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Oral centrale PC 2023 : intégrales et développement asymptotique
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- Опубликовано: 15 авг 2024
- Un oral de Centrale PC pas si facile !! ... mais très complet et très instructif !
00:00 Introduction
00:59 Énoncé
02:01 Question 1
03:17 Question 2 : convergence
04:39 Question 2 : calcul de J
12:02 Question 2 : fin du calcul par sommation de série
17:10 Question 3
Très bel exercice ! J'ai surtout apprécié la dernière question qui est très formatrice.
Je viens d’avoir cet exercice à Centrale PC 2024. Enfin c’était une variante mais le fond est le meme
It's easier to solve 3 with this method :
Set vn to n * (un-1) this will give nxn over xn +1
Note the form : n x^n-1 / 1+x^n which is in form of f prime over f wich will pop up the ln function.... I let you figure out the rest:) but non the less I like this solution since it uses Taylor expression
La seule question qui me semble non évidente est la question 3) le reste c'est du classique.
Pas besoin de convergence dominée pour faire la première question. On a u_n=1-integrale de x^n/(1+x^n) x=0,1 l'intégrande est positif et est majoré par x^n terme qu'on peut facilement intégrer entre 0 et 1 on obtient 1/(1+n) et il y a plus qu'à passer à la limite en n pour montrer que cette suite d'intégrales converge vers 0 et donc que u_n converge vers 1.
En effet. Mais bon, on trouve la limite en faisant tendre sous l'intégrale 😁.
Ta remarque est super pour les 1ere années. C'est d'ailleurs comme ça que je leur fais.
Dans la partie 1) est ce une erreur d'écriture? La fraction tend vers 1/2 si x tend vers 1 ? Je ne comprends pas le si x = 1/2 ?
Oui si x tend vers 1 bien sur. Coquille. A l'oral j'ai dit si x tend vers 1 😉
Bonjour, pour li'ntégration ermes à termes ne faut-il pas avoir la convergence uniforme de la série de fonctions ?
Super vidéo comme d'habitude ! Avez-vous par ailleurs prévu d'autres exercices (oraux Centrale MP par exemple) ?
Je me demandais aussi pourquoi à la question 3, vous avez utilisé la formule de Taylor avec reste intégral et pas simplement la formule de Taylor-Young avec les petits o? Pour éviter l'intégration d'une relation de comparaison via le théorème adapté ?
Après réflexion je n'ai pas l'impression qu'on ait besoin du théorème d'intégration des relations de comparaison, on intègre 1 sur [0, 1] !
On peut alors dire que 1/n * int_0^1 o(1/n) dt = o(1/n²) * int_0^1 dt = o(1/n²), et dans ce cas pas besoin de la formule de Taylor avec reste intégral qui, certes plus précise, demande un peu plus d'hypothèses et de calculs.
bonjour, n'existe t'il pas un second théorème d'intégration terme à terme, pour le cas particulier d'un segment? faisant intervenir la convergence uniforme?
Oui mais là je vais choisis l'autre.
@@CassouMathPrepa le second aurait fonctionné?
une petite vidéo de synthèse sur les théorèmes d'intervertion intégrale / série / limite pourrait être utile! :)
Pour montrer que ln est intégrable pourquoi pas le changement de variable mais c'est plus commun de la calculer (avec une ipp pour ceux pour qui ce n'est pas une primitive usuel sinon juste envoyé xln x - x)
Oui tout à fait 😅
Il y'a aussi |ln(x)|=o(1/√x) quand x tend vers 0 à droite.
@@mathematiquesbacplusdeux3518 oui c'est pas forcément naturel pour juste ln par contre ça permet d'avoir le résultat pour les intégrales de Bertrand
@@wasabissu5020 Tout à fait et c'est ça qui fait la différence car pour f(x)=|\ln(x)|^m, on n'a pas aisément une primitive mais on compare aisément avec g(x)=1/√x
Le vieux taupin que je suis ne se souviens pas du tout de toutes ces différentes convergences, et donc je me sens un peu perdu pour la justification rigoureuse de ces résultats: l'analyse demande désormais une bonne maitrise, il faut que je m'y remette.
Le maître n'est pas infaillible, et fait une erreur de signe en changeant de page. :)
Pourquoi on prend x entre [0,1] ? On fait pad tout les autres cas sur R ? Ou peut etre que c'est juste pas donné dans l'ennoncé ?
Tintegres sur [0,1] donc t'as juste besoin d'étudier sur cet intervalle
Pour l'intégration terme à terme ne faut il pas vérifier l'intégrabilitée des fn(x) pour tout n ? Le seul théorème que j'ai qui ressemble a celui la c'est Beppo Levi et il y a cette hypothèses en plus.
Oui il faut. Je pense que pour lui cette hypothèse était implicite ici parce que englobée par l'hypothèse de la série des intégrales de la valeur absolue des fn qui doit converger
@@muusteh4060Yes, si il y a convergence de la série des intégrales en v.a alors les intégrales sont ACV et donc L1 et ce pour tout n. Bv
@@muusteh4060 en effet !
Je m'interroge quand même, comment le concepteur de l'exercice, a-t-il pensé à l'intégrale J ? Y a-t-il une raison précise ? Ou il l'a trouvé par hasard ?
L'intégrale J sert a calculer le second terme dans le développement asymptotique. Le calcul du développement asymptotique de (u_n) se ramène par changement de variables comme expliqué dans la vidéo à l'intégrale entre 0 et 1 de t^(1/n) / (1+t). Et en écrivant t^(1/n)=e^(1/n*ln(t) ), en utilisant le développement en série de l'exponentielle et en intervertissant somme et intégrale on obtient une formule qui fait intervenir les intégrales (entre 0 et 1) des fonctions ln(t)^p/(1+t). p = 0 donne le coefficient de 1/n (le ln(2) ) , p=1 correspond à l'intégrale J... Si on voulait poursuivre le développement asymptotique et calculer le coefficient de 1/n^3 il faudrait évaluer l'intégrale de ln(t)²/(1+t) . D'ailleurs, je me demande comment on fait !
L'intégrale de ln(t)²/(1+t) peut se calculer de la même façon que J en utilisant la série de 1/(1+t) et en faisant des intégrations par partie, sauf qu'il faudra en faire 2 pour faire disparaitre les "deux" ln. Au final on va se retrouver avec un terme en 1/n^3 au lieu du 1/n^2 en calculant J et la solution va pouvoir s'exprimer en fonction de ζ(3).
On peut même généraliser et montrer qu'on peut exprimer l'intégrale de ln(t)^n/(1+t) en fonction de ζ(n+1) en itérant les IPP ce qui permettrait de calculer autant de terme qu'on le souhaite dans ce développement.
Oui elle apparaît naturellement dans la question 3 quand on fait le développement en série entière de 1/(1+t) après avoir echoue avec les méthode de base IPP et changement de variable
Bonjour,
Moi j'ai dit :
t = exp(-s/n)
dt = -1/n * exp(-s/n) ds
Ça donne
uₙ = ∫₀¹ tⁿ / (1+tⁿ) = 1/n × ∫₀;∞ e-ˢ / (1+e-ˢ) × e(-ˢ/ⁿ)
TCD ou IPP pour trouver le ln(2)
Une fois l'IPP faite, TCD pour récupérer du
∫₀;∞ ln(1+e-ˢ)
et puis on revient entre 0 et 1 en repassant au changement de variable log pour retrouver l'intégrale J et exploiter la question précédente.
(😅je sais pas si c'est très lisible, mon truc !)
@marsupilable ton IPP tu pourrais pas la faire juste en posant t=x^n ? (J'arrive pas à voir comment tu tombes sur J)
@@CassouMathPrepa Si si c'est ça on passe sur 0;+infty par une exponentielle et puis on revient sur 0;1 en défaisant l'exponentielle, donc en tout on est bien passé à la racine n ième.
Mais juste avec la version exponentielle, l'IPP est très transparente, et on voit comment il faudrait continuer, même à des ordres supérieurs, pourvu qu'on arrive à primitiver.
@@marsupilable ah oui je vois quelle IPP maintenant. Marrant en effet 😃. Le fait d'avoir une exp, ca fait apparaitre du u'/u qu'on n'a pas avec le 1/(1+t)
je n'ai pas compris le erratum svp
l'énoncé est faux?
Arg c'était où déjà ?
r_n=O(1/n^3)
Peut être qu'il voulait dire que c'est un o(1/n^2)?
Oui il y avait une coquille. il me semble bien que je l'ai signalé dans la video
erreur de signe : J=somme( (-1)^n/n^2) pour n allant de 1 à l'infini
J'avais pas vu, vous vous êtes corrigé à la fin
La convergence dominée n est pas au programme de prepa
Si si
Si maintenant elle y est ! 😁😁
@@CassouMathPrepa aie je suis deja trop vieux alors ? 😭