merci d'avoir laissée la tentative avec l'inégalité des accroissements finis même si elle aboutissait pas et d'avoir expliqué pourquoi il fallait chercher une autre piste, je trouve ça super enrichissant. (surtout que perso j'ai du mal à savoir quand abandonner une piste, j'ai toujours peur que ce soit la bonne façon de faire et que je n'arrive pas à aller au bout à cause d'une méconnaissance de mon cours)
Super vidéo. J'ai toujours aimé les mathématiques et aujourd'hui presque 10 ans après la prépa mon métier ne requiert que très vaguement quelques notions. Cependant, je prends toujours plaisir à regarder des exercices corrigés çà et là et vos vidéos sont vraiment superbes. Merci pour le partage 👍
pour la fin je propose: a epsilon fixé et x€]0,1] separer la somme en 2, la premiere de 0 a N et la deuxieme de N+1 a +inf avec N de sorte que le deuxieme somme soit plus petite que epsilon/2 et ce independamment de x (existe pcq la somme converge). ensuite pour la deuxieme somme: f´ est UC sur chaque segment et y’en a un nb fini donc ca definit un delta (qu’on choisit plus petit que epsilon) tq pour tout x plus petit que delta, et t entre 2nx et (2n+1)x, |f(t+x)-f(t)|
Euh... comment le fait que la série converge te permet d'avoir N indépendant de x ? C'est même pas possible que ce soit vrai ( sauf f = 0 ) : Si j'ai bien compris t'affirmes que ∀ε>0 , ∃N∈ ℕ tq ∀x>0 somme de N+1 à ∞ de (-1)ⁿf(nx) ≤ ε donc en fait la limite c'est quasiment la 1re somme fini : somme de 0 à N de (-1)ⁿf(nx) qui est donc proche ε-proche de la limite quel que soit x, or quand x tends vers 0 ça s'approche de la somme des (-1)ⁿf(0) qui donne f(0) ou 0 selon la parité de N pour x assez petit on aura donc la 1re somme ε-proche de f(0) ou de 0 et donc la limite est 2ε-proche de 0 ou f(0) , et ce pour tout ε donc la limite vaudrait 0 ou f(0) selon la parité de N ... les 2 étant faux sauf dans le cas où f(0) = 0 auquel cas f = 0 Donc ton approche n'est pas valide
@@Acssiohm tu as raison, c’est faux. Mais on s’en sort avec le fait que la valeur absolue de la somme des termes en f(nx) pour n>N est plus petite que f(Nx) car f décroissante. Et en profitant de la limite nulle en +inf de f, on peut définir un N(x) tel que la valeur absolue de la somme des termes n>N est inférieure à un epsilon donné au départ. Exprimer explicitement en fonction de x ce N(x) permet de mener à bien le calcul (voir que la somme des termes n>N(x) est toujours minorable par epsilon). Ce N(x) ne croit pas trop vite pour que le premier terme soit impossible à étudier
@@alexs7139 Ouaip, je comptais l'écrire mais en effet c'est quasiment plus simple que c'qu'il avait écrit de base , si on pose A tq f(x) ≤ ε on a N(x) = E(A/x) + 1 convient E désignant la partie entière
belle vidéo mais je trouve dommage de ne pas faire la rédaction complète! stp concernant la rédaction fournie dans le drive, tu pourrais ajouter a partie où tu utilises la décomposition paire et impaire et le théorème fondamentale de l'analyse pour réécrire la série que l'on étudie? Enfin, en haut de la page 2, je pense qu'il y a une erreur dans la troisième valeur absolue : c'est intégrale de f'(t+2nx) il me semble
Comme truc intéressant a dire dans un oral cest quavec une hypothèse plus faible ie en rajoutant l hypothèse f' decroussante ca devient plus facile : plus de epsilon, il suffit de de comparer les integrales de 2n a 2n+1 avec celles de 2n-1 a 2n et de 2n+1 a 2n+2
C'est juste une intuition, rien de rigoureux mais effectivement 1/2 a du sens. La somme des (-1)^n alterne entre 1 et 0 (d'abord 1, puis 0, puis 1, puis 0, ...). La moyenne (arithmétique) de 0 et 1 vaut bien 1/2.
@@umylten4142 enfaite c’est beaucoup plus qu’une intuition, en appliquant une transformee d’abel on se ramene à la situation que j’ai exposé et enfaite l’exo n’est rien d’autre que le lemme de riemann lebesgue à savoir que integrale de f(t)w(nt) quand n tend vers l’inf tend vers valeur moyenne de w * integrale de f
Sachant que la fonction f est inconnue, comment savoir que n -> f(nx) n’est pas une suite alternante ? Auquel cas on n’est plus sûr que la série alternée des f(nx) converge, non ?
On retrouve aussi le même résultat avec des hypothèses moins fortes en régularité ! Le résultat persiste si f est continue, convexe et de limite nulle en l'infini. D'ailleurs j'aime bien la conclusion de l'exo parce qu'elle permet, entre autres (en adaptant la preuve) d'obtenir l'équivalent sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n f_n(x) \sim f_0(x)/2 lorsque x tend vers 0 avec (-1)^n f_n vérifiant le critère des séries alternées.
@@LePainQuiFaitDesMaths justement ça n'existe pas vraiment. Une fonction convexe est continue partout sauf éventuellement au bord de l'intervalle de définition. Elle est même C^1 sauf en un nombre dénombrable de points. Et si elle tend vers 0 alors elle va décroitre à partir d'un certain rang. Donc oui ce sont des hypothèses plus faibles, mais on gagne pas grand chose. Par contre la preuve doit pas être la même j'imagine ? (j'ai pas cherché)
@@yannld9524 oui la différence dans la preuve réside surtout dans la convergence de la série, on vérifie l'hypothèse de décroissance via un argument de convexité (inégalité des pentes)
honnêtement je sais pas, je pense que si tu passe l'heure à tenter plusieurs pistes, dire des choses pertinentes, jpense que ça passe, c'est pas obligé de résoudre entièrement. Le plus long c'est de trouver par quel bout prendre l'exo. Quand t'a trouvé, la rédaction peut aller assez vite, 20-30 minutes et c'est fait
Pour le coup tu peux le justifier plus simplement en disant que la série des f(2nx)-f((2n+1)x) est une suite extraite de la série de base. Et du coup ça te permet de faire ça plus généralement dès que la série converge. Mais oui Abel fonctionne
Tiens c’est marrant comme résultat parce qu’on peut le retrouver en faisant un très mauvais calcul 😂. Passons la limite dans la somme, on obtient la somme ∑(-1)ⁿf(0), puis en reconnaissant une série géométrique de raison -1 on obtient bien f(0)/2
@@julien4230 non il le sont pas, on sent la personne qui connait la solution et cherche des intuitions boiteuses pour la motivé, notament l'intuition sur le facteur 1\2 est limite une blague, la justification de l'apparition du terme de controle f'(t) -f'(t+x) également. Je suis laureat des olympiades internationnales et contributeurs de solutions à la rms ainsi que dans d'autre forum... Il y a de meilleur qualité délivré de motivation derriere une approche dans les contenus de chaines similaires anglosaxons... La justification du facteur 1\2 serait mieux motivé en regardant que les pavés d'integration represente en intuitivement la moitié des pavé de demi droité réel ...
@@natsudragnir4131 c’est ce qu’il tente de faire de façon certes un peu boiteuse mais correcte. Vous apprendrez avec le temps que les arguments d’autorité du genre « je suis lauréat d’olympiades » ne valent rien. Quand on fait des maths, peu importe qui vous êtes et on s’en moque.
@@julien4230 Bien dit mec... x,y messieurs qui regardent les gens du haut de leurs tours construites avec un ego pas mal gonflé tout en s'assurant de citer leurs statuts, quel débile ce mec. Tu penses qu'il a une photo de lui comme wallpaper sur son tel?
Difficile d'accès
Ptdr bien vu 😂
merci d'avoir laissée la tentative avec l'inégalité des accroissements finis même si elle aboutissait pas et d'avoir expliqué pourquoi il fallait chercher une autre piste, je trouve ça super enrichissant.
(surtout que perso j'ai du mal à savoir quand abandonner une piste, j'ai toujours peur que ce soit la bonne façon de faire et que je n'arrive pas à aller au bout à cause d'une méconnaissance de mon cours)
Super vidéo. J'ai toujours aimé les mathématiques et aujourd'hui presque 10 ans après la prépa mon métier ne requiert que très vaguement quelques notions. Cependant, je prends toujours plaisir à regarder des exercices corrigés çà et là et vos vidéos sont vraiment superbes. Merci pour le partage 👍
Je viens de tomber par hasard sur ta vidéo ça m'a fait bien rire 😂
super video n’hésite pas à en refaire d’autres comme ça !
Super vidéo bro, big up de Montreal.
Ahahah putain mec on est dans la même prépa, ça fait un bail je suis abonné sans savoir
Quelle prépa bg ?
Très intéressant
pour la fin je propose: a epsilon fixé et x€]0,1]
separer la somme en 2, la premiere de 0 a N et la deuxieme de N+1 a +inf avec N de sorte que le deuxieme somme soit plus petite que epsilon/2 et ce independamment de x (existe pcq la somme converge).
ensuite pour la deuxieme somme:
f´ est UC sur chaque segment et y’en a un nb fini donc ca definit un delta (qu’on choisit plus petit que epsilon) tq pour tout x plus petit que delta, et t entre 2nx et (2n+1)x,
|f(t+x)-f(t)|
Ça a l'air de marcher ouais, ça ressemble pas mal à ce que j'ai rédigé (lien dans la description), avec la transfo d'Abel en moins
Bien joué !
Je confirme : même stratégie et ça marche
Euh... comment le fait que la série converge te permet d'avoir N indépendant de x ?
C'est même pas possible que ce soit vrai ( sauf f = 0 ) :
Si j'ai bien compris t'affirmes que ∀ε>0 , ∃N∈ ℕ tq ∀x>0
somme de N+1 à ∞ de (-1)ⁿf(nx) ≤ ε
donc en fait la limite c'est quasiment la 1re somme fini :
somme de 0 à N de (-1)ⁿf(nx)
qui est donc proche ε-proche de la limite quel que soit x, or quand x tends vers 0 ça s'approche de la somme des (-1)ⁿf(0) qui donne f(0) ou 0 selon la parité de N
pour x assez petit on aura donc la 1re somme ε-proche de f(0) ou de 0
et donc la limite est 2ε-proche de 0 ou f(0) , et ce pour tout ε
donc la limite vaudrait 0 ou f(0) selon la parité de N ... les 2 étant faux sauf dans le cas où f(0) = 0 auquel cas f = 0
Donc ton approche n'est pas valide
@@Acssiohm tu as raison, c’est faux. Mais on s’en sort avec le fait que la valeur absolue de la somme des termes en f(nx) pour n>N est plus petite que f(Nx) car f décroissante. Et en profitant de la limite nulle en +inf de f, on peut définir un N(x) tel que la valeur absolue de la somme des termes n>N est inférieure à un epsilon donné au départ. Exprimer explicitement en fonction de x ce N(x) permet de mener à bien le calcul (voir que la somme des termes n>N(x) est toujours minorable par epsilon). Ce N(x) ne croit pas trop vite pour que le premier terme soit impossible à étudier
@@alexs7139 Ouaip, je comptais l'écrire mais en effet c'est quasiment plus simple que c'qu'il avait écrit de base ,
si on pose A tq f(x) ≤ ε on a N(x) = E(A/x) + 1 convient
E désignant la partie entière
belle vidéo mais je trouve dommage de ne pas faire la rédaction complète!
stp concernant la rédaction fournie dans le drive, tu pourrais ajouter a partie où tu utilises la décomposition paire et impaire et le théorème fondamentale de l'analyse pour réécrire la série que l'on étudie?
Enfin, en haut de la page 2, je pense qu'il y a une erreur dans la troisième valeur absolue : c'est intégrale de f'(t+2nx) il me semble
C’est un des exos que Facile D’accès a eu à Ulm ?
Oui j crois
Vous l'aimez bien ce résultat, c'est au moins la 3e fois que je le vois en un mois
Comme truc intéressant a dire dans un oral cest quavec une hypothèse plus faible ie en rajoutant l hypothèse f' decroussante ca devient plus facile : plus de epsilon, il suffit de de comparer les integrales de 2n a 2n+1 avec celles de 2n-1 a 2n et de 2n+1 a 2n+2
avec un peu plus d’intuition, cela concerge vers f(0)* valeur moyenne de la somme des -1^n donc f(0)/2
la valeur moyenne de la somme des (-1)^n =1/2 ?????????
C'est juste une intuition, rien de rigoureux mais effectivement 1/2 a du sens. La somme des (-1)^n alterne entre 1 et 0 (d'abord 1, puis 0, puis 1, puis 0, ...). La moyenne (arithmétique) de 0 et 1 vaut bien 1/2.
@@umylten4142 enfaite c’est beaucoup plus qu’une intuition, en appliquant une transformee d’abel on se ramene à la situation que j’ai exposé et enfaite l’exo n’est rien d’autre que le lemme de riemann lebesgue à savoir que integrale de f(t)w(nt) quand n tend vers l’inf tend vers valeur moyenne de w * integrale de f
Ça me semble pareil à un exo des olympiades de la Corée du Sud
Sachant que la fonction f est inconnue, comment savoir que n -> f(nx) n’est pas une suite alternante ? Auquel cas on n’est plus sûr que la série alternée des f(nx) converge, non ?
La fonction est décroissante et tend vers 0 et elle va de R+ dans R.
On retrouve aussi le même résultat avec des hypothèses moins fortes en régularité !
Le résultat persiste si f est continue, convexe et de limite nulle en l'infini.
D'ailleurs j'aime bien la conclusion de l'exo parce qu'elle permet, entre autres (en adaptant la preuve) d'obtenir l'équivalent sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n f_n(x) \sim f_0(x)/2 lorsque x tend vers 0 avec (-1)^n f_n vérifiant le critère des séries alternées.
Des fonctions convexes non continues il y en a pas beaucoup
@@yannld9524tout du moins « en pratique »
@@yannld9524 mais s'il en existe il n'est pas impertinent de préciser les deux hypothèses ensemble !
@@LePainQuiFaitDesMaths justement ça n'existe pas vraiment. Une fonction convexe est continue partout sauf éventuellement au bord de l'intervalle de définition. Elle est même C^1 sauf en un nombre dénombrable de points. Et si elle tend vers 0 alors elle va décroitre à partir d'un certain rang.
Donc oui ce sont des hypothèses plus faibles, mais on gagne pas grand chose. Par contre la preuve doit pas être la même j'imagine ? (j'ai pas cherché)
@@yannld9524 oui la différence dans la preuve réside surtout dans la convergence de la série, on vérifie l'hypothèse de décroissance via un argument de convexité (inégalité des pentes)
on pourra le faire facilement par la decomposition en serie de fourir
C’est le réflexe que j’ai eu, par contre où est la fonction périodique ?
Ce genre de question doit pouvoir être résolue en combien de temps en examen pour avoir une idée ?
honnêtement je sais pas, je pense que si tu passe l'heure à tenter plusieurs pistes, dire des choses pertinentes, jpense que ça passe, c'est pas obligé de résoudre entièrement. Le plus long c'est de trouver par quel bout prendre l'exo.
Quand t'a trouvé, la rédaction peut aller assez vite, 20-30 minutes et c'est fait
On pourra generaliser FACILEMENT avec somme des w(n)f(nx) où la somme des w est periodique de moyenne M
Salut MathsJ, tu était dans quelle prépa?
FSM
a 7:40 oui dans ce cas ca marche mais faut le justifier, c'est pas toujours vrai. (ex: (-1)^n. Mais ici avec du abel ca se montre bien
Pour le coup tu peux le justifier plus simplement en disant que la série des f(2nx)-f((2n+1)x) est une suite extraite de la série de base.
Et du coup ça te permet de faire ça plus généralement dès que la série converge.
Mais oui Abel fonctionne
Tiens c’est marrant comme résultat parce qu’on peut le retrouver en faisant un très mauvais calcul 😂. Passons la limite dans la somme, on obtient la somme ∑(-1)ⁿf(0), puis en reconnaissant une série géométrique de raison -1 on obtient bien f(0)/2
C'est pas l'exo que facile d'accès a eu a son oral et qu'il a présenté il y a qqes jours ? Sinon masterclass la vidéo
oui, en voyant sa vidéo ça m'a rappelé cet exo que j'avais découvert de mon côté
@@MathJ_2 T en spé bg ? si oui dans quelle prépa stp t'as l'air chaud
Je capte pas en quoi la somme des (-1)^n f(nx) est égale à la somme des f(2nx) - f((2n+1)x)
Il a juste écrit par rapport à la parité de n pour sortir le (-1)^n et vu que c'est une série on se soucie pas de la partie entière
Il a séparé les termes paires des termes impaires si tu veux c'est pareil que \sum_paire - \sum_impaire
Yes j'ai compris en fait y avait besoin de la convergence de la série pour être rigoureux mais on l'a par cssa
Hum stp mathj tu es dans quelle grande école ? Ou fac ?
ENS Ulm (j'intègre cette année)
@@MathJ_2 oooh 🤐😱 tu es lourd j'espère aussi avec l'aide de tes vidéos intégrer une grande école l'année prochaine, sympa cette exo de l'ENS ULm 🤔
euhh eeuhhh ...mt ..eeuh Stylé euuh .... la vidéo ... eeuh eeuhh mt fais en plus comme ça🧠🧠🧠
aïe aïe, les balles sont réelles
Encore une trivialité...
T'es un génie 🤣
J'ai croisé quelqu'un qui te ressemble au tipe à Toulouse, c'est toi ?
??? Peut être, quand ça le 15 juillet vers 14h ?
x = 0 c'est définit si f vaut 0 en 0
T'as été admissible où? Good luck pour les oraux
Rennes sur concours, et admis à Ulm sur dossier
@@MathJ_2 et t'as passé d'autres concours ??
@@MathJ_2 Ptn énorme depuis FSM non? c'est fou
Tes intuitions sont totalement un driblage en bobinant, c’est n’importe quoi tes interprétations 😹
Rien capté
Les interprétations sont correctes. Mais vous ne les avez pas comprises, c’est tout.
@@julien4230 non il le sont pas, on sent la personne qui connait la solution et cherche des intuitions boiteuses pour la motivé, notament l'intuition sur le facteur 1\2 est limite une blague, la justification de l'apparition du terme de controle f'(t) -f'(t+x) également. Je suis laureat des olympiades internationnales et contributeurs de solutions à la rms ainsi que dans d'autre forum... Il y a de meilleur qualité délivré de motivation derriere une approche dans les contenus de chaines similaires anglosaxons... La justification du facteur 1\2 serait mieux motivé en regardant que les pavés d'integration represente en intuitivement la moitié des pavé de demi droité réel ...
@@natsudragnir4131 c’est ce qu’il tente de faire de façon certes un peu boiteuse mais correcte.
Vous apprendrez avec le temps que les arguments d’autorité du genre « je suis lauréat d’olympiades » ne valent rien. Quand on fait des maths, peu importe qui vous êtes et on s’en moque.
@@julien4230 Bien dit mec... x,y messieurs qui regardent les gens du haut de leurs tours construites avec un ego pas mal gonflé tout en s'assurant de citer leurs statuts, quel débile ce mec. Tu penses qu'il a une photo de lui comme wallpaper sur son tel?