Большое спасибо за видео! Факт действительно занимательный. У вас талант к повествованию: я сначала думал пропустить часть с выведением формул (так как и сам это знаю), но интерес к вашему рассказу не позволил мне это сделать. Желаю вам успехов, видео очень крутые!
Ну я человек простой: вижу новое видео -- ставлю лайк! 3:35 то чувство, когда по сути выводишь формулу длины траектории через время и скорость)) А вообще видео очень интересное! Даже со своим уровнем знания удивляюсь тому, что можно усмотреть в, казалось бы, простых вещах)
Вы не перестаёте меня удивлять. Я только недавно познакомился с Вашим каналом, но уже успел понять, что у Вас очень качественные видео. Мне очень нравится, что Вы детально разъясняете каждое действие и подаёте все с доказательствами. К тому же темы Ваших видео безумно интересные и в полной мере демонстрируют насколько красивой может быть математика. Я очень благодарен Вам за Ваш труд 👍
Те самые математические штучки, которые вылезают тут и там. И всегда говоришь себе, ну точно запомню, а потом, когда встретится, я сразу их пущу в ход. Но опыт говорит, что через три дня ужже пусто )) Да я сумму синусов через матрицу поворота или через умножение комплексных чисел каждый раз вспоминаю. ))
Длина дуги постоянного радиуса r равна rdϕ. Изменение вектора равно dr. По теореме пифагора длина квадрата дуги кривой будет (dr)^2+(rdϕ)^2. Если взять квадратный корень и вынести дифференциал угла за скобку, то получится оно )) Каждый раз так высчитывать метрический тензор целиком - глаз выпадет )) Я лично в таких скобках по три раза лажану.
Привет. Сейчас в вузе проходим конические сечения (кривые второго порядка), если есть возможность - можешь в следующих видео рассказать о них (общее уравнение в плоскости, в которой лежат, то есть его вывод из того факта, что это сечение конуса; эксцентриситет, диаметры и сопряжённые диаметры, директриса)
Знаете, как дорожники измеряют ширину дорожного полотна? Не линейкой а прокатывают колёсико с известной длиной окружности по заданному отрезку. Число оборотов умножаем на длину обода колёсика и получаем измеряемый отрезок или длину гладкой кривой, вдоль которой прокатываем колёсико.
пришлось тут как-то решать обратную задачу. Есть лента некоего материала, известной толщины. Эта лента плотно наматывается на вал известного диаметра. Вопрос : какого диаметра будет получившийся рулон ? То есть, то что лента сворачивается в спираль я понял сразу. Дальше я подумал, что длины витков этой спирали образуют прогрессию... короче и так и этак, ничего не получается. Точный ответ от меня не требовался, чай не в америку стрелять, обошлись приближенно, плюс-минус наугад. А вот после этого видео, вспомнил тот эпизод и задумался...
да, именно так в определении интеграла. но у меня ж тут не строгий вывод, а "набросок", для интуитивного понимания, я опустил эти моменты для краткости :) кого заинтересует, всегда найдет более строгие выводы в книгах.
ну не совсем, представьте, например, что сначала взяли хорду на половину дуги, а на 2ой половине взяли бесконечное число хорд - тогда все вместе тоже будет бесконечное число хорд, но явно же что-то не то :)
Знаю не по теме. Но возник давно вопрос, по которому нигде не нашел информации, хоть и вопрос может быть далеко глупый: как вообще доказано что первообразная это "антипроизводная", как так совпало вообще..?
"Антипроизводная" и "первообразная" - это просто разные обозначения одного и того же понятия: первообразная - такая функция, производная которой на всей области определения равна заданной
По определению, не более. Функция F является первообразной функции f, если производная F - это функция f. Иными словами: если мы возьмём функцию, как-то вычислим первообразную (интеграл), затем от неё возьмём производную, то получим нашу же функцию. На основе этого определения выводятся формулы интегралов некоторых функций (просто перевернутые формулы производных), подобным образом выводятся и методы интегрирования (посмотри про "Замена переменной в интеграле" и "Метод интегрирования по частям", если интересно в этом разобраться). А потом доказали, что площадь под графиком функции - это и есть разность значений первообразной на данном промежутке. Есть формальное доказательство, но я люблю приводить достаточо простое: Пусть у нас есть функция y=f(x) Значение производной в точке = Δy / Δx (по определению). Рассмотрим маленький примежуток Δx -> 0 и назовём его dx. Тогда на всём промежутке (потому что он очень маленький) значение производной - dy / dx, а площадь под графиком на этом кусочке: dx * (dy / dx) = dy, потому что dx - ширина, dy / dx - высота этого кусочка (считаем как площадь прямоугольника). Тогда остаётся лишь Δy. Таким образом "площадь под производной" - это "игрек в конечной точке минус игрек в начальной точке". Чтобы найти площадь под нашей функцией нам всего лишь необходимо найти такую функцию, чтобы наша была её производной (как раз таки то, что ты и спрашиваешь, найти первообразную), а затем посчитать F(b) - F(a). И вот как раз это свойство (что площадь - это интеграл) можно расширять, вот показанным автором методом можно находить длину кривой и т. д.
это определение первообразной. как оно может быть "доказано"? :) это просто то, что означает само слово "первообразная". т.е это как справшивать: "почему кошка называется кошкой?" да просто потому, что так решили называть и всё :)
Первообразная, функция и производная это по сути тоже, что бабушка, мама и дочка. Мама - функция. От кого она произошла ? От бабушки - от первообразной. От неё кто произошёл - дочка, производная. А если дочка рано родит, то будет производная второго порядка.
c площадью поверхности есть разные видео: 1) площадь поверхности вращения: ruclips.net/video/7RYOAuZY5gk/видео.html 2) более общий пример на площадь поверхности: ruclips.net/video/i3Z3PzNzYig/видео.html 3) более простой пример с площадью части сферы внутри цилиндра: ruclips.net/video/n7FPImQvvyQ/видео.html
@@Hmath В тех видео, насколько я помню, Вы используете готовые формулы. Может быть, как-нибудь, если получится, расскажете про вывод этих формул (или частного случая для прямоугольной системы координат)... Просто предложение....)) З.Ы. Про третий том Фихтенгольца я знаю. Хотел услышать от Вас.
А верно ли, что длина ветви параболы приблизительно равна значению функции, графиком которой является эта парабола, не только для функции y=x^2/2 но и для произвольной квадратичрой функции?
я тогда сначала сделал видео, а уже потом подумал, что это довольно очевидное замечание относится вообще ко многим функциям :) вот там под интегралом для длины корень из (1+(y')^2) если y'>>1 (намного больше 1), то корень из (1+(y')^2) примерно равен y' (отбросил 1 под корнем), а значит интеграл (и значит длина) от y' равен y. т.е чем больше производная функции по сравнению с 1, тем точнее будет приближенное равенство длины кривой значению функции. Да это из графика функции понятно :) Если функции быстро растет, то график у нее в большом масштабе становится все более "параллельным" оси OY, а значит в длину бОльший вклад вносит именно изменение y, а не х :) Так что "свойство" получилось довольно банальным :)
да, я сначала сделал видео и выложил, а потом уже подумал, что этот результат можно обобщить на довольно произвольную функцию :) Но, как видите, только через почти 2 года кто-то мне такой комментарий написал :)
нужна новая формула более легкая и простая. и которая дает 100% верный ответ!)))) а то заказать 25000метров кабеля или 26000 разница большая))) по денюшке много выходит))) и спустя время действительно))) что б очень верно посчитать оказалось что создать более легку формулу очень просто) ее даже пастух увидит) любая линия это длина на плоскости . а длина на плоскости рисуется за время))) а значит каждый следующий виток будет занимать на % больше времени.) а с какой скоростью рисуется линия и первый виток мы знаем) тоесть если совсем просто то выходит так... первый виток мы рисуем за 6 секунд со скоростью 5 мм в секунду) все просто))) и число пи не надо)))) а главное настолько точно что время не обманишь) ты можешь рисовать и еще медленьее а значит и следующий виток будет иметь такуюже длину только ты его будешь еще медленьее рисовать) ну кто знает тот поймет)))
Всё подробно с наглядными иллюстрациями. Спасибо за познавательную лекцию.
спасибо за канал, закончил вычмате почти 12 лет назад, но не работаю по специальности, получаю огромное удовольствие от просмотра ваших роликов.
Интересно девки пляшут, я о таком даже не подозревал. Спасибо за видео.
Больше таких видео плииз
Второй раз посмотрел, показалось ещё интереснее. Вообще канал отличный, таких больше нет
Кайф, спасибо большое за уравнение длинны кривой
Большое спасибо за видео! Факт действительно занимательный.
У вас талант к повествованию: я сначала думал пропустить часть с выведением формул (так как и сам это знаю), но интерес к вашему рассказу не позволил мне это сделать.
Желаю вам успехов, видео очень крутые!
спасибо за отзыв! рад, что понравилось!
Ну я человек простой: вижу новое видео -- ставлю лайк!
3:35 то чувство, когда по сути выводишь формулу длины траектории через время и скорость))
А вообще видео очень интересное! Даже со своим уровнем знания удивляюсь тому, что можно усмотреть в, казалось бы, простых вещах)
Досмотрел "до этого момента". Понравилось) Спасибо за ваш труд
Поступил на первый курс. Ролики стал смотреть с ещё большим интересом, спасибо Вам!
хорошая занимательная лекция! Отдельный плюс за наглядность
Огонь !
Вы не перестаёте меня удивлять. Я только недавно познакомился с Вашим каналом, но уже успел понять, что у Вас очень качественные видео. Мне очень нравится, что Вы детально разъясняете каждое действие и подаёте все с доказательствами. К тому же темы Ваших видео безумно интересные и в полной мере демонстрируют насколько красивой может быть математика. Я очень благодарен Вам за Ваш труд 👍
Те самые математические штучки, которые вылезают тут и там. И всегда говоришь себе, ну точно запомню, а потом, когда встретится, я сразу их пущу в ход. Но опыт говорит, что через три дня ужже пусто )) Да я сумму синусов через матрицу поворота или через умножение комплексных чисел каждый раз вспоминаю. ))
Спасибо!
Красиво, спасибо
Завтра досмотрю, спасибо все очень хорошо объяснили
Длина дуги постоянного радиуса r равна rdϕ. Изменение вектора равно dr. По теореме пифагора длина квадрата дуги кривой будет (dr)^2+(rdϕ)^2. Если взять квадратный корень и вынести дифференциал угла за скобку, то получится оно )) Каждый раз так высчитывать метрический тензор целиком - глаз выпадет )) Я лично в таких скобках по три раза лажану.
Привет. Сейчас в вузе проходим конические сечения (кривые второго порядка), если есть возможность - можешь в следующих видео рассказать о них (общее уравнение в плоскости, в которой лежат, то есть его вывод из того факта, что это сечение конуса; эксцентриситет, диаметры и сопряжённые диаметры, директриса)
сейчас пока не планировал из этого раздела делать.
Знаете, как дорожники измеряют ширину дорожного полотна? Не линейкой а прокатывают колёсико с известной длиной окружности по заданному отрезку. Число оборотов умножаем на длину обода колёсика и получаем измеряемый отрезок или длину гладкой кривой, вдоль которой прокатываем колёсико.
пришлось тут как-то решать обратную задачу. Есть лента некоего материала, известной толщины. Эта лента плотно наматывается на вал известного диаметра. Вопрос : какого диаметра будет получившийся рулон ? То есть, то что лента сворачивается в спираль я понял сразу. Дальше я подумал, что длины витков этой спирали образуют прогрессию... короче и так и этак, ничего не получается. Точный ответ от меня не требовался, чай не в америку стрелять, обошлись приближенно, плюс-минус наугад. А вот после этого видео, вспомнил тот эпизод и задумался...
2:29 не забудьте что если выполнятся равенство ∆L=∆t для любого t, то длина дуги будет равна t(B)-t(A).
14:27 где-то этот интеграл попадался часто в матанализе
Приятно вспомнить теорию перед задачей. Но разве нужно брать больше хорд? Не правильней ли будет сказать, что нужно уменьшать размер большей из хорд?
да, именно так в определении интеграла. но у меня ж тут не строгий вывод, а "набросок", для интуитивного понимания, я опустил эти моменты для краткости :) кого заинтересует, всегда найдет более строгие выводы в книгах.
@@Hmath а разве это не одно и то же: количество хорд стремится к бесконечности, или длина наиболее длинной стремится к нулю?
ну не совсем, представьте, например, что сначала взяли хорду на половину дуги, а на 2ой половине взяли бесконечное число хорд - тогда все вместе тоже будет бесконечное число хорд, но явно же что-то не то :)
можно вообще обойтись без хорд, взять курвиметр
можно вообще обойтись без хорд, взять курвиметр
9:06 ну как бы очевидно что это свойство не только параболы, а любой функции, у которой производная стремится к бесконечности с ростом x.
Знаю не по теме. Но возник давно вопрос, по которому нигде не нашел информации, хоть и вопрос может быть далеко глупый: как вообще доказано что первообразная это "антипроизводная", как так совпало вообще..?
"Антипроизводная" и "первообразная" - это просто разные обозначения одного и того же понятия: первообразная - такая функция, производная которой на всей области определения равна заданной
По определению, не более.
Функция F является первообразной функции f, если производная F - это функция f. Иными словами: если мы возьмём функцию, как-то вычислим первообразную (интеграл), затем от неё возьмём производную, то получим нашу же функцию.
На основе этого определения выводятся формулы интегралов некоторых функций (просто перевернутые формулы производных), подобным образом выводятся и методы интегрирования (посмотри про "Замена переменной в интеграле" и "Метод интегрирования по частям", если интересно в этом разобраться).
А потом доказали, что площадь под графиком функции - это и есть разность значений первообразной на данном промежутке. Есть формальное доказательство, но я люблю приводить достаточо простое:
Пусть у нас есть функция y=f(x)
Значение производной в точке = Δy / Δx (по определению). Рассмотрим маленький примежуток Δx -> 0 и назовём его dx.
Тогда на всём промежутке (потому что он очень маленький) значение производной - dy / dx, а площадь под графиком на этом кусочке: dx * (dy / dx) = dy, потому что dx - ширина, dy / dx - высота этого кусочка (считаем как площадь прямоугольника). Тогда остаётся лишь Δy. Таким образом "площадь под производной" - это "игрек в конечной точке минус игрек в начальной точке". Чтобы найти площадь под нашей функцией нам всего лишь необходимо найти такую функцию, чтобы наша была её производной (как раз таки то, что ты и спрашиваешь, найти первообразную), а затем посчитать F(b) - F(a).
И вот как раз это свойство (что площадь - это интеграл) можно расширять, вот показанным автором методом можно находить длину кривой и т. д.
это определение первообразной. как оно может быть "доказано"? :) это просто то, что означает само слово "первообразная". т.е это как справшивать: "почему кошка называется кошкой?" да просто потому, что так решили называть и всё :)
@@vintik1688 да спасибо, то что нужно было. Перед вопросом стоило погуглить доказательство формулы Ньютона-Лейбница, извиняюсь(
Первообразная, функция и производная это по сути тоже, что бабушка, мама и дочка. Мама - функция. От кого она произошла ? От бабушки - от первообразной. От неё кто произошёл - дочка, производная. А если дочка рано родит, то будет производная второго порядка.
Про площадь поверхности сделайте аналогичное видео..
c площадью поверхности есть разные видео:
1) площадь поверхности вращения: ruclips.net/video/7RYOAuZY5gk/видео.html
2) более общий пример на площадь поверхности: ruclips.net/video/i3Z3PzNzYig/видео.html
3) более простой пример с площадью части сферы внутри цилиндра: ruclips.net/video/n7FPImQvvyQ/видео.html
@@Hmath В тех видео, насколько я помню, Вы используете готовые формулы. Может быть, как-нибудь, если получится, расскажете про вывод этих формул (или частного случая для прямоугольной системы координат)... Просто предложение....))
З.Ы. Про третий том Фихтенгольца я знаю. Хотел услышать от Вас.
возьмём бесконечное число хорд....или курвиметр :))
А верно ли, что длина ветви параболы приблизительно равна значению функции, графиком которой является эта парабола, не только для функции y=x^2/2 но и для произвольной квадратичрой функции?
я тогда сначала сделал видео, а уже потом подумал, что это довольно очевидное замечание относится вообще ко многим функциям :)
вот там под интегралом для длины корень из (1+(y')^2)
если y'>>1 (намного больше 1), то корень из (1+(y')^2) примерно равен y' (отбросил 1 под корнем), а значит интеграл (и значит длина) от y' равен y.
т.е чем больше производная функции по сравнению с 1, тем точнее будет приближенное равенство длины кривой значению функции.
Да это из графика функции понятно :) Если функции быстро растет, то график у нее в большом масштабе становится все более "параллельным" оси OY, а значит в длину бОльший вклад вносит именно изменение y, а не х :)
Так что "свойство" получилось довольно банальным :)
@@Hmath понял, спасибо
ну в общем то логично, что при больших Х ветвь параболы начинает походить на прямую
да, я сначала сделал видео и выложил, а потом уже подумал, что этот результат можно обобщить на довольно произвольную функцию :) Но, как видите, только через почти 2 года кто-то мне такой комментарий написал :)
Может быть не надо выводить формулу, а сразу использовать
нужна новая формула более легкая и простая. и которая дает 100% верный ответ!)))) а то заказать 25000метров кабеля или 26000 разница большая))) по денюшке много выходит)))
и спустя время действительно))) что б очень верно посчитать оказалось что создать более легку формулу очень просто) ее даже пастух увидит) любая линия это длина на плоскости . а длина на плоскости рисуется за время))) а значит каждый следующий виток будет занимать на % больше времени.) а с какой скоростью рисуется линия и первый виток мы знаем) тоесть если совсем просто то выходит так... первый виток мы рисуем за 6 секунд со скоростью 5 мм в секунду) все просто))) и число пи не надо)))) а главное настолько точно что время не обманишь) ты можешь рисовать и еще медленьее а значит и следующий виток будет иметь такуюже длину только ты его будешь еще медленьее рисовать) ну кто знает тот поймет)))
Правило Лопиталя не нужно, там ответ очевиден.
ln(a+√(a²+1)) = ash(a)
Длинный логарифм есть ничто иное как арэасинус гипербооический от а
Ммм криволинейные
Как получить криволинейку:
Деформируйте линейку на некоторый угол альфа..