Задачка не только имеет физический смысл, но и применение в народном хозяйстве. Допустим, народное хозяйство одолевают комары (или саранча) с однородной плотностью распределения в воздухе. Тогда к снаряду приделываем лазер, который светит точно вниз и жгёть комаров, и стреляем. Задачка именно о том, как пожечь наибольшее число комаров за один выстрел.
по твоему комары распределены одинаково в плоскости? комары это бесформенная туча в 3-х координатах, если ты хочешь их поджечь тебе нужен термобарический заряд, который распыляет аэрозоль и тут же поджигает ее, в итоге получаем объемный взрыв который поджигает комаров
в народном хозяйстве действительно применяют задачи с интегралами, для определения площади криволинейной трапеции, например считают площадь полей у которых неправильная форма
Это задача может быть применена только при сплаве физики и математики... Но сейчас за понимание таких задачек не платят. Если скорость снаряда может достигать 11 км в секунду то куда можно попасть этим снарядом меняя угол наклона?
@@НиколайАртемёнко-х7х если не будет атмосферы то при первой космической получается круговая орбита и снаряд прилетит обратно к месту выстрела, если выстрелить меньше первой космической, то прилететь на место выстрела ему может помешать поверхность земли в которую он ударит, если бы Земли была нематериальной, а вся масса сидела бы в точке в центре, то на любой скорости снаряда ниже второй космической (хоть 1 м/сек) снаряд сделает эллипс (при 1 космической - круг) и вернется в место выстрела (это уравнения Ньютона дают), если Земля была бы нематериальной, но масса была бы распределена по шарику, то тут надо уже думать :) поскольку снаряд пойдет под землю, а там его уже будет тянуть в разные стороны P.S. на счет метров в секунду меньше 1 космической не знаю, надо считать аккуратно, но можно сделать ситуацию, что пушка стоит на некоторой высоте, стреляет, снаряд делает эллипс вокруг Земли приближаясь к поверхности и затем попадает в место выстрела (в общем все объекты в солнечной системе так и двигаются)
@@НиколайАртемёнко-х7х «А если сделать меньше первой космической?» При прохождении атмосферы скорость и сама сделается меньше первой космической. Потому из пушки на Луну и не стреляют.
Красиво. Долго думал о физическом смысле такого интеграла. Если поделить x на vₓ (=const), можно перейти к системе координат со временем в качестве оси абсцисс; если домножить y на mg (=const), по оси ординат будет потенциальная энергия снаряда. Тогда получается интеграл энергии по времени, размерность величины ML²T⁻¹. Ничего похожего на ум не приходит. 😉
Интеграл от энергии по времени - это действие. Измеряется в тех же единицах, что и постоянная Планка. Но действие только от потенциальной энергии физического смысла не имеет.
А зачем куда-то переходить и что-то на что-то домножать? 😮 Просто получается произведение координаты на координату, т.е. площадь. Но физического смысла в этом нет 😡
Длина по x от -а до а это Vx*T то есть Т*корень из двух кинетических энергий от Vx делить на массу. А высота h это потенциальная энергия mgh произошедшая из кинетической m(Vy)^2/2 , таким образом в площадь входит произведение той части энергии что перешла в потенциальную на ту что не перешла, с корнями и коэффициентами) ну это если очень надо найти смысл) ну а поскольку обе энергии в сумме равны начальной кинетической, то произведение их частей максимально когда части равны.
Площадь параболы прям просится найти по лемме Симпсона. Ввод радиус-векторов не понятен - если просто можно уравненями движения обойтись. Из которых найти и время достижения максимальной высоты. Еще вариант найти время движения до маскимум, воспользоватся улолвием у=0 для крайних точек параболы и ее симметрией: y (t=T) = Vy·T - gT²/2 = 0 => T=0, T = 2Vy / g t0= T/2 = Vy/g. Альтернативный вариант, чтоб не заморачиваться с уравнениями движения: кинетическая и потенциальная энергия в нижней точке: K = mv² / 2 = m(v²·cos²α + v²·sin²α) / 2, П = 0 кинетическая и потенциальная энергия в верхней точке: K = mv² / 2 = mv²·cos²α / 2, П = mgh По закону сохранения энергии: m(v²·cos²α + v²·sin²α) / 2 = mv²·cos²α / 2 + mgh v²·sin²α / 2 = gh => h = v²·sin²α / 2g Уравнение параболы: y = h·(1 - x²/a²) Касаткльная к параболе: y' = - h·2x / a² При x = -a: y' =tg α= - h·2·(-a) / a² = 2h/a => a = 2h / tg α A = 4/3 ah = 4/3 2h / tg α ·h = 8/3 h² / tg α = 8/12g²· v⁴·sin⁴α / tg α .
Я слегка не понял как вы посчитали интеграл? u-u³/3 (1-0) Подставляем 1 получаем 1-1/3=2/3 Поставляем 0 получаем 0-0=0 2/3-0=2/3 И потом умножаем на 2 Получаем 4/3 разве нет? Ну то есть ответ верный, но механику не понял
Воспользовался тем, что определённый интеграл от единицы - это длина промежутка интегрирования (при условии, что нижний предел интегрирования не превышает верхний). Поэтому сразу получаем: наш интеграл равен 1 минус интеграл от u^2, который находим уже по формуле Ньютона-Лейбница.
@@СвободныйМатематик Пожалуйста! Добавлю ещё, что утверждение насчёт единицы, стоящей под интегралом, можно обобщить на разные виды интегралов. Например, двойной интеграл от единицы по плоской фигуре - это площадь данной фигуры, тройной интеграл от единицы по пространственному телу - объём этого тела, криволинейный интеграл 1-го рода по кривой - длина этой кривой и т. д.
Решали в физ-мат школе в 9 кл похожую задачу. Найти угол при котором достигается максимальная дальность стрельбы. Получали 60 и 30 град. Эта задачка поинтереснее. Только кроме академического смысла, другого не могу придумать.
При фиксированной начальной скорости максимальная дальность стрельбы достигается при угле 45°. Даже из моих выкладок видно, что дальность пропорциональна произведению sin(α)cos(α), которое достигает максимума в точке α=π/4. Да, особого смысла не придумаешь, согласен.
Как-то уж больно мудрено, даже интегралы есть. Можно значительно проще. Очевидно(*), что площадь под параболой пропорциональна произведению a*h (если пользоваться вашими обозначениями). Движение в вертикальной проекции вверх равноускорено (-g) и продолжается t=Vsin(x)/g секунд (до остановки в вертикальной проекции). Отсюда h=Vsin(x)*t = Vsin(x)*Vsin(x)/g, a = Vcos(x)*t = Vcos(x)*Vsin(x)/g ah = V^4*sin3(x)*cos(x)/g^2 убираем все константы и осталось найти a для максимума sin3(x)*cos(x) Константы игнорируем sin3(x)*cos(x) => sin2(x)*sin(2x) => (1-cos(2x))sin(2x) => sin(2x) - sin(4x)/2 Придется взять производную: 2cos(2x) - 2cos(4x) = 0 => cos(2x)=cos(4x), очевидно(**), что 2x = 2pi/3, т.е. x = pi/3 (*) Если записать площадь под параболой как функцию от двух переменных, то S(a,h) = a*h*S(1,1) ввиду линейного маcштабирования графика по осям. Чему точно равно S(1,1) нам не интересно, т.к. это константа. (**) Это хорошо видно на тригонометрической окружности.
"Как-то уж больно мудрено, даже интегралы есть." Есть только один интеграл. 🙂 И я бы не сказал, что у Вас значительно проще. Мы делаем примерно одно и то же. Пожалуй, единственное принципиальное отличие - Вы действительно обошлись без интегралов. Но и я в ролике говорю о том, что можно было бы интеграл не находить. Дальше. Время подлёта снаряда к наивысшей точке Вы находите, как я понял, через вертикальную скорость как функцию от времени (приравнивая её нулю и выражая t). Я нахожу через высоту как функцию от времени (r_y в моих обозначениях). С моей точки зрения, непринципиальное отличие. Что ещё? Вы функцию перед дифференцированием преобразовываете, а я дифференцирую сразу. Тоже, как мне кажется, непринципиально. И ещё. Вы h нашли неверно (потеряли двойку в знаменателе). И почему-то не поясняете, откуда следует, что найденная Вами стационарная точка функции является её точкой максимума (ну или точкой, в которой она достигает своего наибольшего значения на отрезке). P.S. "t=Vsin(x)/g секунд" Единица измерения времени уже заложена в формулу, если что. 🙂
@@FrolovSergei С двойкой мой косяк - признаю, лучше было бы ее указать явно. Но дело в том, что во всей этой задаче линейные коэффициенты не очень важны, поэтому я их везде молча опускал (иногда заранее). В целом Вы меня неправильно поняли. Я не утверждаю, что использую принципиально иные методы, я хотел сказать, что в задаче на нахождение параметра при котором достигается максимум, не требуется искать этот самый максимум и его точную формулу. А именно это и делает вычисления громоздкими. Поэтому не нужно брать интеграл, чтобы получить точную формулу площади, а достаточно исследовать произведение a*h. Также не нужно считать значение площади в точке pi/3 (этого не спрашивали и это лишняя работа), достаточно взять вторую производную и увидеть, что в pi/3 она отрицательна. В моем случае это элементарно, а для вашей функции это сложнее. Согласитесь, что анализировать функцию sin(2x) - sin(4x)/2 проще, чем sin3(x)cos(x). Кстати, я принципиально не согласен, что "sin^2(x) на отрезке [0,pi/2] в ноль не обращается" 14:00 :)
@@НиколайПостников-у2м "Кстати, я принципиально не согласен, что "sin^2(x) на отрезке [0,pi/2] в ноль не обращается" 14:00 :)" Я этого не говорю в видеоролике. Переслушайте, пожалуйста, сами этот фрагмент. Где Вы услышали слово "отрезок"?
@@НиколайПостников-у2м Нет. Я не называл отрезок интервалом. Я говорю "от нуля..." и показываю пальцем на 0. Говорю "... до пи пополам" и показываю пальцем на π/2.
Все прекрасно, но условие надо дополнить. Не только сопротивление воздуха не учитывать, но и кривизну земной поверхности, а также считать ускорение свободного падения не зависящим от высоты. Иначе, как справедливо уже заметили в комментах, будет не парабола, а эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли (закон Кеплера).
Благодарю за комментарий! В моём понимании, в такого рода задачах по умолчанию предполагается, что начальная скорость снаряда относительно невелика. Таким образом, снаряд не поднимется слишком высоко и не улетит слишком далеко. А это означает, что влияние кривизны земной поверхности и непостоянства ускорения свободного падения на движение снаряда пренебрежимо мало (чего нельзя сказать о влиянии сопротивления воздуха). И я никогда не встречал в задачниках по физике для школьников и студентов двух таких оговорок в условиях задач на движения тел, брошенных ("выстрелянных") под углом к горизонту. Если Вы встречали, то буду благодарен, если поделитесь соответствующей информацией. Спасибо!
@@FrolovSergei, для школьников таких задач действительно не встречал. Но помню как я сам, будучи школьником, удивился "противоречию": учебник физики утверждал, что брошенный камень летит по параболе, учебник астрономии - что по эллипсу, а парабола - это для второй космической скорости. И только в ВУЗе этот "парадокс" разрешился, когда на физике мы стали решать задачи, в которых учитывалась зависимость ускорения свободного падения от высоты (что прямо следует из закона всемирного тяготения).
Начальная скорость очень важна. Ведь на большой высоте падает и g, поэтому парабола уже не парабола и интеграл нужно брать аккуратнее, с учётом изменения g.
Задачка хорошая, но чисто техническая, примерно класса для 10-го советской школы, пожалуй, что даже без звёздочки. Изюму в ней какого-то не хватает. Щас добавим. При каком угле траектория заметает максимальную площадь, если учесть, что планета без атмосферы, на которой стоит пушка, шарообразная, а g пропорционально 1/r^2? От скольки параметров зависит этот угол?
@@romank.6813 | Да что там шарообразность Земли. Советские школьники владели тензорным анализом и легко решали задачи с полётом снаряда с учётом общей теории относительности
Ох уж эти советские вундеркинды, учившиеся в 70ых-80ых годах. Выучились, выросли, и теперь изобретение за изобретением получаем, открытие за открытием, а уж количество нобелевских лауреатов среди них - мое почтение)))
@@ГлавВрачъОх уж эти постсоветские приватизаторы и эффективные менеджеры, пинавшие балду на задней парте. Наприватизировали и наменеджерили - моё почтнение. 30 лет вставания с колен - это вам не тут! И всё требуют, чтобы им ещё наизобретали и наоткрывали, а то объекты для приватизации заканчиваются.
Именно поэтому стрелять из ракетницы рекомендовано под углом 60 градусов или вертикально вверх. В первом случае длина траектории максимальна и ракета успевает полностью сгореть не вызвав пожара. Во втором случае ракета может упасть не сгорев полностью, но, тогда её можно потушить, т.к. место падения близко от места запуска
Об этом хорошо рассказано, например, в Википедии: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0
@@FrolovSergei Вот как выглядит правильный URL: .../Материальная_точка Некая сложность заключается в том, что по умолчанию браузеры выполняют при copy URL encoding, как видно по вашей ссылке. В некоторых браузерах (возможно, во всех) эту идиотскую и никому не нужную настройку можно отменить.
Есть более интересная и более сложная задача. С какой минимальной скоростью x надо прыгнуть человеку массы m с движущейся со скоростью V тележки массы M , чтобы запрыгнуть на ступеньку высоты h, прыгнув в тот момент, когда от тележки до стенки остаётся расстояние L?
@@FrolovSergei Стенка=ступенька ))) Высотой тележки пренебрегаем, разумеется. Хитрость этой задачи в том, что то допущение, которое кажется очевидным в данной ситуации, в реальности оказывается неверным. Задача реально сложная.
задача поражает небрежностью нужно было бы 1 - мах высота выстрела при разных углах наклона. 2 - по координатам параболы у= с то есть высота выстрела не превышает высоту где с равно радиусу .и как следствие тангенс 45.и есть 1
Если в безвоздушном пространстве выстрелить под углом 45 градусов, то снаряд улетит на максимальную далину. НО. Наши пушкари не стреляют в безвоздушном пространстве, а у воздуха есть трение. ВОПРОС: Под каким углом в нормальных условиях нужно выстрелить, чтобы снаряд улетел на максимальную далину?
@@FrolovSergei Использование мела в учебных заведениях вполне объяснимо недостатком финансов на современные технические средства, но ничем не оправдано при создании видео.
@@capitaineserge_9747 Авторы одних из топовых в математической нише каналов "Математик МГУ" и "Борис Трушин", тем не менее, до сих пор используют меловые доски в своих видеороликах. Видимо, они с Вами не согласны. Причём, автор первого из них изначально использовал маркерную доску, но потом перешёл на меловую.
@@FrolovSergei Вероятно доска с мелом у них для антуража, или точнее для выпендрёжа. Современные технологии позволяют вообще никакую доску не использовать, а формулы и графики рисовать прямо на экране ПК. Вряд ли они для записи видео и звука используют кинопленку и магнитную ленту.
@@capitaineserge_9747 "Вероятно доска с мелом у них для антуража, или точнее для выпендрёжа." Думаю, что им просто так удобнее. "Антураж" и "выпендрёж" не стоят удобства. Что касается современных технологий, то просто мы имеем 2 разных жанра. Один - это вещание с мелом (маркером) у доски, в ходе которого мы наблюдаем за лицом человека, его мимикой, жестами, походкой, эмоциями, харизмой (или её отсутствием) и т. д. Это то, к чему привыкли окончившие школы и вузы. Именно в таком стиле обычно проходит обучение в этих заведениях. Другой - это демонстрация компьютерной картинки с закадровым голосом невидимого человека (или видимого в маленьком прямоугольнике). У каждого жанра свои достоинства. Каждый автор выбирает то, что ему по душе, что ему удобно, к чему он привык, в чём он чувствует себя уверенно и комфортно. Но и зритель тоже выбирает, что ему смотреть, а что - нет. В итоге, все довольны. :-) Странно, наверно, упрекать, скажем, человека, пишущего рассказы, в том, что он не романист, или, наоборот, романиста в том, что он не пишет рассказы.
Как это нет притяжения? Будет все тоже решение, только g будет свое. А если вам охота учесть кривизну поверхности, то учитывайте, что движение будет по элипсу, а не по параболе.
@@GerryFolf не, не улетает. Ели не попадет в гравитационную ловушку другого астероида или планеты, упадет обратно. Потому спутники запускают минимум двухступенчатыми ракетами. Чтоб выполнить маневр смены орбиты с баллистической, на ту, что не пересекает землю
@@hkleiser5848 да мы можем любые условия поставить. Но если физической задаче нет физического смысла - то это просто неинтересно. А математически мы можем решать что угодно. Только зачем?
Многие математические "придумки" ждали своего применения более 100 лет. Например, криптовалюта. Алгоритм ждал своего часа 100 лет. Рассуждать о пользе чего то не изучив подробно вопрос не корректно и не правильно.
Ты же скорость не дал нам. Так что больших скоростях надо выстрелить почти под углом 90° Даст нам максимальный площадь. Если горизонтальный расстояние и скорость дано под другим углом нельзя выстрелить.
Очень приятно слушать и разбирать с вами эту задачу!
Просто супер.
Спасибо огромное!
Задачка не только имеет физический смысл, но и применение в народном хозяйстве. Допустим, народное хозяйство одолевают комары (или саранча) с однородной плотностью распределения в воздухе. Тогда к снаряду приделываем лазер, который светит точно вниз и жгёть комаров, и стреляем. Задачка именно о том, как пожечь наибольшее число комаров за один выстрел.
Сомнительно
😱 Комаров? Лазером?? 😱
@@alter.007Чо, комаров жалко? Мне - нет.
по твоему комары распределены одинаково в плоскости? комары это бесформенная туча в 3-х координатах, если ты хочешь их поджечь тебе нужен термобарический заряд, который распыляет аэрозоль и тут же поджигает ее, в итоге получаем объемный взрыв который поджигает комаров
в народном хозяйстве действительно применяют задачи с интегралами, для определения площади криволинейной трапеции, например считают площадь полей у которых неправильная форма
Спасибо большое за ваш разбор!
Вам спасибо за просмотр и за отзыв!
Очень здорово, спасибо
Вам спасибо за просмотр и за отзыв!
Здорово, изящно, красиво!
Спасибо!
Лет тридцать назад щёлкал такие задачки как белка орехи
Это задача может быть применена только при сплаве физики и математики... Но сейчас за понимание таких задачек не платят. Если скорость снаряда может достигать 11 км в секунду то куда можно попасть этим снарядом меняя угол наклона?
в Луну :) ну и при 7 км/сек тоже особенно не постреляешь
@@ИванИванович-л4з А если сделать меньше первой космической? Предположим на десять метров в секунду?
@@НиколайАртемёнко-х7х если не будет атмосферы то при первой космической получается круговая орбита и снаряд прилетит обратно к месту выстрела, если выстрелить меньше первой космической, то прилететь на место выстрела ему может помешать поверхность земли в которую он ударит, если бы Земли была нематериальной, а вся масса сидела бы в точке в центре, то на любой скорости снаряда ниже второй космической (хоть 1 м/сек) снаряд сделает эллипс (при 1 космической - круг) и вернется в место выстрела (это уравнения Ньютона дают), если Земля была бы нематериальной, но масса была бы распределена по шарику, то тут надо уже думать :) поскольку снаряд пойдет под землю, а там его уже будет тянуть в разные стороны
P.S.
на счет метров в секунду меньше 1 космической не знаю, надо считать аккуратно, но можно сделать ситуацию, что пушка стоит на некоторой высоте, стреляет, снаряд делает эллипс вокруг Земли приближаясь к поверхности и затем попадает в место выстрела (в общем все объекты в солнечной системе так и двигаются)
@@НиколайАртемёнко-х7х Об этом подумал Ньютон изучая баллистику и найдя ответ вывел свой Закон тяготения. Думаю, вы на это намекаете.
@@НиколайАртемёнко-х7х «А если сделать меньше первой космической?» При прохождении атмосферы скорость и сама сделается меньше первой космической. Потому из пушки на Луну и не стреляют.
Красиво.
Долго думал о физическом смысле такого интеграла. Если поделить x на vₓ (=const), можно перейти к системе координат со временем в качестве оси абсцисс; если домножить y на mg (=const), по оси ординат будет потенциальная энергия снаряда. Тогда получается интеграл энергии по времени, размерность величины ML²T⁻¹. Ничего похожего на ум не приходит. 😉
Интеграл от энергии по времени - это действие. Измеряется в тех же единицах, что и постоянная Планка. Но действие только от потенциальной энергии физического смысла не имеет.
А зачем куда-то переходить и что-то на что-то домножать? 😮 Просто получается произведение координаты на координату, т.е. площадь. Но физического смысла в этом нет 😡
Длина по x от -а до а это Vx*T то есть Т*корень из двух кинетических энергий от Vx делить на массу. А высота h это потенциальная энергия mgh произошедшая из кинетической m(Vy)^2/2 , таким образом в площадь входит произведение той части энергии что перешла в потенциальную на ту что не перешла, с корнями и коэффициентами) ну это если очень надо найти смысл) ну а поскольку обе энергии в сумме равны начальной кинетической, то произведение их частей максимально когда части равны.
@@alter.007 Нет, надо поискать какой-то смысл. Он должен быть.
@@АлексейПотапов-з2р Он должен быть, но его нет ;)
Площадь параболы прям просится найти по лемме Симпсона.
Ввод радиус-векторов не понятен - если просто можно уравненями движения обойтись. Из которых найти и время достижения максимальной высоты.
Еще вариант найти время движения до маскимум, воспользоватся улолвием у=0 для крайних точек параболы и ее симметрией:
y (t=T) = Vy·T - gT²/2 = 0 => T=0, T = 2Vy / g
t0= T/2 = Vy/g.
Альтернативный вариант, чтоб не заморачиваться с уравнениями движения:
кинетическая и потенциальная энергия в нижней точке: K = mv² / 2 = m(v²·cos²α + v²·sin²α) / 2, П = 0
кинетическая и потенциальная энергия в верхней точке: K = mv² / 2 = mv²·cos²α / 2, П = mgh
По закону сохранения энергии:
m(v²·cos²α + v²·sin²α) / 2 = mv²·cos²α / 2 + mgh
v²·sin²α / 2 = gh => h = v²·sin²α / 2g
Уравнение параболы: y = h·(1 - x²/a²)
Касаткльная к параболе: y' = - h·2x / a²
При x = -a: y' =tg α= - h·2·(-a) / a² = 2h/a => a = 2h / tg α
A = 4/3 ah = 4/3 2h / tg α ·h = 8/3 h² / tg α = 8/12g²· v⁴·sin⁴α / tg α .
Всё верно, по формуле Симпсона находим площадь под графиком S:
S = 4/6 * H * L, где H = (V sin(α))^2/(2g), L = 2*(V cos(α)) (V sin(α))/g
А разве скорость на OY не будет равна Vsina-gt?
Да, верно. И что?
Я слегка не понял как вы посчитали интеграл?
u-u³/3 (1-0)
Подставляем 1 получаем
1-1/3=2/3
Поставляем 0 получаем
0-0=0
2/3-0=2/3
И потом умножаем на 2
Получаем 4/3 разве нет?
Ну то есть ответ верный, но механику не понял
Воспользовался тем, что определённый интеграл от единицы - это длина промежутка интегрирования (при условии, что нижний предел интегрирования не превышает верхний). Поэтому сразу получаем: наш интеграл равен 1 минус интеграл от u^2, который находим уже по формуле Ньютона-Лейбница.
@@FrolovSergei понял, спасибо большое
@@СвободныйМатематик Пожалуйста! Добавлю ещё, что утверждение насчёт единицы, стоящей под интегралом, можно обобщить на разные виды интегралов. Например, двойной интеграл от единицы по плоской фигуре - это площадь данной фигуры, тройной интеграл от единицы по пространственному телу - объём этого тела, криволинейный интеграл 1-го рода по кривой - длина этой кривой и т. д.
Решали в физ-мат школе в 9 кл похожую задачу. Найти угол при котором достигается максимальная дальность стрельбы. Получали 60 и 30 град. Эта задачка поинтереснее. Только кроме академического смысла, другого не могу придумать.
При фиксированной начальной скорости максимальная дальность стрельбы достигается при угле 45°. Даже из моих выкладок видно, что дальность пропорциональна произведению sin(α)cos(α), которое достигает максимума в точке α=π/4.
Да, особого смысла не придумаешь, согласен.
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Физика средней школы, 9 кл
Что-то плохо вы в 9 классе задачки решали. Не думаю, что вы сопротивление воздуха учитывали. Откуда разные неправильные ответы?
Как-то уж больно мудрено, даже интегралы есть.
Можно значительно проще.
Очевидно(*), что площадь под параболой пропорциональна произведению a*h (если пользоваться вашими обозначениями).
Движение в вертикальной проекции вверх равноускорено (-g) и продолжается t=Vsin(x)/g секунд (до остановки в вертикальной проекции).
Отсюда h=Vsin(x)*t = Vsin(x)*Vsin(x)/g, a = Vcos(x)*t = Vcos(x)*Vsin(x)/g
ah = V^4*sin3(x)*cos(x)/g^2 убираем все константы и осталось найти a для максимума sin3(x)*cos(x)
Константы игнорируем sin3(x)*cos(x) => sin2(x)*sin(2x) => (1-cos(2x))sin(2x) => sin(2x) - sin(4x)/2
Придется взять производную: 2cos(2x) - 2cos(4x) = 0 => cos(2x)=cos(4x), очевидно(**), что 2x = 2pi/3, т.е. x = pi/3
(*) Если записать площадь под параболой как функцию от двух переменных, то S(a,h) = a*h*S(1,1) ввиду линейного маcштабирования графика по осям. Чему точно равно S(1,1) нам не интересно, т.к. это константа.
(**) Это хорошо видно на тригонометрической окружности.
"Как-то уж больно мудрено, даже интегралы есть."
Есть только один интеграл. 🙂
И я бы не сказал, что у Вас значительно проще. Мы делаем примерно одно и то же. Пожалуй, единственное принципиальное отличие - Вы действительно обошлись без интегралов. Но и я в ролике говорю о том, что можно было бы интеграл не находить.
Дальше. Время подлёта снаряда к наивысшей точке Вы находите, как я понял, через вертикальную скорость как функцию от времени (приравнивая её нулю и выражая t). Я нахожу через высоту как функцию от времени (r_y в моих обозначениях). С моей точки зрения, непринципиальное отличие.
Что ещё? Вы функцию перед дифференцированием преобразовываете, а я дифференцирую сразу. Тоже, как мне кажется, непринципиально.
И ещё. Вы h нашли неверно (потеряли двойку в знаменателе). И почему-то не поясняете, откуда следует, что найденная Вами стационарная точка функции является её точкой максимума (ну или точкой, в которой она достигает своего наибольшего значения на отрезке).
P.S. "t=Vsin(x)/g секунд" Единица измерения времени уже заложена в формулу, если что. 🙂
@@FrolovSergei С двойкой мой косяк - признаю, лучше было бы ее указать явно. Но дело в том, что во всей этой задаче линейные коэффициенты не очень важны, поэтому я их везде молча опускал (иногда заранее).
В целом Вы меня неправильно поняли. Я не утверждаю, что использую принципиально иные методы, я хотел сказать, что в задаче на нахождение параметра при котором достигается максимум, не требуется искать этот самый максимум и его точную формулу. А именно это и делает вычисления громоздкими.
Поэтому не нужно брать интеграл, чтобы получить точную формулу площади, а достаточно исследовать произведение a*h.
Также не нужно считать значение площади в точке pi/3 (этого не спрашивали и это лишняя работа), достаточно взять вторую производную и увидеть, что в pi/3 она отрицательна. В моем случае это элементарно, а для вашей функции это сложнее.
Согласитесь, что анализировать функцию sin(2x) - sin(4x)/2 проще, чем sin3(x)cos(x).
Кстати, я принципиально не согласен, что "sin^2(x) на отрезке [0,pi/2] в ноль не обращается" 14:00 :)
@@НиколайПостников-у2м "Кстати, я принципиально не согласен, что "sin^2(x) на отрезке [0,pi/2] в ноль не обращается" 14:00 :)"
Я этого не говорю в видеоролике. Переслушайте, пожалуйста, сами этот фрагмент. Где Вы услышали слово "отрезок"?
@@FrolovSergei Просто вы указывали пальцем на границы отрезка на доске, называя его интервалом. Хитрец.
@@НиколайПостников-у2м Нет. Я не называл отрезок интервалом. Я говорю "от нуля..." и показываю пальцем на 0. Говорю "... до пи пополам" и показываю пальцем на π/2.
Все прекрасно, но условие надо дополнить. Не только сопротивление воздуха не учитывать, но и кривизну земной поверхности, а также считать ускорение свободного падения не зависящим от высоты. Иначе, как справедливо уже заметили в комментах, будет не парабола, а эллипс, один из фокусов которого находится в центре Земли (закон Кеплера).
Если умничать, то не стоит останавливаться и надо учесть еще как минимум эффект силы Кориолиса при разных направлениях выстрела
Благодарю за комментарий! В моём понимании, в такого рода задачах по умолчанию предполагается, что начальная скорость снаряда относительно невелика. Таким образом, снаряд не поднимется слишком высоко и не улетит слишком далеко. А это означает, что влияние кривизны земной поверхности и непостоянства ускорения свободного падения на движение снаряда пренебрежимо мало (чего нельзя сказать о влиянии сопротивления воздуха). И я никогда не встречал в задачниках по физике для школьников и студентов двух таких оговорок в условиях задач на движения тел, брошенных ("выстрелянных") под углом к горизонту. Если Вы встречали, то буду благодарен, если поделитесь соответствующей информацией. Спасибо!
@@FrolovSergei, для школьников таких задач действительно не встречал. Но помню как я сам, будучи школьником, удивился "противоречию": учебник физики утверждал, что брошенный камень летит по параболе, учебник астрономии - что по эллипсу, а парабола - это для второй космической скорости. И только в ВУЗе этот "парадокс" разрешился, когда на физике мы стали решать задачи, в которых учитывалась зависимость ускорения свободного падения от высоты (что прямо следует из закона всемирного тяготения).
Есть ещё ограничение: скорость должна быть меньше первой космической.
Начальная скорость очень важна. Ведь на большой высоте падает и g, поэтому парабола уже не парабола и интеграл нужно брать аккуратнее, с учётом изменения g.
Задачка хорошая, но чисто техническая, примерно класса для 10-го советской школы, пожалуй, что даже без звёздочки. Изюму в ней какого-то не хватает. Щас добавим. При каком угле траектория заметает максимальную площадь, если учесть, что планета без атмосферы, на которой стоит пушка, шарообразная, а g пропорционально 1/r^2? От скольки параметров зависит этот угол?
Да, ты очень умный
@@rasimbot Спасибо, кэп, я в курсе.
@@romank.6813 | Да что там шарообразность Земли. Советские школьники владели тензорным анализом и легко решали задачи с полётом снаряда с учётом общей теории относительности
Ох уж эти советские вундеркинды, учившиеся в 70ых-80ых годах. Выучились, выросли, и теперь изобретение за изобретением получаем, открытие за открытием, а уж количество нобелевских лауреатов среди них - мое почтение)))
@@ГлавВрачъОх уж эти постсоветские приватизаторы и эффективные менеджеры, пинавшие балду на задней парте. Наприватизировали и наменеджерили - моё почтнение. 30 лет вставания с колен - это вам не тут! И всё требуют, чтобы им ещё наизобретали и наоткрывали, а то объекты для приватизации заканчиваются.
супер
Спасибо!
Именно поэтому стрелять из ракетницы рекомендовано под углом 60 градусов или вертикально вверх. В первом случае длина траектории максимальна и ракета успевает полностью сгореть не вызвав пожара. Во втором случае ракета может упасть не сгорев полностью, но, тогда её можно потушить, т.к. место падения близко от места запуска
Дольше всего ракета болтается в воздухе если пальнуть вертикально вверх
Во втором случае место падения может быть и далеко от места запуска, зависит от скорости ветра.
@@capitaineserge_9747 Да, конечно, согласен. При стрельбе ветер всегда надо учитывать. Даже при стрельбе из пушки :)
что есть материальная точка?
Об этом хорошо рассказано, например, в Википедии: ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0
@@FrolovSergei дивергенция ротора какая то
@@FrolovSergei Вот как выглядит правильный URL: .../Материальная_точка
Некая сложность заключается в том, что по умолчанию браузеры выполняют при copy URL encoding, как видно по вашей ссылке. В некоторых браузерах (возможно, во всех) эту идиотскую и никому не нужную настройку можно отменить.
Думаю что у 45. Или у функции с самым большим интегралом) то есть площадью трапеции под куполом.
Есть более интересная и более сложная задача. С какой минимальной скоростью x надо прыгнуть человеку массы m с движущейся со скоростью V тележки массы M , чтобы запрыгнуть на ступеньку высоты h, прыгнув в тот момент, когда от тележки до стенки остаётся расстояние L?
А что за стенка такая?
@@FrolovSergei Стенка=ступенька ))) Высотой тележки пренебрегаем, разумеется.
Хитрость этой задачи в том, что то допущение, которое кажется очевидным в данной ситуации, в реальности оказывается неверным. Задача реально сложная.
Это задача от Джейсона Стэтхэма?
@@FrolovSergei Запрыгнуть с движещейся лодки на пирс.
@@whattnick5071 Видимо, размерами человека мы тоже пренебрегаем. То бишь имеем маленького (но адски прыгучего) человечка и гигантскую ступеньку.
задача поражает небрежностью нужно было бы
1 - мах высота выстрела при разных углах наклона.
2 - по координатам параболы у= с то есть высота выстрела не превышает высоту где с равно радиусу .и как следствие тангенс 45.и есть 1
Ваш комментарий поражает меня тем, что я понял из него только связку из первых трёх слов. Больше не понял ничего.
@@FrolovSergei наверно я не очень понял о нахождением площади с определенным интегралом ну скажем как площадь параболы. так что прошу прощения
Красавица
Вы о чём?
Решаем через производную
45*
Нее. 60
@@tehnocrator просто задние дебиловато составлено, как егэ примерно.... догадайтесь чего я хочу(С)
Если в безвоздушном пространстве выстрелить под углом 45 градусов, то снаряд улетит на максимальную далину. НО. Наши пушкари не стреляют в безвоздушном пространстве, а у воздуха есть трение. ВОПРОС: Под каким углом в нормальных условиях нужно выстрелить, чтобы снаряд улетел на максимальную далину?
43° - если не учитывать изменение плотности воздуха с высотой, т.е. считать показатель соспротивление среды постоянным на любой высоте.
@@Ihor_Semenenko а форма заряда имеет значение?
@@pompei2 на общую дальность да. Она учитывается баллистическим коэффициентом.
Все траектории подобны.
Зависит от начальной скорости снаряда и его размера и массы. Для этого есть таблицы, по которым все и считается.
Если нужна максимальная площадь, на вскидку скажу - 55-60 градусов.
55-60=-5, отрицательный угол? в землю стрелять?
@@TheBishop_2051 😁 смотря что за точку отчёта принять
Интересно смотреть на спину, как в старые добрые времена, но технология была другая, сейчас только мел заменила ручка, доска другая......
Меловые доски до сих пор в ходу. В некоторых вузах по-прежнему используются.
@@FrolovSergei Использование мела в учебных заведениях вполне объяснимо недостатком финансов на современные технические средства, но ничем не оправдано при создании видео.
@@capitaineserge_9747 Авторы одних из топовых в математической нише каналов "Математик МГУ" и "Борис Трушин", тем не менее, до сих пор используют меловые доски в своих видеороликах. Видимо, они с Вами не согласны.
Причём, автор первого из них изначально использовал маркерную доску, но потом перешёл на меловую.
@@FrolovSergei Вероятно доска с мелом у них для антуража, или точнее для выпендрёжа. Современные технологии позволяют вообще никакую доску не использовать, а формулы и графики рисовать прямо на экране ПК. Вряд ли они для записи видео и звука используют кинопленку и магнитную ленту.
@@capitaineserge_9747 "Вероятно доска с мелом у них для антуража, или точнее для выпендрёжа."
Думаю, что им просто так удобнее. "Антураж" и "выпендрёж" не стоят удобства.
Что касается современных технологий, то просто мы имеем 2 разных жанра.
Один - это вещание с мелом (маркером) у доски, в ходе которого мы наблюдаем за лицом человека, его мимикой, жестами, походкой, эмоциями, харизмой (или её отсутствием) и т. д. Это то, к чему привыкли окончившие школы и вузы. Именно в таком стиле обычно проходит обучение в этих заведениях.
Другой - это демонстрация компьютерной картинки с закадровым голосом невидимого человека (или видимого в маленьком прямоугольнике).
У каждого жанра свои достоинства.
Каждый автор выбирает то, что ему по душе, что ему удобно, к чему он привык, в чём он чувствует себя уверенно и комфортно. Но и зритель тоже выбирает, что ему смотреть, а что - нет. В итоге, все довольны. :-)
Странно, наверно, упрекать, скажем, человека, пишущего рассказы, в том, что он не романист, или, наоборот, романиста в том, что он не пишет рассказы.
А если пушка на астероиде? Ну в том смысле что нет ни атмосферы, ни притяжения, да и угол выстрела не определён.
Как это нет притяжения? Будет все тоже решение, только g будет свое.
А если вам охота учесть кривизну поверхности, то учитывайте, что движение будет по элипсу, а не по параболе.
@@Ihor_Semenenko неа, снаряд рельсотрона улетает в далёкие дали.
@@GerryFolf не, не улетает. Ели не попадет в гравитационную ловушку другого астероида или планеты, упадет обратно. Потому спутники запускают минимум двухступенчатыми ракетами. Чтоб выполнить маневр смены орбиты с баллистической, на ту, что не пересекает землю
@@Ihor_Semenenko вы не поняли. Ну да фиг с ним.
А зачем? Какой в этом физический смысл?
Это математика, тут не должно быть физического смысла. Просто потому что можем поставить такое условие
Запуск зонда атмосферного -чтоб он ка кможно больший объем атмосферы просканировал.
@@hkleiser5848 да мы можем любые условия поставить. Но если физической задаче нет физического смысла - то это просто неинтересно. А математически мы можем решать что угодно. Только зачем?
Многие математические "придумки" ждали своего применения более 100 лет. Например, криптовалюта. Алгоритм ждал своего часа 100 лет. Рассуждать о пользе чего то не изучив подробно вопрос не корректно и не правильно.
@@Ihor_Semenenko Запуск атмосферного зонда при отсутствии атмосферы (по условию) это очень интересно 😆🙃
А почему кривизну земли не учитываем?
Мы считаем, что дальность полёта снаряда такова, что влияние кривизны земной поверхности на движение снаряда пренебрежимо мало.
@@FrolovSergeiвух, успокоили, а то уж начал подозревать, что автор канала плоскоземельщик 😅
А вот что за угол пи/ехр ?
Откуда Вы взяли этот угол? Какое отношение он имеет к рассматриваемой задаче?
@@FrolovSergei Ваше видео посмотрел и в голову взбрело это соотношение, может математики больше знают
@@FrolovSergeiтогда вопрос попроще: что за угол arg(e^(iπ/4))?
@@DieselpunkMachine Отвечаю: arg(e^(iπ/4)) = π/4.
каменном
Ты же скорость не дал нам. Так что больших скоростях надо выстрелить почти под углом 90°
Даст нам максимальный площадь.
Если горизонтальный расстояние и скорость дано под другим углом нельзя выстрелить.
Если скорость больше 2 космической, то площадь будет бесконечной.
Эллипс! траектория. А еще земля не плоская. :)
Дискообразная же, но в сечении будет прямая - так что норм.
Поскольку дело происходит на RUclips, то по умолчанию - плоская. 😞
а на самом деле парабола - это не парабола, а эллипс (если бы Земля не оказывала бы сопротивления)
нет
Кто ты молодец?
Актуально для нынешних условий СВО. Ребята должны на месте уметь точно попадать в цель. Работа расчётчика орудия самая сложная и ответственная.
Респект! Надеюсь не в росии живёшь?
У автора насморк.
Конечно на качество решения это оказывает решающее влияние. Был бы без насморка - всё сложилось бы иначе.