Da Dreiecke mit dem Scheitel im Kreismittelpunkt immer gleichschenklige Dreiecke sind, müssen die beiden bei Punkt C zusammentreffenden Winkel auch je 30° umfassen, zusammen also 60°. Aufgrund der Symmetrie muss es sich beim Dreieck ABC um ein gleichseitiges Dreieck handeln. Folglich entspricht die rote Fläche einem Kreissektor mit 120°, also dem Drittel der Kreisfläche. Somit gilt: A(rot) = 1/3 r² π = 1/3 * 1² * π = π/3 ≈ 1,047 [cm²]
Hallo Susanne, guten Morgen, erst mal Dir, Thomas und allen anderen hier ein super Wochenende. Lasst es euch gut gehen. Mal sehen, ob ich es noch hinbekomme: geg.: AM = BM =CM = 1cm und A, B, C sind Punkte auf der Kreislinie und M ist Mittelpunkt dieses Kreies Winkel CAM = Winkel CBM = Alpha = 30° ges.: Fläche Aka des roten Kreisausschnitt Weil BM = CM ist Dreieck CBM gleichschenklig mit Basiswinkel Alpha, somit ist ist der Winkel BCM ebenfalls = Alpha und damit 30° Weil außerdem die Figur AMBC symmetrisch zur Spiegel-Achse CM ist, ist der Winkel bei C zwischen AC und BC = 2 * Alpha = 2 * 30 ° = 60°. Der Winkel Beta bei M zwischen AM und BM ist doppelt so groß, wie der Winkel bei C, also beträgt dieser 2 * 60° = 120° Damit ist alles beisammen, was man zur Berechnung von Aka braucht: Aka = ('Sektorenwinkel Beta' / 360°) * pi * r^2 = (120° / 360°) * pi * 1^2 cm^2 = 1/3 * pi * 1cm^2 = pi/3 cm^2 = gerundet 1,05 cm^2 LG aus dem Schwabenland
Strecke MC einzeichnen. Es entstehen zwei gleichschenkelige Dreiecke. Im Punkt C haben wir also 2*30° = 60° Der Peripheriewinkel ist 60°, also ist der Zentriwinkel 120°. Der Winkel des Kreissektors ist somit 120° und ein Drittel eines ganzen Kreises. A = r^2*Pi/3 (r=1) A = Pi/3
Exakt so, wie ich es auch gemacht hab. Und da wir (bislang) die einzigen zwei Kommentare hier ohne Popo-Tanga Avatar sind, müssen wir einfach recht haben! 👍
Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht? Der Winkel über die Sekante AB muss vom Mittelpunkt M aus doppelt so groß sein wie vom Punkt C, da C und AB vom Mittelpunkt aus auf verschiedenen Seiten liegen. Nennen wir die Winkel AMB und ACB mal 2x bzw. x. Dann gilt im gleichschenkligen Dreieck ABM: BAM = ABM = (180° - 2x)/2 = 90° - x Damit betragen die Winkel im Dreieck ABC: BAC = 90° - x + 30° = 120° - x ABC = 90° - x + 30° = 120° - x ACB = x 120° - x + 120° - x + x = 180° => x = 60° => 2x = 120°
Hallo Susanne ich zeichne den Radius MC (und die Sehne AB) und sehe das gleichschenklige Dreieck. Winkel A ist 60, dann ist der Zentriwinkel 120. Die Sektorfläche ist also 1/3 des Kreises.
Es wäre noch etwas schöner gewesen, wenn Sie auf den Lehrsatz Zentrumswinkel / Peripheriewinkel hingewiesen bzw. diesen genutzt hätten (schnellere Lösung). Ich bitte dies als positive Kritik zu verstehen - weiter so!
ABC ist gleichseitig, da alle Teildreiecks-Katheten (Verbindung der Ecken zu M) r sind. α hat damit 120°, der rote Keil hat die Fläche A/3. Susanne ist genial, Susanne kann (auf ihrem Kanal) annähernd machen, was sie will. Für alle anderen gilt bei r=1cm: A/3 ≈ 1,05 cm²
Der Eckwinkel im Punkt C ist ausschlaggebend, denn er ist halb so gross wie der Aussenwinkel der viereckigen Figur innerhalb des Kreises im Punkt M und ist auch am leichtesten ermittelbar. Da nun der Aussenwinkel 120° beträgt, ist die Fläche des roten Kreisausschnitts 0,33π groß.
@@teejay7578 In der Philosophie gibt es den Grundsatz des "Charitable Readings", also dass man den Text, den man liest, immer auf die Weise interpretiert, die ihn im besten Licht erscheinen lässt. Hier wäre dies: Es ist ⅓ gemeint, war aber auf der Tastatur nicht verfügbar und der Periodenstrich war auch nicht verfügbar. Falls Sie Lehrer sind, dürfen und müssen Sie dies bei Ihrer Schülern und Schülerinnen natürlich korrigieren. Aber hier sind Sie nicht Lehrer.
@@roland3et Ich denke, Sie verstehen mich. Es gibt Leute, die sich toll vorkommen, wenn sie bei jemandem, der eine gute Idee hatte, eine Kleinigkeit kritisieren können.
Lösung: Wenn man eine Hilfslinie zwischen C und M zieht, kann man schnell sehen, dass dadurch zwei gleichschenklige Dreiecke entstehen, bei denen beide Schenkel jeweils einen Radius lang sind. Daher wissen wir auch, dass beide Schenkel die gleichen Winkel haben und können den gesamten Winkel bei C auf 2 * 30° = 60° festlegen. Darüber hinaus kann eine Hilfslinie zwischen A und B zwei neue Dreiecke erzeugen: ABM und ABC. Aufgrund der Symmetrie und der Innenwinkelsumme MUSS ABC ein gleichseitiges Dreieck sein, da die Winkel bei A und B jeweils identisch sein müssen: (180° - 60°)/2 = 60° ABM ist daher identisch mit BCM und ACM. Aus all diesen Informationen können wir dann klar sagen, dass der rote Anteil exact 1/3 des Kreise ist. A = πr² A = π * 1² A = π A/3 = π/3 Der rote Bereich ist daher π/3 ≅ 1,047 [cm²]
Mein Lösungsvorschlag ▶ Wenn man die AB Strecke mit einer Linie verbindet, hat man einen Dreieck: ΔABC sowie das gleichschenklige Dreieck ΔABM MA= BM = r r= 1 cm ∠ MAB= ∠ ABM = α ∠ BMA= β ∠ BCA = β/2 ∠ CAB= 30° + α ∠ ABC= 30° + α ⇒ 2*(30°+α) + β/2 = 180° 60°+2α + β/2 = 180° 2α + β/2 = 120°..........Gl.1 2α+β= 180° ................Gl.2 ⇒ wenn man von der unteren Gleichung das obere subrahiert: β/2= 60° β= 120° Arot= πr²*(120°/360°) = π*1*(1/3) = π/3 Arot= 1,047 cm²
Sehr kompliziert. Wenn man zuerst eine Linie zwischen M und C zieht, hat man direkt die Gleichschenkligkeit bei BCM und ACM und weiß daher dass der Winkel bei C 60° ist. Durch die Symmetrie müssen daher auch die Winkel bei A und B 60° sein. Dadurch ist der rote Bereich genau 1/3 des gesamten Einheitskreises, also π/3.
@@m.h.6470 schön wieder von Dir zu lesen, Du hast recht, dies wäre ebenfalls eine leichte Option gewesen, obwohl ich bei meinem Lösungsweg auch schnell zur Lösung kam 🙂🙏
Ich hätte die Strecke AB parallel in den Mittelpunkt verschoben. Dann sieht man, dass die 30° auf beiden Seiten jeweils Gegenwinkel sind. So kommt man auch auf α=180°-2*30°=120°. Aber bitte: 1cm kann man nicht weg lassen. Man muss dann auf die Einheit achten, die ebenfalls quadriert wird. Problematisch, wenn man sich am Schluss einer komplizierteren Rechnung nicht mehr daran erinnert.
ahaha, ich bin so blind, mit dem mittleren Winkel hab ich gar nicht gesehen, ich habe über ABC ein gleichseitiges Dreieck gebildet, das unten 60° hat und für das ABM Dreieck dann unten 30° ergibt, sodass die Spitze davon, also der Winkel am Mittelpunkt 120° ergibt. Bisschen viel umständlicher 😅
Schade, dass Sie kein Polnisch sprechen. Wenn ich Ihnen auf Deutsch zuhöre, bin ich so interessiert. Es ist ein solches Talent, Lehrer zu sein, und Sie besitzen es. Leider ist der Vorschlag für die Schüler, Deutsch zu lernen, um Ihren Unterricht zu folgen, noch schwieriger als Mathematik selbst in einer Welt, die an Englisch-Exklusivität leidet. P.S. Sie könnten nur so tun, als wären Sie überrascht, dass der Mittelpunktswinkel, der auf einem bestimmten Bogen basiert, doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel, der auf demselben Bogen basiert.🤗
*Mein komplettes Equipment*
➤ mathematrick.de/mein-equipment
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Vielen Dank!
Sehr gut erklärt!
LG vom Steinhuder Meer 🏖⚓️vom Ingo 😃🖖
Schön das es solche Kanäle gibt, falls man mal nicht schlafen kann.
Da Dreiecke mit dem Scheitel im Kreismittelpunkt immer gleichschenklige Dreiecke sind, müssen die beiden bei Punkt C zusammentreffenden Winkel auch je 30° umfassen, zusammen also 60°.
Aufgrund der Symmetrie muss es sich beim Dreieck ABC um ein gleichseitiges Dreieck handeln.
Folglich entspricht die rote Fläche einem Kreissektor mit 120°, also dem Drittel der Kreisfläche.
Somit gilt: A(rot) = 1/3 r² π = 1/3 * 1² * π = π/3 ≈ 1,047 [cm²]
Hallo Susanne, guten Morgen,
erst mal Dir, Thomas und allen anderen hier ein super Wochenende.
Lasst es euch gut gehen.
Mal sehen, ob ich es noch hinbekomme:
geg.:
AM = BM =CM = 1cm und A, B, C sind Punkte auf der Kreislinie und M ist Mittelpunkt dieses Kreies
Winkel CAM = Winkel CBM = Alpha = 30°
ges.:
Fläche Aka des roten Kreisausschnitt
Weil BM = CM ist Dreieck CBM gleichschenklig mit Basiswinkel Alpha, somit ist ist der Winkel BCM ebenfalls = Alpha und damit 30°
Weil außerdem die Figur AMBC symmetrisch zur Spiegel-Achse CM ist, ist der Winkel bei C zwischen AC und BC = 2 * Alpha = 2 * 30 ° = 60°.
Der Winkel Beta bei M zwischen AM und BM ist doppelt so groß, wie der Winkel bei C, also beträgt dieser 2 * 60° = 120°
Damit ist alles beisammen, was man zur Berechnung von Aka braucht:
Aka = ('Sektorenwinkel Beta' / 360°) * pi * r^2 = (120° / 360°) * pi * 1^2 cm^2 = 1/3 * pi * 1cm^2 = pi/3 cm^2 = gerundet 1,05 cm^2
LG aus dem Schwabenland
Strecke MC einzeichnen.
Es entstehen zwei gleichschenkelige Dreiecke.
Im Punkt C haben wir also 2*30° = 60°
Der Peripheriewinkel ist 60°, also ist der Zentriwinkel 120°.
Der Winkel des Kreissektors ist somit 120° und ein Drittel eines ganzen Kreises.
A = r^2*Pi/3 (r=1)
A = Pi/3
Exakt so, wie ich es auch gemacht hab.
Und da wir (bislang) die einzigen zwei Kommentare hier ohne Popo-Tanga Avatar sind, müssen wir einfach recht haben! 👍
@@Mozartkugel Nächstes mal ziehe ich mir auch einen Tanga an 😅🤪😉
Wunderbärchen
Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?
Der Winkel über die Sekante AB muss vom Mittelpunkt M aus doppelt so groß sein wie vom Punkt C, da C und AB vom Mittelpunkt aus auf verschiedenen Seiten liegen. Nennen wir die Winkel AMB und ACB mal 2x bzw. x. Dann gilt im gleichschenkligen Dreieck ABM:
BAM = ABM = (180° - 2x)/2 = 90° - x
Damit betragen die Winkel im Dreieck ABC:
BAC = 90° - x + 30° = 120° - x
ABC = 90° - x + 30° = 120° - x
ACB = x
120° - x + 120° - x + x = 180° => x = 60° => 2x = 120°
@@GetMatheFit Video-Inhalt mal wieder präzise wiederholt 🙄. Wo genau liegt der Erkenntnisgewinn für den geschätzten Leser Ihres Beitrags?
🙂👻
Hallo Susanne
ich zeichne den Radius MC (und die Sehne AB) und sehe das gleichschenklige Dreieck. Winkel A ist 60, dann ist der Zentriwinkel 120. Die Sektorfläche ist also 1/3 des Kreises.
Es wäre noch etwas schöner gewesen, wenn Sie auf den Lehrsatz Zentrumswinkel / Peripheriewinkel hingewiesen bzw. diesen genutzt hätten (schnellere Lösung). Ich bitte dies als positive Kritik zu verstehen - weiter so!
ABC ist gleichseitig, da alle Teildreiecks-Katheten (Verbindung der Ecken zu M) r sind.
α hat damit 120°, der rote Keil hat die Fläche A/3.
Susanne ist genial, Susanne kann (auf ihrem Kanal) annähernd machen, was sie will.
Für alle anderen gilt bei r=1cm: A/3 ≈ 1,05 cm²
Der Eckwinkel im Punkt C ist ausschlaggebend, denn er ist halb so gross wie der Aussenwinkel der viereckigen Figur innerhalb des Kreises im Punkt M und ist auch am leichtesten ermittelbar. Da nun der Aussenwinkel 120° beträgt, ist die Fläche des roten Kreisausschnitts 0,33π groß.
Ja. Wenn man den Winkel in Punkt C hat, ist der Rest einfach.
Nicht 0,33π, sondern π/3.
@@teejay7578 In der Philosophie gibt es den Grundsatz des "Charitable Readings", also dass man den Text, den man liest, immer auf die Weise interpretiert, die ihn im besten Licht erscheinen lässt. Hier wäre dies: Es ist ⅓ gemeint, war aber auf der Tastatur nicht verfügbar und der Periodenstrich war auch nicht verfügbar. Falls Sie Lehrer sind, dürfen und müssen Sie dies bei Ihrer Schülern und Schülerinnen natürlich korrigieren. Aber hier sind Sie nicht Lehrer.
@@susanna-be3ej
0.33π ist philosophisch schon in Ordnung 😉!
🙂👻
@@roland3et Ich denke, Sie verstehen mich. Es gibt Leute, die sich toll vorkommen, wenn sie bei jemandem, der eine gute Idee hatte, eine Kleinigkeit kritisieren können.
Lösung:
Wenn man eine Hilfslinie zwischen C und M zieht, kann man schnell sehen, dass dadurch zwei gleichschenklige Dreiecke entstehen, bei denen beide Schenkel jeweils einen Radius lang sind. Daher wissen wir auch, dass beide Schenkel die gleichen Winkel haben und können den gesamten Winkel bei C auf 2 * 30° = 60° festlegen.
Darüber hinaus kann eine Hilfslinie zwischen A und B zwei neue Dreiecke erzeugen: ABM und ABC.
Aufgrund der Symmetrie und der Innenwinkelsumme MUSS ABC ein gleichseitiges Dreieck sein, da die Winkel bei A und B jeweils identisch sein müssen: (180° - 60°)/2 = 60°
ABM ist daher identisch mit BCM und ACM.
Aus all diesen Informationen können wir dann klar sagen, dass der rote Anteil exact 1/3 des Kreise ist.
A = πr²
A = π * 1²
A = π
A/3 = π/3
Der rote Bereich ist daher π/3 ≅ 1,047 [cm²]
Jaaaaa. Endlich mit Einheiten. ❤
Ironie?
Am Endergebnis stand keine Einheit ...
@@Ge_heim Stand nicht, aber sie hat es zumindest gesagt. Eon kleiner Anfang... - Kleine Schritte... 😉
@@Jan_Lei. Physiker oder was?
Mein Lösungsvorschlag ▶
Wenn man die AB Strecke mit einer Linie verbindet, hat man einen Dreieck: ΔABC
sowie das gleichschenklige Dreieck ΔABM
MA= BM = r
r= 1 cm
∠ MAB= ∠ ABM = α
∠ BMA= β
∠ BCA = β/2
∠ CAB= 30° + α
∠ ABC= 30° + α
⇒
2*(30°+α) + β/2 = 180°
60°+2α + β/2 = 180°
2α + β/2 = 120°..........Gl.1
2α+β= 180° ................Gl.2
⇒
wenn man von der unteren Gleichung das obere subrahiert:
β/2= 60°
β= 120°
Arot= πr²*(120°/360°)
= π*1*(1/3)
= π/3
Arot= 1,047 cm²
Sehr kompliziert.
Wenn man zuerst eine Linie zwischen M und C zieht, hat man direkt die Gleichschenkligkeit bei BCM und ACM und weiß daher dass der Winkel bei C 60° ist.
Durch die Symmetrie müssen daher auch die Winkel bei A und B 60° sein.
Dadurch ist der rote Bereich genau 1/3 des gesamten Einheitskreises, also π/3.
@@m.h.6470 schön wieder von Dir zu lesen, Du hast recht, dies wäre ebenfalls eine leichte Option gewesen, obwohl ich bei meinem Lösungsweg auch schnell zur Lösung kam 🙂🙏
30° in einem Kreis sind immer sehr verräterisch. Habs sofort erkannt 🤣Da muss ich nicht viel rechnen😁
Der Vorteil der Gleichschenkligkeit ist? - Man muss nicht humpeln ! 😂
Ich hätte die Strecke AB parallel in den Mittelpunkt verschoben. Dann sieht man, dass die 30° auf beiden Seiten jeweils Gegenwinkel sind. So kommt man auch auf α=180°-2*30°=120°.
Aber bitte: 1cm kann man nicht weg lassen. Man muss dann auf die Einheit achten, die ebenfalls quadriert wird. Problematisch, wenn man sich am Schluss einer komplizierteren Rechnung nicht mehr daran erinnert.
Moin, Leute 👋
Moin, Susanne 👋
Wo sind denn die lustigen Zöpfchen geblieben?😭
LG an alle 👋
ahaha, ich bin so blind, mit dem mittleren Winkel hab ich gar nicht gesehen, ich habe über ABC ein gleichseitiges Dreieck gebildet, das unten 60° hat und für das ABM Dreieck dann unten 30° ergibt, sodass die Spitze davon, also der Winkel am Mittelpunkt 120° ergibt. Bisschen viel umständlicher 😅
Kannst du bitte gestreckelänge eine video machen
Auch schade,dass ich vor 30 Jahren keine moglichkeit hatte so eine Lehrerin wie Sie begegnen kőnnen
Schade, dass Sie kein Polnisch sprechen. Wenn ich Ihnen auf Deutsch zuhöre, bin ich so interessiert. Es ist ein solches Talent, Lehrer zu sein, und Sie besitzen es. Leider ist der Vorschlag für die Schüler, Deutsch zu lernen, um Ihren Unterricht zu folgen, noch schwieriger als Mathematik selbst in einer Welt, die an Englisch-Exklusivität leidet. P.S. Sie könnten nur so tun, als wären Sie überrascht, dass der Mittelpunktswinkel, der auf einem bestimmten Bogen basiert, doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel, der auf demselben Bogen basiert.🤗
Wann Quadratur des Kreises?😜
Die Lösung des Problems war ein einfacher Strich - der Rest ist Mathe. 🙂
Сьюзан, ты должна это делать голой, всем похер на эту математику, все парни смотрят на тебя
Ich hätte jetzt einfach von Anfang an gesagt ein Drittel des Flächeninhalts
Das hat ja schon von Anfang an nach einem Drittel gerochen ...
Puuh! Noch nicht vollständig vergreist!