角形BCAのそれぞれの内角が求まるので、（∠BCA=∠BCF=45°、∠BAC=∠BAF=30°）AC=AF+CF=AB×cos(∠BAC)+CB×cos(∠BCA)=1/√(2) ×BD×cos(30°) +1/2 ×BD×cos(45°)円周角の定理やトレミー使ったほうが時間短縮になりますね・・・。
対角の和が180°だから円が見えました。なのでまずトレミーの定理でサクッと答えだけ出してみました。あとは他の解き方をゆっくり考えてるとAからCDへ垂線を下ろして右側に出来た三角形を切り取って斜辺ADと同じ長さの斜辺ABの上にくっ付けてACを対角線とする正方形を作ると一辺の√2倍がAC。しかし色々な解き方がある問題ですね。
BDの中点をOとして、△OACは底角15度の二等辺三角形になるから3x(√6+√2)/4x2 で答え出しました
トレミーの定理、覚えました。ありがとうございます。
角Aを中心に90°ずつ回転させると、一辺が辺BC+CDの正方形が出来ます。その正方形の対角線の半分が角AとCを結ぶ線分になるので、それを解いて終わり。( ( 3+3√3 ) * √2 ) / 2 = ( 3√2 + 3√6 ) / 2
4つ組み合わせて大きな正方形を作って、対角線の長さ÷2で解きました。
対角がともに直角の四角形は4つ組み合わせると必ず正方形になるのを覚えておいた方が良い。この問題も一辺が3+3√3の正方形になるのは一目で分かるし、その対角線の1/2なので暗算でも簡単に出せる。
動画ありがとうございます。別解の解説の時に、方べきの定理だと思ってしまいました。トレミーの定理初めて知りました。
三角形ADCはCDとDA、角ADCと二辺狭角が決まっているから残りの長さや角度が一意的に決まる。当に合同条件のことで当然のことなんだけど、三平方の定理を中3で習った後に、この問題みたいに三角形の中に使いたい角を殺さないように垂線をおろして辺の長さを求めていくときに大切な考え方。
見える人には〇〇が見えるの〇〇は正方形だと思ったら・・・そのまんま〇だったか
ちょっと上手い
トレミーの定理は高校で習うけど中学生でも十分知っても良いと思います
Aを通りCDに垂直な直線を引き、その交点をEとすると三角形AEDができる。これは、Aを通りBCの延長線を垂直に通る直線を引いたときにできる三角形と合同である。よって正方形ができ...以下略遠回りだけどねｗ
パップスの定理、チェバの定理、それに今回、別解に登場したトレミーの定理は、昔も今も、難関校を受験する中学生なら、知らないとヤバいのかも❗
辺BDは四角形ABCDの直径,三角形ACDに正弦定理を用いてAC/sin75°＝6sin75°＝√6+√2/4なのでAC＝3√6+3√2/2sin75°は加法定理なり頂点30°の二等辺三角形なりで示す
外接円の半径をRとして、2R=AC/sin∠ABCからsin105°は加法定理を使って求めて、6=AC/sin105°から考えた
円に内接する四角形なので、辺の比からAC以外の長さを求め、トレミーの定理で答えを出します。中学3年生の身なのでテストで出たら動画と同じやり方にしますが、
これはキツイ問題でした．15° 75° 90°の直角三角形を求めて，4:(√6+√2):(√6-√2)を組み合わせて出しましたが，他の方のコメントにあるように，頂点Aを中心に４つ同じ図形組み合わせて，巨大正方形か．参りました．
以前に川端先生に数楽の名前が泣きますよと書いた谷口義弘と申します。 今回は四角形ＡＢＣＤが,円に内接しているという川端先生の解説を聴いてたいかくせんの長さACを求める方法を聴いて面白いと思い,楽しくなりました。四角形ABCDが円に内接する事を思いつくのは,問題を解くのが面白かったし,楽しいと思います。 点ＡからＢＣ．ＣＤに垂線を引く,長方形を書き,対角線の長さを求めたのですが,計算が大変で,解としては求められたのですが,大変さを感じるだけで面白さも楽しさも感じませんでした。 スムーズに答えが求められる四角形ＡＢＣＤが円に内接するという考え方で,答えが求められたら,数学が面白く,楽しくなるのではないでしょうか？より楽しい数学を提供していただければ幸いです。
トレミー最強ですよね
トレミーを使いたくなりますね
ADまたはABを斜辺とする15度の直角三角形（1：(√6-√2)/4：(√6+√2)/4）が見えるとACを対角線とする正方形が見える→地味に計算、としました。
９ヶ月ぶりに再チャレンジしたけれど・・・できませんでした。
予告の時点で見えなかった円周が今日になって見えましたｗめでたしめでたしです☺
正弦定理って素晴らしい。
x/sin(75°)=6でも出来ますね。
cos75°を加法定理で求めて、余弦定理で求めて、二重根号を外しました。
トレミーの定理ってはじめて聞いた。よくこんな定理見つけるなぁ。どうやって発見したのやら……。
見える人には川端先生が見える
加法定理で１発でした。ありがとうございました・・
円作る所まではおなじで、円の中心をとり、A、Cと結び、15度定規使って解きました
トレミーの定理で解いたじぇ
トレミーの定理なら一発なのですが
四角形って必ず外接する円ってあるの？
四角形の外接円はあるほうが珍しい一直線上にない３点を決めた時点でその全てを通る円は１つしか存在しない。４つめの点をその円周上に置かなきゃ外接円は存在しないあ、向かい合う角の大きさの和がそれぞれ180°のときのみ外接円は存在するって説明もできるな
対角の和が180°ならある
円に内接している事に気付いたので難しい事はなかった。
解説見てないけどトレミーかな
sin75°覚えてたら正弦定理で秒ですね
天動説を確立させたプトレマイオス(英語のトレミー)は、こんな定理も作っていたのか。これは知らなかった。三角比が解れば解けるけど、中学生には、ちょっと難しいかも。
解けました(^_^)。
上手い人には円が見える！かな？
次回の問題7/640.125 +0.375× 0.625−0.875×2/7=0.125+0.125×1.875−0.125×2=0.125(1+1.875−2)=0.125×0.875=1/8×7/8=7/64
で、でたーｗ中学入試でありがちな図形増殖させて別の形にする奴ーｗｗｗ
高校入試ではあんま見ない
解答例違ったわ
4個くっつけて正方形を作ってもできますねー
数学を数楽にする高校入試問題81
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suzuri.jp/suugaku
動画ありがとうございます。
今回の図形を4個用意し、点A同士をくっ付けて重ならないようにすると、大きな正方形ができます。
この大きな正方形の一辺の長さは 3+3√3 になります。点Aは大きな四角形の中心です。
ここまで分かれば、点Aと点Cの長さは 1対1対√2 の比を使って計算出来ました。
ACで切って三角形ABCの辺ABが辺ADにくっつくように回転移動させると、3√3＋3の√2分の1倍で出ます。これ、中学入試問題の動画で見ました。
トレミー知らなかったです。いつもすごい勉強になります。
同じく、知りませんでした。
Aを中心とし同じ図形を四つ組み合わせると
大きな正方形となるので
三平方の定理を用いて一辺の長さを出し、
対角線の長さを求めて2で割り解きました。
同じ
同じです。
別解にある、トレミーの定理を使って解きました。辺の比も上手く利用できる良い問題でした
Aを通りCDに平行な直線を引いて長方形ECDFを描いてEBAとFADが合同な直角三角形になることからAE=DF=a、EB=FA=bとしてa=b+3、a+b=3√3としてaを求めて、AECが直角二等辺三角形になることからｘ＝a×√2で解きました。知識もひらめきもないのでチカラワザ。
同じく！（笑）
同じ解き方で解いた人がいてほっとしました。
トレミーの定理なんて昔は高校でも出てきませんでした。初等幾何が軽視された時代で、扱う定理はほんの少し、その代わりに平面幾何の公理的構成という、わけの分からない項目がありましたなw
ズルいやり方ですが
円の中心Oとして△AOCは頂角150°の二等辺三角形
あとは15°75°90°の辺の比は4:√6+√2:√6−√2を使って答え求めました
同じく△OACで解きました。
03:22 までは川端先生の説明のとおり
(1)これまでの説明でBDは四角形ABCDの外接円の直径となるので、その半径は3。
(2)BDの中点をOとすると円周角と中心角の関係から∠AOCは∠ADCの倍の150°となる。
(3)OAとOCは外接円の半径なので長さは3となる。
(4)「(2)」と「(3)」より△OACは底角15°斜辺が3の二等辺三角形となる。
以上より、底角が15°の二等辺三角形の斜辺対底辺の比は 1:(√6+√2)/2 であるので AC = 3(√6+√2)/2となる。
同じく。
△ＡＢＣの頂点Ａにピンを刺し、反時計回りに△ＡＢＣを９０度回転させると、
直角二等辺三角形の出来上がり。
一番シンプルで好きです
@@豪商 返信有り難うございます。
この問題に関しては、これが一番簡単な解法だと思います。
トレミーの定理なんて昭和の頃はやらなかったような気がする
AB＝AD＝r (半径)となるような円Aを書くと、△ABD４つで正方形ができる。
ということは、点Aを中心にして90°ずつの回転移動を繰り返せば、点Cと点Cが移動した点でさらに大きな正方形がつくれる。
するとACは、大きな正方形の対角線の半分になる。
ギミックは使わずに、外接円でスタンダードに解くという素晴らしい解答だと敬服しました。 次、小数と分数の有名なのは覚えよ、分母が８ばかりだが。
BC=3 CD=3√3 AB=AD=3√2
トレミーの定理により、3×3√2+3√3×3√2=6×AC 9√2+9√6=6AC AC=(3√2+3√6)/2
円周角の定理を使わず、ゴリ押しで解いてしまいました・・・。
直角三角形BCDの斜辺BDの中点をHをとると、
BC=BH=CH=3
また、点Hは、直角二等辺三角形の中点でもあるので、
AH=BH=3
そのため、△ACHは、AH=CHの二等辺三角形
∠AHB=90°、∠AHC=60°であり、
△ACHが二等辺三角形であるため、
ACとBDの交点をFとして、
∠HAF=∠HBF=15°
△BCHは正三角形なので、
∠BCF=∠BCH-∠HCF=45°
また△ABHは直角二等辺三角形なので、
∠BAF=∠HAB-∠HAF=30°
以上より、三角形BCAのそれぞれの内角が求まるので、
（∠BCA=∠BCF=45°、∠BAC=∠BAF=30°）
AC=AF+CF=AB×cos(∠BAC)+CB×cos(∠BCA)
=1/√(2) ×BD×cos(30°) +1/2 ×BD×cos(45°)
円周角の定理やトレミー使ったほうが時間短縮になりますね・・・。
対角の和が180°だから円が見えました。
なのでまずトレミーの定理でサクッと答えだけ出してみました。
あとは他の解き方をゆっくり考えてるとAからCDへ垂線を下ろして右側に出来た三角形を切り取って斜辺ADと同じ長さの斜辺ABの上にくっ付けてACを対角線とする正方形を作ると一辺の√2倍がAC。
しかし色々な解き方がある問題ですね。
BDの中点をOとして、△OACは底角15度の二等辺三角形になるから
3x(√6+√2)/4x2 で答え出しました
トレミーの定理、覚えました。
ありがとうございます。
角Aを中心に90°ずつ回転させると、一辺が辺BC+CDの正方形が出来ます。
その正方形の対角線の半分が角AとCを結ぶ線分になるので、それを解いて終わり。
( ( 3+3√3 ) * √2 ) / 2 = ( 3√2 + 3√6 ) / 2
4つ組み合わせて大きな正方形を作って、対角線の長さ÷2で解きました。
対角がともに直角の四角形は4つ組み合わせると必ず正方形になるのを覚えておいた方が良い。
この問題も一辺が3+3√3の正方形になるのは一目で分かるし、その対角線の1/2なので暗算でも簡単に出せる。
動画ありがとうございます。
別解の解説の時に、方べきの定理だと思ってしまいました。トレミーの定理初めて知りました。
三角形ADCはCDとDA、角ADCと二辺狭角が決まっているから残りの長さや角度が一意的に決まる。当に合同条件のことで当然のことなんだけど、三平方の定理を中3で習った後に、この問題みたいに三角形の中に使いたい角を殺さないように垂線をおろして辺の長さを求めていくときに大切な考え方。
見える人には〇〇が見えるの〇〇は正方形だと思ったら・・・そのまんま〇だったか
ちょっと上手い
トレミーの定理は高校で習うけど中学生でも十分知っても良いと思います
Aを通りCDに垂直な直線を引き、その交点をEとすると三角形AEDができる。これは、Aを通りBCの延長線を垂直に通る直線を引いたときにできる三角形と合同である。よって正方形ができ...以下略
遠回りだけどねｗ
パップスの定理、チェバの定理、それに今回、別解に登場したトレミーの定理は、昔も今も、難関校を受験する中学生なら、知らないとヤバいのかも❗
辺BDは四角形ABCDの直径,三角形ACDに正弦定理を用いて
AC/sin75°＝6
sin75°＝√6+√2/4なので
AC＝3√6+3√2/2
sin75°は加法定理なり頂点30°の二等辺三角形なりで示す
外接円の半径をRとして、2R=AC/sin∠ABCからsin105°は加法定理を使って求めて、6=AC/sin105°から考えた
円に内接する四角形なので、辺の比からAC以外の長さを求め、トレミーの定理で答えを出します。中学3年生の身なのでテストで出たら動画と同じやり方にしますが、
これはキツイ問題でした．15° 75° 90°の直角三角形を求めて，4:(√6+√2):(√6-√2)を組み合わせて出しましたが，
他の方のコメントにあるように，頂点Aを中心に４つ同じ図形組み合わせて，巨大正方形か．参りました．
以前に川端先生に数楽の名前が泣きますよと書いた谷口義弘と申します。
今回は四角形ＡＢＣＤが,円に内接しているという川端先生の解説を聴いてたいかくせんの長さACを求める方法を聴いて面白いと思い,楽しくなりました。四角形ABCDが円に内接する事を思いつくのは,問題を解くのが面白かったし,楽しいと思います。
点ＡからＢＣ．ＣＤに垂線を引く,長方形を書き,対角線の長さを求めたのですが,計算が大変で,解としては求められたのですが,大変さを感じるだけで面白さも楽しさも感じませんでした。
スムーズに答えが求められる四角形ＡＢＣＤが円に内接するという考え方で,答えが求められたら,数学が面白く,楽しくなるのではないでしょうか？より楽しい数学を提供していただければ幸いです。
トレミー最強ですよね
トレミーを使いたくなりますね
ADまたはABを斜辺とする15度の直角三角形（1：(√6-√2)/4：(√6+√2)/4）が見えるとACを対角線とする正方形が見える→地味に計算、としました。
９ヶ月ぶりに再チャレンジしたけれど・・・できませんでした。
予告の時点で見えなかった円周が今日になって見えましたｗ
めでたしめでたしです☺
正弦定理って素晴らしい。
x/sin(75°)=6でも出来ますね。
cos75°を加法定理で求めて、余弦定理で求めて、二重根号を外しました。
トレミーの定理ってはじめて聞いた。
よくこんな定理見つけるなぁ。
どうやって発見したのやら……。
見える人には川端先生が見える
加法定理で１発でした。ありがとうございました・・
円作る所まではおなじで、円の中心をとり、A、Cと結び、15度定規使って解きました
トレミーの定理で解いたじぇ
トレミーの定理なら一発なのですが
四角形って必ず外接する円ってあるの？
四角形の外接円はあるほうが珍しい
一直線上にない３点を決めた時点でその全てを通る円は１つしか存在しない。４つめの点をその円周上に置かなきゃ外接円は存在しない
あ、向かい合う角の大きさの和がそれぞれ180°のときのみ外接円は存在するって説明もできるな
対角の和が180°ならある
円に内接している事に気付いたので難しい事はなかった。
解説見てないけどトレミーかな
sin75°覚えてたら正弦定理で秒ですね
天動説を確立させたプトレマイオス(英語のトレミー)は、こんな定理も作っていたのか。
これは知らなかった。
三角比が解れば解けるけど、中学生には、ちょっと難しいかも。
解けました(^_^)。
上手い人には円が見える！かな？
次回の問題
7/64
0.125 +0.375× 0.625−0.875×2/7
=0.125+0.125×1.875−0.125×2
=0.125(1+1.875−2)
=0.125×0.875
=1/8×7/8
=7/64
で、でたーｗ中学入試でありがちな図形増殖させて別の形にする奴ーｗｗｗ
高校入試ではあんま見ない
解答例違ったわ
4個くっつけて正方形を作ってもできますねー