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教えた上で教えをこうってすごいコンテンツや。RUclipsすげえ
逆数を取る方法があって、A=1/2*3/4*…23/24としたとき、1/A=2/1*4/3*6/5*…*24/23となる。ここで、B=3/2*5/4*…*25/24とおくと、B=25A。また、2/1>3/2, 4/3>5/4,…,24/23>25/23であるため、1/A>B ,(つまり1/A>25A)これを解くと-1/5
よくこんな面白い式変形を沢山思い浮かびますね。尊敬いたします🙇♀️
動画で得られた上界は (2 * n - 1) ^ 2 / (2 * n) ^ 2 ＜ (2 * n - 1) / (2 * n + 1) (n = 1, ..., N)の積から 1 / Sqrt[2 * N + 1] ですが，もう少し詰めて (2 * n - 1) ^ 2 / (2 * n) ^ 2 ≦ (3 * n - 2) / (3 * n + 1) (n = 1, ..., N)を用いると 1 / Sqrt[3 * N + 1] となり，N = 12 のとき 1/ 6 より小と判ります．また (4 * n - 3) / (4 * n + 1) ＜ (2 * n - 1) ^ 2 / (2 * n) ^ 2 (n = 1, ..., N)の積からは下界 1 / Sqrt[4 * N + 1] が得られますね．
具体的な数字を出されると、思考停止してゴリ押しして計算すりゃ何とかなるやろぉになる人←
俺も。
(左辺)=0.16118026を暗算でやれば一瞬で答え出るな(脳筋)
あまりにも式変形が美しすぎる
両辺を24倍します。そうすると、左辺の分母の24が約分されます。右辺は5×24で120左辺を考えます。1は無視して、3/2・5/4・7/6…23/22と仮分数の掛け算にします。するとこの掛け算は1よりほんの少し大きいものをかけているので到底右辺の120には達しません。だから5/1の方が大きいと思います。
右辺は4.8です。ほんの少し小さいというのが曖昧なのでNGです。
A=23!/{(2^12)12!*(2^11)11!}=C(23,11)*(0.5^11)(0.5^12)これ確率0.5の事象が23回中11回起こる確率（2項分布）だよね。正規近似で標準偏差≒√(23/4)≒2.5平均±標準偏差の範囲内の確率≒2/311.5回の前後5回分がこの範囲なので5で割ると2/15一様分布じゃないからこれよりは大きい確率になるが、確率密度関数思い浮かべて平均値のときと平均＋標準偏差のときの比=√e≒1.6 であること考えると、11回となる確率は3/15(=1/5)までは大きくならない（このへん確率分布の図を書いて面積評価すればちゃんといえるんだが）
なるほど。問題の積はちょうど二項分布の真ん中の値 C(24,12)/2^24 なのですね。スターリングの近似を使えばこの値はだいたい 1/√(12pi) = 0.1628... となります。これは近似であって上からの評価とは言えない（多分）ので、このままでは解答にはなりませんが。EDIT: というか G J さんがすでに考察をされていて、上からの評価がなりたつようですね。失礼しました。
(n-1)(n+1)=n²-1
受験数学的にはもし誘導がなければ直積はlogを取るのが鉄則なのでΣlogの形に直して面積を積分で出して評価できなきゃ出てこないと思います。試してませんが。
これは気持ちいい
1/2から7/8まではそのまま代入し、9/10以後で説明した変形を適用すれば1/6以下になるという証明が可能ではないでしょうか？
1/6より小さいのに、敢えて1/5との大小比較になってるのには、そういうカラクリがあったのか。
分母と分子それぞれを素因数分解したものに置き換えると約分することができるが結果的に単純計算しやすくしただけなんだよな。
60歳を超え数学に関係ない仕事をしていた老人が解いた方法では、2乗せずに、1/2から7/8まではそのまま代入し、9/10以後で分子の2項に和と差の積を適用したので、最初から1/5でも1/6でも大きいというのは成立していました。計算間違いが無ければの話ですが？老人なので計算間違いがあってもお許し下さい。
簡単な事実を使って難しいことを示してる。楽しい時間でした。応援してます。
以前先生がやってた極限の動画と同じようにn/(n+1) < (n+1)/(n+2) をつかって解きました〜。｛(1×3×5×…×23)/(2×4×6×…24)}^2
与式左辺の対数を取って面積評価に持ち込むと(左辺の自然対数値) < -(1/2)*log25 = -log5となって、求める大小を得られますね。一般化については、与式左辺は要するに2nCn / 2^2nなので、以前の動画の方法で、1/√(nπ) で上から評価できるのではないかと思います。本問の場合でいうと、n=12 の場合なので、√(12π) > 6 から与式左辺が 1/6 より小さいことが分かるのではないでしょうか？
ありがとうございます。以前の動画で似たことをやっていましたね、root[n]×2nCn / 2²ⁿ→1/√π (n→∞)を証明したのですが、有限のnで2nCn / 2²ⁿ≦1/√nπとしてよいか見直してみます。(20/02/14/21:30追記)root[n]×2nCn / 2²ⁿがnについて単調増加であることを示して確認できました。
過去の動画を再度見直したところ、関係あると思われる動画が以下の二つありました。① ウォリスの公式 〜奇数と偶数の壮絶な戦い〜 (2019/01/04)② 2のベキと二項係数との壮絶な戦い (2019/01/07)②はタイトルが面白くて結論のみ印象に残っていたのですが、内容的には①しか残っていなかった(汗)ので、上記コメントは、以下のように考えてコメントしたものです。(sinx)^m を 0 ～ π/2 で積分した値を I(m) とすると、0 (sinx)^(m+1) > 0 であるので、I(m-1) > I(m) > I(m+1) > 0 が成り立つ。また、Fn = 2nCn/2^2n とおくと部分積分の巧妙な繰り返しにより、I(2n) = (π/2)*FnI(2n-1) = 1/(2n*Fn)I(2n+1) = 1/((2n+1)*Fn) が分かるところ、上記より I(2n-1) > I(2n) > I(2n+1) > 0 であるので、1/(2n*Fn) > (π/2)*Fn > 1/((2n+1)*Fn) > 0が成り立つ。明らかに Fn > 0 であるので辺々 Fn を掛けると1/2n > (π/2)*((Fn)^2) > 1/(2n+1)となる。この式から√(1/nπ) > Fn > √(2/(2n+1)π)より上からの評価として 1/√(nπ) が言えるとしました。また、1/(√n * Fn) の評価についても上の式に辺々 √n を掛けて逆数を取れば、√π < 1/(√n * Fn) < √π * √(1+(1/2n))となりはさみ打てるので、√π となると思っていました。脳内で、上記②の内容がこのように変換されて残っていたのです…汗。今考えてみても間違ってはいなさそうなので、取りあえず残しておきます。
うまいなあ
思い付かないよーーー笑
二重階乗にいい公式はないものか、、、
なんかlogとりたいけどね。むり？
厳しそう
思いつかないね
ウォリスっぽくて楽しいですね
なんか答えを知ってから導いたような解き方に感じる。
3週間経ちましたが、何となく1/6より小さいことが示せたので、twitterのDM送りましたよ～( ´,_ゝ`)
分母を2の12乗でくくると分母は2の12乗と (1+2+3+...+12) となり、分子が13 15 17 19 21 23だけになるさらに約分して計算すると分子 7 13 17 19 23分母 2の22乗7/8 13/16 17/32 19/32 23/32 と分けたもののそこからなんともすべてが1以上をかけているので…とゴールを見たのだけれど無理でした
教えた上で教えをこうってすごいコンテンツや。RUclipsすげえ
逆数を取る方法があって、A=1/2*3/4*…23/24としたとき、
1/A=2/1*4/3*6/5*…*24/23となる。
ここで、B=3/2*5/4*…*25/24とおくと、B=25A。
また、2/1>3/2, 4/3>5/4,…,24/23>25/23であるため、1/A>B ,(つまり1/A>25A)
これを解くと-1/5
よくこんな面白い式変形を沢山思い浮かびますね。尊敬いたします🙇♀️
動画で得られた上界は
(2 * n - 1) ^ 2 / (2 * n) ^ 2 ＜ (2 * n - 1) / (2 * n + 1) (n = 1, ..., N)
の積から 1 / Sqrt[2 * N + 1] ですが，もう少し詰めて
(2 * n - 1) ^ 2 / (2 * n) ^ 2 ≦ (3 * n - 2) / (3 * n + 1) (n = 1, ..., N)
を用いると 1 / Sqrt[3 * N + 1] となり，N = 12 のとき 1/ 6 より小と判ります．また
(4 * n - 3) / (4 * n + 1) ＜ (2 * n - 1) ^ 2 / (2 * n) ^ 2 (n = 1, ..., N)
の積からは下界 1 / Sqrt[4 * N + 1] が得られますね．
具体的な数字を出されると、思考停止してゴリ押しして計算すりゃ何とかなるやろぉになる人←
俺も。
(左辺)=0.16118026を暗算でやれば一瞬で答え出るな(脳筋)
あまりにも式変形が美しすぎる
両辺を24倍します。
そうすると、左辺の分母の24が約分されます。
右辺は5×24で120
左辺を考えます。
1は無視して、3/2・5/4・7/6…23/22と仮分数の掛け算にします。するとこの掛け算は1よりほんの少し大きいものをかけているので到底右辺の120には達しません。
だから5/1の方が大きいと思います。
右辺は4.8です。
ほんの少し小さいというのが曖昧なのでNGです。
A=23!/{(2^12)12!*(2^11)11!}=C(23,11)*(0.5^11)(0.5^12)
これ確率0.5の事象が23回中11回起こる確率（2項分布）だよね。
正規近似で標準偏差≒√(23/4)≒2.5
平均±標準偏差の範囲内の確率≒2/3
11.5回の前後5回分がこの範囲なので5で割ると2/15
一様分布じゃないからこれよりは大きい確率になるが、
確率密度関数思い浮かべて平均値のときと平均＋標準偏差のときの比=√e≒1.6 であること考えると、
11回となる確率は3/15(=1/5)までは大きくならない
（このへん確率分布の図を書いて面積評価すればちゃんといえるんだが）
なるほど。問題の積はちょうど二項分布の真ん中の値 C(24,12)/2^24 なのですね。スターリングの近似を使えばこの値はだいたい 1/√(12pi) = 0.1628... となります。これは近似であって上からの評価とは言えない（多分）ので、このままでは解答にはなりませんが。
EDIT: というか G J さんがすでに考察をされていて、上からの評価がなりたつようですね。失礼しました。
(n-1)(n+1)=n²-1
受験数学的にはもし誘導がなければ直積はlogを取るのが鉄則なのでΣlogの形に直して面積を積分で出して評価できなきゃ出てこないと思います。試してませんが。
これは気持ちいい
1/2から7/8まではそのまま代入し、9/10以後で説明した変形を適用すれば1/6以下になるという証明が可能ではないでしょうか？
1/6より小さいのに、敢えて1/5との大小比較になってるのには、そういうカラクリがあったのか。
分母と分子それぞれを素因数分解したものに置き換えると約分することができるが結果的に単純計算しやすくしただけなんだよな。
60歳を超え数学に関係ない仕事をしていた老人が解いた方法では、2乗せずに、1/2から7/8まではそのまま代入し、9/10以後で分子の2項に和と差の積を適用したので、最初から1/5でも1/6でも大きいというのは成立していました。計算間違いが無ければの話ですが？老人なので計算間違いがあってもお許し下さい。
簡単な事実を使って難しいことを示してる。楽しい時間でした。応援してます。
以前先生がやってた極限の動画と同じようにn/(n+1) < (n+1)/(n+2) をつかって解きました〜。
｛(1×3×5×…×23)/(2×4×6×…24)}^2
与式左辺の対数を取って面積評価に持ち込むと
(左辺の自然対数値) < -(1/2)*log25 = -log5
となって、求める大小を得られますね。
一般化については、与式左辺は要するに
2nCn / 2^2n
なので、以前の動画の方法で、1/√(nπ) で上から評価できるのではないかと思います。
本問の場合でいうと、n=12 の場合なので、√(12π) > 6 から与式左辺が 1/6 より小さいことが分かるのではないでしょうか？
ありがとうございます。
以前の動画で似たことをやっていましたね、
root[n]×2nCn / 2²ⁿ→1/√π (n→∞)
を証明したのですが、有限のnで2nCn / 2²ⁿ≦1/√nπとしてよいか見直してみます。
(20/02/14/21:30追記)
root[n]×2nCn / 2²ⁿがnについて単調増加であることを示して確認できました。
過去の動画を再度見直したところ、関係あると思われる動画が以下の二つありました。
① ウォリスの公式 〜奇数と偶数の壮絶な戦い〜 (2019/01/04)
② 2のベキと二項係数との壮絶な戦い (2019/01/07)
②はタイトルが面白くて結論のみ印象に残っていたのですが、内容的には①しか残っていなかった(汗)ので、上記コメントは、以下のように考えてコメントしたものです。
(sinx)^m を 0 ～ π/2 で積分した値を I(m) とすると、
0 (sinx)^(m+1) > 0 であるので、
I(m-1) > I(m) > I(m+1) > 0 が成り立つ。
また、Fn = 2nCn/2^2n とおくと部分積分の巧妙な繰り返しにより、
I(2n) = (π/2)*Fn
I(2n-1) = 1/(2n*Fn)
I(2n+1) = 1/((2n+1)*Fn)
が分かるところ、上記より I(2n-1) > I(2n) > I(2n+1) > 0 であるので、
1/(2n*Fn) > (π/2)*Fn > 1/((2n+1)*Fn) > 0
が成り立つ。明らかに Fn > 0 であるので辺々 Fn を掛けると
1/2n > (π/2)*((Fn)^2) > 1/(2n+1)
となる。この式から
√(1/nπ) > Fn > √(2/(2n+1)π)
より上からの評価として 1/√(nπ) が言えるとしました。
また、1/(√n * Fn) の評価についても上の式に辺々 √n を掛けて逆数を取れば、
√π < 1/(√n * Fn) < √π * √(1+(1/2n))
となりはさみ打てるので、√π となると思っていました。
脳内で、上記②の内容がこのように変換されて残っていたのです…汗。
今考えてみても間違ってはいなさそうなので、取りあえず残しておきます。
うまいなあ
思い付かないよーーー笑
二重階乗にいい公式はないものか、、、
なんかlogとりたいけどね。むり？
厳しそう
思いつかないね
ウォリスっぽくて楽しいですね
なんか答えを知ってから導いたような解き方に感じる。
3週間経ちましたが、何となく1/6より小さいことが示せたので、twitterのDM送りましたよ～( ´,_ゝ`)
分母を2の12乗でくくると分母は2の12乗と (1+2+3+...+12) となり、分子が13 15 17 19 21 23だけになる
さらに約分して計算すると
分子 7 13 17 19 23
分母 2の22乗
7/8 13/16 17/32 19/32 23/32 と分けたもののそこからなんとも
すべてが1以上をかけているので…とゴールを見たのだけれど無理でした