Me encanta como explican de manera tan fácil y didáctica estos teoremas ta sorprendentes, gracias por maravillarnos con la teoría de conjuntos. Ya espero con ansias el siguiente video de la serie, saludos!
¡Muchas gracias! Dedicamos mucho tiempo a cada vídeo, no solo a la edición y animaciones si no también a preparar el guion y buscar la forma más clara para presentar cada tema. ¡Saludos!
La verdad es que hay muchas cosas que no se estudian con detalle en el Grado de Matemáticas. En particular la teoría de conjuntos suele estar bastante abandonada y la Historia de las Matemáticas no digamos.
El canal es una maravilla....De pensar que puede haber un apagon y que todo este caudal de conocimiento se pueda perder....Seria una tragedia...Muchas gracias por abrir estas puertas a las matemáticas qeu son una maravillosa antesala para buscar más información sobre el tema más profundamente.
Saludos desde cdmx. Mi duda es: ¿Por qué no se le da el nombre al teorema de Richard Dedekind? Él ya lo había comprobado en 1887, en lo consiguiente, fenomenal explicación .
¡Muchas gracias Javier! Imagino que por costumbre. Dado que no se descubrió que Dedekind lo había probado hasta 1908, probablemente ya se usaba en muchos textos con la denominación CSB y cambiar las costumbres cuesta mucho. ¡Saludos desde Málaga!
Tu trabajo es fino y elegante. Mi profesor demostro eso, cuando yo era estudiante , y utilizó la analogía de los huevos. Y al final dijo«por ese pinche huevo» Le tomo 2 horas en clases para explicar. Al final todos estamos impresionados. De seguro lo tuyo sera MEJOR. Saludos
Muito bom, achei genial a construção da bijeção entre o intervalo [0,1) e o próprio intervalo em produto n-cartesiano com ele mesmo [0,1)^n. Pensando que podemos substituir 1 por m qualquer, isso explode a cabeça
Estimado, ¿Conoces otras biyecciones entre el segmento y el volumen/superficie ? ¿O debemos conformarnos con la biyección creada por Canto? Muchas gracias y felicitaciones por tu gran labor de divulgador
Hola Raul, De hecho la biyección del vídeo anterior dada por Cantor no era una biyección. La biyección dada por fracciones continuas por Cantor no la conozco explícitamente. En este vídeo se prueba que existe tal biyección aunque no se de de forma explícita. Saludos
@@ArchimedesTube Muchas gracias por tu respuesta. Me has envenenado con una curiosidad incurable por entender más sobre este tema. Cuando lo vi en la universidad, no capté la profundidad del problema y sus implicancias. Muchas gracias por sacarme de mi error. Un abrazo
Yo había dicho en los comentarios el anterior video que la respuesta era la opción A, obviamente me equivoqué, muy impresionante este resultado en matemáticas. Gracias por este video y este nuevo conocimiento, saludos
Muchas gracias, Los descubrimientos de finales del siglo XIX en matemáticas pusieron en serias dificultades a la intuición. Algunos de los resultados de Cantor entre ellos. En el vídeo que estamos preparando veremos otro de estos ejemplos de construcciones que desafían completamente la intuición definiendo una curva continua que llena el cuadrado.
Pienso que se podría ahorrar la composición de las biyecciones si de partida al definir las funciones inyectivas se dividiera para dos los puntos del intervalo (incluyendo al 1) e igualmente con las coordenadas del cuadrado o cubo. ¡Saludos y gracias por el video!
En categoría de modelos se suele usar la flecha con el ángulo detrás para denottra funciones inyectivas y flechas con dos puntas para las sobreyectivas
El teorema es una preciosidad, y los ejemplos que enseñas muestran el potencial de dicho resultado, cómo con unas hipótesis tan sencillas nos dan un resultado tan potente. Aparte, me encantan los teoremas de tipo "yo te digo que existe, decirte cuál es es otro cantar". ¿El próximo directo es en domingo? En el calendario de twitch aparece en sábado.
Hola Hernan, El teorema de Cantor-Scroeder-Bernstein afirma que si existe una función inyectiva A --> B y otra función inyectiva B --> A entonces existe una biyección entre los conjuntos A y B. En este vídeo damos la demostración completa: ruclips.net/video/bwI3MSWQ-po/видео.html
@@ArchimedesTube Si, eso lo entiendo. Sin embargo las funciones biyectivas son inyectivas y sobreyectivas *al mismo tiempo*, no inyectivas hacia un lado, e inyectivas de vuelta de forma independiente.
Cómo siempre las mejores explicaciones! En España se hace geometría diferencial y sistemas dinámicos? Pienso estudiar la maestría en esos temas pero de momento solo la he encontrado en la universidad de Valparaíso Chile. Saludos desde México
@@fruss740 Hola, es más que nada para iniciarse en estos temas explica los de manera relajada (sin meter tantas herramientas pesadas), pienso que si es bueno para introducirse mientras complementas con algún otro libro como por ejemplo el de Cohen o el Hernández de Teoría de Conjuntos
Está muy bueno el video (como ya es costumbre en este canal) y siempre son muy claros y fáciles de entender, siempre hacen entender cosas que si las ves en otro lado parecen super complejas. Pero esta vez me quedó una duda, ¿por qué no se puede usar los números con infinitos 9s en vez de infinitos ceros para evitar quitar el 1 en el intervalo y los lados correspondientes en el cuadrado?
¡Muchas gracias J o a c o ! Los decimales exactos tienen dos formas de escribirse 0,500000... = 0,499999.... La función del cuadrado en el intervalo no está bien definida sin especificar cómo escribimos los decimales exactos pues, por ejemplo, el par ( 0,5 , 0,5 ) al entrelazar sus cifras daría el punto del intervalo 0,550000 , pero si vemos este par como ( 0,49999... , 0,499999... ) al entrelazar sus cifras tendríamos 0,4499999... = 0,45 que es diferente de 0,55. Tenemos que elegir una de las dos formas para que la función esté bien definida. Podríamos haber elegido escribir TODOS los decimales exactos en su forma con 9's periódicos de este modo el 1 del intervalo sería 0,9999... y los puntos del cuadrado con alguna coordenada 1, esto es, los lados derecho y superior se podrían incluir. Pero por contra el 0 del intervalo no se puede escribir como 0, algo acabado en infinitos 9's y por tanto los puntos del cuadrado con alguna coordenada 0, esto es, los lados izquierdo e inferior habría que quitarlos para que la función estuviera bien definida. Un saludo!
5:06 Tengo una duda y ¿Qué pasaría con el punto del cuadrado (0.31000...,0.74000...) le corresponde el mismo punto en el segmento que el punto que dices (0.3714,0)? 🤔 Saludos...
La función que se define en el minuto 5:06 es una función del intervalo en el cuadrado inyectiva que es simplemente incluir el intervalo en la base del cuadrado y por tanto envía el punto 0.3714 del intervalo en el par (0.3714,0) del cuadrado. La función del cuadrado en el intervalo que intercala los decimales es también inyectiva y envía el par (0.31000...,0.74000...) en el punto del intervalo 0.3714. Pero observamos que el par (0.3714,0) del cuadrado NO va a parar por esta función al punto 0,3714 si no al resultado de intercalar los decimales de 0.3714000... y 0,0000... es decir el punto del intervalo 0.30701040000....
Ahora si, puedo dormir 😴 en paz ✌️, ya platicaste la demostración de que ambos conjuntos son equipotentes. En el video anterior, yo le dije que esperaba esta demostración, más que el próximo capítulo de una novela muy buena, llamada Teresa 😜😜😜. Saludos Archimedes Tube, desde Culiacán Sinaloa México 🇲🇽. No sede qué parte es, pero aquí ya tiene un admirador. Me encantan las matemáticas puras. Debería de poner listas de reproducción de teoría de conjuntos pero la axiomatica, con los axiomas ZFC, eso lo agradecería mucho 🙏
¡Muchas gracias Jesús! Tenemos previsto hacer un vídeo dedicado a los axiomas de Zermelo-Fraenkel y otro dedicado al axioma de elección. Los prepararemos a lo largo de los próximos meses. Saludos desde Málaga. España
@@octavioamaya1842, tu también eres de Culiacán? De qué colonia eres? Si quieres te paso mi WhatsApp para conversar de temas que nos gusten, cómo estos que vemos en los videos ☺️. Mi WhatsApp es +52 6674580885
Porfiin podre retomar Algebra lineal de Stanley I Grossman🧐, se aprecia bastante,esto me ayuda mucho en mi preparacion para entrar a la Universidad...Saludos desde Sinaloa, Mexico🇲🇽🌮💪
5:20 ¿Qué pasa con los pares ordenados (0.55000... , 0.5000...) y (0.5000... , 0.55000...)? En la función de Cantor les asocia a ambos términos el valor 0.555000... Ambos son elementos distintos del cuadrado definido, pero la función les asigna el mismo valor 😦
Hola Jesús Daniel, ¡Que susto me has dado! El par (0.55000..., 0.5000.... ) tiene por imagen en el intervalo el punto 0.555000... Pero el par (0,5000... , 0.55000...) tiene por imagen en el intervalo 0,5505000.... ya que se intercalan los decimales empezando por los decimales del primer número del par ordenado. Suelo escudriñar la parte matemática de los vídeos de forma casi enfermiza pero pensé que realmente había un fallo en la inyectividad 😅😅😅. Por un momento iba a pronunciar un: ¡Lo veo y no lo creo! Un saludo
Pero espera, si existe una biyeccion entre un intervalo unidimensional y cualquier espacio n dimensional, entonces eso quiere decir que por ejemplo, cualquier punto en un espacio de 3 dimensiones puede expresarse solamente con 1 numero en vez de con 3 coordenadas, siempre que conozcas la función biyectiva que te dice la correspondencia de cada numero con su terna de números. ¿Esto se aprovecha en algún sitio?
Exacto. Sin embargo, la comunidad matemática pronto se puso manos a la obra a determinar qué condiciones debía satisfacer una función para preservar la dimensión. El problema de la anterior biyección es que no es continua. Digamos que deshace los puntos del intervalo y los reconstruye para formar el cuadrado perdiendo la continuidad. Esto llevó al desarrollo de la topología puesto que las funciones que preservan la dimensión son las funciones biyectivas continuas con inversa continuas (que se denominan homeomorfismos) aunque la demostración rigurosa de este hecho se demoró aún algunas decadas (El teorema y su demostración, publicados en 1912, se deben a Luitzen Egbertus Jan Brouwer). Pero aún hay más sorpresas. Si la clave son las funciones biyectivas y continuas ¿es posible encontrar una curva que llene un cuadrado y sea continua a costa de perder la inyectividad? La respuesta fue la curva de Peano y de ello trataremos en un vídeo próxima. ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Buah, es realmente interesante. Muchísimas gracias por tomarte el tiempo de contestar. Que ganas de ver el siguiente video! Son geniales en serio
Si voy a establecer la relacion en 3D con los decimales del número pi (0.141592653…) que esta en el intervalo [0,1] ¿cómo lo harías en ? Punto A: (0.141592653…, 0, 0) Punto B: (0.11963..., 0.4525..., 0) Punto C: (0.156..., 0.495..., 0.123...) Son 3 puntos diferentes en 3D y todos corresponderian con el decimal de pi, ¿cómo se relacionarian? Si sólo se puede con uno de los 3.
El problema que yo le veo a esta demostración es un error en la noción que va del manejo del instrumento que se usa para demostrar y que no podrías utilizar a menos que el cardinal "contable" de N sea equivalente al R (supuestamente no contable), es decir, que los diferentes alef sea falso. Te lo explico la idea de fondo: se requiere aplicar (aunque en realidad no se hace pues se asume, pero tiene el sustento de que es posible hacerlo) un procedimiento contable de pasos de asignación de puntos a pares ordenados no contable que necesariamente tendría que hacerse sino no tiene sentido la demostración, esto es un problema epistemológico del instrumento de demostración. Lo mismo sucede con la demostracion de la diagonal de Cantor. Lo primero que hay que verificar es si el instrumento que se va a utilizar para hacer la prueba funciona, es decir, si la "diagonal' funciona para lo que se quiere pero da la impresión de que ni tan siquiera la diagonal puede contener Al conjunto de los números reales (se le han escapado números reales también, los de la diagonal ) , por lo tanto ese instrumento no funciona para hacer dicha prueba, si se dijera Bueno está bien el conjunto de los números naturales no pueden abarcar al instrumento perfecto pero por lo menos por lo menos el instrumento debería contener Al conjunto de los números reales, pero el instrumento nos está fallando porque no lo contiene. Y para verificar la existencia de una función yo podria tomar un subconjunto de naturales infinitos al igual que de reales para ese instrumento y así usar tantos instrumentos y subconjuntos para los que se requieran, por lo que esa prueba no prueba nada, de LA DIAGONAL DE CANTOR no ha demostrado nada
otra demostracion alternativa para el cubo (que creo que es facilmente generalizable para n dimensiones) seria: f: [0,1]x[0,1] -> [0,1] es la bijeccion del cuadrado al intervalo demostrada que existe en el video. podemos construir una bijeccion (g) del cubo al cuadrado de la siguiente manera: para cualquier punto del cubo P = (p_x, p_y, p_z), g(P) = (f(p_x, p_y), p_z). g es injectiva (demostracion) g(P) = g(Q) (f(p_x, p_y), p_z) = (f(q_x, q_y), q_z) p_z = q_z f(p_x, p_y) = f(q_x, q_y) f es bijectiva, por lo tanto (p_x, p_y) = (q_x, q_y) p_x = q_x p_y = q_y y p_z = q_z por lo tanto P = Q asi que g(P) = g(Q) implica P = Q para cualquier P o Q en el cubo, por lo tanto g es injectiva g es surjectiva (demostracion) dejemos que A = (a_x, a_y) este en el cuadrado procederemos a construir un punto P en el cubo de tal manera que g(P) = A f es surjectiva, asi que existe un punto B = (b_x, b_y) en el cuadrado de tal manera que f(B) = a_x dejemos que P = (b_x, b_y, a_y) por lo tanto g(P) = (f(b_x, b_y), a_y) = (f(B), a_y) = (a_x, a_y) = A asi que para cada punto A en el cuadrado, existe un punto P en el cubo, de tal manera que g(P) = A g es injectiva y surjectiva por lo tanto, g es bijectiva por lo tanto |Cubo| = |Cuadrado| pero |Cuadrado| = |Intervalo| por lo tanto |Cubo| = |Intervalo| QED tengo la demostracion para n-dimensiones pero no me queda mas comentario para escribirla ;)
Es una demostración sencilla y elegante. De forma general puede probarse que si A y B son dos conjuntos no vacíos y uno de ellos es infinito entonces | A × B | = max { | A | , | B | } Saludos
Exacto. Sin embargo, la comunidad matemática pronto se puso manos a la obra a determinar qué condiciones debía satisfacer una función para preservar la dimensión. El problema de la anterior biyección es que no es continua. Digamos que deshace los puntos del intervalo y los reconstruye para formar el cuadrado perdiendo la continuidad. Esto llevó al desarrollo de la topología puesto que las funciones que preservan la dimensión son las funciones biyectivas continuas con inversa continuas (que se denominan homeomorfismos) aunque la demostración rigurosa de este hecho se demoró aún algunas decadas (El teorema y su demostración, publicados en 1912, se deben a Luitzen Egbertus Jan Brouwer). Pero aún hay más sorpresas. Si la clave son las funciones biyectivas y continuas ¿es posible encontrar una curva que llene un cuadrado y sea continua a costa de perder la inyectividad? La respuesta fue la curva de Peano y de ello trataremos en un vídeo próxima. ¡Saludos!
Me quedo la duda de que pasaría con el último ejemplo del vídeo anterior, en el cual se usaban dos puntos en el intervalo que daban el mismo punto en el cuadrado, estos eran: 0,45090909... Y 0,54909090... Alguien me explica cómo se soluciona en ese caso?
Hola Rocco, Precisamente por que esa función del intervalo no era inyectiva la biyección de Cantor falla. Pero podemos tomar la inclusión del intervalo en uno de los lados del cuadrado que SI es inyectiva. La función de Cantor del cuadrado en el intervalo NO es sobreyectiva pero si inyectiva si nos ponemos de acuerdo en evitar los 9 periódico. De este modo tenemos una función inyectiva (la inclusión) del intervalo en el cuadrado y una función inyectiva (la de Cantor evitando 9's periódicos) del cuadrado en el intervalo. Por el Teorema de Cantor-Schoröder-Bernstein existe una biyección entre ambos conjuntos.
@@ArchimedesTube gracias, si está claro, solo me hice un lío en la cabeza con este video y el anterior, pero ya me aclare. Gracias!! PD: la forma de cantor tenía problemas con los 0,9999999... Pero era más divertida que simplemente incluir el intervalo en el eje x del cuadrado y asignarle cero al valor y. Cómo curiosidad, cantor pudo ver la demostración de su teorema o murió antes? como pasa con muchos matemáticos...
Es una pregunta muy buena. El concepto de función es bastante tardío, empezó a definirse a finales del siglo XVII en relación con el estudio del cálculo infinitesimal. La idea de función es modelar muchos procesos naturales en los que para ciertos valores de un conjunto se asocian valores de otro conjunto. Es como una máquina en la que se introduce un elemento que se transforma en otro. De este modo a cada valor le corresponderá por medio de dicha función otro valor que es único. La definición de función es una abstracción y de hecho puede eliminarse la condición de unicidad para los valores "x" y tendríamos otro objeto matemático, una correspondencia o función multivaluada. Las funciones inyectivas permiten definir funciones inversas no así las funciones no inyectivas. De este modo podemos ver la inversa de una función no inyectiva como una de estas funciones multivaluadas. Por ejemplo, la función dada por y = x^2 cuya gráfica es una parábola tendría como "función inversa" x= +- raíz de ( y ) que asocia a cada valor de y dos valores de x. El hecho de tratarse de una idea tan abstracta hace que el aprendizaje de los conceptos relacionados con funciones son más complicados de asimilar que otras áreas de las matemáticas. ¡No en vano a la humanidad también le costó asimilarlo!
Y luego es tan satisfactorio, yo durante la carrera, hubo problemas en los que me tardé más. Recuerdo una electiva de Teoría de Conjuntos (era el único que la cursaba), el examen final, fue una lista de 15 ejercicios para resolver 5 y entregarlos en 3 meses, bueno, logré hacer sólo 3 y los entregué en 5 meses jajaja
@@radiohead18832literalmente en mi universidad (Universidad de Los Andes) es un ejercicio de la última tarea del primer curso de matemáticas que se llama matemática estructural (matemáticas discretas).
sera que echo a perder toda esta teoria si dejo la misma medidas de 0 a 1 curvo todos los segmentos de recta Ceria que un 3d curvo Atte jhonny Angarita
![TEORÍA de la DIMENSIÓN [El Origen]](http://i.ytimg.com/vi/0dRFMnKXxTc/mqdefault.jpg)
Estos videos son increíbles, me aclaran muchos aspectos que eran totalmente abstractos.
🤣🤣🤣 Yo he estado mucho tiempo sin conocer la demostración por pereza pero para hacer el vídeo próximo la he tenido que prepara a conciencia
gracias por divulgar fundamentos de las matemáticas, algo que creo muy necesario y sumamente interesante.
¡Muchas gracias Antonio!
Buenísimo el video, que claridad en la explicación de los conceptos! Quedo atento para la demostración del teorema de Cantor-Berstein-Schroeder.
¡Gracias Jorge! El vídeo próximo con la demostración está casi terminado. La semana próxima estará listo para publicar ¡Saludos!
¡Os ha quedado muy chulo y muy claro! Bravo 👏 Con ganas de ver el vídeo de la demostración 💪
¡Muchas gracias! Estamos terminando algunos detalles y la semana próxima lo tendremos listo
Me encanta como explican de manera tan fácil y didáctica estos teoremas ta sorprendentes, gracias por maravillarnos con la teoría de conjuntos. Ya espero con ansias el siguiente video de la serie, saludos!
¡Muchas gracias Ricardo! Ya tenemos el vídeo casi terminado. Creemos que mañana lo podremos publicar ya ¡Saludos!
Qué barbaridad de vídeo (tanto este como el anterior). Me ha ayudado a entender el teorema a la perfección. Muchas gracias!!!
¡Muchas gracias! Dedicamos mucho tiempo a cada vídeo, no solo a la edición y animaciones si no también a preparar el guion y buscar la forma más clara para presentar cada tema. ¡Saludos!
Todo lo que no pude ver en mi carrera ahora lo estoy retomando, muchas gracias 😌
La verdad es que hay muchas cosas que no se estudian con detalle en el Grado de Matemáticas. En particular la teoría de conjuntos suele estar bastante abandonada y la Historia de las Matemáticas no digamos.
Que videos más maravillosos. Felicitaciones, una joya de enseñanza.
¡Muchísimas gracias Francisco!
Llevaba mucho tiempo buscando esa función, gracias
De nada Alberto! Es una alegría ser de ayuda
Cosas que te vuelan la cabeza, impresionante!
🤣🤣🤣 ¡Gracias! 🤯
El canal es una maravilla....De pensar que puede haber un apagon y que todo este caudal de conocimiento se pueda perder....Seria una tragedia...Muchas gracias por abrir estas puertas a las matemáticas qeu son una maravillosa antesala para buscar más información sobre el tema más profundamente.
¡Muchas gracias por el comentario! 😊 Esperemos que no llegué ese apagón
Que video tan genial, gracias por la constancia, me hacen pasar una tarde muy agradable. un abrazo
¡Muchas gracias Miguel Angel!
esta brillante!, como para verlo varias veces como si fuera la música que te gusta...
¡Muchas gracias Juan!
Qué genialidad! Esperando ansioso el video de la demostración.
Esperamos tenerlo listo la semana próxima 😃
Ya quiero ver la prueba, es hermosa
El vídeo está casi listo. La semana próxima sin falta publicaremos la continuación con una nueva aplicación y la demostración del teorema.
Saludos desde cdmx. Mi duda es: ¿Por qué no se le da el nombre al teorema de Richard Dedekind? Él ya lo había comprobado en 1887, en lo consiguiente, fenomenal explicación .
¡Muchas gracias Javier!
Imagino que por costumbre. Dado que no se descubrió que Dedekind lo había probado hasta 1908, probablemente ya se usaba en muchos textos con la denominación CSB y cambiar las costumbres cuesta mucho.
¡Saludos desde Málaga!
Tu trabajo es fino y elegante. Mi profesor demostro eso, cuando yo era estudiante , y utilizó la analogía de los huevos. Y al final dijo«por ese pinche huevo» Le tomo 2 horas en clases para explicar. Al final todos estamos impresionados. De seguro lo tuyo sera MEJOR.
Saludos
¡Bravo!¡Bravo!¡Bravo! (me paré para aplaudir) ¡Qué tal demostración!
Muchas gracias! 😊
Magia? no , Arhimedes tube. Ya Espero con ansias locas la demostración. Muchas gracias
¡Muchas gracias! El vídeo con la demostración está bastante avanzado y esperamos tenerlo listo para publicar la semana próxima.
¡Saludos!
Muy muy bueno! Lo esperaba! Vamos con los que siguen AT. ;)
Gracias Cesar! Esta semana publicaremos la demostración del teorema. ¡Un saludo!
¡Excelente!!!!!!!!!!... saludos desde ARG.
¡Muchísimas gracias! Saludos desde España
3:10 Cantor: Solo hace falta enunciar el teorema, ya demostrarlo es avaricia.
Muito bom, achei genial a construção da bijeção entre o intervalo [0,1) e o próprio intervalo em produto n-cartesiano com ele mesmo [0,1)^n. Pensando que podemos substituir 1 por m qualquer, isso explode a cabeça
Estimado, ¿Conoces otras biyecciones entre el segmento y el volumen/superficie ?
¿O debemos conformarnos con la biyección creada por Canto?
Muchas gracias y felicitaciones por tu gran labor de divulgador
Hola Raul,
De hecho la biyección del vídeo anterior dada por Cantor no era una biyección. La biyección dada por fracciones continuas por Cantor no la conozco explícitamente. En este vídeo se prueba que existe tal biyección aunque no se de de forma explícita.
Saludos
@@ArchimedesTube Muchas gracias por tu respuesta.
Me has envenenado con una curiosidad incurable por entender más sobre este tema.
Cuando lo vi en la universidad, no capté la profundidad del problema y sus implicancias.
Muchas gracias por sacarme de mi error.
Un abrazo
Yo había dicho en los comentarios el anterior video que la respuesta era la opción A, obviamente me equivoqué, muy impresionante este resultado en matemáticas.
Gracias por este video y este nuevo conocimiento, saludos
Muchas gracias,
Los descubrimientos de finales del siglo XIX en matemáticas pusieron en serias dificultades a la intuición. Algunos de los resultados de Cantor entre ellos.
En el vídeo que estamos preparando veremos otro de estos ejemplos de construcciones que desafían completamente la intuición definiendo una curva continua que llena el cuadrado.
@@ArchimedesTube conjunto de cantor también es algo muy raro, yo ya conocía la Antinomia de Rossel pero esto último no, gracias y Saludos
Wow ¡Impresionante! 🤯
Pienso que se podría ahorrar la composición de las biyecciones si de partida al definir las funciones inyectivas se dividiera para dos los puntos del intervalo (incluyendo al 1) e igualmente con las coordenadas del cuadrado o cubo. ¡Saludos y gracias por el video!
Esa flecha especial que utilizas para relacionar conjuntos sd utiliza cuando las funciones son inyectivas?
En categoría de modelos se suele usar la flecha con el ángulo detrás para denottra funciones inyectivas y flechas con dos puntas para las sobreyectivas
El teorema es una preciosidad, y los ejemplos que enseñas muestran el potencial de dicho resultado, cómo con unas hipótesis tan sencillas nos dan un resultado tan potente. Aparte, me encantan los teoremas de tipo "yo te digo que existe, decirte cuál es es otro cantar".
¿El próximo directo es en domingo? En el calendario de twitch aparece en sábado.
Muchas gracias David, por el comentario, pero sobre todo por recordarnos lo del TWITCH. ¡Ya lo hemos cambiado! El sábado toca torneo de ajedrez 😀.
Una biyeccion puede desprenderse de dos funciones inyectivas reciprocas diferentes?
Hola Hernan,
El teorema de Cantor-Scroeder-Bernstein afirma que si existe una función inyectiva A --> B y otra función inyectiva B --> A entonces existe una biyección entre los conjuntos A y B. En este vídeo damos la demostración completa:
ruclips.net/video/bwI3MSWQ-po/видео.html
@@ArchimedesTube Si, eso lo entiendo. Sin embargo las funciones biyectivas son inyectivas y sobreyectivas *al mismo tiempo*, no inyectivas hacia un lado, e inyectivas de vuelta de forma independiente.
Cómo siempre las mejores explicaciones!
En España se hace geometría diferencial y sistemas dinámicos? Pienso estudiar la maestría en esos temas pero de momento solo la he encontrado en la universidad de Valparaíso Chile.
Saludos desde México
Es recomendable La Teoría Intuitiva de Conjuntos de Paul Halmos?
@@fruss740 Hola, es más que nada para iniciarse en estos temas explica los de manera relajada (sin meter tantas herramientas pesadas), pienso que si es bueno para introducirse mientras complementas con algún otro libro como por ejemplo el de Cohen o el Hernández de Teoría de Conjuntos
En la Universidad Complutense de Madrid tienen buenos grupos de investigación en sistemas dinámicos.
@@fruss740 Nosotros lo acabamos de comprar para ver cómo está pero tiene muy buena pinta
@@LuisContreras-zr7xc Muchas gracias!!
Muy buen video como siempre.
Gracias Luis! 😊
Gracias por tu trabajo!!!😎😃....tienes algún tipo de top de libros para aprender matemáticas? xk estos temas son interesantes y complejos a la par ;)🤘
Sorpredente 👀👏
Exelente video
¡Gracias Oscar!
Está muy bueno el video (como ya es costumbre en este canal) y siempre son muy claros y fáciles de entender, siempre hacen entender cosas que si las ves en otro lado parecen super complejas.
Pero esta vez me quedó una duda, ¿por qué no se puede usar los números con infinitos 9s en vez de infinitos ceros para evitar quitar el 1 en el intervalo y los lados correspondientes en el cuadrado?
¡Muchas gracias J o a c o !
Los decimales exactos tienen dos formas de escribirse 0,500000... = 0,499999.... La función del cuadrado en el intervalo no está bien definida sin especificar cómo escribimos los decimales exactos pues, por ejemplo, el par ( 0,5 , 0,5 ) al entrelazar sus cifras daría el punto del intervalo 0,550000 , pero si vemos este par como ( 0,49999... , 0,499999... ) al entrelazar sus cifras tendríamos 0,4499999... = 0,45 que es diferente de 0,55.
Tenemos que elegir una de las dos formas para que la función esté bien definida. Podríamos haber elegido escribir TODOS los decimales exactos en su forma con 9's periódicos de este modo el 1 del intervalo sería 0,9999... y los puntos del cuadrado con alguna coordenada 1, esto es, los lados derecho y superior se podrían incluir. Pero por contra el 0 del intervalo no se puede escribir como 0, algo acabado en infinitos 9's y por tanto los puntos del cuadrado con alguna coordenada 0, esto es, los lados izquierdo e inferior habría que quitarlos para que la función estuviera bien definida.
Un saludo!
Aah cierto, como no me di cuenta
Buen video, como siempre.
¡Gracias Kenet!
5:06 Tengo una duda y ¿Qué pasaría con el punto del cuadrado (0.31000...,0.74000...) le corresponde el mismo punto en el segmento que el punto que dices (0.3714,0)? 🤔 Saludos...
La función que se define en el minuto 5:06 es una función del intervalo en el cuadrado inyectiva que es simplemente incluir el intervalo en la base del cuadrado y por tanto envía el punto 0.3714 del intervalo en el par (0.3714,0) del cuadrado.
La función del cuadrado en el intervalo que intercala los decimales es también inyectiva y envía el par (0.31000...,0.74000...) en el punto del intervalo 0.3714. Pero observamos que el par (0.3714,0) del cuadrado NO va a parar por esta función al punto 0,3714 si no al resultado de intercalar los decimales de 0.3714000... y 0,0000... es decir el punto del intervalo 0.30701040000....
Ahora si, puedo dormir 😴 en paz ✌️, ya platicaste la demostración de que ambos conjuntos son equipotentes. En el video anterior, yo le dije que esperaba esta demostración, más que el próximo capítulo de una novela muy buena, llamada Teresa 😜😜😜. Saludos Archimedes Tube, desde Culiacán Sinaloa México 🇲🇽. No sede qué parte es, pero aquí ya tiene un admirador. Me encantan las matemáticas puras. Debería de poner listas de reproducción de teoría de conjuntos pero la axiomatica, con los axiomas ZFC, eso lo agradecería mucho 🙏
¡Muchas gracias Jesús! Tenemos previsto hacer un vídeo dedicado a los axiomas de Zermelo-Fraenkel y otro dedicado al axioma de elección. Los prepararemos a lo largo de los próximos meses.
Saludos desde Málaga. España
Compañero culichi
@@octavioamaya1842, tu también eres de Culiacán? De qué colonia eres? Si quieres te paso mi WhatsApp para conversar de temas que nos gusten, cómo estos que vemos en los videos ☺️. Mi WhatsApp es +52 6674580885
Excelente!
¡Muchas gracias Victor!
Porfiin podre retomar Algebra lineal de Stanley I Grossman🧐, se aprecia bastante,esto me ayuda mucho en mi preparacion para entrar a la Universidad...Saludos desde Sinaloa, Mexico🇲🇽🌮💪
¡Gracias por el comentario! Saludos desde Málaga, España
5:20 ¿Qué pasa con los pares ordenados
(0.55000... , 0.5000...) y (0.5000... , 0.55000...)? En la función de Cantor les asocia a ambos términos el valor 0.555000...
Ambos son elementos distintos del cuadrado definido, pero la función les asigna el mismo valor 😦
Hola Jesús Daniel,
¡Que susto me has dado!
El par (0.55000..., 0.5000.... ) tiene por imagen en el intervalo el punto 0.555000...
Pero el par (0,5000... , 0.55000...) tiene por imagen en el intervalo 0,5505000....
ya que se intercalan los decimales empezando por los decimales del primer número del par ordenado.
Suelo escudriñar la parte matemática de los vídeos de forma casi enfermiza pero pensé que realmente había un fallo en la inyectividad 😅😅😅.
Por un momento iba a pronunciar un: ¡Lo veo y no lo creo!
Un saludo
@@ArchimedesTube gracias por la aclaración, para ser honesto el susto nos lo llevamos los dos 😅
Pero espera, si existe una biyeccion entre un intervalo unidimensional y cualquier espacio n dimensional, entonces eso quiere decir que por ejemplo, cualquier punto en un espacio de 3 dimensiones puede expresarse solamente con 1 numero en vez de con 3 coordenadas, siempre que conozcas la función biyectiva que te dice la correspondencia de cada numero con su terna de números. ¿Esto se aprovecha en algún sitio?
Exacto. Sin embargo, la comunidad matemática pronto se puso manos a la obra a determinar qué condiciones debía satisfacer una función para preservar la dimensión. El problema de la anterior biyección es que no es continua. Digamos que deshace los puntos del intervalo y los reconstruye para formar el cuadrado perdiendo la continuidad. Esto llevó al desarrollo de la topología puesto que las funciones que preservan la dimensión son las funciones biyectivas continuas con inversa continuas (que se denominan homeomorfismos) aunque la demostración rigurosa de este hecho se demoró aún algunas decadas (El teorema y su demostración, publicados en 1912, se deben a Luitzen Egbertus Jan Brouwer).
Pero aún hay más sorpresas. Si la clave son las funciones biyectivas y continuas ¿es posible encontrar una curva que llene un cuadrado y sea continua a costa de perder la inyectividad?
La respuesta fue la curva de Peano y de ello trataremos en un vídeo próxima.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube Buah, es realmente interesante. Muchísimas gracias por tomarte el tiempo de contestar. Que ganas de ver el siguiente video! Son geniales en serio
Estos vídeos son más ilustrativos que las clases en línea
¡Gracias Alberto!
Si voy a establecer la relacion en 3D con los decimales del número pi (0.141592653…) que esta en el intervalo [0,1] ¿cómo lo harías en ?
Punto A: (0.141592653…, 0, 0)
Punto B: (0.11963..., 0.4525..., 0)
Punto C: (0.156..., 0.495..., 0.123...)
Son 3 puntos diferentes en 3D y todos corresponderian con el decimal de pi, ¿cómo se relacionarian? Si sólo se puede con uno de los 3.
Interesante!
Gracias! 😊
Cantor me parece fascinante
El problema que yo le veo a esta demostración es un error en la noción que va del manejo del instrumento que se usa para demostrar y que no podrías utilizar a menos que el cardinal "contable" de N sea equivalente al R (supuestamente no contable), es decir, que los diferentes alef sea falso. Te lo explico la idea de fondo:
se requiere aplicar (aunque en realidad no se hace pues se asume, pero tiene el sustento de que es posible hacerlo) un procedimiento contable de pasos de asignación de puntos a pares ordenados no contable que necesariamente tendría que hacerse sino no tiene sentido la demostración, esto es un problema epistemológico del instrumento de demostración.
Lo mismo sucede con la demostracion de la diagonal de Cantor. Lo primero que hay que verificar es si el instrumento que se va a utilizar para hacer la prueba funciona, es decir, si la "diagonal' funciona para lo que se quiere pero da la impresión de que ni tan siquiera la diagonal puede contener Al conjunto de los números reales (se le han escapado números reales también, los de la diagonal ) , por lo tanto ese instrumento no funciona para hacer dicha prueba, si se dijera Bueno está bien el conjunto de los números naturales no pueden abarcar al instrumento perfecto pero por lo menos por lo menos el instrumento debería contener Al conjunto de los números reales, pero el instrumento nos está fallando porque no lo contiene. Y para verificar la existencia de una función yo podria tomar un subconjunto de naturales infinitos al igual que de reales para ese instrumento y así usar tantos instrumentos y subconjuntos para los que se requieran, por lo que esa prueba no prueba nada, de LA DIAGONAL DE CANTOR no ha demostrado nada
otra demostracion alternativa para el cubo (que creo que es facilmente generalizable para n dimensiones) seria:
f: [0,1]x[0,1] -> [0,1] es la bijeccion del cuadrado al intervalo demostrada que existe en el video.
podemos construir una bijeccion (g) del cubo al cuadrado de la siguiente manera:
para cualquier punto del cubo P = (p_x, p_y, p_z), g(P) = (f(p_x, p_y), p_z).
g es injectiva
(demostracion)
g(P) = g(Q)
(f(p_x, p_y), p_z) = (f(q_x, q_y), q_z)
p_z = q_z
f(p_x, p_y) = f(q_x, q_y)
f es bijectiva, por lo tanto (p_x, p_y) = (q_x, q_y)
p_x = q_x
p_y = q_y
y
p_z = q_z
por lo tanto P = Q
asi que g(P) = g(Q) implica P = Q para cualquier P o Q en el cubo, por lo tanto g es injectiva
g es surjectiva
(demostracion)
dejemos que A = (a_x, a_y) este en el cuadrado
procederemos a construir un punto P en el cubo de tal manera que g(P) = A
f es surjectiva, asi que existe un punto B = (b_x, b_y) en el cuadrado de tal manera que f(B) = a_x
dejemos que P = (b_x, b_y, a_y)
por lo tanto g(P) = (f(b_x, b_y), a_y) = (f(B), a_y) = (a_x, a_y) = A
asi que para cada punto A en el cuadrado, existe un punto P en el cubo, de tal manera que g(P) = A
g es injectiva y surjectiva por lo tanto, g es bijectiva
por lo tanto |Cubo| = |Cuadrado|
pero |Cuadrado| = |Intervalo|
por lo tanto |Cubo| = |Intervalo|
QED
tengo la demostracion para n-dimensiones pero no me queda mas comentario para escribirla ;)
Es una demostración sencilla y elegante.
De forma general puede probarse que si A y B son dos conjuntos no vacíos y uno de ellos es infinito entonces | A × B | = max { | A | , | B | }
Saludos
... más ancioso por ver el siguiente capítulo que en una serie de Netflix.
🤣🤣🤣
Mi duda es si existen 3 dimensiones, parece que con una puedo identificar un punto en el espacio.
Exacto. Sin embargo, la comunidad matemática pronto se puso manos a la obra a determinar qué condiciones debía satisfacer una función para preservar la dimensión. El problema de la anterior biyección es que no es continua. Digamos que deshace los puntos del intervalo y los reconstruye para formar el cuadrado perdiendo la continuidad. Esto llevó al desarrollo de la topología puesto que las funciones que preservan la dimensión son las funciones biyectivas continuas con inversa continuas (que se denominan homeomorfismos) aunque la demostración rigurosa de este hecho se demoró aún algunas decadas (El teorema y su demostración, publicados en 1912, se deben a Luitzen Egbertus Jan Brouwer).
Pero aún hay más sorpresas. Si la clave son las funciones biyectivas y continuas ¿es posible encontrar una curva que llene un cuadrado y sea continua a costa de perder la inyectividad?
La respuesta fue la curva de Peano y de ello trataremos en un vídeo próxima.
¡Saludos!
Me quedo la duda de que pasaría con el último ejemplo del vídeo anterior, en el cual se usaban dos puntos en el intervalo que daban el mismo punto en el cuadrado, estos eran: 0,45090909... Y 0,54909090... Alguien me explica cómo se soluciona en ese caso?
Hola Rocco,
Precisamente por que esa función del intervalo no era inyectiva la biyección de Cantor falla. Pero podemos tomar la inclusión del intervalo en uno de los lados del cuadrado que SI es inyectiva. La función de Cantor del cuadrado en el intervalo NO es sobreyectiva pero si inyectiva si nos ponemos de acuerdo en evitar los 9 periódico. De este modo tenemos una función inyectiva (la inclusión) del intervalo en el cuadrado y una función inyectiva (la de Cantor evitando 9's periódicos) del cuadrado en el intervalo. Por el Teorema de Cantor-Schoröder-Bernstein existe una biyección entre ambos conjuntos.
@@ArchimedesTube gracias, si está claro, solo me hice un lío en la cabeza con este video y el anterior, pero ya me aclare. Gracias!!
PD: la forma de cantor tenía problemas con los 0,9999999... Pero era más divertida que simplemente incluir el intervalo en el eje x del cuadrado y asignarle cero al valor y.
Cómo curiosidad, cantor pudo ver la demostración de su teorema o murió antes? como pasa con muchos matemáticos...
Estaba viendo la última transmisión de twitch... Y vine corriendo
Esperamos que te guste. Esta semana TWITCH es el domingo. El sábado tengo un torneo de ajedrez.
Excelente video como siempre!!!!
Saludos desde Colombia! 🇨🇴
¡Gracias! Saludos desde España
Conclusión. En matemáticas un punto es importante. Demostración: Si tienes un 5 apruebas , si tienes un 4 suspendes.
Yo tengo una duda 🤔🤔
Quienes y por que definieron que en una funcion, "y" puede tener tantos "x" como quiera, paro en cambio "x" no puede
Es una pregunta muy buena.
El concepto de función es bastante tardío, empezó a definirse a finales del siglo XVII en relación con el estudio del cálculo infinitesimal. La idea de función es modelar muchos procesos naturales en los que para ciertos valores de un conjunto se asocian valores de otro conjunto. Es como una máquina en la que se introduce un elemento que se transforma en otro.
De este modo a cada valor le corresponderá por medio de dicha función otro valor que es único.
La definición de función es una abstracción y de hecho puede eliminarse la condición de unicidad para los valores "x" y tendríamos otro objeto matemático, una correspondencia o función multivaluada.
Las funciones inyectivas permiten definir funciones inversas no así las funciones no inyectivas.
De este modo podemos ver la inversa de una función no inyectiva como una de estas funciones multivaluadas. Por ejemplo, la función dada por y = x^2 cuya gráfica es una parábola tendría como "función inversa" x= +- raíz de ( y ) que asocia a cada valor de y dos valores de x.
El hecho de tratarse de una idea tan abstracta hace que el aprendizaje de los conceptos relacionados con funciones son más complicados de asimilar que otras áreas de las matemáticas. ¡No en vano a la humanidad también le costó asimilarlo!
@@ArchimedesTube gracias, muy buenos videos, siempre se aprende algo nuevo en este canal
Lo veo y no lo creo. Que elegante la demostracion del video
¡Muchas gracias Leonel!
En todo youtube no hay nada parecido👍♥️
Yo tuve que demostrar el teorema de shroeder berenstein, y me demoré 3 días haciendo jajajaja
¿Cómo se haceeee jajja?
Claro te creo.
Y luego es tan satisfactorio, yo durante la carrera, hubo problemas en los que me tardé más.
Recuerdo una electiva de Teoría de Conjuntos (era el único que la cursaba), el examen final, fue una lista de 15 ejercicios para resolver 5 y entregarlos en 3 meses, bueno, logré hacer sólo 3 y los entregué en 5 meses jajaja
@@radiohead18832literalmente en mi universidad (Universidad de Los Andes) es un ejercicio de la última tarea del primer curso de matemáticas que se llama matemática estructural (matemáticas discretas).
Lo que yo habia encontrado con los numeros primos: N^2 y N tienen el mismo cardinal
sera que echo a perder toda esta teoria si dejo la misma medidas de 0 a 1 curvo todos los segmentos de recta
Ceria que un 3d curvo
Atte jhonny Angarita
Implacable.
¡Gracias Daniel!
esto lo odio me parece algocompletamente aberrante basicamente R1=R2=R3 basicaente todo nuestro mundo puede ser una linea bien doblada
sera que a mi no me ponen un comentario porque no
hago nigun alago
Atte jhonny
Muy bueno 👌
Gracias! 😊