Ingegnere la sua spiegazione è eccellente. Tuttavia non capisco perche, alla luce del risultato del sistema a 28:04, si puo affermare che v1 v2 e v3 sono un sistema di generatori mentre nell'esercizio precedente si ricavava analogamente che uno dei tre coeficenti era 2lambda1-lambda2 e dunque non era un sistema di generatori. La prego di illuminarmi, è tutto oggi che ci sbatto la testa... grazie
Salve prof, la ringrazio di nuovo per tutto ciò che fa e volevo porle una domanda: Nell'esercizio a 30:00 circa, nel caso non abbiamo individuato ancora i generatori, è possibile escludere a priori v4 dato che è combinazione lineare degli altri tre? Cioè 3*v3 - 3*v2 - 5*v1 = v4
Capisco che per chi ha commentato sia ormai superflua questa risposta ma magari può essere uno spunto per qualcuno che vedrà in futuro questi video e a cui sorgeranno dei dubbi. Credo, mi corregga qualcuno se sbaglio qualcosa nel mio ragionamento, che sia stato commesso un errore in quanto p2(x) = x - x^2 non può essere una base per lo spazio vettoriale considerato (cioè R^2 [x]) in quanto p2(x) non è un sistema di generatori. Basta utilizzare il sistema che l'ingegnere stesso ci insegna, consideriamo il generico vettore v = (a, b, c) e poniamo v = k*p2(x) = k* (0, 1, -1) è evidente che nel sistema associato troveremo soluzioni (a = 0; b = k2; c = -k3) ma stiamo quindi fissando una condizione, cioè a = 0 che non è prevista inizialmente e quindi non tutti i vettor dello spazio vettoriale possono essere rappresentati da p2(x) che quindi non può essere un sistema di generatori e, ovviamente quindi, tanto meno può essere una base.
Salve ingegnere, ho un dubbio riguardo all'esercizio a 28:15: lei dimostra che L(v1, v2, v3, v4)=L(v1, v2, v3) e che quindi v1, v2, v3 e v4 sono una base di V; però al minuto 12:53 lei indica come secondo step che i vettori devono essere tra loro linearmente indipendenti come condizione necessaria, mentre in questo caso v4 è combinazione appunto di v1, v2 e v3. Grazie!
Marcello Dario Cerroni ma quindi possiamo dire che quando abbiamo numero di vettori maggiori della dimensione l'indipendenza è sempre tra soli 3 vettori? oppure può esservi anche tra tutti e 4 i vettori? in fine, lo span dei 4 vettori è dunque a sua volta un sottospazio dello span dei 3 vettori precedentemente analizzati? questa cosa non mi è ben chiara... Grazie mille per ciò che fa per noi studenti "disperati". W i social network.
oppure professore nell'esercizio (minuto 30:00 circa) si potrebbero mettere le coordinate in un matrice e con i minori di ordine 3 calcolare quando il determinante risulti diverso da 0 giusto?
In risposta a Filippo Rocchetta : nel secondo esempio i 2 vettori non costituiscono una base , come è stato spiegato ampiamente durante il video ed uno dei motivi può essere ad esempio la dimensione che vale 3 , mentre i vettori sono 2 ; il terzo esercizio invece non mi sembra simile al secondo dato che abbiamo a che fare con una terna di vettori che in quel caso abbiamo provato essere un sistema finito di generatori .
Salve professore, anche io ho il medesimo dubbio di filippo, è vero che considerando la dimensione subito avremmo determinato se i vettori fossero un sistema di generatori minimali però svolgendo i calcoli nel secondo esercizio abbiamo che c=b+2a quindi essendo c dipendente dagli altri due scalari e valendo solo per dei scalari scelti i vettori non potevano essere dei generatori, anche nel terzo abbiamo che alpha 1 2 3 sono rispettivamente pari a-c b-c c quindi seguendo il ragionamento precedente i vettori non dovrebbero essere un sistema di generatori minimale...grazie in anticipo per la risposta ed i video :)
Xander Pitt mi dispiace ma qualche giorno dopo decisi di appendere l'esame ahhaha, se ne parla in questa sessione e nel caso in cui dovessi scoprirlo ti farò sapere
Da quello che ho capito io, a b e c sono dei valori del vettore v combinazione lineare di v1 v2 e v3. Quindi a b e c devono essere indipendenti l'uno dall'altro. Ecco perché nel secondo esercizio quando abbiamo che c=b+2a, il sistema non è generatore. Proprio perché c dipende da a e b. invece alpha sappiamo che dipende da a b e c (infatti alpha 3 è uguale a c, quindi dipende da c). Dire che alpha è uguale da a-c sarebbe come dire che alpha è uguale ad a-3 (o qualsiasi altro numero tu voglia). Spero di essermi spiegato bene e (ripeto) questo è ciò che ho capito io
Una domanda per l'esercizio al minuto 28, non ho capito perchè rappresenta un sistema finito di generatori . avendo dim v =3 e i vettori sono 4 , non si doveva concludere che essi non rappresentano un sistema di generatori? Grazie.
Stesso dubbio di Andrea Cecilia. Al 34:57 abbiamo R2[x], quindi la dimensione dello spazio vettoriale V è 2. Se noi costruiamo una base con un solo vettore LI. come ha fatto lei nel video, abbiamo che la dimensione della base non coincide con la dimensione dello spazio vettoriale R2[x] o sbaglio? Di conseguenza la base che ha calcolato dovrebbe essere corretta solo se stabiliamo un sottospazio di R2[x] di dimensione 1?
buongiorno, innanzitutto grazie per le video lezioni a mio parere utilissime. mi resta un solo dubbio, i generatori sono semplicemente i vettori che vi vengono dati inizialmente dal problema giusto? possono essere generatori pur essendo combinazione lineare l'uno dell'altro? grazie in anticipo
Buongiorno, non ho capito il motivo per cui il secondo esempio non è un sistema finito di generatori mentre il terzo lo è, dato che sono molto simili; Colgo l'occasione per ringraziarla per questi video!
Salve, la ringrazio per tutti i suoi video, sono molto utili e spiega molto bene. L'unica cosa che non mi è chiara è come si è riusciti a scrivere le coordinate del vettore w1=w1-u3. perché è venuto w1=(1,0,-1)? anche per l'altro vettore non ho capito. più o meno è al minuto 39:00. grazie in anticipo
+Giovanni Mantri la risposta sta nei dati assegnati , ossia w1 = ( 1 )u1+ 0 ( u2 ) + ( -1 )u3 e quindi avrà quelle coordinate coordinate , stesso discorso lo puoi ripetere per le coordinate dell'altro vettore che può essere scritto come ( 2 ) u1 + ( 1 ) u2 + ( 0 ) u3 .
Non ho capito perché nel 30.42 che fine fa il quarto vettore, cioè iv1,v2,v3 son L.I., corrispondono a R3 . Ma se sono 4 vettori ed R è n=3 cioè R3 , il 4 vettore non viene considerato?
Dato che sappiamo già che i primi 3 vettori sono una base per R3, e dato che il quarto vettore appartiene a R3, si capisce che il 4 vettore può essere ottenuto come combinazione lineare dei primi tre vettori, e quindi non aumenta in alcun modo lo span dei primi 3 vettori. Se metti tutto in una matrice forse è più semplice: infatti, mettendo i 4 vettori in una matrice, e calcolando il rango, vedrai che è 3, cioè la dimensione dello spazio che i vettori all'interno della matrice sono in grado di generare
Mi scusi ma senza matrici e senza dire che il numero di vettori coincide con la dim dello spazio vettoriale,come faccio a dimostrare che v1(1,2) e v2(4,2) formano un insieme di generatori in r2? Cioè a me nel sistema viene x+4Y=a e 2x+2y=b e poi come devo procedere? Mi sto esaurendo per capire.Grazie in anticipo per la risposta
+BYOB tu hai i vettori v1 e v2. Sei in R^2, ciò significa che devi verificare che il generico vettore (a,b) si possa esprimere come combinazione lineare di v1 e v2. cioè (a,b)=lambda1 v1 + lambda2 v2 sostituisci e costruisci il sistema. Non c'è più da procedere, non hai che lambda1= v1 (o v2) e che lambda2= v2 (o v1). quindi non hai trovato un sistema di generatori perché se risolvi il sistema trovi delle condizioni che devono rispettare i vettori. Cioè i vettori che si possono esprimere come combinazione lineare di v1 e v2 devono rispettare delle condizioni, che sono quelle che ti trovi dal sistema. mentre se fosse lambda1=v1 e lambda2= v2 allora è diverso, perché ad a e b puoi dare qualsiasi valore e li puoi esprimere come combinazione lineare di v1 e v2. Ma comunque sia, da che mondo e mondo la base di R^2 te la devi stampare in testa :D non so se sono stato chiaro, ti consiglio di guardare nuovamente il video, è molto chiaro l'ingegnere, sicuramente più di me
Salve, avrei una domanda su un esercizio che non mi è chiaro. L'esercizio mi chiede di dimostrare che i vettori v1(2,3) e v2(3,5) sono una base di R^2. Seguendo il suo metodo mi risulta che nè generano R^2 nè sono l. indipendenti e quindi non sono una base. Solo che io devo dimostrare che sono una base. Dove sbaglio. Grazie in anticipo!
guarda che i vettori sono linearmente Indipendenti(basta mettere le coordinate in una matrice e calcolare il determinante, se esso risulta essere diverso da 0 allora sono L. I------> in questo caso il determinante viene 1 diverso da 0) e inoltre,condizione necessaria ma non sufficiente, è un sistema finito di generatori dato che ci sono 2 vettori e la dimensione di V è uguale a 2.
Ingegnere Cerroni buongiorno - al minuto 24:40 afferma che siccome i vettori dell'insieme sono 3 si può dire che si tratta di un sistema di generatori (senza fare analisi sulla dipendenza/indipendenza lineare). Metta però che i vettori siano 3 (0, 0, 0) e (0, 0, 0) e (0, 0, 0). Questi, anche se sono 3, esattamente come la dimensione di R^3, non credo costituiscano un sistema di generatori perchè non permettono di ottenere tutti i vettori appartenenti ad R^3. Quindi mi domando... lei intendeva che un insieme di vettori è si un sistema di generatori del sottospazio vettoriale (a patto che il numero di vettori coincide con la dimensione dello spazio vettoriale) a condizione che siano linearmente indipendenti? Perchè non credo che presi tre vettori presi casualmente questi siano "automaticamente" sistemi di generatori. Mi corregga se sbaglio.
Ciao, non credo che ti serva più o per lo meno lo spero! però nella spiegazione dice che una condizione per cui uno spazio vettoriale ammetta una base è proprio che non debba essere composto solo da vettore nullo.
non mi è molto chiara una cosa del penultimo esercizio. Precedentemente lei ha detto che se lavoriamo in uno spazio di dim3 abbiamo bisogno di come minimo 3 vettori per determinare una base altrimenti l'insieme di vettori non costituisce un insieme di generatori... e perchè nel penultimo esercizio abbiamo 2 vettori di uno spazio V^3 e abbiamo potuto determinare una base?
se ti riferisci a W , parliamo di sottospazio vettoriale di V3 , per farlo abbiamo dimostrato l'indipendenza lineare dei 2 vettori . Credo che tu confonda il concetto di sottospazio con quello di base di uno spazio vettoriale .
+Marcello Dario Cerroni purtroppo al politecnico si fa eccome!!! Colgo l'occasione per ringraziarti perchè spieghi davvero bene, se tutto va bene tra qualche anno sarò anche io ingegnere eheh
Ti voglio bene ingegnere, nonostante mi tu mi abbia sfondato i timpani con la tosse
La storiella dello Span è stupenda ahahahahahahah, comunque lei è un grande le sue lezioni sono utilissime
Grazie tante , mi fa molto piacere che apprezzi il mio lavoro .
Volevo ringraziarla per le video lezioni, mi sono d'aiuto per l'esame di algebra!
Mi fa davvero piacere Antonio .
ruclips.net/video/MSX9jVaMu5s/видео.html la curiositá mi ha spinto a cercarlo
Ingegnere la sua spiegazione è eccellente. Tuttavia non capisco perche, alla luce del risultato del sistema a 28:04, si puo affermare che v1 v2 e v3 sono un sistema di generatori mentre nell'esercizio precedente si ricavava analogamente che uno dei tre coeficenti era 2lambda1-lambda2 e dunque non era un sistema di generatori. La prego di illuminarmi, è tutto oggi che ci sbatto la testa... grazie
Salve prof, la ringrazio di nuovo per tutto ciò che fa e volevo porle una domanda:
Nell'esercizio a 30:00 circa, nel caso non abbiamo individuato ancora i generatori, è possibile escludere a priori v4 dato che è combinazione lineare degli altri tre?
Cioè 3*v3 - 3*v2 - 5*v1 = v4
+117Dios Certamente benissimo anche così , anzi meglio direi .
Dario sei un ottimo professore grazie per tutte le lezioni
spik e span
Scusi a 34:57, dopo aver trovato che i due vettori sono L.D. si trova che la dimensione è 1, ma non dovrebbe essere 2 in quanto siamo in R2[x]?
Capisco che per chi ha commentato sia ormai superflua questa risposta ma magari può essere uno spunto per qualcuno che vedrà in futuro questi video e a cui sorgeranno dei dubbi.
Credo, mi corregga qualcuno se sbaglio qualcosa nel mio ragionamento, che sia stato commesso un errore in quanto p2(x) = x - x^2 non può essere una base per lo spazio vettoriale considerato (cioè R^2 [x]) in quanto p2(x) non è un sistema di generatori. Basta utilizzare il sistema che l'ingegnere stesso ci insegna, consideriamo il generico vettore v = (a, b, c) e poniamo v = k*p2(x) = k* (0, 1, -1) è evidente che nel sistema associato troveremo soluzioni (a = 0; b = k2; c = -k3) ma stiamo quindi fissando una condizione, cioè a = 0 che non è prevista inizialmente e quindi non tutti i vettor dello spazio vettoriale possono essere rappresentati da p2(x) che quindi non può essere un sistema di generatori e, ovviamente quindi, tanto meno può essere una base.
Salve ingegnere, ho un dubbio riguardo all'esercizio a 28:15: lei dimostra che L(v1, v2, v3, v4)=L(v1, v2, v3) e che quindi v1, v2, v3 e v4 sono una base di V; però al minuto 12:53 lei indica come secondo step che i vettori devono essere tra loro linearmente indipendenti come condizione necessaria, mentre in questo caso v4 è combinazione appunto di v1, v2 e v3. Grazie!
Fabiano come specifico nel video tieni conto che i vettori L.I. sono 3 e quindi ( v1 ; v2 ; v3 ) è una base di R3 = V .
Marcello Dario Cerroni Lo immaginavo ma non ne ero sicuro, grazie mille.
Marcello Dario Cerroni ma quindi possiamo dire che quando abbiamo numero di vettori maggiori della dimensione l'indipendenza è sempre tra soli 3 vettori? oppure può esservi anche tra tutti e 4 i vettori? in fine, lo span dei 4 vettori è dunque a sua volta un sottospazio dello span dei 3 vettori precedentemente analizzati? questa cosa non mi è ben chiara...
Grazie mille per ciò che fa per noi studenti "disperati". W i social network.
oppure professore nell'esercizio (minuto 30:00 circa) si potrebbero mettere le coordinate in un matrice e con i minori di ordine 3 calcolare quando il determinante risulti diverso da 0 giusto?
Prof. LEI E' UN GRANDE !!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)
In risposta a Filippo Rocchetta : nel secondo esempio i 2 vettori non costituiscono una base , come è stato spiegato ampiamente durante il video ed uno dei motivi può essere ad esempio la dimensione che vale 3 , mentre i vettori sono 2 ; il terzo esercizio invece non mi sembra simile al secondo dato che abbiamo a che fare con una terna di vettori che in quel caso abbiamo provato essere un sistema finito di generatori .
Salve professore, anche io ho il medesimo dubbio di filippo, è vero che considerando la dimensione subito avremmo determinato se i vettori fossero un sistema di generatori minimali però svolgendo i calcoli nel secondo esercizio abbiamo che c=b+2a quindi essendo c dipendente dagli altri due scalari e valendo solo per dei scalari scelti i vettori non potevano essere dei generatori, anche nel terzo abbiamo che alpha 1 2 3 sono rispettivamente pari a-c b-c c quindi seguendo il ragionamento precedente i vettori non dovrebbero essere un sistema di generatori minimale...grazie in anticipo per la risposta ed i video :)
+melania castellano ho lo stesso dubbio... hai capito come mai?
Xander Pitt mi dispiace ma qualche giorno dopo decisi di appendere l'esame ahhaha, se ne parla in questa sessione e nel caso in cui dovessi scoprirlo ti farò sapere
Da quello che ho capito io, a b e c sono dei valori del vettore v combinazione lineare di v1 v2 e v3. Quindi a b e c devono essere indipendenti l'uno dall'altro. Ecco perché nel secondo esercizio quando abbiamo che c=b+2a, il sistema non è generatore. Proprio perché c dipende da a e b. invece alpha sappiamo che dipende da a b e c (infatti alpha 3 è uguale a c, quindi dipende da c). Dire che alpha è uguale da a-c sarebbe come dire che alpha è uguale ad a-3 (o qualsiasi altro numero tu voglia). Spero di essermi spiegato bene e (ripeto) questo è ciò che ho capito io
Una domanda per l'esercizio al minuto 28, non ho capito perchè rappresenta un sistema finito di generatori . avendo dim v =3 e i vettori sono 4 , non si doveva concludere che essi non rappresentano un sistema di generatori? Grazie.
Lo span si può racchiudere anche tra < > ? Sul mio libro è indicato così
certamente è ancora un ulteriore modo di indicarlo .
Stesso dubbio di Andrea Cecilia. Al 34:57 abbiamo R2[x], quindi la dimensione dello spazio vettoriale V è 2. Se noi costruiamo una base con un solo vettore LI. come ha fatto lei nel video, abbiamo che la dimensione della base non coincide con la dimensione dello spazio vettoriale R2[x] o sbaglio? Di conseguenza la base che ha calcolato dovrebbe essere corretta solo se stabiliamo un sottospazio di R2[x] di dimensione 1?
Certo Umberto , è proprio così , stiamo parlando della dimenzione del sottospazio U .
buongiorno, innanzitutto grazie per le video lezioni a mio parere utilissime. mi resta un solo dubbio, i generatori sono semplicemente i vettori che vi vengono dati inizialmente dal problema giusto? possono essere generatori pur essendo combinazione lineare l'uno dell'altro? grazie in anticipo
Esattamente, sono i vettori che generano il sottospazio assegnato.
Buongiorno, non ho capito il motivo per cui il secondo esempio non è un sistema finito di generatori mentre il terzo lo è, dato che sono molto simili; Colgo l'occasione per ringraziarla per questi video!
Salve, la ringrazio per tutti i suoi video, sono molto utili e spiega molto bene. L'unica cosa che non mi è chiara è come si è riusciti a scrivere le coordinate del vettore w1=w1-u3. perché è venuto w1=(1,0,-1)? anche per l'altro vettore non ho capito.
più o meno è al minuto 39:00. grazie in anticipo
+Giovanni Mantri la risposta sta nei dati assegnati , ossia w1 = ( 1 )u1+ 0 ( u2 ) + ( -1 )u3 e quindi avrà quelle coordinate coordinate , stesso discorso lo puoi ripetere per le coordinate dell'altro vettore che può essere scritto come ( 2 ) u1 + ( 1 ) u2 + ( 0 ) u3 .
Non ho capito perché nel 30.42 che fine fa il quarto vettore, cioè iv1,v2,v3 son L.I., corrispondono a R3 . Ma se sono 4 vettori ed R è n=3 cioè R3 , il 4 vettore non viene considerato?
Dato che sappiamo già che i primi 3 vettori sono una base per R3, e dato che il quarto vettore appartiene a R3, si capisce che il 4 vettore può essere ottenuto come combinazione lineare dei primi tre vettori, e quindi non aumenta in alcun modo lo span dei primi 3 vettori. Se metti tutto in una matrice forse è più semplice: infatti, mettendo i 4 vettori in una matrice, e calcolando il rango, vedrai che è 3, cioè la dimensione dello spazio che i vettori all'interno della matrice sono in grado di generare
Sei un grande..
31.22 ma se v4 non fosse combinazione lineare dei primi 3 vettori la dimensione non dovrebbe essere 4?
Mi scusi ma senza matrici e senza dire che il numero di vettori coincide con la dim dello spazio vettoriale,come faccio a dimostrare che v1(1,2) e v2(4,2) formano un insieme di generatori in r2? Cioè a me nel sistema viene x+4Y=a e 2x+2y=b e poi come devo procedere? Mi sto esaurendo per capire.Grazie in anticipo per la risposta
+BYOB tu hai i vettori v1 e v2. Sei in R^2, ciò significa che devi verificare che il generico vettore (a,b) si possa esprimere come combinazione lineare di v1 e v2. cioè (a,b)=lambda1 v1 + lambda2 v2
sostituisci e costruisci il sistema. Non c'è più da procedere, non hai che lambda1= v1 (o v2) e che lambda2= v2 (o v1). quindi non hai trovato un sistema di generatori perché se risolvi il sistema trovi delle condizioni che devono rispettare i vettori. Cioè i vettori che si possono esprimere come combinazione lineare di v1 e v2 devono rispettare delle condizioni, che sono quelle che ti trovi dal sistema. mentre se fosse lambda1=v1 e lambda2= v2 allora è diverso, perché ad a e b puoi dare qualsiasi valore e li puoi esprimere come combinazione lineare di v1 e v2. Ma comunque sia, da che mondo e mondo la base di R^2 te la devi stampare in testa :D non so se sono stato chiaro, ti consiglio di guardare nuovamente il video, è molto chiaro l'ingegnere, sicuramente più di me
Salve, avrei una domanda su un esercizio che non mi è chiaro. L'esercizio mi chiede di dimostrare che i vettori v1(2,3) e v2(3,5) sono una base di R^2. Seguendo il suo metodo mi risulta che nè generano R^2 nè sono l. indipendenti e quindi non sono una base. Solo che io devo dimostrare che sono una base. Dove sbaglio. Grazie in anticipo!
guarda che i vettori sono linearmente Indipendenti(basta mettere le coordinate in una matrice e calcolare il determinante, se esso risulta essere diverso da 0 allora sono L. I------> in questo caso il determinante viene 1 diverso da 0) e inoltre,condizione necessaria ma non sufficiente, è un sistema finito di generatori dato che ci sono 2 vettori e la dimensione di V è uguale a 2.
Ingegnere Cerroni buongiorno - al minuto 24:40 afferma che siccome i vettori dell'insieme sono 3 si può dire che si tratta di un sistema di generatori (senza fare analisi sulla dipendenza/indipendenza lineare). Metta però che i vettori siano 3 (0, 0, 0) e (0, 0, 0) e (0, 0, 0). Questi, anche se sono 3, esattamente come la dimensione di R^3, non credo costituiscano un sistema di generatori perchè non permettono di ottenere tutti i vettori appartenenti ad R^3. Quindi mi domando... lei intendeva che un insieme di vettori è si un sistema di generatori del sottospazio vettoriale (a patto che il numero di vettori coincide con la dimensione dello spazio vettoriale) a condizione che siano linearmente indipendenti? Perchè non credo che presi tre vettori presi casualmente questi siano "automaticamente" sistemi di generatori. Mi corregga se sbaglio.
Ciao, non credo che ti serva più o per lo meno lo spero! però nella spiegazione dice che una condizione per cui uno spazio vettoriale ammetta una base è proprio che non debba essere composto solo da vettore nullo.
@@alisiadevincentiis5184 Grazie. Che ricordi algebra lineare!!! Che fatica ma alla fine è stata una bella soddisfazione. In bocca al lupo
non mi è molto chiara una cosa del penultimo esercizio. Precedentemente lei ha detto che se lavoriamo in uno spazio di dim3 abbiamo bisogno di come minimo 3 vettori per determinare una base altrimenti l'insieme di vettori non costituisce un insieme di generatori... e perchè nel penultimo esercizio abbiamo 2 vettori di uno spazio V^3 e abbiamo potuto determinare una base?
se ti riferisci a W , parliamo di sottospazio vettoriale di V3 , per farlo abbiamo dimostrato l'indipendenza lineare dei 2 vettori . Credo che tu confonda il concetto di sottospazio con quello di base di uno spazio vettoriale .
dot. cerroni per la sua felicità :
www.savingwithshellie.com/wp-content/uploads/2011/09/SpicSpan_20625.jpg
Dario queste lezioni vanno bene per chi segue l'università
Paolo Andreozzi Non mi risulta che nella scuola italiana si parli dettagliatamente di Algebra Lineare .
+Marcello Dario Cerroni purtroppo al politecnico si fa eccome!!! Colgo l'occasione per ringraziarti perchè spieghi davvero bene, se tutto va bene tra qualche anno sarò anche io ingegnere eheh
ha detto scuola, non università
Ingegnere, la prego..
Attivi i sottotitoli automatici! C'è da morire..
+Francesco Barbieri Addirittura , pazzesco .
troppa lentezza nella spiegazione...
La vostra simpatia è da incorniciare
Si può aumentare la velocità di riproduzione dall'apposita impostazione...