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特に数Ⅲ履修中とかだと、どうしてもネイピア数の定義が頭の中にチラついてしまいそうな一問。評価は難しくないが、非常に良い問題ですよね。
これは∞乗にはなりそうにないからさすがにネイピア数は使わないでしょうと推測できますね
それな
a>1の時は、lim[n→∞]a(1/aⁿ+1)^(1/n) と変形してから解くのがわかりやすいかなと思った。極限を考えるときは、発散する項があるとわかりづらいので、収束する項に変形できれば見通しが良くなる。
これ本番で解けなかったアラサーですが、毎日動画観させてもらってます。
a>1の時は、lim[n→∞]a^nにとって+1なんて微々たる差で無視してもいいよねって考えれば解答自体は粗方予想がつきますよねそこから逆算して答案を作るのもありかなって思います
(x^n+y^n)^(1/n)の極限を考える。M=max｛x,y｝(x,yのうち大きい方という意味)とする。このとき、M^n≦x^n+y^n≦M^n+M^nM≦(x^n+y^n)^(1/n)≦2^(1/n)M最左辺、最右辺ともに極限とるとMに近づくので、はさみうちの原理により求める極限はMつまりmax｛x,y｝この動画の問題では、x=1,y=aとすれば、max｛1,a｝つまり1とaの大きい方となります。
あざます
最初にどうにかしてeの形をつくりたくなって、難しくて実験をして、いつの間にか解けてる問題でした。
eは1^∞の形のやつやから流石に使わないでしょうと推測できますね1/nは0に近づくので
まだまだこういうの解けないな〜。今必死になって数III やっています。
高2の時の定期考査で出た問題だったのでビックリしました京大の過去問だったんですね
1回解いてしまうとなんて事ないのに、初見ではびびってしまう問題ですね
僕はこれが解けなくて京大に落ちました。
概算ですぐaになりそうなことはわかって、はさみうちするのに最近やった対数の考えが生きた
logの中に足し算あると分けられなくて面倒だけど思い切って×2とかしても全然挟み込めるのよね
これ新数演にある有名な問題だよね。わしも1回目間違えた…1^∞になるか否かが大事！
0乗じゃないの？1/nだし
@@希望皇ホープ-y5m ええっと、自分が意味したのはeの公式を使う場面だね…確かに今回は0乗だけど、これが自然対数を使わないヒントになってる
@@大トロ-y4j 多分ひっかけの意図はないと思うが…結構ネイピアに引っかかる人が多いのだね
チャートにaじゃないやつあったけど、r^nで場合分けの意識はできてたから解けた
0
この形を見ると反射的に対数取って考えそうですけど、単に不等式評価で終わりなのね…
a＞1のとき、a^nを外に出して1+1/a^nを不等式評価してはさみうちの原理を使って最後にaをかけたら答えは合ってたけどこれで良いのかな？
正確、というか的確に記述できてりゃ正解なんじゃないかと思われます。結局a＞1でnが大きいときは、1の影響がほぼなくなって(a^n)^(1/n)＝aに近づく、という感覚が一番大切です。
重問で出てきたので帰ってきますした
1
コメント欄見たところ、「ネイピア数は使わない」みたいな記載が目立ちますが、ネイピア数の定義を使えばはさみうちの定理を使わずに解けますよ。場合分けのやり方は同じで、x=a^nとおき、eの定義式を無理やり作りつつ、nを消去すれば解けちゃいます。是非ご堪能あれ！
a^n < 1+a^n < a^n+a^nって不等式は思いつかんかったなぁ～まあ言われてしまえば、どうってことない自明な不等式って分かるんだけどね(笑)(これがいわゆる「コロンブスの卵」ってやつか)
対数を取ってから極限を考えると、発想なしにほぼ機械的に解けてしまいますよ。
ピンと来てないんですが、どんな解答になりますか？
@@baba_619 log(1+aⁿ)/nが∞/∞の形になるかで場合分けてことかな？0
@@希望皇ホープ-y5m ありがとうございます。でもそれだとカッコ内の評価が入る点で本質的に動画の解法と同じなので、そういう発想を必要としないってなんだろう? という疑問があります。
@@baba_619最後の1>aは流石にちょっと工夫がいるんじゃないですかね
ⅰの場合わけで真ん中がn分の一乗ねなっていないところがありますがそればミスでしょうかはさみうちの所です
ミスですね
備忘録65V" 〖 別解 〗 【 { aⁿ } の極限は、 0 < a < 1, a＝1, 1 < a の場合分けが 第1歩 】( ⅰ ) a＝1 のとき、 (与式)＝ 2^1/n → 2º＝ 1 ■ ( ⅱ ) 0 < a < 1 のとき、 (与式)＝ { ( 1＋aⁿ )^1/aⁿ }^aⁿ/n → eº＝ 1 ■ ( ⅲ ) 1 < a のとき、 (与式)＝ a・( 1＋1/aⁿ )^1/n ＝ a・{ ( 1＋1/aⁿ )^aⁿ }^1/aⁿ･n → a・eº＝ a ■
【 e の定義 】 ( 1＋○ )^1/○＝ e の活用 ただし、○ は同じ関数で 0 に近づくもの。【 postscript 一旦、 ログとる戦術も有効 】
オリスタの小門集合にあるやつだ
括弧の中は0＜a＜1の時は1に近い、a＞1の時はa^n≫1に気づけば容易に答えの予想はつく。あとはちゃんと論証するだけ。
a>1のときは、(1+a^n)^(1/n)＝{a^n(1+1/a^n)}(1/n)＝a(1+1/a^n)^(1/n)＝a{(1+1/a^n)^a^n}(1/na^n)n→∞だから･･･＝ae^0＝aとやったけど、いいの？
0＜a＜1で1+(a^n)/nと近似するのはどうだろう？
受験ではこの解法はダメだろうけど
つい一昨日友達から解いてみてって言われた問題だ笑笑一応初見で解けました！
ちなみに高2です！
すばらしいです！
ネイピアeでは？
これが京大は草
うわぁぁぁぁああ
普通に解けた！！！駿台数学偏差値38なのに！！！嬉しい！！（夏休み前なので今は全統では79でした）
2021年に数学検定準1級1次検定に出題された問題とよく似ています。問：lim［x→∞］ { 1/(n+1) }＾{ 1/ ln (x) ｝答え：1/eもちろん私は解けませんでした…(泣)数検の1次検定の模範解答には、正解の数値だけしか公開されませんので、解法を検索して「ロピタルの定理」を使って解く動画を見つけました。ruclips.net/video/83n4qp7nz9M/видео.html大学受験には「ロピタルの定理」は使えないでしょうから、他に正攻法で解法があるはずだとは思っておりました。今回の動画を参考にして、数検の問題を「ロピタルの定理」を使わずに解いてみます。
一般化平均値の最大値関数と最小値関数だ！
特に数Ⅲ履修中とかだと、どうしてもネイピア数の定義が頭の中にチラついてしまいそうな一問。評価は難しくないが、非常に良い問題ですよね。
これは∞乗にはなりそうにないからさすがにネイピア数は使わないでしょうと推測できますね
それな
a>1の時は、lim[n→∞]a(1/aⁿ+1)^(1/n) と変形してから解くのがわかりやすいかなと思った。
極限を考えるときは、発散する項があるとわかりづらいので、収束する項に変形できれば見通しが良くなる。
これ本番で解けなかったアラサーですが、毎日動画観させてもらってます。
a>1の時は、lim[n→∞]a^nにとって+1なんて微々たる差で無視してもいいよねって考えれば解答自体は粗方予想がつきますよね
そこから逆算して答案を作るのもありかなって思います
(x^n+y^n)^(1/n)の極限を考える。
M=max｛x,y｝(x,yのうち大きい方という意味)とする。
このとき、
M^n≦x^n+y^n≦M^n+M^n
M≦(x^n+y^n)^(1/n)≦2^(1/n)M
最左辺、最右辺ともに極限とるとMに近づくので、はさみうちの原理により求める極限はM
つまりmax｛x,y｝
この動画の問題では、x=1,y=aとすれば、max｛1,a｝つまり1とaの大きい方となります。
あざます
最初にどうにかしてeの形をつくりたくなって、難しくて実験をして、いつの間にか解けてる問題でした。
eは1^∞の形のやつやから流石に使わないでしょう
と推測できますね
1/nは0に近づくので
まだまだこういうの解けないな〜。今必死になって数III やっています。
高2の時の定期考査で出た問題だったのでビックリしました
京大の過去問だったんですね
1回解いてしまうとなんて事ないのに、初見ではびびってしまう問題ですね
僕はこれが解けなくて京大に落ちました。
概算ですぐaになりそうなことはわかって、はさみうちするのに最近やった対数の考えが生きた
logの中に足し算あると分けられなくて面倒だけど思い切って×2とかしても全然挟み込めるのよね
これ新数演にある有名な問題だよね。
わしも1回目間違えた…1^∞になるか否かが大事！
0乗じゃないの？1/nだし
@@希望皇ホープ-y5m ええっと、自分が意味したのはeの公式を使う場面だね…
確かに今回は0乗だけど、これが自然対数を使わないヒントになってる
@@大トロ-y4j
多分ひっかけの意図はないと思うが…
結構ネイピアに引っかかる人が多いのだね
チャートにaじゃないやつあったけど、r^nで場合分けの意識はできてたから解けた
0
この形を見ると反射的に対数取って考えそうですけど、単に不等式評価で終わりなのね…
a＞1のとき、a^nを外に出して1+1/a^nを不等式評価してはさみうちの原理を使って最後にaをかけたら答えは合ってたけどこれで良いのかな？
正確、というか的確に記述できてりゃ正解なんじゃないかと思われます。
結局a＞1でnが大きいときは、1の影響がほぼなくなって(a^n)^(1/n)＝aに近づく、という感覚が一番大切です。
重問で出てきたので帰ってきますした
1
コメント欄見たところ、「ネイピア数は使わない」みたいな記載が目立ちますが、ネイピア数の定義を使えばはさみうちの定理を使わずに解けますよ。
場合分けのやり方は同じで、x=a^nとおき、eの定義式を無理やり作りつつ、nを消去すれば解けちゃいます。是非ご堪能あれ！
a^n < 1+a^n < a^n+a^n
って不等式は思いつかんかったなぁ～
まあ言われてしまえば、どうってことない自明な不等式って分かるんだけどね(笑)
(これがいわゆる「コロンブスの卵」ってやつか)
対数を取ってから極限を考えると、発想なしにほぼ機械的に解けてしまいますよ。
ピンと来てないんですが、どんな解答になりますか？
@@baba_619
log(1+aⁿ)/nが∞/∞の形になるかで場合分け
てことかな？
0
@@希望皇ホープ-y5m ありがとうございます。でもそれだとカッコ内の評価が入る点で本質的に動画の解法と同じなので、そういう発想を必要としないってなんだろう? という疑問があります。
@@baba_619
最後の1>aは流石にちょっと工夫がいるんじゃないですかね
ⅰの場合わけで真ん中がn分の一乗ねなっていないところがありますがそればミスでしょうか
はさみうちの所です
ミスですね
備忘録65V" 〖 別解 〗
【 { aⁿ } の極限は、 0 < a < 1, a＝1, 1 < a の場合分けが 第1歩 】
( ⅰ ) a＝1 のとき、 (与式)＝ 2^1/n → 2º＝ 1 ■
( ⅱ ) 0 < a < 1 のとき、 (与式)＝ { ( 1＋aⁿ )^1/aⁿ }^aⁿ/n → eº＝ 1 ■
( ⅲ ) 1 < a のとき、 (与式)＝ a・( 1＋1/aⁿ )^1/n
＝ a・{ ( 1＋1/aⁿ )^aⁿ }^1/aⁿ･n → a・eº＝ a ■
【 e の定義 】 ( 1＋○ )^1/○＝ e の活用
ただし、○ は同じ関数で 0 に近づくもの。
【 postscript 一旦、 ログとる戦術も有効 】
あざます
オリスタの小門集合にあるやつだ
括弧の中は0＜a＜1の時は1に近い、a＞1の時はa^n≫1に気づけば容易に答えの予想はつく。あとはちゃんと論証するだけ。
a>1のときは、
(1+a^n)^(1/n)＝{a^n(1+1/a^n)}(1/n)＝a(1+1/a^n)^(1/n)＝a{(1+1/a^n)^a^n}(1/na^n)
n→∞だから･･･＝ae^0＝a
とやったけど、いいの？
0＜a＜1で1+(a^n)/nと近似するのはどうだろう？
受験ではこの解法はダメだろうけど
つい一昨日友達から解いてみてって言われた問題だ笑笑一応初見で解けました！
ちなみに高2です！
すばらしいです！
ネイピアeでは？
これが京大は草
うわぁぁぁぁああ
普通に解けた！！！駿台数学偏差値38なのに！！！嬉しい！！（夏休み前なので今は全統では79でした）
2021年に数学検定準1級1次検定に出題された問題とよく似ています。
問：lim［x→∞］ { 1/(n+1) }＾{ 1/ ln (x) ｝答え：1/e
もちろん私は解けませんでした…(泣)
数検の1次検定の模範解答には、正解の数値だけしか公開されませんので、解法を検索して「ロピタルの定理」を使って解く動画を見つけました。
ruclips.net/video/83n4qp7nz9M/видео.html
大学受験には「ロピタルの定理」は使えないでしょうから、他に正攻法で解法があるはずだとは思っておりました。
今回の動画を参考にして、数検の問題を「ロピタルの定理」を使わずに解いてみます。
一般化平均値の最大値関数と最小値関数だ！