원의 중심의 관점으로 보면 쉽습니다. 원의 중심이 이동한 자취는 반지름이 3+1인 원을 그리므로, 2π(3+1)이라 할 수 있고, 작은 원의 둘레인 2π(1)로 나누면 4가 나와서 네 바퀴라 생각할 수 있습니다. 이것이 가능한 이유는 처음 작은 원이 큰 원과 접하고 있던 지점이 다시 접하게 되는 것이 한 바퀴가 아니라 처음 작은 원의 한 지점이 똑같은 방향을 바라보게 되는 것이 작은 원의 한 바퀴이기 때문입니다.
핵심은 "회전"이라는 단어의 정의. 큰 원과 접해있는 부분이 기준이면 3바퀴 맞음. 보통 이런 문제에서 몇바퀴냐? 몇회전이냐? 했을때는 큰원과 접해있는 기준으로 이해함. 그런데 기준을 '밑바닥'으로 했을때에는 +1이 맞음. 질문자체가 꼼꼼하지 않은것임. 계산기문제랑 비슷함.
친절한 설명 감사합니다. 그런데 제가 보기에 이 문제는 답이 두개 있다고 봅니다. 관측자가 누구냐에 따라 답이 달라진다고 생각됩니다. 첫번째, 원 B(반경 3r)의 중심에 있는 관측자는 원 A(반경 r)의 자전만을 관측하기 때문에 제자리로 돌아오면 3바퀴가 되며, 두번째는 관측자가 원 A,B를 연결하는 선상에서 아주 멀리 있다고 가정하면 원 A의 자전과 원 B를 도는 공전을 같이 관측하는 결과이므로 전체적으로 4바퀴가 됩니다. 두번째 경우를 수식으로 분석하면 다음과 같습니다. 원 B 주위를 돌아간 각도를 θ, 원 A의 자전각도를 φ라고 하면, 접점의 이동 궤적은 각각 3rθ, rφ이며 두 길이는 동일해야 하므로, 즉 3rθ=rφ, 따라서 3θ=φ가 됩니다. 아주 멀리 떨어진 별에서 회전을 관측하면 즉, 수식선을 기준으로 보면 전체 회전각을 θ+φ가 되며, 임의의 접점에서 전체 회전각은 θ+φ= θ+3θ=4θ가 결론적으로 주어집니다. 따라서 접점이 처음의 위치로 돌아오는 경우, θ=2π를 대입하면 전체 회전각도는 4×2π로 회전수는 4가 됩니다. 우리가 하루의 시간을 다룰 경우, 항성시냐 태양시냐에 따라서 하루의 시간이 달라지는 관점과 유사하게 분석한 개인적인 의견입니다. 아래 댓글에 보니 80년대 미국 수능(SAT)에서 전국 3명만 이의제기했던 문제로 유명하다고 하는데 저는 그 3명의 관점도 맞다고 봅니다. 선생님 유튜브 항상 감사드리고 응원합니다.
설명이 부족한 것 같아서 댓글 남깁니다. 이 문제는 80년대 미국 수능(SAT)에서 전국 3명만 이의제기했던 문제로 유명하죠. 영상에선 중요한건 회전수를 나눠보는 힘이라고 하는데,회전의 의미를 어떻게 정의할지를 판단하는게 더 중요합니다. 1차원 경로에서의 회전의 의미와, 2차원 경로에서의 회전의 의미가 다르기 때문에 생겨나는 오해이기 때문이죠. 일직선에서 회전은 한 지점이 다시 한점으로 되돌아올 때, 회전했다고 합니다. 이건 눈에 바로 보여서 쉽죠. 그럼 원운동에서의 회전은 어떻게 정의를 해야할까요? 작은원의 한 지점이 큰원과 접하는 순간이 회전하는 순간이 아니라는걸 설명하는게 요지일 것 같습니다 단순히 회전수를 나눠서 +1를 한다는건 주입식 해석이고, 댓글들 반응을 봐도 설명이 어렵다가 많은 이유도 같습니다.
제 생각으로 설명 자체는 "둘레가 0인 점을 중심으로 해도 한 바퀴를 돌며, 둘레가 있는 원을 중심으로는 그 둘레만큼 더 돈다." 이것만으로 핵심은 충분히 짚어낸 것이 아닌가 생각합니다. 설명이 부족하다기보다는 처음 예시로 든 똑같은 크기의 원을 중심으로 돌 때에 집중해서 1과 2의 관계로 풀어나가다 보니 이해하기 어렵다는 반응이 나오는 것 같습니다. 둘레가 0인 점을 중심으로 한 바퀴를 도는 걸 보여주고, 그 둘레를 키웠을 때 각각 몇 바퀴씩 도는지 보여준다면 같은 내용으로 좀 더 이해하기 직관적이지 않았을까 합니다.
revolve 는 축을 기준으로 회전하는 의미(자전과 공전을 포함하는 의미)인 것을 이해한다면, A축 기준 회전(자전)이 3회 이고 B축 기준 회전(공전)이 1회이어서 합은 4가 되는 문제입니다. 따라서 B 원주 길이만큼의 직선을 A가 회전하는 경우에 3 이라는 결과와 revolve 수가 다른 것은 당연합니다.
달의 자전과 공전에 대한 비유는 (8:30) 를 한 것은 , 잘못된 비유입니다. 애님메이션도 틀렸고요 (이 문제의 지름 비율과도 맞지 않고요). 지구에서 보는 사람은 지구가 자전하지 않는것처럼보이지만, 우주에서 보는 달은 자전을 합니다. (달의 자전 주기와 지구 주위를 도는 공전 주기가 같은 것이지, 달은 자전을 안한다는).
부연설명하면 보통 맞닿은 두원 기준원의 둘레가 6파이이고 도는원 둘레가 2파이니까 회전수가 3바퀴야 쉽게 오류를 범하는데, 이유는 도는원이 굴러간 거리는 기준원 둘레가 아니라 도는원의 중심 즉, 기준원과 도는원의 거리가 반지름인 원의 둘레가 되서 그걸 도는 원의 둘레로 나눠야 도는원의 회전수가 된다고 이해 하시면 더 좋을듯 싶네요. 회전수는 초등때 배운 원이 굴러간 거리/ 원주인 것처럼 도는 원이 움직인 거리는기준원 둘레가 아닌 (기준원+ 도는원 )의 반지름인 원의 둘레이므로 도는원 회전수 = (기준원 + 도는원)의 반지름 의 원의 둘레/ 도는원의 원주 이런 비율로 보는 설명도 괞찮지 않을까 의견을 냅니다.
저도 이 방법에 동의합니다. 작은 원의 중심의 이동을 그려보면 큰 원의 반지름에 작은 원의 반지름이 더해진 반지름 4의 원을 그리며 이동하는 것이 보여지니까요. 반대로 큰 원의 안에서 큰 원을 따라 작은 원이 회전한다면 큰 원에서 작은 원의 반지름을 뺀 반지름 2의 원을 그리면서 이동하는 것이 보여지니 두 바퀴를 돌 것이라고도 바로 알 수 있죠.
이 문제는 작은 원이 직선에서 회전 시 이동한 거리와 큰 원 주위를 돌면서 이동한 거리를 구분해야 하는 것으로 이해됩니다. 그래서 작은 원의 회전 수는 큰 원의 1/3 지점에 왔을 때 1이 아니라 1과 1/3이 되는 겁니다. 두 원의 반지름의 비율이 1:3이라 가정하면, 작은 원이 이동한 거리는 1과 1/3 + 1과 1/3 + 1과 1/3 = 4가 되는 거지요. 만일 직선에서의 이동이라면 당연히 3이 되겠고요. 만일 두 원의 반지름의 비율이 1:4라면 같은 원리로 1과 1/4 + ... + 1과1/4 = 5가 되고요. 그래서 작은 원의 회전 수는 직선에서의 이동 회전 수 + 1이 되는거고요.
회전을 두 가지 종류로 구분해서 이해하는 그런 복잡한 방법 쓸 필요 없이, 원의 중심을 생각하면 그냥 깔끔하게 풀림. circle A의 중심이 원래 위치로 돌아오려면 circle B 중심 기준 반지름 4짜리 원을 돌아야 함. 즉 circle A의 중심은 8pi의 거리를 움직여야 하는데, 2pi만큼 움직일 때마다 한 바퀴씩 도므로 총 4바퀴 돌게 됨. 이 풀이가 직관적인 이유는 원에서 고정점은 원주 위의 점이 아니라 중심이기 때문임. 3바퀴라 답하는 풀이가 잘못된 이유는 원의 중심이 아니라 circle A와 circle B의 접점인 원주 상의 점을 기준으로 이동 거리를 계산했기 때문임.
1:3의 비율의 원들사이에서 1의 원이 3의원둘레를 4바퀴 돌면 반대로도 생각해봐야는거 아닌가요? 3:1의 비율에서 3의 원이 1의원둘레를 돌면 1.33333바퀴가 되는건가??? 그럼 두 원이 동시에 서로 반대방향으로 4:1.333)의 비율의 속도로 돌때면(작은원이4) 각각 한바퀴완성의 시간이 같아지는건가??
아하~!!! 기차는 길다. 기차가 터널을 통과할때 기차가 실제 움직인 거리는 기차의 길이+터널의 길이로 푸는것처럼 이문제도 이렇게 간단히 작은원위에 점을 찍어 직선으로 펴면 작은원둘레 길이의 직선을 기차로 생각하고 큰원도 마찬가지로 펴서 터널로 생각하면 되지 않을까....그래서 작은원이 실제 움직인 거리는 작은원둘레+큰원둘레. 라고 조심스레 보태봅니다~
오오... 그러면 더 이해하기 쉬워지는 설명이 될 수도 있겠네요. 원이라는 개념이 연속적인 운동으로 이어지다 보니 가시적으로 확 와닿지가 않는데 좋은 방법입니다.!! 정사각형을 만들어도 되죠. 꼭지점마다 90도씩 꺽이니 90도X4= 360도 한바퀴 추가 되어서 총 4바퀴. 정육각형을 만들어도 되죠. 꼭지점마다 60도씩 꺽이니 60도X6=360도 한바퀴 추가 되어서 총4바퀴.
문제가 좀 모호하게 되어있네요... "원 B 의 테두리를 따라 A가 굴러간다면" 이라던가, "A의 원운동의 중심은 B " 라는 문구가 있었다면 결과가 달라졌겠죠. A, B 원이 자신을 중심으로 서로 회전한다고 생각하는 부분에서 생기는 관점차이(오해)때문에 오답을 말한거 같습니다. B 가 회전한다고 생각하고 문제는 풀어버리는거죠. 실제론 B 가 회전할 횟수까지 A 가 회전하는건데 말이죠.
8:00 쯤 나오는 그림에서 작은 원이 4/3바퀴를 돌았는데 왜 '한 바퀴' 라고 써놓은건지 모르겠습니다. 저게 무엇의 한 바퀴 인지...? 달은 자전을 하고, 그 주기가 공전의 주기와 같고, 그래서 지구에서 보면 항상 같은 면을 바라보게 되는것입니다. '달은 자전을 하지 않고, 항상 지구에 같은면을 보여주기 때문에 공전을 한번 하고 나면 자전을 한 것과 같다.' 라는 말은 비록 눈에 보이는 결과는 같을 수 있으나 그 과정과 내용이 학생들에게 혼란을 줄 수 있을것 같습니다.
반지름이 1인 원이 큰 원 반지름이 3인 원을 돌 때 자전 4바퀴인가요? 자전3바퀴 +공전1바퀴=4바퀴인가요? 둘레가 1인 원이 둘레가 3아 원 도는 것과는 다른 상황으로 보이고 둘레가 3인 원을 도는 것은 영상에서 3회전하는데 그 원들만은 3회전인가요? 풀이 전에 맨 처음 문제 나올 때 작은 원 회전수가 4회전으로 나와서 4회전인가보다 했었는데요 풀이과정을 보면 3회전이라고 나오고 거기에다 +1회전은 어떻게 나오는 건지 생각하고 있습니다. 헷갈리는 것이 있는데 고민이 됩니다. 반지름이 1인원과 반지름 3인 원과 지름인 둘레가 1인 것과 둘레가 3인 것은 풀이과정이 다른 것인가 생각합니다
ruclips.net/video/GvIo8w3jYkU/видео.html 여기서 멈춰놓고 아래 설명을 보시면 대체 +1 바퀴가 어디서 나오는지 알 수 있겠습니다 (저도 이거 왜 그런지 고민하면서 새벽에 꿈꾸다가 깨달았습니다 ㅋㅋㅋ) 작은 원이 "한 바퀴" 라고 써진 위치에 도착했을 때 작은 원의 노란 삼각형을 보시면 4시 방향에 있죠? 작은 원이 1바퀴 돌았는데 즉 360도 돌았는데 왜 노란 삼각형이 원래 있던 12시 방향이 아니고 4시 방향일까요? 작은 원 입장에서는 1바퀴를 돌았지만, 밖에서 보면 작은 원은 12시부터 4시까지 회전을 "더" 한 게 되는 겁니다. 그럼 "두 바퀴" 라고 써진 위치에 가면 노란 화살표가 8시 방향 또 "세 바퀴" 라고 써진 위치에 가면 노란 화살표가 12시 방향이 되면서 +1 회전이 완성되는 거지요. 이 현상은 직선 위를 구를 때는 안나타나지만, 원주위를 구를 때는 나타나게 되네요, 너무 신기합니다.
Even chatGPT fails. Q: Circle A with radius 1 abuts outward on circle B with radius 3. How many laps will A go if A goes around B with it in contact with B? A: If Circle A with radius 1 abuts outward on circle B with radius 3, then the center of Circle A is 4 units away from the center of Circle B (1+3=4). When Circle A rolls around Circle B, it will complete one lap when it has gone around Circle B once and returned to its original position. The circumference of Circle B is 2π(3) = 6π, so it will travel a distance of 6π in one lap. During one lap, Circle A will roll along the circumference of Circle B. Since the radius of Circle A is 1, its circumference is 2π(1) = 2π. Thus, in one lap, Circle A will complete 3 revolutions around its own circumference. Therefore, Circle A will complete 3 laps around Circle B when it rolls along B in contact with it.
제 지능으로는 여기까지만 정리가 되네요.... 시각적으로 보이는 작은 원의 회전은 3바퀴인데 / 직관적으로는 보이지 않는 숨어있는 1바퀴가 있다 / 그 숨은 1바퀴는 "점"을 기준으로 회전 시켰다고 가정하면 수학적으로도 시각적으로도 증명이 된다 / 그러므로 3배의 반지름을 갖는 원을 돌았을 때는 1 + 3 바퀴를 돈 셈이 되고 / 0.3배의 반지름을 갖는 원을 돌았을 때는 1 + 0.3 바퀴를 돈 셈이 된다 / 저 밑에 Joo Hong Park 님이 말씀하신 "밭 전" 자에는 ㅁ가 몇 개 있나? 라는 질문도 이걸 "납득" 하는 데는 도움이 될 것 같습니다.
저는 접점을 기준으로 보니까 보이더라구요 작은 원의 원주를 기준으로 1바퀴에 해당하는 거리만큼 움직였을때에 접점은 360도에 120도만큼 더 움직였습니다. 즉 두 원의 접점이 다시 만날때까지 실제로는 더 회전을 한 것이고 그걸 3번 반복하여 큰 원의 둘레만큼 움직였기때문에 360도 즉 1바퀴를 더 돈거죠
최초에 작은원과 큰원이 접하는 작은 원 위의 점을 A라고 합시다. 이 점 A는 작은 원이 자신의 원주만큼 움직이면 다시 큰원과 만나게 됩니다. 이때 작은원의 중심은 큰원의 중심 기준 r(작은원의 원주) / R(큰원의 원주) x 360° 만큼 이동합니다. 거기서 일단 작은 원이 최소한 1회 이상만큼의 회전을 했다는 것을 알 수가 있습니다. 그런데 작은 원에서 점 A의 위치가 변했습니다. 이 위치는 원래 위치 (6시방향)에서 중심이 큰원을 기준으로 회전한 각도와 같은 크기로 움직인 위치입니다. 즉 작은원은 추가로 r/R×360°만큼 회전을 하게 된 상태입니다. 그렇다면 이를 일반화할 수 있지 않을까요? 두 원의 원주를 그냥 선분으로 보고 계산하면 R/r바퀴이고 한바퀴 돌때마다 r/R바퀴를 더 도니까 그만큼 더한게 최종 회전수가 되겠죠? 따라서 작은 원의 회전수는 R/r(1+r/R) = R/r+1이 됩니다.
@@aqdach 그러니까요.아이랑 영상보다가 달 이야기 할때 둘이 처다보면서.. 헉!! 했습니다.아무도 그 이야기에 대하여 의의를 제기 안해서 더 놀랬는데..다행이 있네요. 달의 자전공전주기가 같아서 우리눈에 한쪽면만 보인다는 정말 중요한 사실을... 달이 자전을 안한다고 하다니..정말 큰일날 소리입니다..
4:19 그런데 왜 이 부분에서 하필 크기 비율과 회전수의 관계를 '(크기 비율)×2'와 '(크기 비율)-1' 둘 중 하나로만 단정 지을 수 있는 걸까요? 예를 들어 '(크기 비율)×3-1'이라던가, '(크기 비율)의 제곱 + 1'이라던가, '(크기 비율)÷5 + 9/5' 과 같은 것도 후보군으로 넣을 수 있지 않나요? // 7:19 부터 핵심 내용이 나오는것 같군요... 왜 +1인지 이해는 했는데, 이걸 알기 전에는 위와 같이 고민했었네요 ㅋㅋ
수치로 계산해보면 쉽습니다. 작은 원이 큰 원의 1/3 지점에 왔을때 작은 원의 "중심"을 기준으로 1바퀴를 도는데, 만약 작은 원이 큰 원에 1/4 지점에 왔다면 작은 원은 그 중심을 기준으로 3/4 회전한 상태입니다. 근데 이때 작은 원은 큰 원의 중심을 기준으로 1/4 회전했기 때문에 둘을 더하면 1바퀴를 돌게 됩니다. 따라서 1/4 지점마다 한바퀴씩 돈다고 하면 작은 원은 총 4바퀴 회전하게 됩니다. 직관적으로 생각하면, 관점의 문제입니다. 얼핏 보면 작은 원의 한 점이 다시 큰 원에 접했을 때를 "1바퀴" 회전했다고 착각하기 쉽지만, 작은 원이 그 중심을 기준으로 회전하는 기준으로는 1바퀴 이상, 정확히 말하면 4/3바퀴를 돈 상태입니다. 즉 회전의 정의를 어떤 한 점이 원래의 "방향을 가리켰을 때"를 기준으로 한다면 확실하게 받아들일 수 있을 듯 하네요.
그리고 지구와 달에 대한 설명도 틀립니다. 달은 공전과 자전의 시기가 같은 동주기 자전을 합니다. 그렇기 때문에 저희가 달의 같은 면만 보는 것이고요. 여기서 작은 원이 큰 원의 원주를 따라 움직이는 것 자체가 작은 원이 자신의 축을 기준으로 움직이먼서(자전) 큰 원의 원주를 따라 움직이는 것(공전)이므로 달은 자전과 공전을 동시에 합니다. 잘못된 교육은 잘못된 개념을 낳습니다. 앞으로는 증명을 통해 확인된 개념만 설명하세요
@@drkim244 뭔..ㅋㅋ지구와 달의 중심을 축으로 연결하고 그것을 회전시킨다는 것 자체가 지구와 달에 힘이 작용해서 자전이랑 공전의 시기가 같다라는 의미잖아요 ㅋㅋ 애시당초 뉴턴 제1법칙에 의해서 달이 지구를 중심으로 공전만 하면 우리는 달의 모든 면을 관측할 수 있어야 합니다. 하지만 이게 불가능하다는 건 누구나 알고 있습니다. 그렇기 때문에 달이 동주기 자전을 한다는 것입니다. 당신이 말한 축을 기준으로 좌표계를 생각해보면 무슨 말인지 알 수 있을겁니다
@@정민수-d1z 같은 내용 반복하게 만드는 이유가 뭘까요? 강의 내용 자체도 님이 말한 내용 포함 한건데요? 애초에 같은 면만 보이게 끔 하는거 자체가 천체간의 질량,거리,중력 등등 차이로 인해 발생하는건데 강의 내용은 이런 구성요건은 싹다 빼고 같은면만 보일때라는 전제조건만 성립시키고 이럴때 결과 값으로 달은 1자전한다 극히 단순한 계산방식을 말해준건데 전제조건 을 왜 설명 안했냐는 식의 답변은 곤란 합니다 수학에서의 대전제가 달라지면 답이 달라져요 여기서의 대전제는 한면만 보게되면 이라는 대전제가 깔린거랍니다
두 원이 같이 돌아가는 기어라면 3이 정답 큰 원이 고정되어 있고 작은 원이 주위를 도는 기어라면 4가 정답. 작은 원에 계(카메라)를 고정하면 3이 정답 큰 원에 계(카메라)를 고정하면 4가 정답 내가 작은 원을 타고 큰 원의 주위를 돌면서 보면 3바퀴 내가 큰 원을 타고 작은 원이 도는 모습을 보면 4바퀴
4:42 "둘레가 0인 점을 중심으로 해도 한 바퀴를 돌며, 둘레가 있는 원을 중심으로는 그 둘레만큼 더 돈다." 중심이 반지름이 1인 원이 반지름이 0인 점 -> 한 바퀴 돔 반지름이 1인 원 -> 두 바퀴 돔 반지름이 2인 원 -> 세 바퀴 돔 반지름이 3인 원 -> 네 바퀴 돔
이해안되는분들은 이렇게 해보세요 작은원과큰원이 접하는 지점의 떨어지지 않게하고 큰원만큼 회전시키면 작은원만 봐봐요 접하는부분이 큰원이든 작은점이든 무조건 원의 크기상관없이 360도 돌아가는 위치변화가 생기잖아요 즉 기준 이 되는 곳을 회전하는 것만으로 작은동전은 1회전 되는 거에요 굴리지도 않아도 1회전 그렇데 강제로 굴리게 하면 굴리는 횟수만큼 더해는거임 즉 자체 회전 + 강제로 회전 = 공전 +자전 = 1회전 +3바퀴
뭔가 설명이 좀 이해가 안됩니다. 11분 23초 캡춰 영상을 기준으로 본다면 한바퀴라고 표시된 부분은 이미 작은원이 한바퀴(노란 삼각형이 최상단에 위치했을때)를 돌고 조금 1/3이 더 이동하여 1과 1/3바퀴를 돈 시점이고, 두바퀴라고 표시한 부분은 2와 2/3, 세바퀴라고 표시된 부분은 3과 3/3, 즉, 4바퀴를 회전했다고 해야 설명이 맞는 것 같습니다. 아니면, 작은 원의 회전을 중심으로 그림을 본다면, 큰 원의 1/4지점, 즉 3시 방향에 작은원이 위치했을때 1바퀴, 6시 방향에서 2바퀴, 9시 방향에서 3바퀴, 12시 방향에서 4바퀴로 작은원의 놀나 삼각형이 12시 위치에 있게 되는 지점이 됩니다. 깨봉 선생님의 답이 틀린 건 아니지만, 무조건 한바퀴를 더 돌게 된다는 설명 보다는 왜? 한바퀴를 더 돌게 되는지 설명해주시는게 좋지 않을까요?
7:53에서 보면 한바퀴씩 돌게 된 것이 12시 에 있던 아래 바라보는 빨간색 선이 원에서는 3시방향 (1/4)지점에서 아래로 바라보면서 이미 한바퀴를 돌았고, 일직선에서는 1바퀴가 덜 돈 상태. 즉 3/4 까지만 만큼만 돌았음. 즉. 원으로의 회전은 일직선에서의 회전보다 1/4만큼 더 많이 돌게 된다.
위쪽 원과 아래쪽 원이 동시에 돌아가면 한바퀴씩 도는건데 아래쪽 원이 돌지 않으니까 위쪽이 대신 한번 돌게되는거네요. 그래서 아래가 세배로 크면 두 원이 동시에 맞물려 돌면 위쪽 원은 세번 돌고 아래쪽 원은 한번 도는데 아래쪽원이 안도니까 위쪽원이 대신 한번 더 돌게 되는거네요. 이렇게 생각하면 좀더 쉬운거 같은데요.
솔직히 이 문제는 출제에 오류가 있다고 이의제기해도 됨. 원 A가 원 B 주위를 '미끄러지지 않고' 구를 때라고 해야 답을 4회전이라고 할 수 있음. 그러므로 이문제는 아무 숫자나 써도 다 답이 됨. ㅋㅋㅋ 아. 그리고 달도 자전을 합니다. 달의 공전주기와 달의 자전주기가 우연히 일치할 뿐이고. 그리고 달의 자전은 이 문제와 아무런 연관성이 없음.
시속 100km로 달리는 기차안에서 사람이 시속 5km로 걷는다면 밖에서 사람을 본 시점에서 속력은 105km/h가 아니라 기차하고 똑깥은 100km/h 아닌가요? 사람이 105km/h로 걸으면 기차를 추월해 나가야 하는데 그러지 못하니 기차하고 똑같은 속려으로 밖에 볼수 없지 않나요?
'이러한 현상에는 규칙이 있더라'여서 이해하기 편하다. (공전수=1)+(자전수)=(회전수).. 자전없이 공전을 1바퀴하면 자전1바퀴가 생기는 것은 둘레가0인 점에대해 1바퀴공전하면 점을 중심으로 한바퀴 돈것으로 자전1바퀴 한 것과 같기 때문이다. 회전수는 반드시 1이 더해지고, 둘레만큼 더 돈다. 작은공이 3바퀴 돌았을때 회전수는 4다. 그럼 작은공이 1바퀴 돌았을때 회전수는 1+1/3이다. 그림이 그려지는가? 1/3바퀴는 무엇일까? 큰공의 꼭대기에서 출발해서 1바퀴돌면 작은공은 큰공의 오른쪽에 혹처럼 위치해 있다. 작은 공의 크기는 달라지지 않았다. 그럼 작은 공을 똑 띠어서 처음 꼭대기에 있던 작은 공과 비교해보자. 1/3만큼 회전했음을 알 수 있다.
사실 달은 자전을 안하는게 아니라 자전주기랑 공전주기가 같아서 자전을 안하는거처럼 보이는겁니다, 수학적인 비유로는 맞지만 천문학적으로는 오류네요ㅎㅎ 그래도 영상에서 말씀하시는 뜻은 잘 배웠습니다👍👍(그런데 의도치않게 많은 분들이 실제 공전,자전에 관한 내용을 영상 속 내용에 맞춰서 생각하셔서 오해하시는 분들이 많네요 ㅜ)
자전과 공전주기가 같은건 사실이나 언밀히 따지면 자전을 안하는 것이 맞습니다.. 자전 주기와 공전 주기가 같은 현상인 동주기 자전이 우연의 일치로 일어난 것이 아니라 지구에 붙잡힌 달이 스스로 자전을 하지 못해서 일어나는 현상입니다. 비유를 하자면 한 사람이 중심에 서서 다른 사람을 붙잡고 빙빙 돌리는 것과 같다고 할 수 있습니다. 달이 지구의 중력에 붙잡혀서 스스로 자전하지 못하고 공전에 의해 자전하는 것 처럼 보이는 것입니다. 영상 속 이 분의 말씀에는 오류가 없는 것 같네요. 정리하자면 자전주기와 공전주기가 같아서 앞면만 보이는 것이 아니라 달이 스스로 자전을 안하지만 공전에 의해 앞면만 보이는 것입니다.
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원의 중심의 관점으로 보면 쉽습니다. 원의 중심이 이동한 자취는 반지름이 3+1인 원을 그리므로, 2π(3+1)이라 할 수 있고, 작은 원의 둘레인 2π(1)로 나누면 4가 나와서 네 바퀴라 생각할 수 있습니다. 이것이 가능한 이유는 처음 작은 원이 큰 원과 접하고 있던 지점이 다시 접하게 되는 것이 한 바퀴가 아니라 처음 작은 원의 한 지점이 똑같은 방향을 바라보게 되는 것이 작은 원의 한 바퀴이기 때문입니다.
그래서 같은 방향을 바라보는 지점과 접하는 지점차이가 1/3바퀴씩 만들어내서 결국 4바퀴가 되는거네요
음 그렇다면 중심이 되는 원의 반지름을 R, 회전하는 원의 반지름을 r이라 했을 때 중심이 되는 원의 외부에서 회전할 때는 (R+r)/r회 만큼, 내부에서 회전할 때는 R/r회 만큼 회전하는 건가요? 내부에서 회전할 때에는 왜 R/r회가 되는지가 이해가 안 되네요...
@@swy1640내부에서 이동할 때는 (R - r)/r 이겠지요. 원의 중심이 이동한 거리니까요.
이게 가장 명확한 해설이네 ㅇㅇㅇ
@@swy1640 내부에서 회전할 때는 (R-r)/r회 아닌가요?
핵심은 "회전"이라는 단어의 정의.
큰 원과 접해있는 부분이 기준이면 3바퀴 맞음.
보통 이런 문제에서 몇바퀴냐? 몇회전이냐? 했을때는 큰원과 접해있는 기준으로 이해함.
그런데 기준을 '밑바닥'으로 했을때에는 +1이 맞음. 질문자체가 꼼꼼하지 않은것임. 계산기문제랑 비슷함.
친절한 설명 감사합니다. 그런데 제가 보기에 이 문제는 답이 두개 있다고 봅니다. 관측자가 누구냐에 따라 답이 달라진다고 생각됩니다. 첫번째, 원 B(반경 3r)의 중심에 있는 관측자는 원 A(반경 r)의 자전만을 관측하기 때문에 제자리로 돌아오면 3바퀴가 되며, 두번째는 관측자가 원 A,B를 연결하는 선상에서 아주 멀리 있다고 가정하면 원 A의 자전과 원 B를 도는 공전을 같이 관측하는 결과이므로 전체적으로 4바퀴가 됩니다. 두번째 경우를 수식으로 분석하면 다음과 같습니다. 원 B 주위를 돌아간 각도를 θ, 원 A의 자전각도를 φ라고 하면, 접점의 이동 궤적은 각각 3rθ, rφ이며 두 길이는 동일해야 하므로, 즉 3rθ=rφ, 따라서 3θ=φ가 됩니다. 아주 멀리 떨어진 별에서 회전을 관측하면 즉, 수식선을 기준으로 보면 전체 회전각을 θ+φ가 되며, 임의의 접점에서 전체 회전각은 θ+φ= θ+3θ=4θ가 결론적으로 주어집니다. 따라서 접점이 처음의 위치로 돌아오는 경우, θ=2π를 대입하면 전체 회전각도는 4×2π로 회전수는 4가 됩니다. 우리가 하루의 시간을 다룰 경우, 항성시냐 태양시냐에 따라서 하루의 시간이 달라지는 관점과 유사하게 분석한 개인적인 의견입니다. 아래 댓글에 보니 80년대 미국 수능(SAT)에서 전국 3명만 이의제기했던 문제로 유명하다고 하는데 저는 그 3명의 관점도 맞다고 봅니다. 선생님 유튜브 항상 감사드리고 응원합니다.
아하! 그렇군요!!(안 읽음)
설명이 부족한 것 같아서 댓글 남깁니다.
이 문제는 80년대 미국 수능(SAT)에서 전국 3명만 이의제기했던 문제로 유명하죠.
영상에선 중요한건 회전수를 나눠보는 힘이라고 하는데,회전의 의미를 어떻게 정의할지를 판단하는게 더 중요합니다.
1차원 경로에서의 회전의 의미와, 2차원 경로에서의 회전의 의미가 다르기 때문에 생겨나는 오해이기 때문이죠.
일직선에서 회전은 한 지점이 다시 한점으로 되돌아올 때, 회전했다고 합니다. 이건 눈에 바로 보여서 쉽죠.
그럼 원운동에서의 회전은 어떻게 정의를 해야할까요?
작은원의 한 지점이 큰원과 접하는 순간이 회전하는 순간이 아니라는걸 설명하는게 요지일 것 같습니다
단순히 회전수를 나눠서 +1를 한다는건 주입식 해석이고, 댓글들 반응을 봐도 설명이 어렵다가 많은 이유도 같습니다.
제 기준에서 이 설명이 가장 명확한것 같습니다.
맞습니다.
그쵸 좌표계를 어디로 설정하느냐에 따라 한바퀴가 다른..
제 생각으로 설명 자체는 "둘레가 0인 점을 중심으로 해도 한 바퀴를 돌며, 둘레가 있는 원을 중심으로는 그 둘레만큼 더 돈다." 이것만으로 핵심은 충분히 짚어낸 것이 아닌가 생각합니다.
설명이 부족하다기보다는 처음 예시로 든 똑같은 크기의 원을 중심으로 돌 때에 집중해서 1과 2의 관계로 풀어나가다 보니 이해하기 어렵다는 반응이 나오는 것 같습니다.
둘레가 0인 점을 중심으로 한 바퀴를 도는 걸 보여주고, 그 둘레를 키웠을 때 각각 몇 바퀴씩 도는지 보여준다면 같은 내용으로 좀 더 이해하기 직관적이지 않았을까 합니다.
틀린말씀은 아니지만 대부분 직관적으로 2차원 경로에서의 회전을 생각할겁니다. 풀어가는 도구로 1차원 경로 회전을 쓰면서 틀리는거고요.
이 문제가 헷갈리는 이유. "같은 거리를 이동한다"와 "물체가 돈다"를 동일 시 하게 되어서
같은 거리를 이동한다
와
물체가 돈다
동일시 하여
이해가 안되는 걸까요????
질문이 뭔지
이해를 못해
이해가 되지 않는걸까요????
저는 이 문제와
답이 이해가 안되네요~😭😭😭
님의 댓글도~😩😩😩
회전의 의미를 임의대로 해석가능하니 푸는 사람들이 헷갈려하지 그래서 지문이 정확한 정의를 내려줘야 함.
기준원 둘레/도는원 둘레= 도는원 회전수 일반적 생각 오류, (기준원 반지름+ 도는원 반지름)의 둘레 / 도는원 반지름의 둘레= 도는원 회전수 이 비율로 보는 게 쉽지 않을까 생각이 드네요.
예] 기준원 반지름 12 도는원 반지름4 라면 도는원 회전수= 2파이(12+4) / 2파이(4) = 4 바퀴
revolve 는 축을 기준으로 회전하는 의미(자전과 공전을 포함하는 의미)인 것을 이해한다면, A축 기준 회전(자전)이 3회 이고 B축 기준 회전(공전)이 1회이어서 합은 4가 되는 문제입니다. 따라서 B 원주 길이만큼의 직선을 A가 회전하는 경우에 3 이라는 결과와 revolve 수가 다른 것은 당연합니다.
8분 20초에 12시를 가리키는 노란색 표시가 한 바퀴 도는 동안 몇 번 12시를 가리키는지 세어보세요~
다른 댓글 다 이해 안 가는데 이거보고 직관적으로 팍 이해됨 ㄱㅅ
08:20 와....
circle A 는 3바퀴 "굴러서(roll)' 제자리에 옵니다. 그동안 circle A는 4바퀴 회전(revolve)합니다. 이건 영어 문제입니다.
예전 업무에서 유성감속기 기어비 계산할때, 꼭 끝에 +1 을 했었는데, 그냥 공식으로만 외우고 있었는데,
중심축을 바라보면서 공전만 해도 1회전이 추가되서 +1을 하는 것 이었군요. !!
달의 자전과 공전에 대한 비유는 (8:30) 를 한 것은 , 잘못된 비유입니다. 애님메이션도 틀렸고요 (이 문제의 지름 비율과도 맞지 않고요). 지구에서 보는 사람은 지구가 자전하지 않는것처럼보이지만, 우주에서 보는 달은 자전을 합니다. (달의 자전 주기와 지구 주위를 도는 공전 주기가 같은 것이지, 달은 자전을 안한다는).
부연설명하면 보통 맞닿은 두원 기준원의 둘레가 6파이이고 도는원 둘레가 2파이니까 회전수가 3바퀴야 쉽게 오류를 범하는데,
이유는 도는원이 굴러간 거리는 기준원 둘레가 아니라 도는원의 중심 즉, 기준원과 도는원의 거리가 반지름인 원의 둘레가 되서 그걸 도는 원의 둘레로 나눠야 도는원의 회전수가 된다고 이해 하시면 더 좋을듯 싶네요.
회전수는 초등때 배운 원이 굴러간 거리/ 원주인 것처럼 도는 원이 움직인 거리는기준원 둘레가 아닌 (기준원+ 도는원 )의 반지름인 원의 둘레이므로 도는원 회전수 = (기준원 + 도는원)의 반지름 의 원의 둘레/ 도는원의 원주 이런 비율로 보는 설명도 괞찮지 않을까 의견을 냅니다.
바퀴수를 세는 기준계의 설정을 어떻게 하느냐에 따라 답이 달리 나오는 문제
그러게요 길이의 비가 1:3 인데 3이아니라니
물론 A가 B를 한바퀴도는것도 원운동이니 1회카운터로 포함하면 자전3회 공전1회 4회가 답이긴하지만 회전수 기준을 생각해보게되네요
항성월과 삭망월의 차이
회전 하는 개념을 나눠서 결과값들을 합한것이 4로 나온 것이라고 영상에서 나오던데...
빠다너스 확률 문제 같음;; 조건과 정의에 의문이 생겨서 화가났는데 역시나 였음
3:32 이부분을 보면 빨간 점이 밑으로 향하고 있어서 1바퀴 다돈것처럼 보이지만 직선위에서 굴렸다면 반바퀴 돌아서 빨간점이 꼭대기로 올라온 상태에요.
결국 이 문제는 작은 원의 중심이 이동하는 거리라고 생각됩니다. 그래서 작은 원의 중심이 이동한 거리는 8ㅠ(파이)가 되기 때문에 결국 4바퀴를 돈다고 결론지으면 조금 더 쉽지 않을까요?
저도 이 방법에 동의합니다. 작은 원의 중심의 이동을 그려보면 큰 원의 반지름에 작은 원의 반지름이 더해진 반지름 4의 원을 그리며 이동하는 것이 보여지니까요.
반대로 큰 원의 안에서 큰 원을 따라 작은 원이 회전한다면 큰 원에서 작은 원의 반지름을 뺀 반지름 2의 원을 그리면서 이동하는 것이 보여지니 두 바퀴를 돌 것이라고도 바로 알 수 있죠.
저도 그런 생각을 했는데 그게 단순하게 넘어갈 수 있는 부분은 아닌 것 같습니다. 간단하게 그런 식으로 설명하면 오 타당하네 그런가보다라고 하겠지만 학생이 더 깊은 것을 물어보면 대답하기 어려워 진다고 봅니다.
아주 총명한 학생이 있다면 왜 구름 운동에서 중심이 이동한 거리가 구른 거리가 같냐고 물어볼 수 있습니다. 그러면 평면을 예시로 원을 굴려보면 중심이 이동한 거리가 원이 한바퀴 구른 거라와 같다는 걸 알 수 있을 겁니다. 그렇게 설명하면 되겠죠
그런데도 더 총명한 학생이 있다면 왜 그것이 원 위에서도 성립하냐고 물어볼 수 있습니다. 그때부터는 설명하기 까다로워 질 수 있을 겁니다. 저는 그렇게 생각합니다.
이 설명도 괜찮은 것 같네요. ^_^
이 문제는 작은 원이 직선에서 회전 시 이동한 거리와 큰 원 주위를 돌면서 이동한 거리를 구분해야 하는 것으로 이해됩니다. 그래서 작은 원의 회전 수는 큰 원의 1/3 지점에 왔을 때 1이 아니라 1과 1/3이 되는 겁니다. 두 원의 반지름의 비율이 1:3이라 가정하면, 작은 원이 이동한 거리는 1과 1/3 + 1과 1/3 + 1과 1/3 = 4가 되는 거지요. 만일 직선에서의 이동이라면 당연히 3이 되겠고요. 만일 두 원의 반지름의 비율이 1:4라면 같은 원리로 1과 1/4 + ... + 1과1/4 = 5가 되고요. 그래서 작은 원의 회전 수는 직선에서의 이동 회전 수 + 1이 되는거고요.
회전을 두 가지 종류로 구분해서 이해하는 그런 복잡한 방법 쓸 필요 없이, 원의 중심을 생각하면 그냥 깔끔하게 풀림. circle A의 중심이 원래 위치로 돌아오려면 circle B 중심 기준 반지름 4짜리 원을 돌아야 함. 즉 circle A의 중심은 8pi의 거리를 움직여야 하는데, 2pi만큼 움직일 때마다 한 바퀴씩 도므로 총 4바퀴 돌게 됨. 이 풀이가 직관적인 이유는 원에서 고정점은 원주 위의 점이 아니라 중심이기 때문임. 3바퀴라 답하는 풀이가 잘못된 이유는 원의 중심이 아니라 circle A와 circle B의 접점인 원주 상의 점을 기준으로 이동 거리를 계산했기 때문임.
올~딴 양반들 설명은 이해가 안 갔는데, 선상님. 설명 보고 이해가 되네요
깨봉님 영상이 오해를 키웠네요
말씀대로 접점을 이동한 바퀴수가 아니라 A가 자전한 수를 말하는 거네요.
설명을 잘못한 듯. . .
저와 같은 생각 이군요.
내접해서 한바퀴도 쉽게 풀리지요
((1+(rA/rB))pi / 2pi) * 1/((rA/rB)pi / pi) = 1 + rB/rA // 풀이 기준: 원A가 둘레의 반을 소진했을때 원B에서의 위치를 고려하면 비례적으로 풀린다. 특히 rB=0인 경우 정의되지 않고 극한으로만 표현 가능
응용문제 : 그렇다면 저 원A에가 원B의 내부에서 맞물려 돈다면, 몇바퀴를 돌까요?
그럼이건 -1이되는군요
2바퀴?
저 풀이 방식 대로면 안에서 도나 밖에서 도나 접선의 길이는 똑같으니까 4회로 동일하지 않을까요? 쓰면서 설명을 듣다 보니 내부로 돌면 2회전 일것 같네요
멋진 응용문제네요
저도 완벽하게 이해한 건 아니지만..
원A가 바깥에서 돌 때 원B 중심에서 원 A회전축 까지 거리가 4r입니다. 반대로 내부에서 돌게되면 원B 중심에서 원A회전축까지 거리가 2r이 돼죠. 해서 바퀴수가 4바퀴에서 2바퀴로 바뀌게 될 것 같아요!
1:3의 비율의 원들사이에서 1의 원이 3의원둘레를 4바퀴 돌면 반대로도 생각해봐야는거 아닌가요?
3:1의 비율에서 3의 원이 1의원둘레를 돌면 1.33333바퀴가 되는건가???
그럼 두 원이 동시에 서로 반대방향으로 4:1.333)의 비율의 속도로 돌때면(작은원이4)
각각 한바퀴완성의 시간이 같아지는건가??
아하~!!!
기차는 길다.
기차가 터널을 통과할때 기차가 실제 움직인 거리는 기차의 길이+터널의 길이로 푸는것처럼 이문제도 이렇게 간단히 작은원위에 점을 찍어 직선으로 펴면 작은원둘레 길이의 직선을 기차로 생각하고 큰원도 마찬가지로 펴서 터널로 생각하면 되지 않을까....그래서 작은원이 실제 움직인 거리는 작은원둘레+큰원둘레.
라고 조심스레 보태봅니다~
좋은 연상입니다!!
와..댓글에 대한 영상 감사합니다. 아이 키우면서 수학에 다시 관심이 생겼는데, 깨봉수학에서 도움을 많이 얻어갑니다. 감사합니다.
'원주의 길이가 명확히 3배로 계산되는데 왜 3바퀴가 아니야?' 하고 별 기대 없이 들어왔는데 정말 놀랍군요.
동전이 구르고 있는 지면 자체가 휘어지고 있다는 것을 간과했고
그것이 바퀴 수에 영향을 미칠 수도 있다는 생각도 못 했네요.
많이 배웠습니다.
원주의길이는 무한소수인 파이입니다
3이 아닙니다.
@@나-f7j 3배라잖아
호의길이 공식을 통해서 정확히 호의길이가 3배차이라 이렇게 말씀주신것 같은데요 2파이랑 6파이가 나와서 저도 이렇게 생각했는데 .. ㅋㅋㅋㅋ 신기하네요
중심이 이동한 거리를 도는 원의 원주로 나눈다고 생각하면 어떨까요?
와 이 해설이 가장 깔끔하네요
아니면 직선 위에서 작은 원이 돌아가다가 한바퀴 돌때마다 직선을 꺾어서 정삼각형을 만들어도 되겠네요. 꼭지점마다 120도 꺾이니 한바퀴 추가되어서 총 4바퀴
오오... 그러면 더 이해하기 쉬워지는 설명이 될 수도 있겠네요. 원이라는 개념이 연속적인 운동으로 이어지다 보니 가시적으로 확 와닿지가 않는데 좋은 방법입니다.!!
정사각형을 만들어도 되죠. 꼭지점마다 90도씩 꺽이니 90도X4= 360도 한바퀴 추가 되어서 총 4바퀴.
정육각형을 만들어도 되죠. 꼭지점마다 60도씩 꺽이니 60도X6=360도 한바퀴 추가 되어서 총4바퀴.
가장 쉬운 예시네요
원의 둘레와 총 길이가 같은 정삼각형-> 총 길이가 같은 정사각형 -> 총 길이가 같은 정오각형-> … 이런식으로 원에 가까워지는 정다각형과 함께 생각하면 더 좋겠군요.
문제가 좀 모호하게 되어있네요...
"원 B 의 테두리를 따라 A가 굴러간다면" 이라던가, "A의 원운동의 중심은 B " 라는 문구가 있었다면 결과가 달라졌겠죠.
A, B 원이 자신을 중심으로 서로 회전한다고 생각하는 부분에서 생기는 관점차이(오해)때문에 오답을 말한거 같습니다.
B 가 회전한다고 생각하고 문제는 풀어버리는거죠. 실제론 B 가 회전할 횟수까지 A 가 회전하는건데 말이죠.
추가로 달 부분의 설명은 조금 틀렸습니다.
달 또한 자전을 하며, 자전 주기와 공전 주기가 1:1로 동일합니다.
따라서 1달(약 27일)에 1번 자전합니다.
회전할때, 작은 원의 중심이 그리는 궤적을 생각하면 되는것 같아요.
8:00 쯤 나오는 그림에서 작은 원이 4/3바퀴를 돌았는데 왜 '한 바퀴' 라고 써놓은건지 모르겠습니다. 저게 무엇의 한 바퀴 인지...?
달은 자전을 하고, 그 주기가 공전의 주기와 같고, 그래서 지구에서 보면 항상 같은 면을 바라보게 되는것입니다.
'달은 자전을 하지 않고, 항상 지구에 같은면을 보여주기 때문에 공전을 한번 하고 나면 자전을 한 것과 같다.' 라는 말은 비록 눈에 보이는 결과는 같을 수 있으나 그 과정과 내용이 학생들에게 혼란을 줄 수 있을것 같습니다.
반지름이 1인 원이 큰 원 반지름이 3인 원을 돌 때 자전 4바퀴인가요? 자전3바퀴 +공전1바퀴=4바퀴인가요? 둘레가 1인 원이 둘레가 3아 원 도는 것과는 다른 상황으로 보이고 둘레가 3인 원을 도는 것은 영상에서 3회전하는데 그 원들만은 3회전인가요?
풀이 전에 맨 처음 문제 나올 때 작은 원 회전수가 4회전으로 나와서 4회전인가보다 했었는데요 풀이과정을 보면 3회전이라고 나오고 거기에다 +1회전은 어떻게 나오는 건지 생각하고 있습니다. 헷갈리는 것이 있는데 고민이 됩니다.
반지름이 1인원과 반지름 3인 원과 지름인 둘레가 1인 것과 둘레가 3인 것은 풀이과정이 다른 것인가 생각합니다
ruclips.net/video/GvIo8w3jYkU/видео.html
여기서 멈춰놓고 아래 설명을 보시면 대체 +1 바퀴가 어디서 나오는지 알 수 있겠습니다
(저도 이거 왜 그런지 고민하면서 새벽에 꿈꾸다가 깨달았습니다 ㅋㅋㅋ)
작은 원이 "한 바퀴" 라고 써진 위치에 도착했을 때
작은 원의 노란 삼각형을 보시면 4시 방향에 있죠?
작은 원이 1바퀴 돌았는데 즉 360도 돌았는데 왜 노란 삼각형이 원래 있던 12시 방향이 아니고 4시 방향일까요?
작은 원 입장에서는 1바퀴를 돌았지만, 밖에서 보면 작은 원은 12시부터 4시까지 회전을 "더" 한 게 되는 겁니다.
그럼 "두 바퀴" 라고 써진 위치에 가면 노란 화살표가 8시 방향
또 "세 바퀴" 라고 써진 위치에 가면 노란 화살표가 12시 방향이 되면서 +1 회전이 완성되는 거지요.
이 현상은 직선 위를 구를 때는 안나타나지만, 원주위를 구를 때는 나타나게 되네요, 너무 신기합니다.
케쿨러의 꿈 ㄷㄷ
이해하기 쉽네요
Even chatGPT fails.
Q: Circle A with radius 1 abuts outward on circle B with radius 3. How many laps will A go if A goes around B with it in contact with B?
A: If Circle A with radius 1 abuts outward on circle B with radius 3, then the center of Circle A is 4 units away from the center of Circle B (1+3=4).
When Circle A rolls around Circle B, it will complete one lap when it has gone around Circle B once and returned to its original position. The circumference of Circle B is 2π(3) = 6π, so it will travel a distance of 6π in one lap.
During one lap, Circle A will roll along the circumference of Circle B. Since the radius of Circle A is 1, its circumference is 2π(1) = 2π. Thus, in one lap, Circle A will complete 3 revolutions around its own circumference.
Therefore, Circle A will complete 3 laps around Circle B when it rolls along B in contact with it.
생각지도 못했네요. ~~^^ 역시 깨봉!!
작은 원이 움직인 거리는 2*pi*(3+1)인데, 작은 원이 회전하지 않고 움직인 경우는 없으므로, 작은 원의 원주로 나누면 얼마나 회전했는지 나옵니다.
댓글에 나온대로 회전 수 정의를 어떻게 할 지에 따라서 달라지네요
반지름3짜리 원둘레 따라서 반지름1인 원이 움직일때
설명 부분에 빨간점이 아래로 향할때마다 1회전 했다는 그림이나 이미지를 보여주면
더 깔끔하지 않을까 생각합니다.
그러게요! 덕분에 이해했어요!
달은 자전 합니다.. 그렇기에 같은면을 보는거죠.. 예시 하나 잘못됨
제 지능으로는 여기까지만 정리가 되네요.... 시각적으로 보이는 작은 원의 회전은 3바퀴인데 / 직관적으로는 보이지 않는 숨어있는 1바퀴가 있다 / 그 숨은 1바퀴는 "점"을 기준으로 회전 시켰다고 가정하면 수학적으로도 시각적으로도 증명이 된다 / 그러므로 3배의 반지름을 갖는 원을 돌았을 때는 1 + 3 바퀴를 돈 셈이 되고 / 0.3배의 반지름을 갖는 원을 돌았을 때는 1 + 0.3 바퀴를 돈 셈이 된다 / 저 밑에 Joo Hong Park 님이 말씀하신 "밭 전" 자에는 ㅁ가 몇 개 있나? 라는 질문도 이걸 "납득" 하는 데는 도움이 될 것 같습니다.
저는 접점을 기준으로 보니까 보이더라구요
작은 원의 원주를 기준으로 1바퀴에 해당하는 거리만큼 움직였을때에 접점은 360도에 120도만큼 더 움직였습니다.
즉 두 원의 접점이 다시 만날때까지 실제로는 더 회전을 한 것이고 그걸 3번 반복하여 큰 원의 둘레만큼 움직였기때문에 360도 즉 1바퀴를 더 돈거죠
노란점과 빨간점을 기점으로 하면 4바퀴가 맞네요 작은 원이 큰원을 돌때 노란점이 12시 방향으로 정확히 4번을 향하고 빨간점도 6시 방향으로 4번을 향하니 4바퀴네요
쌍욕 하면서 보다가 이 댓글 보고 치유받음
최초에 작은원과 큰원이 접하는 작은 원 위의 점을 A라고 합시다.
이 점 A는 작은 원이 자신의 원주만큼 움직이면 다시 큰원과 만나게 됩니다.
이때 작은원의 중심은 큰원의 중심 기준 r(작은원의 원주) / R(큰원의 원주) x 360° 만큼 이동합니다.
거기서 일단 작은 원이 최소한 1회 이상만큼의 회전을 했다는 것을 알 수가 있습니다.
그런데 작은 원에서 점 A의 위치가 변했습니다.
이 위치는 원래 위치 (6시방향)에서 중심이 큰원을 기준으로 회전한 각도와 같은 크기로 움직인 위치입니다.
즉 작은원은 추가로 r/R×360°만큼 회전을 하게 된 상태입니다.
그렇다면 이를 일반화할 수 있지 않을까요?
두 원의 원주를 그냥 선분으로 보고 계산하면 R/r바퀴이고 한바퀴 돌때마다 r/R바퀴를 더 도니까 그만큼 더한게 최종 회전수가 되겠죠?
따라서 작은 원의 회전수는 R/r(1+r/R) = R/r+1이 됩니다.
시작 위치 기준으로 아래로 향한 빨간 점이 같은 위치로 한바퀴 회전하는건, 3시, 6시, 9시, 12시 위치에서 이렇게 4번 회전하는군요…
처음엔 당연히 3바퀴라 생각했는데…재밌군요.
영상 3번 봐도 이해 못하다가 댓글보고 이해했네요. 역시 세상에는 숨은 고수들이 많구나
마지막에 언급한 달을 예시로 들면 정답은 3번만 회전하는거 아닌가요?
달은 잘못말했다고 치고 실제 자전을 하는 지구를 예시로 들면 회전은 1번뿐이구요.
4번이 답이라고 했으면 다른 예시를 들었어야 한다고 생각합니다.
혹시 오해하실분이 있을까봐 설명을 더 하자면 공전,자전주기가 같기때문에 자전을 안하는것처럼 보일 뿐이지 실제로는 자전합니다.
@@aqdach 그러니까요.아이랑 영상보다가 달 이야기 할때 둘이 처다보면서.. 헉!! 했습니다.아무도 그 이야기에 대하여 의의를 제기 안해서 더 놀랬는데..다행이 있네요. 달의 자전공전주기가 같아서 우리눈에 한쪽면만 보인다는 정말 중요한 사실을... 달이 자전을 안한다고 하다니..정말 큰일날 소리입니다..
아. 난 아직 이해가 안된다. 한10번 봐야겠다
재밌어요.
다른 관점에서 생각해보았습니다. 작은 원이 내접하면 큰 원을 한바퀴 돌았을 때, 2바퀴 회전 하는 꼴이 되네요. 신기합니다.
4:19 그런데 왜 이 부분에서 하필 크기 비율과 회전수의 관계를
'(크기 비율)×2'와 '(크기 비율)-1' 둘 중 하나로만 단정 지을 수 있는 걸까요?
예를 들어
'(크기 비율)×3-1'이라던가,
'(크기 비율)의 제곱 + 1'이라던가,
'(크기 비율)÷5 + 9/5'
과 같은 것도 후보군으로 넣을 수 있지 않나요?
// 7:19 부터 핵심 내용이 나오는것 같군요... 왜 +1인지 이해는 했는데, 이걸 알기 전에는 위와 같이 고민했었네요 ㅋㅋ
수치로 계산해보면 쉽습니다. 작은 원이 큰 원의 1/3 지점에 왔을때 작은 원의 "중심"을 기준으로 1바퀴를 도는데, 만약 작은 원이 큰 원에 1/4 지점에 왔다면 작은 원은 그 중심을 기준으로 3/4 회전한 상태입니다. 근데 이때 작은 원은 큰 원의 중심을 기준으로 1/4 회전했기 때문에 둘을 더하면 1바퀴를 돌게 됩니다. 따라서 1/4 지점마다 한바퀴씩 돈다고 하면 작은 원은 총 4바퀴 회전하게 됩니다.
직관적으로 생각하면, 관점의 문제입니다. 얼핏 보면 작은 원의 한 점이 다시 큰 원에 접했을 때를 "1바퀴" 회전했다고 착각하기 쉽지만, 작은 원이 그 중심을 기준으로 회전하는 기준으로는 1바퀴 이상, 정확히 말하면 4/3바퀴를 돈 상태입니다. 즉 회전의 정의를 어떤 한 점이 원래의 "방향을 가리켰을 때"를 기준으로 한다면 확실하게 받아들일 수 있을 듯 하네요.
그리고 지구와 달에 대한 설명도 틀립니다. 달은 공전과 자전의 시기가 같은 동주기 자전을 합니다. 그렇기 때문에 저희가 달의 같은 면만 보는 것이고요. 여기서 작은 원이 큰 원의 원주를 따라 움직이는 것 자체가 작은 원이 자신의 축을 기준으로 움직이먼서(자전) 큰 원의 원주를 따라 움직이는 것(공전)이므로 달은 자전과 공전을 동시에 합니다. 잘못된 교육은 잘못된 개념을 낳습니다. 앞으로는 증명을 통해 확인된 개념만 설명하세요
맞게 설명했어요 ㅡㅡ
@@drkim244 뭐가 맞다는 거죠?
@@정민수-d1z 뮈가틀리죠?강의한내용도 달 축 중심으로 1 자전 하는건데요?
지구와 달의 중심을 연결 해보세요 12시 방향부터돌립시다 이때 지구는 12시고 고 달은 6시입니다
3시로 달이 갔을시 달은 9시를 가르킵니다이런식으로 달 축 기준으로 자전하는겁니다
@@drkim244 뭔..ㅋㅋ지구와 달의 중심을 축으로 연결하고 그것을 회전시킨다는 것 자체가 지구와 달에 힘이 작용해서 자전이랑 공전의 시기가 같다라는 의미잖아요 ㅋㅋ 애시당초 뉴턴 제1법칙에 의해서 달이 지구를 중심으로 공전만 하면 우리는 달의 모든 면을 관측할 수 있어야 합니다. 하지만 이게 불가능하다는 건 누구나 알고 있습니다. 그렇기 때문에 달이 동주기 자전을 한다는 것입니다. 당신이 말한 축을 기준으로 좌표계를 생각해보면 무슨 말인지 알 수 있을겁니다
@@정민수-d1z 같은 내용 반복하게 만드는 이유가 뭘까요? 강의 내용 자체도 님이 말한 내용 포함 한건데요? 애초에 같은 면만 보이게 끔 하는거 자체가 천체간의 질량,거리,중력 등등 차이로 인해 발생하는건데 강의 내용은 이런 구성요건은 싹다 빼고 같은면만 보일때라는 전제조건만 성립시키고 이럴때 결과 값으로 달은 1자전한다 극히 단순한 계산방식을 말해준건데 전제조건 을 왜 설명 안했냐는 식의 답변은 곤란 합니다 수학에서의 대전제가 달라지면 답이 달라져요
여기서의 대전제는 한면만 보게되면 이라는 대전제가 깔린거랍니다
몇바퀴를 돌았냐 ~??
문제가 이거니까
자전은 3바퀴 + 공전1 바퀴
총 4바퀴 돌아가는 겁니다
만약 큰원을 일직선으로 펼쳐놓코
작은원을 굴리면 공전이 없어지니까
그냥 3바퀴가 되죠
두 원이 같이 돌아가는 기어라면 3이 정답
큰 원이 고정되어 있고 작은 원이 주위를 도는 기어라면 4가 정답.
작은 원에 계(카메라)를 고정하면 3이 정답
큰 원에 계(카메라)를 고정하면 4가 정답
내가 작은 원을 타고 큰 원의 주위를 돌면서 보면 3바퀴
내가 큰 원을 타고 작은 원이 도는 모습을 보면 4바퀴
굿
만약 대입 시험에 이 문제가 나오면 진짜 정답이 4바퀴라는 건가??? 대입 시험에서 문제가 나오면 정답이 3바퀴일 것 같은데...
4
원운동은 원의 중심을 기준으로 생각해야 됩니다.
1회전 = 원의 중심이 원주만큼 이동하는것
음 그냥 쉽게 생각하면 됨.
큰 공의 둘레를 한 바퀴 돌아서 원래 자리로 왔으므로 공전한 회전수 1 + 스스로 굴러가면서 자전한 회전수 3 = 총 회전수 4
ㅋㅋ
A의 중심이 움직이는 궤적과 둘레의 비이므로 (1+3)/1 = 4
밭 전 자에 네모가 몇 개 있나와 같은 문제인가?
오 적절한 비유느낌
4:42 "둘레가 0인 점을 중심으로 해도 한 바퀴를 돌며, 둘레가 있는 원을 중심으로는 그 둘레만큼 더 돈다."
중심이 반지름이 1인 원이
반지름이 0인 점 -> 한 바퀴 돔
반지름이 1인 원 -> 두 바퀴 돔
반지름이 2인 원 -> 세 바퀴 돔
반지름이 3인 원 -> 네 바퀴 돔
같이돌면 3바퀴 혼자 돌면 4바퀴 원의 접점이 이동하기 때문에 공전 +1 추가요
이해안되는분들은 이렇게 해보세요 작은원과큰원이 접하는 지점의 떨어지지 않게하고 큰원만큼 회전시키면 작은원만 봐봐요 접하는부분이 큰원이든 작은점이든 무조건 원의 크기상관없이 360도 돌아가는 위치변화가 생기잖아요 즉 기준 이 되는 곳을 회전하는 것만으로 작은동전은 1회전 되는 거에요
굴리지도 않아도 1회전 그렇데 강제로 굴리게 하면 굴리는 횟수만큼 더해는거임
즉 자체 회전 + 강제로 회전 = 공전 +자전 = 1회전 +3바퀴
그러면 작은 원이 큰 원을 공전하는 식으로 돌지않고 톱니바퀴 맞물리듯이 두개의 원이 동시에 돌면 공전으로 인한 회전은 없어지니 3바퀴 돌겟네요. 재밋습니다.
뭔가 설명이 좀 이해가 안됩니다. 11분 23초 캡춰 영상을 기준으로 본다면 한바퀴라고 표시된 부분은 이미 작은원이 한바퀴(노란 삼각형이 최상단에 위치했을때)를 돌고 조금 1/3이 더 이동하여 1과 1/3바퀴를 돈 시점이고, 두바퀴라고 표시한 부분은 2와 2/3, 세바퀴라고 표시된 부분은 3과 3/3, 즉, 4바퀴를 회전했다고 해야 설명이 맞는 것 같습니다. 아니면, 작은 원의 회전을 중심으로 그림을 본다면, 큰 원의 1/4지점, 즉 3시 방향에 작은원이 위치했을때 1바퀴, 6시 방향에서 2바퀴, 9시 방향에서 3바퀴, 12시 방향에서 4바퀴로 작은원의 놀나 삼각형이 12시 위치에 있게 되는 지점이 됩니다. 깨봉 선생님의 답이 틀린 건 아니지만, 무조건 한바퀴를 더 돌게 된다는 설명 보다는 왜? 한바퀴를 더 돌게 되는지 설명해주시는게 좋지 않을까요?
7:53에서 보면 한바퀴씩 돌게 된 것이 12시 에 있던 아래 바라보는 빨간색 선이 원에서는 3시방향 (1/4)지점에서 아래로 바라보면서 이미 한바퀴를 돌았고, 일직선에서는 1바퀴가 덜 돈 상태. 즉 3/4 까지만 만큼만 돌았음. 즉. 원으로의 회전은 일직선에서의 회전보다 1/4만큼 더 많이 돌게 된다.
위상수학적으로 틀린말아닌가?
하루라는것은 지구가 자전 한바퀴를 하는 것이 아니라 한바퀴 하고 약간 더 도는거였네요! 신기합니다!
위쪽 원과 아래쪽 원이 동시에 돌아가면 한바퀴씩 도는건데 아래쪽 원이 돌지 않으니까 위쪽이 대신 한번 돌게되는거네요. 그래서 아래가 세배로 크면 두 원이 동시에 맞물려 돌면 위쪽 원은 세번 돌고 아래쪽 원은 한번 도는데 아래쪽원이 안도니까 위쪽원이 대신 한번 더 돌게 되는거네요. 이렇게 생각하면 좀더 쉬운거 같은데요.
재밌게 보고 있습니다 감사합니다.
큰원은 면적없이 점으로 생각.
큰원의 중심점만 잡은 상태에서
작은원의 중심은 위에서 말한 중심점에서 4만큼 떨어져 있음
솔직히 이 문제는 출제에 오류가 있다고 이의제기해도 됨.
원 A가 원 B 주위를 '미끄러지지 않고' 구를 때라고 해야 답을 4회전이라고 할 수 있음.
그러므로 이문제는 아무 숫자나 써도 다 답이 됨. ㅋㅋㅋ
아. 그리고 달도 자전을 합니다. 달의 공전주기와 달의 자전주기가 우연히 일치할 뿐이고.
그리고 달의 자전은 이 문제와 아무런 연관성이 없음.
친구랑 운동장 가서.... 축구공에 테니스공 해서... 한번 실험 해보십시요...
트로코이드 이론인데 말씀하신 것처럼 자전과 공전으로 설명하는게 제일 이해가 잘되는 것 같아요
작은 원의 자전 3회전 + 공전 1회전 = 4회전이지요. ^_^
시속 100km로 달리는 기차안에서 사람이 시속 5km로 걷는다면 밖에서 사람을 본 시점에서 속력은 105km/h가 아니라 기차하고 똑깥은 100km/h 아닌가요? 사람이 105km/h로 걸으면 기차를 추월해 나가야 하는데 그러지 못하니 기차하고 똑같은 속려으로 밖에 볼수 없지 않나요?
105km 맞죠
기차 안에서 5km로 이동하면 결국엔 기차 맨앞의 벽에 부딫히는거구요
3:46 말도 안돼!
정사각형도 같은 결과인가요???
'이러한 현상에는 규칙이 있더라'여서 이해하기 편하다. (공전수=1)+(자전수)=(회전수).. 자전없이 공전을 1바퀴하면 자전1바퀴가 생기는 것은 둘레가0인 점에대해 1바퀴공전하면 점을 중심으로 한바퀴 돈것으로 자전1바퀴 한 것과 같기 때문이다. 회전수는 반드시 1이 더해지고, 둘레만큼 더 돈다.
작은공이 3바퀴 돌았을때 회전수는 4다. 그럼 작은공이 1바퀴 돌았을때 회전수는 1+1/3이다. 그림이 그려지는가?
1/3바퀴는 무엇일까? 큰공의 꼭대기에서 출발해서 1바퀴돌면 작은공은 큰공의 오른쪽에 혹처럼 위치해 있다. 작은 공의 크기는 달라지지 않았다. 그럼 작은 공을 똑 띠어서 처음 꼭대기에 있던 작은 공과 비교해보자. 1/3만큼 회전했음을 알 수 있다.
근데 그 문제에서 A와 B가 동시에 돌면 B한바퀴 돌때 A는 몇바퀴 돌아요?
5:11 이 때는 2r을 축으로 삼고 원을 만든 것 같은데 왜 원래 문제에선 5r이 기준이 아니라 4r기준인가요 아 머리가 복잡해서 가독성 떨어지게 글을 쓴 것 같아요 알려주시변 감사하겠습니다.
5:11 에는 원의 중심이 기준이 아닌 것 같은데 왜 원래 문제는 원의 중심인 거죠?ㅠㅠ그리고 왜 원의 중심이 기준이 돼야하는 거죠???ㅠㅠ5r로 잡으면 어떻게 되길래 안 되는 건가요
꺠봉님 근의공식은 무조건 외워야하나요? 꺠봉식으로 2차방정식을 풀수있나요?
근의 공식은 수능에도 안나옵니다. 근의 공식이 나오는 원리를 알고, 증명할 줄 알면 됩니다.
외우면 인생이 편해요
교수님 두원이 동시에 회전하면 어떻게 되나요 맞물려있는 두원에서...
처음 봤을때는 길이가 1:3이니까 3바퀴라고 생각했는데, 답이 아니라니까
다시 생각해보면 큰 원의 둘레 길이만큼 직선의 평지를 굴러갈때는 3바퀴이지만, 큰원을 한바퀴 돈다는 걸 생각하면 +1을 해야하는게 아닐까라고 유추됨.
조봉한 박사님 존경합니다.
그냥 3r 따라서 이동한다 에 집중해서 그렇지 1r의 중심의 이동은 4r 원주만큼 이동하고 그래서 4번 돈다 이렇게 이해하면 쉬운데;;
중간에 설명에서 같은 사이즈 원도 결국 중심을 기준으로 2r 원주를 따라서 이동하니까 2번
저는 이 설명으로 이해했습니다
능력자 분들이 많네요 ㅠ
영상은 안 봤는데 당연히 4번이죠. 큰원둘레와 같은 직선을 따라 돌면 3번이고, 그게 원이 되면 한 번 더 도니까요.
ㅜㅜ 이해를 못했다
두세번 더봐야할듯
저의 최애 유튜브!
너무 재미있어요!!
원의 중심을 기준으로보는지 접점을 기준으로 보는지 정의가 먼저 필요할듯~
3이라고 생각했는데 틀렸네요
저는 선으로 생각해보니 길이 1의 선과, 3의 선이 3배의 차이지만 처음에 선이 겹쳐있지않고 끝단이 붙어 있는 구조이고 처음 자기 위치가 1을 더한다는 개념으로 이해해도 괜찮겠죠?
사실 달은 자전을 안하는게 아니라 자전주기랑 공전주기가 같아서 자전을 안하는거처럼 보이는겁니다, 수학적인 비유로는 맞지만 천문학적으로는 오류네요ㅎㅎ 그래도 영상에서 말씀하시는 뜻은 잘 배웠습니다👍👍(그런데 의도치않게 많은 분들이 실제 공전,자전에 관한 내용을 영상 속 내용에 맞춰서 생각하셔서 오해하시는 분들이 많네요 ㅜ)
저도 그 내용은 지적하고 싶었네요. 달이 자전을 안하면 오히려 달앞면만 계속 볼 수 없죠.^^
저도 지적하고 싶습니다. 어린아이들이 보고 오개념이 많이 생깁니다. 실제로 우기는 아이도 있네요. 깨봉수학에서 봤다고.....음...
자전과 공전주기가 같은건 사실이나 언밀히 따지면 자전을 안하는 것이 맞습니다..
자전 주기와 공전 주기가 같은 현상인 동주기 자전이 우연의 일치로 일어난 것이 아니라
지구에 붙잡힌 달이 스스로 자전을 하지 못해서 일어나는 현상입니다.
비유를 하자면 한 사람이 중심에 서서 다른 사람을 붙잡고 빙빙 돌리는 것과 같다고 할 수 있습니다.
달이 지구의 중력에 붙잡혀서 스스로 자전하지 못하고 공전에 의해 자전하는 것 처럼 보이는 것입니다.
영상 속 이 분의 말씀에는 오류가 없는 것 같네요.
정리하자면 자전주기와 공전주기가 같아서 앞면만 보이는 것이 아니라 달이 스스로 자전을 안하지만 공전에 의해 앞면만 보이는 것입니다.
좋은문제 감사합니다
4바퀴로군요! 재미있습니다
와.. 생각도 못했네요
편견이 얼마나 오류를 낳는지 제대로 알 수 있는 사례네요. 인생에 편견이 있으면 이렇게 왜곡되어 있음을 전혀 모르고 당연시 할 듯. 수학 배우러 왔다가 철학 배우고 갑니다. ㅠ.ㅠ
접점기준으로 하면 3바퀴로 볼 수도 있을듯 합니다. 중심 이동 거리 기준으로는 4바퀴인데 사고의 다양성 측면에서 설명이 아쉽네요.
생각 안 해봤던 주제인데 재밌네요
쉽게 설명하자면
큰 원의 주위를 도는 한 바퀴가 추가 된다고 이해하면 쉬움
에피사이클로이드 문제군요 이걸 함수화해서 굴러가는 위의 한점의 위치를 그래프화하면 아주 흥미로운 그래프를 얻어서 공부했던 기억이 ㅎㅎ
지능퍼즐이 문안의 함정을 대부분 파악하는거냐아니냐의 문제라… 이것도 자전과 공전의 두부분으로 파악이 되느냐안되느냐의 문제…
하 전 바보라 이해가 안되네요
A원기준으로 B원을 따라 돌았을때 A원은 3바퀴가 맞는거 같고 B원 기준으로 A원을 보면 4바퀴가 맞는거 같고 ㅠㅜ
점설명도 점기준으로 1바퀴가 맞는거 같고A원 기준으로는 회전이 아니라 그냥 무회전 움직임인거 같은데....
재밌네요 공전과 자전에 그런비밀이 있었다니 놀랍네요 ㄳㄳ
외접기어의 회전수 구하기 문제인데, 멘붕터지는 사람들 많은거 보니, 내접기어의 회전수 구하기 문제로 넘어가면 멘붕 터지는 사람들 더 많아지겠넹..
0번 돌아갑니다 구른다는 말은 없었잖아요
콘 님의 댓글처럼 1회전의 정의를 어떻게 판단하냐에 따라 달라지는 것 같네요.
답은 두 가지 아닐까요?
원주를 따라 구르면 3바퀴, 중심점을 마주보고 돌면 1바퀴
결국 질문의 오류…