Bon alors pour ne pas souffrir le martyre sur cette pauvre petite chose insignifiante, voilà comment on torche ça. x²-3x+4=0 [7] x²+4x+4=0 [7] (je rajoute juste 7x, qui est divisible par 7) (x+2)²=0 [7] 7 divise (x+2)² 7 divise x+2 (si 7 divise x+2 alors 7 divise (x+2)² et si 7 divise (x+2)² alors 7 est un facteur premier de (x+2)² mais comme (x+2)² est un carré, l'ordre de 7 est égal à au moins 2, donc 7 divise x+2) x congru à -2 [7] NB: si on connaît les anneaux quotients, on peut bien sûr aller beaucoup plus vite. 7 est premier donc Z/7Z est un corps, donc Z/7Z[X] aussi. On peut donc factoriser le polynôme P(X)=X²-3X+4 dans Z/7Z pour résoudre l'équation. X²-3X+4=X²+4X+4=(X+2)² donc -2 est racine double de l'équation P(x)=0 (dans Z/7Z).
![ARITHMÉTIQUE - Résoudre un Système de Congruence - 2 BAC SM - [Exercice 2]](http://i.ytimg.com/vi/GrvPg8BYtiw/mqdefault.jpg)
Merci beaucoup ! C'est clair
De rien
Bon alors pour ne pas souffrir le martyre sur cette pauvre petite chose insignifiante, voilà comment on torche ça.
x²-3x+4=0 [7] x²+4x+4=0 [7] (je rajoute juste 7x, qui est divisible par 7)
(x+2)²=0 [7]
7 divise (x+2)²
7 divise x+2 (si 7 divise x+2 alors 7 divise (x+2)² et si 7 divise (x+2)² alors 7 est un facteur premier de (x+2)² mais comme (x+2)² est un carré, l'ordre de 7 est égal à au moins 2, donc 7 divise x+2)
x congru à -2 [7]
NB: si on connaît les anneaux quotients, on peut bien sûr aller beaucoup plus vite.
7 est premier donc Z/7Z est un corps, donc Z/7Z[X] aussi. On peut donc factoriser le polynôme P(X)=X²-3X+4 dans Z/7Z pour résoudre l'équation.
X²-3X+4=X²+4X+4=(X+2)² donc -2 est racine double de l'équation P(x)=0 (dans Z/7Z).