82 Welches Geheimnis steckt hinter den Fibonacci-Zahlen?

Mathematik verstehen
Eigenschaften der Fibonacci-Zahlenfolge
rekursive Formel und Termdarstellung
Ordnung in Zahlensystemen und in der Natur
82 Welches Geheimnis steckt hinter den Fibonacci-Zahlen?
Dr. Bernhard Salzger

[@w.doberstein8986]

2:45 "die Summe der Quadrate zweier aufeinander folgender FIBONACCI Zahlen ergibt die nächste FIBONACCI Zahl in der Folge" kann nicht stimmen. Es gilt meines Wissens f(n)^2 + f(n+1)^2 = f(2n+1)

[@VerstehenSieMaths]

Vielen Dank für die Klarstellung. Gemeint ist eigentlich "eine nächste" oder noch besser "eine weitere" Fibonacci-Zahl.

[@karstenmeyer1729]

Summe von Quadraten ist aber auch nicht schlecht:
Die Summe der ersten 'n' Quadrate der Fibbonacci-Zahlen ist gleich dem Produkt der Fibonacci-Zahlen f(n) * f(n+1)
Beispiel: 0 + 1 + 1 + 4 +9 + 25 = 5 * 8

[@karstenmeyer1729]

2:00 Die Fibonacci-Zahlen hängen noch viel Stärker mit dem goldenen Schnitt zusammen. Wenn man zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen durcheinander dividiert, konvergiert das Ergebnis, je höher die Fibonacci-Zahlen sind, gegen den goldenen Schnitt:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5 , 5/3 = 1,6periode , 8/5 = 1,6 , 13/8 = 1,625 , 21/13 = 1,615384periode , 34/21 = 1,619047periode ...
Umgekehrt läßt sich der goldene Schnitt als unendlicher Kettenbruch darstellen. Unterbricht man den unendlichen Kettenbruch, dann bekommt man eine Zahl, die der Quotient zweier aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen darstellt.
Die Folge der Fibonacci-Zahlen (0,1,1,2,3,5,8, ...) hängt stark mit der speziellen Folge der Lucas-Zahlen (2,1,3,4,7,11,18, ...) zusammen.
Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist die Folge U(1,-1) und die spezielle Lucas-Folge V(1,-1) der allgemeinen Lucas-Folgen U(P,Q) und V(P,Q).

[@VerstehenSieMaths]

Vielen herzlichen Dank für die Ergänzung. In diesem Zusammenhang möchte ich für Interessierte auch auf die Stern-Brocot-Folge hinweisen.